复变函数课件3-5柯西积分公式
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复变函数课件柯西积分公式PPT课件
π
π
2i π ecos cos(sin )d π ecos sin(sin )d
0
π
因为 ez dz 2π i,
z 1 z
ez
dz 2i
π ecos cos(sin )d
π ecos sin(sin )d
z 1 z
0
π
比较两式得 π ecos cos(sin )d π . 0
第二页，共19页。
2
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
由 f (z)的连续性,
在 C 上函数 f (z)的值将随着 的缩小而逐渐
接近于它在圆心 z0 处的值,
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
第十四页，共19页。
14
课堂练习
计算积分
ez z 3 z(z2 1) dz.
答案 有三个奇点 z 0, z 1, z 1
z
3
ez z(z2
dz 1)
i(e
e 1
2).
第十五页，共19页。
15
四、小结与思考
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性 在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在
边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函
数的重要工具.
柯西积分公式:
f (z0 )
1 2i
f (z) dz. C z z0
第十六页，共19页。
16
思考题
柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推 广到无界区域中?
复变函数 第三章 复变函数的积分
返回
§5 柯西积分公式
定理 例题 例1；例2；例3；例4 ； ； ；
返回
ห้องสมุดไป่ตู้
§6复变函数的高阶导数 复变函数的高阶导数
一、定理 二、例题 1、[例1] 、例 2、[例2] 、例 三、Morera定理 定理
返回
§7解析函数与调和函数的关系 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的概念： 调和函数的概念： 1、定义 2、定理 、 、 3、共轭调和函数的定义 、 二、例题 1、[例1] 2、[例2] 3、[例3] 、例 、例 、例 三、课堂练习
解：参数方程为 x = r cosθ + x0 .................(0 ≤ θ ≤ π ) y = r sin θ + y 0 ∴ z − z 0 = r cos θ + x0 + i (r sin θ + y0 ) − ( x0 + iy0 )
= r cos θ + ir sin θ = re
返回
╬
[例2] 计算 ∫c zdz 其中 为 例 其中C为 1 原点到点 3 + 4i 的直线段。 的直线段。 2 （ ， → 3， → 3， 的折线段 00 （ 0 （ 4 ） ） ）
回到§ 回到§4
解：∫c zdz = ∫c( x + iy )(dx + idy ) = ∫c( xdx − ydy) + i ( xdy + ydx)
1 ∴∫ dz = 0 c cos z
返回
╬
§3 复合闭路定理
一、复合闭路定理： 复合闭路定理：
为多连通域D内的一条简单闭曲线 c 设C为多连通域 内的一条简单闭曲线，1 , c2 , L cn , (ci ∩ c j = Φ) 为多连通域 内的一条简单闭曲线， 是包括C内部多连通域的边界（ 条简单闭曲线），则 条简单闭曲线）， 是包括 内部多连通域的边界（n条简单闭曲线），则： 内部多连通域的边界
§5 柯西积分公式
定理 例题 例1；例2；例3；例4 ； ； ；
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ห้องสมุดไป่ตู้
§6复变函数的高阶导数 复变函数的高阶导数
一、定理 二、例题 1、[例1] 、例 2、[例2] 、例 三、Morera定理 定理
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§7解析函数与调和函数的关系 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的概念： 调和函数的概念： 1、定义 2、定理 、 、 3、共轭调和函数的定义 、 二、例题 1、[例1] 2、[例2] 3、[例3] 、例 、例 、例 三、课堂练习
解：参数方程为 x = r cosθ + x0 .................(0 ≤ θ ≤ π ) y = r sin θ + y 0 ∴ z − z 0 = r cos θ + x0 + i (r sin θ + y0 ) − ( x0 + iy0 )
= r cos θ + ir sin θ = re
返回
╬
[例2] 计算 ∫c zdz 其中 为 例 其中C为 1 原点到点 3 + 4i 的直线段。 的直线段。 2 （ ， → 3， → 3， 的折线段 00 （ 0 （ 4 ） ） ）
回到§ 回到§4
解：∫c zdz = ∫c( x + iy )(dx + idy ) = ∫c( xdx − ydy) + i ( xdy + ydx)
1 ∴∫ dz = 0 c cos z
返回
╬
§3 复合闭路定理
一、复合闭路定理： 复合闭路定理：
为多连通域D内的一条简单闭曲线 c 设C为多连通域 内的一条简单闭曲线，1 , c2 , L cn , (ci ∩ c j = Φ) 为多连通域 内的一条简单闭曲线， 是包括C内部多连通域的边界（ 条简单闭曲线），则 条简单闭曲线）， 是包括 内部多连通域的边界（n条简单闭曲线），则： 内部多连通域的边界
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
28
dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
31
定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
32
牛顿－莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
24
∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
复变函数和积分变换第二版本-3.3 柯西积分公式-文档资料
f( z ) d z 2 π if( z ) . 反过来计算积分 0 C z z 0
推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。 5
§3.3 柯西积分公式
cos z 第 例 计算 I d z, 其中 C 为： C z 三 章 : | z 2 | 1 . (1) C :|z | 1 ; (2) C 2 1
7
§3.3 柯西积分公式 第 三 章
C P67 例3.10 部分
3 复 变 解 I | z| 2 函 数 z π 的 2πi . 2 9 z zi 积 5 分 试考虑积分路径为 | z| 4 的情况。
z ( ) 2 9 z dz . z (i)
0
2
3
i
8
§3.3 柯西积分公式
换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。 4
§3.3 柯西积分公式 第 一、柯西积分公式 z 三 注意 柯西积分公式中的区域 D 可以 D 章 C2 P67 是多连域。比如对于二连域 D , C1 推论 z0 复 2 C C 其边界为 C 变 1 2，则 函 1 f( z ) 数 f( z ) d z 0 C 2 π i z z 0 的 积 1 f ( z ) 1 f ( z ) d z d z , ( z D ) . 分 0 C C 2 π i1 z z 2 π i 2 z z 0 0 应用
§3.3 柯西积分公式 第 例 三 章 解 复 变 函 数 的 积 分 计算 I
C
2 z1 d z, 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2 z1 2z 1 , 令 f (z) 2 , 则 f (z) z(z1 ) z z
推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。 5
§3.3 柯西积分公式
cos z 第 例 计算 I d z, 其中 C 为： C z 三 章 : | z 2 | 1 . (1) C :|z | 1 ; (2) C 2 1
7
§3.3 柯西积分公式 第 三 章
C P67 例3.10 部分
3 复 变 解 I | z| 2 函 数 z π 的 2πi . 2 9 z zi 积 5 分 试考虑积分路径为 | z| 4 的情况。
z ( ) 2 9 z dz . z (i)
0
2
3
i
8
§3.3 柯西积分公式
换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。 4
§3.3 柯西积分公式 第 一、柯西积分公式 z 三 注意 柯西积分公式中的区域 D 可以 D 章 C2 P67 是多连域。比如对于二连域 D , C1 推论 z0 复 2 C C 其边界为 C 变 1 2，则 函 1 f( z ) 数 f( z ) d z 0 C 2 π i z z 0 的 积 1 f ( z ) 1 f ( z ) d z d z , ( z D ) . 分 0 C C 2 π i1 z z 2 π i 2 z z 0 0 应用
§3.3 柯西积分公式 第 例 三 章 解 复 变 函 数 的 积 分 计算 I
C
2 z1 d z, 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2 z1 2z 1 , 令 f (z) 2 , 则 f (z) z(z1 ) z z
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
柯西积分公式及高阶导数公式
或
C
f (z) z z0
dz
2 π if (z0 )
C
D
z0
证明: 由于f(z)在z0连续,
故任给e >0, 存在d >0, 当|zz0|<d 时, |f(z)f(z0)|<e.
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向), 且 R<d.
f (z) d z f (z) d z f (z0 ) d z f (z) f (z0 ) d z
第三章 复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(
z
而在于通过求导来求积分.
Ñ 例1.
求积分
z
2
(
z z
3 1 1)4
dz
.
解 因为函数 f (z) z3 1在复平面解析,
z0 1在 z 2 内, n=3, 根据 高阶导数公式.
Ñ f
(n)(z0 )
n!
2 i
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
)
d
R
z
0
B
f (z0 ) d z
C z z0
CR z z0
CR z z0
2 π if (z0 ).
定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全 含于D, z0为C内部的任一点, 则
复变函数-第三章-复变函数的积分
19
例10 求 z cos zdz 的值.
0
i
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
i 0 0 i
i
i
i [ z sin z cos z ]0 e 1 1.
20
4.3 柯西积分公式
定理 设f ( z )在简单(或复合)闭曲线C上及所围 区域D内解析, 则对任意z0 D,皆有
2
C
vdx udy
u( x(t ), y(t )) y(t ) v( x( t ), y( t )) x( t ) dt u( t ) y( t ) v( t ) x( t ) dt
这样 : f ( z )dz 可以通过两个二元实变函数的线
第三章 复变函数的积分
本章主要内容：
1、 2、 3、 4、 5、 复积分的概念 柯西积分定理 柯西积分公式 高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
1
§1 复变函数积分的概念 3、复积分计算的参数方程法
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
若能写出C的参数方程为: C: z(t)=x(t)+iy(t) t 则因为C是光滑曲线x(t),y(t)C[,] :
C
积分来计算.
C
f ( z )dz
u(t ) x(t ) v (t ) y(t ) dt
i
v(t ) x(t ) u(t ) y(t ) dt
{u(t ) iv(t )}{ x(t ) iy(t )}dt
例10 求 z cos zdz 的值.
0
i
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
i 0 0 i
i
i
i [ z sin z cos z ]0 e 1 1.
20
4.3 柯西积分公式
定理 设f ( z )在简单(或复合)闭曲线C上及所围 区域D内解析, 则对任意z0 D,皆有
2
C
vdx udy
u( x(t ), y(t )) y(t ) v( x( t ), y( t )) x( t ) dt u( t ) y( t ) v( t ) x( t ) dt
这样 : f ( z )dz 可以通过两个二元实变函数的线
第三章 复变函数的积分
本章主要内容：
1、 2、 3、 4、 5、 复积分的概念 柯西积分定理 柯西积分公式 高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
1
§1 复变函数积分的概念 3、复积分计算的参数方程法
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
若能写出C的参数方程为: C: z(t)=x(t)+iy(t) t 则因为C是光滑曲线x(t),y(t)C[,] :
C
积分来计算.
C
f ( z )dz
u(t ) x(t ) v (t ) y(t ) dt
i
v(t ) x(t ) u(t ) y(t ) dt
{u(t ) iv(t )}{ x(t ) iy(t )}dt
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
复变函数与积分变换 第三章第五节 柯西积分公式
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
f (z0 ) C
z
1 z0
dz
2if
( z0
).
二、柯西积分公式
定理
如果 f(z) 在区域 D 内处处解析,C 为 D
的边界曲线（正向简单闭）, z0 为 C 内任一点,
f(z0 )
第五节 柯西积分公式
一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
复习：柯西－古萨基本定理
设曲线 C 是单连通区域 B 的边界 f(z)在B上解析
B
C
c f(z)dz 0.
问题：设z0是B内的一点, 求C
f(z) dz z z0
z0
C
B
分析：
如果
f
(z) 在 B内解析, 那末
R K
ds
2π .
上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就
可以任意小,
根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,
所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.
f
(z0 )
1 2i
f (z) dz
C z z0
柯西积分公式
[证毕]
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的
1 2i sin z
2i
z0
0;
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
1 dz
2 dz 2i 1 2i 2
复变函数 柯西定理
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
常用结论 :
对于包含z0的任何一条正向简单 闭曲线c都有 2 i , n 0 1 dz n 1 n 0. ( z z0 ) 0, C
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1 练习1 计算积分 dz ,其中C :| z | 1. C cos z
原函数之间的关系:
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
f ( z ) 的任何两个原函数相差一个常数.
引理2 若函数 f ( z ) 是凸区域 D 内的解析函数 , 那么f ( z )在D内有原函数 .
凸区域：连接D内两点的直线也在D内
D, D {(1 t ) t : t [0,1]} D
3) 若f z 在D内不解析，则命题不真.
例如, 设f z x iy , 计算其沿曲线 C : | z | 2,
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
C1 : | z | 1的积分.
x 2cos x cos 解 C: , C1 : y 2sin y sin (0 2 )
k 1 k 1
n1
n1
两边取极限即可得
二、几个引理
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
引理1 设f ( z )是在单连通区域D内的解析函数 . 设C是D内一个多角形的周界，那么有
C
f ( z )dz 0
原函数（不定积分）的定义
在区域D内，如果F ( z )解析，并满足 F ( z ) f ( z ) 则称函数F ( z )为f ( z )在区域D内的一个原函数 或不定积分.
第三章 复变函数的积分
柯西积分公式及高阶导数公式
2
sin z 4 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数 ,
sin
z
0
1 f (z) 2 f ( z0 ) dz . C 2πi z z0
z 1
sin z 2 4 i. 2i 2 z 1
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C
柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 Morera定理
C
C
f ( z )dz 0, C为 B内任何一条闭曲线。
则 f (z)在B内解析 。
设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任
何一条简单闭曲线C, 有
f ( z )dz 0,
典型例题
例4. 计算积分
zi
1 1 z z 2 1 dz. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
解 由 Cauchy积分公式 ,
1 f (z) 1 , C是任意一条含 1 z( z i ) z0 是D内的一个点 z0 在内部区域 2 z0 i , z ( z(或可求长 1) ) Jordan z ( z曲线 ,i则 )( z i ) zi 的分段光滑
sin z 4 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数 ,
sin
z
0
1 f (z) 2 f ( z0 ) dz . C 2πi z z0
z 1
sin z 2 4 i. 2i 2 z 1
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C
柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 Morera定理
C
C
f ( z )dz 0, C为 B内任何一条闭曲线。
则 f (z)在B内解析 。
设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任
何一条简单闭曲线C, 有
f ( z )dz 0,
典型例题
例4. 计算积分
zi
1 1 z z 2 1 dz. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
解 由 Cauchy积分公式 ,
1 f (z) 1 , C是任意一条含 1 z( z i ) z0 是D内的一个点 z0 在内部区域 2 z0 i , z ( z(或可求长 1) ) Jordan z ( z曲线 ,i则 )( z i ) zi 的分段光滑
复变函数_柯西积分公式
复变函数_柯西积分公式
首先，我们来给出柯西积分公式的数学表达式。
设函数f(z)在区域D 上解析，z0是D的任意一点，C是区域D中的一条简单闭曲线，它将点
z0围成。
那么有以下柯西积分公式：
∮C f(z)dz = 2πiRes(f(z), z0)
其中，Res(f(z), z0)表示函数f(z)在点z0的留数（residue）。
柯西积分公式可以理解为解析函数的全纯性和局部性的结合。
通过柯西积分公式，我们可以在解析函数的全纯区域内，通过曲线上的积分计算导数的全纯积分值。
柯西积分公式具有一些重要的推论和应用。
其中之一是柯西积分公式的重要推论，柯西定理。
柯西定理是柯西积分公式对于区域内解析函数的整体性的推广。
具体地说，柯西定理是指在区域D上的任意闭曲线上的积分为0，即∮C f(z)dz = 0，其中C是D中的一条闭曲线，f(z)是D上的解析函数。
柯西积分公式也有一些重要的应用。
例如，通过柯西积分公式可以证明解析函数具有无穷阶导数的性质。
f^(n)(z0) = (n-1)! * ∮C [f(z)/(z-z0)^(n)]dz
柯西积分公式还有一些其他的推论和应用，在现代复变函数理论中扮演着重要的角色。
例如，柯西积分公式为计算复变函数的积分提供了一种有效的方法，同时也为解析函数的全纯性质的研究提供了基础。
此外，柯西积分公式还与调和函数、傅里叶变换和复变函数的辐角原理等有关。
第5次(2003) 复变函数的积分 柯西积分公式
3 8
i
解 : 2、 C是中心在点 1, 当 z 半径R 2的圆周时 ,
函数 1 ( z 1) ( z 1)
3 3
y
C
在C所围
1o
1
x
区域含有一个奇点 1 z
19
利用高阶导数公式
1
( z 1)
C
1
3
( z 1)
3
dz
( z 1)
C
( z 1)
u y
3 y 3x ,
2 2
由C R方程得 :
v y
u x
2
v( x, y )
y
v
dy ( 6 xy) dy 3 xy g( x )
25
从而
v
x ( x ) 3 x 2 , 得到g
3 y g ( x )
2
16
( i ) f ( z )在C 所围成的单连通域内解析,由基本定理 C f ( z )dz 0 ( ii ) f ( z )在 C 所围成的区域内有奇点，则挖洞后用 2、C 为闭路径 复合闭路定理和柯西积分公式(一次因子） ( iii ) f ( z )在 C 所围成的区域内有奇点，则挖洞后用 复合闭路定理和高阶求导公式(二次及二次以上因子）
3
在C内有两
C1
C2
C
个奇点 : z 0, z 1。
o 1
2
x
作封闭正向曲线 1 , 仅含z 0; C 作封闭正向曲线 2 , 仅含z 1. C
C1与C 2互不包含, 互不相交, 这样以C , C1 , C 2为 边界构成了一个复连通 区域。
柯西积分公式 牛顿莱布尼茨公式.ppt
第三章 复变函数的积分
第3.2节 Cauchy积分定理
柯西定理
定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数，
（1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么
C f (z)dz 0
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。
（线2，）那C么是沿在CD从内z0连到接z的z0 及积z分两值点由的z任0及一z条所简确单定曲，
两点的另一条简单曲线。则C' C C 是D内的 1
一条简单闭曲线，由（1），有
f (z)dz 0
C'
而
f (z)dz f (z)dz
C'
C C1
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C
C1
C
C1
所以定理的结论成立。
C f (z)dz 0
其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿C0
按反时针方向，沿 C1,...,Cn 按顺时针方向取
积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一
同运动时，区域D总在它的左侧。因此
f (z)dz f (z)dz f (z)dz ...
C
C0
C1
f (z)dz 0 Cn
n+1条简单闭曲线 C0,C1,...,Cn,
曲线 C1,...,Cn 中每一条都在其余曲线的外
区域内，而且所有这些曲线都在 C0 的内区域，
C0 , C1,..., Cn
围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个
闭区域 D 。
柯西定理的注解：
设f(z)在 D上解析，那么令C表示D的全部边界，
我们有
此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的
第3.2节 Cauchy积分定理
柯西定理
定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数，
（1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么
C f (z)dz 0
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。
（线2，）那C么是沿在CD从内z0连到接z的z0 及积z分两值点由的z任0及一z条所简确单定曲，
两点的另一条简单曲线。则C' C C 是D内的 1
一条简单闭曲线，由（1），有
f (z)dz 0
C'
而
f (z)dz f (z)dz
C'
C C1
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C
C1
C
C1
所以定理的结论成立。
C f (z)dz 0
其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿C0
按反时针方向，沿 C1,...,Cn 按顺时针方向取
积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一
同运动时，区域D总在它的左侧。因此
f (z)dz f (z)dz f (z)dz ...
C
C0
C1
f (z)dz 0 Cn
n+1条简单闭曲线 C0,C1,...,Cn,
曲线 C1,...,Cn 中每一条都在其余曲线的外
区域内，而且所有这些曲线都在 C0 的内区域，
C0 , C1,..., Cn
围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个
闭区域 D 。
柯西定理的注解：
设f(z)在 D上解析，那么令C表示D的全部边界，
我们有
此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的
柯西积分公式课件
z 4 z
1 2i sin z
2i
z0
0;
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
1 dz 2 dz 2i 1 2i 2
z 4 z 1
z 4 z 3
6i.
9 第9页，共22页。
例2 计算积分
ez dz.
z 2 z 1
解 因为 f (z) ez 在复平面内解析,
z 1 位于 z 2内,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
故 f (z) 2i(6z 7), 而 1 i 在 C 内,
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12 第12页，共22页。
例5
计算积分
sin z
C
z2
4 dz, 1
其中 C
: (1)
z 1 1; 2
2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
zi 1
z(z i) dz zi
2i 1 z(z i) zi
2
2i
1 2i 2
i.
11 第11页，共22页。
例４ 设 C 表示正向圆周 x2 y2 3,
3 2 7
f (z) C z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
ez
dz z 1 z
e π rei π rei
irei d
π ieei d
π
16 第16页，共22页。
π ieei d π iecos i sin d
π
π
1 2i sin z
2i
z0
0;
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
1 dz 2 dz 2i 1 2i 2
z 4 z 1
z 4 z 3
6i.
9 第9页，共22页。
例2 计算积分
ez dz.
z 2 z 1
解 因为 f (z) ez 在复平面内解析,
z 1 位于 z 2内,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
故 f (z) 2i(6z 7), 而 1 i 在 C 内,
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12 第12页，共22页。
例5
计算积分
sin z
C
z2
4 dz, 1
其中 C
: (1)
z 1 1; 2
2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
zi 1
z(z i) dz zi
2i 1 z(z i) zi
2
2i
1 2i 2
i.
11 第11页，共22页。
例４ 设 C 表示正向圆周 x2 y2 3,
3 2 7
f (z) C z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
ez
dz z 1 z
e π rei π rei
irei d
π ieei d
π
16 第16页，共22页。
π ieei d π iecos i sin d
π
π
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z 0 位于 z 4 内 ,
,
8
由柯西积分公式
1 2i
z 4
sin z z
dz
1 2i
2 i sin z
z0
0;
2 1 (2) dz. z 1 z 3 z 4
z 4
1 z1
dz
z 4
2 z 3
dz 2i 1 2i 2
C
f (z) z z0
d z 将接近于
C
C
f ( z0 ) z z0 1
dz.
( 缩小 )
C
f ( z0 ) z z0
d z f ( z0 )
z z0
d z 2 if ( z 0 ).
3
二、柯西积分公式
定理
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析 ,C 为 D 内的任何一条正向简单 于 D , z 0 为 C 内任一点 f ( z0 ) 1 2π , 闭曲线 , 它的内部完全含 那末 dz.
1 z ( z 1)
2
z ( z i )( z i ) 1 因为 f ( z ) 在 z i 内解析 , 2 1
1
z(z i) zi
f (z )
z0 i ,
由柯西积分公式
1 z(z i)
zi
zi 1 2
1 z( z 1)
2
dz
zi 1 2
2i C z
1
f (z) z0
dz.
16
思考题
柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推
广到无界区域中?
17
思考题答案
可以.
但对函数 f ( z ) 要做一些限制 C 上解析 , ,
设 f ( z ) 在 G 及边界
并且当
z 时 , f ( z ) 一致趋于零
(即 0 , R 0 , 使当 z R 时 , f ( z ) )
则对 G 内任意一点
, 有 f ( )
2π i C
1
f (z)
z
dz ,
其中积分方向应是顺时针方向.
放映结束，按Esc退出.
18
z(z i) z i
dz 2i
2i
1 2i
2
i.
11
例４
设 C 表示正向圆周
x y
2
2
3,
f (z)
C
3
2
7 1
z
d , 求 f ( 1 i ).
解 根据柯西积分公式知,
f ( z ) 2 π i ( 3
故
6i.
9
例2
计算积分
z 2
z
e
z
z1
dz.
解
因为 f ( z ) e 在复平面内解析
z 1 位于 z 2 内 ,
,
由柯西积分公式
z 2
e
z
z1
dz 2i e
z z 1
2e i .
10
例3
解
计算积分
zi 1 2
1 z( z 1)
2
dz.
1
z 3
e
2
z
z ( z 1)
dz i(e e
1
2 ).
15
四、小结与思考
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,
它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性
在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在
边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函
数的重要工具. 柯西积分公式:
f ( z0 )
i
ire
i
d
π i e
e
d
13
π
π
ie
π
e
i
d
cos
π
π
ie
cos i sin
d
2i e
0
cos(sin ) d
π
π
e
cos
sin(sin ) d
因为
z 1
e
z
d z 2π i ,
π cos π cos
2
当 z 在 C 内时 ,
2 i ( 3 z 7 z 1 ),
2
7 1 )
z
f ( z ) 2 i ( 6 z 7 ),
而 1 i 在 C 内,
所以
f ( 1 i ) 2 ( 6 13 i ).
12
例6 解
求积分
z 1
1
f (z)
0
dz
柯西积分公式
柯西介绍
6
关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上 i 的平均值. 如果 C 是圆周 z z 0 R e ,
z
cos(sin ) d
cos
z 1
e
z
z
dz 2i e
0
π
e
sin(sin ) d
比较两式得 0
π
e
cos(sin ) d π .
14
课堂练习
计算积分
z 3
e
2
z
z ( z 1)
dz.
答案
有三个奇点
z 0 , z 1, z 1
则
C
f (z) z z0
dz
K
f (z) z z0
dz
K
f ( z0 ) z z0
dz
K
f ( z ) f ( z0 ) z z0 z z0 dz
dz
C
z0
R K
2 if ( z 0 )
K
f ( z ) f ( z0 )
D
5
K
f ( z ) f (
i C z
f (z) z0
证
因为 f ( z ) 在 z 0 连续 ,
D
则 0,
( ) 0 ,
4
当 z z0 时 ,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z 0 为中心 , 半径为
R ( R ) 的正向圆周
K :
z z 0 R 全在 C 的内部 ,
dz
K
f ( z ) f ( z0 ) z z0
ds
R K
d s 2π .
上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就 可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕]
f ( z0 )
2i C z z
第五节 柯西积分公式
一、问题的提出
二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
设 B 为一单连通域 , z 0 为 B 中一点 .
如果 f ( z ) 在 B 内解析 , 那末 所以
f (z) z z0 ,
.
在 z 0 不解析 .
C
f (z) z z0
d z 一般不为零
z 0 的闭曲线
f ( z0 ) 1 2π
0
2π
f ( z0 R e )d .
7
i
三、典型例题
例1
(1) 求下列积分 1 2i
z 4
sin z z
d z;
2 1 (2) dz. z 1 z 3 z 4
解
(1)
1 2i
z 4
sin z z
dz
因为 f ( z ) sin z 在复平面内解析
C 为 B 内围绕
根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.
2
积分曲线 的正向圆周
C 取作以
z 0 为中心 , 半径为很小的
z z0 ,
,
由 f ( z ) 的连续性
在 C 上函数
f ( z ) 的值将随着 z 0 处的值 ,
的缩小而逐渐
接近于它在圆心
e
z
d z , 并证明
z
0
π
e
cos
cos(sin ) d π .
根据柯西积分公式知,
z 1
e
z
dz 2i e
i
z z0
2 i;
z r 1,
π
i
z
令 z re
, ( π π )
z 1
e
z
z
dz
π re i
π
e
re
,
8
由柯西积分公式
1 2i
z 4
sin z z
dz
1 2i
2 i sin z
z0
0;
2 1 (2) dz. z 1 z 3 z 4
z 4
1 z1
dz
z 4
2 z 3
dz 2i 1 2i 2
C
f (z) z z0
d z 将接近于
C
C
f ( z0 ) z z0 1
dz.
( 缩小 )
C
f ( z0 ) z z0
d z f ( z0 )
z z0
d z 2 if ( z 0 ).
3
二、柯西积分公式
定理
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析 ,C 为 D 内的任何一条正向简单 于 D , z 0 为 C 内任一点 f ( z0 ) 1 2π , 闭曲线 , 它的内部完全含 那末 dz.
1 z ( z 1)
2
z ( z i )( z i ) 1 因为 f ( z ) 在 z i 内解析 , 2 1
1
z(z i) zi
f (z )
z0 i ,
由柯西积分公式
1 z(z i)
zi
zi 1 2
1 z( z 1)
2
dz
zi 1 2
2i C z
1
f (z) z0
dz.
16
思考题
柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推
广到无界区域中?
17
思考题答案
可以.
但对函数 f ( z ) 要做一些限制 C 上解析 , ,
设 f ( z ) 在 G 及边界
并且当
z 时 , f ( z ) 一致趋于零
(即 0 , R 0 , 使当 z R 时 , f ( z ) )
则对 G 内任意一点
, 有 f ( )
2π i C
1
f (z)
z
dz ,
其中积分方向应是顺时针方向.
放映结束，按Esc退出.
18
z(z i) z i
dz 2i
2i
1 2i
2
i.
11
例４
设 C 表示正向圆周
x y
2
2
3,
f (z)
C
3
2
7 1
z
d , 求 f ( 1 i ).
解 根据柯西积分公式知,
f ( z ) 2 π i ( 3
故
6i.
9
例2
计算积分
z 2
z
e
z
z1
dz.
解
因为 f ( z ) e 在复平面内解析
z 1 位于 z 2 内 ,
,
由柯西积分公式
z 2
e
z
z1
dz 2i e
z z 1
2e i .
10
例3
解
计算积分
zi 1 2
1 z( z 1)
2
dz.
1
z 3
e
2
z
z ( z 1)
dz i(e e
1
2 ).
15
四、小结与思考
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,
它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性
在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在
边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函
数的重要工具. 柯西积分公式:
f ( z0 )
i
ire
i
d
π i e
e
d
13
π
π
ie
π
e
i
d
cos
π
π
ie
cos i sin
d
2i e
0
cos(sin ) d
π
π
e
cos
sin(sin ) d
因为
z 1
e
z
d z 2π i ,
π cos π cos
2
当 z 在 C 内时 ,
2 i ( 3 z 7 z 1 ),
2
7 1 )
z
f ( z ) 2 i ( 6 z 7 ),
而 1 i 在 C 内,
所以
f ( 1 i ) 2 ( 6 13 i ).
12
例6 解
求积分
z 1
1
f (z)
0
dz
柯西积分公式
柯西介绍
6
关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上 i 的平均值. 如果 C 是圆周 z z 0 R e ,
z
cos(sin ) d
cos
z 1
e
z
z
dz 2i e
0
π
e
sin(sin ) d
比较两式得 0
π
e
cos(sin ) d π .
14
课堂练习
计算积分
z 3
e
2
z
z ( z 1)
dz.
答案
有三个奇点
z 0 , z 1, z 1
则
C
f (z) z z0
dz
K
f (z) z z0
dz
K
f ( z0 ) z z0
dz
K
f ( z ) f ( z0 ) z z0 z z0 dz
dz
C
z0
R K
2 if ( z 0 )
K
f ( z ) f ( z0 )
D
5
K
f ( z ) f (
i C z
f (z) z0
证
因为 f ( z ) 在 z 0 连续 ,
D
则 0,
( ) 0 ,
4
当 z z0 时 ,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z 0 为中心 , 半径为
R ( R ) 的正向圆周
K :
z z 0 R 全在 C 的内部 ,
dz
K
f ( z ) f ( z0 ) z z0
ds
R K
d s 2π .
上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就 可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕]
f ( z0 )
2i C z z
第五节 柯西积分公式
一、问题的提出
二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
设 B 为一单连通域 , z 0 为 B 中一点 .
如果 f ( z ) 在 B 内解析 , 那末 所以
f (z) z z0 ,
.
在 z 0 不解析 .
C
f (z) z z0
d z 一般不为零
z 0 的闭曲线
f ( z0 ) 1 2π
0
2π
f ( z0 R e )d .
7
i
三、典型例题
例1
(1) 求下列积分 1 2i
z 4
sin z z
d z;
2 1 (2) dz. z 1 z 3 z 4
解
(1)
1 2i
z 4
sin z z
dz
因为 f ( z ) sin z 在复平面内解析
C 为 B 内围绕
根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.
2
积分曲线 的正向圆周
C 取作以
z 0 为中心 , 半径为很小的
z z0 ,
,
由 f ( z ) 的连续性
在 C 上函数
f ( z ) 的值将随着 z 0 处的值 ,
的缩小而逐渐
接近于它在圆心
e
z
d z , 并证明
z
0
π
e
cos
cos(sin ) d π .
根据柯西积分公式知,
z 1
e
z
dz 2i e
i
z z0
2 i;
z r 1,
π
i
z
令 z re
, ( π π )
z 1
e
z
z
dz
π re i
π
e
re