2017-2018学年河北省石家庄二中高一(下)期末数学试卷及答案

2017-2018学年河北省石家庄二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{（x，y）|x2+y2＝1}，N＝{（x，y）|x+y+1＝0}，则M∩N元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2D．若a＜b＜0，则3．（5分）△ABC中，，则cos B＝（）A．B．C．或D．4．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交B．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若m⊥α，α∥β，则m⊥β5．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}的前8项的积是81，那么a1+a8的最小值是（）A．B．C．8D．66．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行7．（5分）已知两点A（0，3），B（﹣4，0），若点P是圆x2+y2﹣2y＝0上的动点，则△ABP 面积的最大值为（）A．13B．3C．D．8．（5分）已知直线mx+y﹣pq＝0与x﹣y+2q﹣pq＝0互相垂直，垂足坐标为（p，q），且p ＞0，q＞0，则p+q的最小值为（）A．1B．4C．8D．99．（5分）△ABC中，，则cos C＝（）A．B．C．或D．010．（5分）已知在三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，A、B、C点都在同一个球面上，此球面球心O到平面ABC的距离为，点E是线段OB的中点，则点O到平面AEC的距离是（）A．B．C．D．111．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（）A．B．C．D．12．（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10……记为数列{a n}将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：b19＝（）A．1225B．1275C．2017D．2018二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则异面直线AM与BB1所成角的余弦值为．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2＝4a2，则cos A的最小值为．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+ay仅在点（0，1）处取得最小值，则a的取值范围是．16．（5分）如图，点M为正方形ABCD边DC上异于点C，D的动点，将△ADM沿AM翻折成△P AM，使得平面P AM⊥平面ABCM，则下列说法中正确的是．（填序号）（1）在平面PBM内存在直线与BC平行；（2）在平面PBM内存在直线与AC垂直（3）存在点M使得直线P A⊥平面PBC（4）平面PBC内存在直线与平面P AM平行．（5）存在点M使得直线P A⊥平面PBM三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知直线l1：kx﹣y+1+k＝0（k∈R），l2：x﹣y+5＝0．（1）证明：直线l1过定点；（2）已知直线l1∥l2，O为坐标原点，A，B为直线l1上的两个动点，，若△OAB的面积为S，求S．18．（12分）各项均不相等的等差数列{a n}前n项和为S n，已知S5＝40，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，P A ＝AD＝PD＝AB＝2，CD＝4，M为PC的中点．（1）求证：BM∥平面P AD；（2）（文科）求点A到面PCD的距离（2）（理科）求二面角P﹣BD﹣C平面角的正弦值20．（12分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，若B＝45°，BC＝2．（1）若△BCD是锐角三角形，，求角A的大小；（2）若△BCD锐角三角形，求的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，．（1）求数列{a n}的通项公式（2）数列{na n}的前n项和为T n，若存在n∈N*，使得m﹣T n+2＞0成立，求m范围？22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．2017-2018学年河北省石家庄二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：集合M＝{（x，y）|x2+y2＝1}，N＝{（x，y）|x+y+1＝0}，则，∴解得或；∴M∩N＝{（﹣1，0），（0，﹣1）}，有2个元素．故选：B．【点评】本题考查了交集的运算与方程组解的问题，是基础题．2．【考点】2K：命题的真假判断与应用；R3：不等式的基本性质．【解答】解：当c＝0时，若a＞b，则ac2＝bc2，故A错误；若a＜b＜0，ab＞0，则，即，故B错误；若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故C正确；若a＜b＜0，则，，故，故D错误；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键．3．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得sin B＝＝＝，∵b＜a，B∈（0，），∴cos B＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：对于A：m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；也可能平行，A是不正确．对于B：m∥α，α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，也可能m∩β＝A，所以B不正确；对于C：α⊥β，m⊥α，则m∥β，也可能m⊂β，所以C不正确；对于D：若m⊥α，α∥β，则m⊥β．是正确的命题．故选：D．【点评】本题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．5．【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：∵正数组成的等比数列{a n}的前8项的积是81，∴a1a2 (8)＝81，解得a1a8＝3．那么a 1+a8≥2＝2，当且仅当a1＝a8＝时取等号．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力应用计算能力，属于中档题．6．【考点】L2：棱柱的结构特征．【解答】解：如图：连接C1D，BD，在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确；∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，D错误故选：D．【点评】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键7．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：直线AB的方程为：＝1，化为：3x﹣4y+12＝0．|AB|＝＝5．圆x2+y2﹣2y＝0配方可得：x2+（y﹣1）2＝1．可得圆心C（0，1），半径r＝1．可得圆心C到直线AB的距离d＝＝．∴圆x2+y2﹣2y＝0上的动点到直线AB的最大距离＝d+r＝，则△ABP面积的最大值＝＝．故选：C．【点评】本题考查了直线的方程、点到直线的距离公式、圆的方程及其应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：直线mx+y﹣pq＝0与x﹣y+2q﹣pq＝0互相垂直，则m＝1；又垂足坐标为（p，q），则p+q﹣pq＝0，∴p+q＝pq；又p＞0，q＞0，且pq≤＝，∴p+q≤，当且仅当p＝q时取“＝”；解得p+q≥4，∴p+q的最小值为4．故选：B．【点评】本题考查了直线方程与应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．9．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得4b2＝c2，可得：c＝2b，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得3＝b2+4b2﹣2b，可得b＝1，c＝2，∴cos C＝＝＝0，故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：在三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，可得截面圆的半径为O'A＝，由球的截面性质可得OA2＝OO'2+O'A2＝+＝4，即OA＝2，连接AE，CE，可得AE⊥OB，CE⊥OB，可得OB⊥平面AEC，即有点O到平面AEC的距离为OB＝1．故选：D．【点评】本题考查球的截面的性质，以及等边三角形的性质，考查线面垂直的判定，属于中档题．11．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三棱锥的三视图知：该三棱锥的底面是腰长为3的等腰直角三角形，顶点在底面上的射影是底面三角形斜边的中点，三棱锥的高为2，∴该三棱锥的表面积为：S＝×3×3+×3×2+×3××2＝12+3（cm3）．故选：A．【点评】本题考查由三棱锥的三视图求三棱锥的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．12．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：由题设条件可以归纳出a n+1＝a n+（n+1），故a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝n+（n﹣1）+…+2+1＝n（n+1）由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由于b19是第19个可被5整除的数，故它出现在数列{a n}按五个一段分组的第10组的前一个数，10，15，45，55，105，120，…由此知，b19是数列{a n}中的＝1225．故选：A．【点评】本题考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，解题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数，得出结论“被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除”，本题综合性强，有一定的探究性，是高考的重点题型，解答时要注意总结其中的规律．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解法一：（向量法）：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（0，0，0），M（2，2，1），B（2，0，0），B1（2，0，2），＝（2，2，1），＝（0，0，2），设异面直线AM与BB1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线AM与BB1所成角的余弦值为．故答案为：．解法二：（几何法）连结AC，∵BB1∥CC1，∴∠AMC是异面直线AM与BB1所成角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则AC＝，MC＝1，AM＝，∴cos∠AMC＝＝＝，∴异面直线AM与BB1所成角的余弦值为．【点评】考查异面直线所成角的弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：△ABC中，b2+c2＝4a2，则a2＝（b2+c2），由余弦定理得，cos A＝＝＝≥＝，当且仅当b＝c时取等号，∴cos A的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．15．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，若a＝0，则目标函数为z＝x，即此时函数在B（0，1）时取得最小值，满足条件．当a≠0，由z＝x+ay得y＝﹣x+z，若a＞0，目标函数斜率﹣＜0，此时平移y＝﹣x+z，得y＝﹣x+z在点B（0，1）处的截距最小，此时z取得最小值，满足条件可得﹣．解得a≤1．即：a∈[0，1]若a＜0，目标函数斜率﹣＞0，可使目标函数z＝x+ay仅在点B（0，1）处取得最小值，不满足题意．故答案为：[0，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z＝x+ay，仅在点（0，1）取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．16．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：（1）在平面PBM内不存在直线与BC平行，由于BC与平面PMB相交，只能异面或相交，即（1）错误；（2）过P作PH⊥AM，垂足为H，由平面P AM⊥平面ABCM，可得PH⊥平面ABCM，可得PH⊥AC，假设在平面PBM内存在直线l与AC垂直，平面PBM与PH相交，平移直线l至PK与PH相交，可得直线AC垂直于PK在平面ABCM的射影，即（2）正确；（3）若存在点M使得直线P A⊥平面PBC，可得P A⊥CB，BC⊥AB，即有BC⊥平面P AB，可得BC⊥P A，BC⊥PH，可得BC⊥平面P AH，与题意矛盾，故不存在点M使得直线P A⊥平面PBC，即（3）错误；（4）延长BC和AH于N，连接PN，在平面PBN内作直线与交线PN平行，由线面平行的判定定理可得平面PBC内存在直线与平面P AM平行，（4）正确；（5）假设存在点M使得直线P A⊥平面PBM，可得P A⊥MB，又MB⊥PH，即有MB⊥平面P AM，可得MB⊥AM，可得M在以AB为直径的圆上，但以AB为直径的圆与DC无交点，即（5）错误．故答案为：（2）（4）．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，注意运用线面平行和垂直、面面垂直的性质和判定，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【考点】IP：恒过定点的直线．【解答】解：（1）证明：直线l1：kx﹣y+1+k＝0（k∈R），即直线l1：k（x+1）﹣y+1＝0，令x+1＝0，求得x＝﹣1，y＝1，故直线l1：kx﹣y+1+k＝0过定点（﹣1，1）．（2）∵直线l1：kx﹣y+1+k＝0和l2：x﹣y+5＝0平行，∴k＝1，故直线l1：x﹣y+2＝0，故它们之间的距离为d＝＝，故s＝|AB|•d＝••＝．【点评】本题主要考查直线经过定点问题，平行直线间的距离公式，属于基础题．18．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）各项均不相等的等差数列{a n}的公差设为d（d≠0），S5＝40，且a1，a3，a7成等比数列，可得5a1+10d＝40，a32＝a1a7，即（a1+2d）2＝a1（a1+6d），解得a1＝4，d＝2，则a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）＝+1＝+1＝﹣+1，数列{b n}的前n项和T n＝﹣+﹣+…+﹣+n＝﹣+n．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．19．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】（1）证明：如图，取PD中点E，连接EM、AE，∴EM∥CD，EM＝CD，而AB＝CD，AB∥CD，∴EM∥AB，∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE∵AE⊂平面ADP，BM⊄平面ADP，∴BM∥平面P AD．…（5分）（2）（文科）解：∵CD⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面P AD，∴AE⊥CD∵E是PD的中点，P A＝AD，∴AE⊥PD，又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD可得点A到平面PCD的距离等于线段AE的长．在△P AD中，可得AE＝，∴点A到面PCD的距离为．（理科）如下图取AD中点E，连接PE，∵平面P AD⊥平面ABCD，P A＝AD，∴PE⊥面ABCD．过E作EF⊥DB于F，连接PF，则∠PFE就是二面角P﹣BD﹣A的平面角，在Rt△PEF中，PE＝，EF＝，∴sin∠PFE＝＝．∵二面角P﹣BD﹣C的平面角为π﹣∠PFE，∴二面角P﹣BD﹣C平面角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的证明，二面角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．20．【考点】HU：解三角形．【解答】解：（1）△BCD中，由正弦定理得＝，所以sin∠CDB＝＝，又因为△BCD为锐角三角形，所以∠CDB＝60°，所以∠ADC＝120°，DA＝DC，所以∠A＝∠ACD＝30°；（2）设∠CDB＝θ，则∠DCB＝135°﹣θ，由题意可知：45°＜θ＜90°，由正弦定理可知：＝，则CD＝，即AD＝，同理可得：BD＝，则＝sin（135°﹣θ），45°＜θ＜90°，∈（1，），∴的取值范围（，1）．【点评】本题考查正弦定理的应用，考查三角函数的性质，考查转化思想，属于中档题．21．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝，n＝1时，a1＝S1＝3﹣1＝2．∴a n＝．（2）na n＝．∴n＝1时，T1＝2．n≥2时，T n＝2+2×+3×+4×+……+，＝1+2×+3×+……+（n﹣1）+n，相减可得：T n＝2++……+﹣n＝+1+++……+﹣n＝+﹣n＝﹣﹣n，整理为：T n＝5﹣．（n＝1时也成立）．∴T n＝5﹣．【点评】本题考查了数列递推关系、错位相减法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【解答】解：（1）由得圆心C为（3，2），∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，∴∴，∴2k（4k+3）＝0∴k＝0或者，∴所求圆C的切线方程为：y＝3或者．即y＝3或者3x+4y﹣12＝0．（2）∵圆C的圆心在在直线l：y＝2x﹣4上，所以，设圆心C为（a，2a﹣4），则圆C的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2＝1，又∵MA＝2MO，∴设M为（x，y）则整理得：x2+（y+1）2＝4设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上即：圆C和圆D有交点，∴1≤CD≤3，∴，由5a2﹣12a+8≥0得a∈R，由5a2﹣12a≤0得，综上所述，a的取值范围为：．【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。