一阶微分方程(二) 可降阶的二阶微分方程
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②设方程
y py qy e x[Pl (x) cos x Pm (x)sin x]，
则方程有特解
y* xk e x[Rn1 (x) cos x Rn2 (x) sin x]， 其中Rn1 (x), Rn2 (x)是n次旳多项式，n max{ m,l}，而 k按 i 是否为特征方程旳根而分别取1或0．
y* [4ax2 (8a 4b)x 2a 4b]e2x ，
代入方程后，比较系数得
a 1 ，b 1 ，
4
2
所以
y* 1 (x 2) e2x ．
4
因而方程旳通解为
y
C1
C2
e2x
1 4
(x
2)
e2x
．
3. 特征方程为r 2 4 0，解得r1,2 2 i，所以齐次方
程旳通解为
二、例 题 选 讲
例1 求解方程 y d x (x2 4x) d y 0．
解 此方程为一种可分离变量旳微分方程．分离变量，
得
dy dx ，
y 4x x2
因
dx 4x x2
1 1 4x
1 d x， 4x
两边积分，得
ln | y | 1 (ln | x | ln | 4 x |) ln C ， 4
x
ln | sin u | ln | x | ln C ， 将 u y 代入，有
x sin y C ， xx
由初始条件
y
x2
3
，得 C
1，即原方程旳解为
sin y 1 ， xx
即满足初始条件旳解为
y x arcsin 1 ． x
例3 求微分方程 ( y4 3x2 ) d y xyd x 0旳通解．
y
考研数学-一阶微分方程,可降阶方程讲解
一. 微分方程的概念
微分方程的阶, 解, 通解, 特解
例1 以( x C1)2 ( y C2 )2 1为通解构造一个
二阶微分方程.
解 : 求导, 2( x C1) 2( y C2) y 0 (1)
再求导, 2 2( y)2 2( y C2 ) y 0 (2)
0
0
y xy 2xy x2 y 即 x2 y y(1 3x) ()
dy y
1
3 x2
x
dx
ln y 1 3ln x lnC x
当x 0时,
y
C x3
1
ex
由() 式 ,
y(0) 0
y(
x)
C
x3 0,
e
1 x
,
x0 x0
若微分方程 y f ( x, y)的通解为 y g( x,C ) , 则微分方程 y f (2x,2 y) 的通解为( ) .
分析：y f (2x,2 y) d(2 y) f (2x,2 y) d(2x)
通解 2 y g(2x,C)
解答：( B )
例3 求曲线族x2 y2 2ax的正交曲线族的方程.
增量
Δx
时
, 函 数的 增量 为Δy
yΔx 1 x2
o(Δx)
.
已知 y(0) π , 则 y(1) ____ .
分析：
Δy Δx
1
y x2
o(Δx) Δx
令 Δx 0 ,
有
y
二阶微分方程
3 2 y 满 足 初 始 条 件y1的 特 解 .
解 令 y p( x ), 代入原式，得
dp 3 2 p y dy 2
即
2 pdp 3 y 2dy
两边积分，得
p2 y 3 C1
x3
由初始条件y
3 2
x3
1, y
1得C1 0, 所以 p2 y 3 .
二、二阶常系数线性微分方程
定义１ 方程
y py qy f ( x)
(5)
叫做二阶常系数线性微分方程，其中 p 、q 是常数．
当f x 0时, 方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程．
当f ( x) T 0时, 方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.
下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法．
这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程．因为
x ln x x x xe e dx e dx e ,
1 dx ln x , x
所以
y p x(e x C1 ),
x
从而所求微分方程的通解为
C1 2 y ( x 1)e x C2 . 2
关键在于求出方程的两个线性无关的特解 y1 和 y2 ． rx 而当 r 为常数时，指数函数 y e 和它的各阶导数 都只相差一个常数因子．因此，我们可以设想二阶常系数齐次 方程式的特解也是一个指数函数 y e rx ，只要求出 r ,便可得 到方程(6)的解．
14
将 y e 和它的一、二阶导数 y re rx , y r 2e rx 代 , 入方程(6)，得到 er x (r 2 pr q) 0
y ex (C1 cos x C2 sinx )
7.5 可降阶的二阶微分方程
y(n) f (x) 型的微分方程 y f (x, y)型的微分方程 y f (y, y)型的微分方程
型的 y(n) f (x) 微分方程
y(n) f (x)
dyn1 f x
dx
yn1 f (x)dx C1
例 求微分方程 (1 x2 ) y 2xy 满足初值条件 y x0 1 ，
y x0 3 的特解.
解 设 y p , 则 y dp p ,
dx
dp p
2x 1 x2
dx
p y 3(1 x2 )
p |x0 y x0 3
y 1 x0
，0
t
T
型的 y f (x, y) 微分方程
方程 y f (x, y) 的右端不显含未知函数 y 令 y p , 则 y dp p , dx
p f (x, p)
设通解为 p y (x, C1) ，
y (x, C1)dx C2
两端积分并化简,得 p y C1 y
再分离变量并两端积分，得原方程的通解为 y C2eC1x
例 求微分方程 yy 2( y2 y) 满足初值条件 y |x0 1 ，
y |x0 2 的特解.
解 令 y p ，则 y p dp . 在 y 0 , p 0 时,
1 8
e2x
sin
x
C1 x2
C2 x
C3
C1
C 2
例 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 Ox 轴作直线运动. 设
力 F F t 在开始时刻 t 0 时 F (0) F0 ，随着时间 t 的增
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
可降解的二阶微分方程
小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y(n) f (x) 逐次积分
2. y f (x , y)
令 y p(x) , 则 y dp
dx
3. y f ( y , y)
令 y p( y) , 则 y p dp
dy
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
特点： 方程中不显含x.
解法：设 y p p( y)，则
y d p d p d y p d p
dx dy dx dy
方程变为 p dp f ( y, p) dy
关于y, p的一阶微分方程
设通解为：p ( y,C1 ) 即 y ( y,C1 )
分离变量并积分，可得原方程的通解为：
第四节 可降阶的二阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程 二、y f (x, y) 型的微分方程
三、y f ( y, y) 型的微分方程
一、y(n) f (x) 型
特点：等式右端仅含有自变量x.
解法：令 z y(n1) , 则 dz y (n) f (x) ,
dx
因此 z f (x) dx C1
2. y arcsin(C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1 x
c2
5. y c1 ln x c2
二、 y 1 x3 1 x 1. 62
dy
( y,C1)
x
C2.
例3 求 yy ( y)2 0 的通解.
解一 设 y p p( y)，则
y dp dy p dp ,
dy dx dy
可降阶的二阶微分方程
为曲边的曲边梯形面积
上述两直线与 x 轴围成的三角形面
例７.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线,
区间[ 0, x ] 上以
解:
于是
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,
满足的方程 .
积记为
( 99 考研 )
锗考溶倦肮评令赡算亢镰锨诽狈牛风月奈禁修践鄂群自柬秀渭禹育朝全狐可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
一般说, 用前者方便些.
均可.
有时用后者方便 .
例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
金啄辜八落底斋幢业齐趋妊腿意彤校隅菠疾践糠晤股源肉茅娄秩雇暑谰炭可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
再利用 y (0) = 1 得
利用
得
两边对 x 求导, 得
定解条件为
方程化为
利用定解条件得
得
故所求曲线方程为
佐古拖蕾氯官保站拆言痉已掐护杯角逾格蘑傲磐沉杯湛葛汐郁告充宴纺评可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分
令
令
诧塘些啸邢磅堆蒙秉巡蕉宁锰想坊弹早撼镭墨辩黄泳钦蛊硕排梆间颐饥矣可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有
去分母后两边对 x 求导, 得
又由于
设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v
常微分1-二阶可降阶的微分方程
常微分方程Ordinary Differential Equations 第一讲可降阶的二阶微分方程内容提要实例可降阶的二阶微分方程的解法 模型求解与分析例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.背景这是历史上一个著名的力学问题,它最初是由雅克布.伯努利在1690 年提出的. 在此之前,伽里略曾关注过该问题, 并猜想这条曲线是抛物线, 但后来发现是不对的,最后是由约翰.伯努利解决的. 莱布尼兹将其命名为悬链线,它在工程中有广泛的应用.例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线解第一步建立数学模型设绳索的最低点为D , 取y 轴通过点D 铅直向上, x 轴水平向右, 且点D 到原点O 的距离为一定值a . 由题意, 曲线在点D 处的切线斜率为零.如图, 建立坐标系.例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线(,) ,,, .M x y DM s DM 设 为绳索上任一点 的弧长为 绳索的线密度为 下面分析弧段 的受力情况解第一步建立数学模型,.D M 由于绳索是柔弱的 故在点和处的张力沿切线方向例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线sin ,cos ,T gs T H θρθ==tan .gsH ρθ=于是可得解第一步建立数学模型, ,,D H MT 设点处的张力大小为点处的张力大小为 因弧段处于平衡状态 则有例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.解第一步建立数学模型tan .gsH ρθ=20tan ,1d ,xy s y x θ''==+⎰将代入上式并求导得21(1)1,(0),(0)0,.H y y y a y a a gρ''''=+===问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?背景这曾是美国原子能委员会提出的处理核废料的方案.生态学家和科学家担心这种做法不安全而提出疑问.原子能委员会向他们保证：圆桶绝不会破裂.经过周密的试验,证明圆桶的密封性是很好的.但工程师们又问：圆桶是否会因为与海底碰撞而发成破裂?随后他们进行了大量的试验后发现：当圆桶的速度超过12.2m/s时,圆桶会因碰撞而破裂.那么圆桶到达海底时的速度到底是多少呢?它会因碰撞而破裂吗?问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?安全隐患:(1) 圆桶密封性; (2) 圆桶因碰撞而破裂实验结论:(1) 圆桶所受阻力与圆桶的下沉方位无关,与下沉速度成正比, 比例系数k=0.12;(2) 圆桶速度超过12.2米时,圆桶会因碰撞而破裂.核废料的定义：核废料泛指在核燃料生产、加工和核反应堆用过的不再需要的并具有放射性的废料.核废料的特征：①放射性: 核废料的放射性不能用一般的物理、化学和生物方法消除, 只能靠放射性核素自身的衰变而减少.②射线危害: 核废料放出的射线通过物质时, 发生电离和激发作用, 对生物体会引起辐射损伤.③热能释放: 核废料中放射性核素通过衰变放出能量，当放射性核素含量较高时, 释放的热能会导致核废料的温度不断上升, 甚至使溶液自行沸腾, 固体自行熔融.处理方法:核废料的处理，国际上通常采用海洋和陆地两种方法处理核废料. 一般是先经过冷却、干式储存，然后再将装有核废料的金属罐投入选定海域4000米以下的海底,或深埋于建在地下厚厚岩石层里的核废料处理库中. 美国、俄罗斯、加拿大、澳大利亚等一些国家因幅员辽阔、荒原广袤, 一般采用陆地深埋法.封装处置法盛放曼哈顿计划核废料的瓶子问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?所用常数:圆桶重量: W=239.456 Kg海水浮力: 1025.94kg/m3圆桶体积: V=0.208 m3问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?解如图, 建立坐标系设W 表示重量,B 表示浮力, D 表示阻力, 则F =W －B －D,B=1025.94×V =213.396,D=kv=0.12v .x Oy y 根据牛顿第二定律F =ma ,得.0)0()0(,0)0(=='=v y y 22d d (2),d d y y W B k m t t--=可降阶的二阶微分方程的类型型微分方程(,)y f x y'''=型微分方程(,)y f y y'''=(),y p x '=设,y p '''=则特点.y 右端不含解法),(.1y x f y '=''二、解法(),.p x y 先求出然后求() p x 于是原方程化为关于函数的一阶方程(,).p f x p '=(),y p y '=设d d d ,d d d p y p y p y x y''=⋅=则():p y 代入原方程得到新函数的一阶方程特点.x 右端不显含自变量解法d (,).d p p f y p y=),(.2y y f y '=''(),.p y y 先求出然后求例1211,(0),(0)0.y y y a y a''''=+==(),,y p x y p ''''==令则于是原方程化为,cosh .x y p y a a '==将 代入并积分 解得悬链线方程为22221cosh 1()21cosh .2x x x o x a ax y a y a x a a =++==+ 当||很小时，由泰勒展开知悬链线方程近似于抛物线注记211.p p a'=+三、模型求解解2ln(1 ), sinh x x p p p a a++==积分并代入初值可得即.解法1(),,y v x y v ''''==令则于是原方程化为(1),k t m W B v e k--=-解得2d d t t2()().k t m W B m W B m y t e k kk ---=+-.k W B v v m m-'+=91,.y t v =需要令求出时间然后求出速度问题回答非常困难!!解法22d d t t(),,y v y y v v ''''==令则于是原方程化为2()ln().mv m W B W B kv y k k W B---=---求解可得91?y v =令求问题.v 仍难求的精确值回答13.64(m /s).v ≈通过近似方法，如牛顿法，求出(m/s)(m/s),13.6412..2>因为所以圆桶可能发生破裂.这种处理核废料全的方法不安结论.mv v W B kv '=--补充利用软件Mathematica 计算v 的近似值2()ln(),=91.mv m W B W B kv y y k k W B---=---感谢大家的聆听！参考文献[1] 王宪杰, 侯仁民, 赵旭强. 高等数学典型应用实例与模型. 北京: 科学出版社, 2006.[2] 周义仓, 靳祯, 秦军林. 常微分方程及其应用(第二版).北京: 科学出版社, 2010.[3] 王树禾. 数学模型选讲(第二版). 北京: 科学出版社,2008.[4] D. G. Zill. A First Course in Differential Equations withModeling Applications, 10 th edition. Boston: Brooks / Cole Publishing Company, 2013.参考文献[1] 王宪杰, 侯仁民, 赵旭强. 高等数学典型应用实例与模型. 北京: 科学出版社, 2006.[2] 王树禾. 数学模型选将. 北京: 科学出版社, 2008.[3] D. G. Zill. A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 10 th edition. Boston: Brooks / Cole Publishing Company, 2013.。
经济数学-可降阶的二阶微分方程
dy ( y , C1 ) x + C 2 .
例 4 求方程 yy y 2 0 的通解.
dp , 解一 设 y p( y ), 则 y p dy
dp dp 2 代入原方程得 y p p 0, 即 p( y p) 0, dy dy
写为
y d1 x 4 + d 2 x 2 + d 3 x + d 4 .
其中 d i ( i 1,2,3,4) 为任意常数.
ห้องสมุดไป่ตู้
二、 y f ( x , y) 型
特点： 右端不显含未知函数y. 解法： 设 y p
dp y p, dx
方程变为 p f（x，p） .
关于x, p的一 阶微分方程，设其通解为 p ( x, C1 )
dy p ( x , C1 ) 关于y, x一阶微分方程 dx
即
故方程的 通解为： y ( x , C1 )dx + C 2
例3 求微分方程 (1 + x ) y 2 xy 满足初 始条件 y x 0 1, y x 0 3 的特解.
上式为可分离变量的一阶微分方程, 解得
2 p y Cy + 1, dy dx , 由初始条件 y(0) 1, 再分离变量, 得 2 Cy + 1 y(0) 2 定出 C 1, 从而得
dy 2 dx , 1+ y
再两边积分, 得 由 y(0) 1 定出 C1 arctan 1 ,
练习题答案
一 1. y ln cos(x + C1 ) + C2 2. y arcsin( C 2 e x ) + C1 ； 1 3. y 1 . C1 x + C 2 x
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
微分方程解法小结
微分方程解法小结PB08207038 司竹最近学习了微分方程，现对各种方法总结如下：一、 一阶微分方程： F （x,y,y ＇）=0⒈可变量分离方程形如φ（x ）dx-ψ(y)dy,或可化为该形式的方程称为可变量分离方程。
解法：两边积分得：∫φ〔x 〕dx=∫ψ〔y 〕dy 。
⒉齐次方程dx dy =φ）（x y 解法：换元。
令y=μx ，则原方程可化为可分离变量方程。
3.一阶线性微分方程dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边同时乘以一个积分因子e ⎰dx )x (P ，可得其通解公式：y=e ⎰-dx x ）（P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰c dx e )x (dx x ）（P Q 。
4.Bernouli 方程：dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边除以y n 得：+dx dy y 1n P （x ）y n 1-=Q （x ），再做代换μ= y n 1-，就化成 dxdy +（1-n ）P （x ）μ=Q （x ）的线性方程。
二、二阶微分方程F （x ，y ，y ＇，y ＇＇）=0⒈可降阶的二阶微分方程① f ( x , y ＇,y ＇＇)=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p ＇，将方程降阶为f （x ，p ，p ＇）=0的一阶方程。
② f （y ，y ＇，y ＇＇）=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=pdy dp ，将方程降阶为f （y ，p ，p dy dp ）=0. 2.二阶线性微分方程①齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=0由已知条件或观察法或其他方法可得出齐次方程的一个特解y 1，用y=z y 1带入方程，整理后得出另一特解y 2= y 1dx ey 1dx x 21⎰-⎰）（P 。
(或可通过Liouville 公式，亦可得出另一特解。
)再由叠加原理得:齐次方程的通解为y=c 1 y 1+c 2 y 2。
③非齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=f （x ）解法：先解出对应的齐次方程的通解yp = c1y1+c2y2。
一阶线性微分方程可降阶的二阶微分方程
积分得
C(x) Q(x)e P(x)dxdx C
所以一阶线性非齐次微分方程的通解为
y [ Q(x)e P(x)dxdx C]e P(x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
常数变易法
把齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数 的方法.
第二节 一阶微分方程
二、一阶线性微分方程
形如
的方程为一
dy P( x) y Q( x) dx
阶线性微分 方程
当Q( x) 0, dy P(x) y 0 称为齐次的. dx
当Q( x) 0, dy P( x) y Q( x) 称为非齐次的. dx
一阶线性微分方程 y P(x) y Q(x)
例5-7 求微分方程 y 1 y x2的通解．
解法一 dy y dx x
x
(1) 求出对应齐次方程
y y 0的通解 x
dy dx
y Cx
yx
(2) 设 y C(x)x ,则 y C(x)x C(x)
(3) 将 y 、 y 代入原方程后,得
C(x) x
积分后得
C(x) 1 x2 C 2
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x
sin
2
y
e
tan
ydy
dy
C
e
tan
ydy
sin
2
y
e ln
cos
y
dy
C
eln
cos
y
2sin y cos cos y
y
dy
C
【精选】.一阶线性微分方程、可降阶二阶微分方程
y 3(1 x2 )
再积分,得 y x2 3x C2
把初始条件 y x0 1 代入上式,得 C2 1
于是所求的特解为 y x2 3x 1
三、 y f y, y型的微分方程
y f y, y
右端不显
含自变量 x
解法 设y p( y),则y dp dp dy p dp
dx dy dx dy
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
二、 y f x, y 型的微分方程
y f x, y
右端不显
含未知数 y
解法 设y px, 则y dp p
dx 于是原方程变为
p f x, p
它是一个关于变量 x 、p 的一阶微分方程.解此一阶微分
方程,便得到原方程的通解.
例5-10 求微分方程 y 1 y 0的通解 x
二、 y f x, y型的微分方程 三、 y f y, y型的微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程
y f ( x)
右端仅含自
变量 x
解法 接连积分两次,便可得到方程的通解
例5-9 求微分方程 y e2x cos x的通解.
解 对所给方程连续积分两次,得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
y
Ce
P( x)dx
dx
非齐次微分方程
dy dx
P(x)
y
Q(x)的通解
y C(x)e P(x)dx
一阶线性非齐次微分方程的通解中C(x)是个未定
式，下面我们确定C(x)。
非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比
C C(x)
非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) 的求解 dx
考研复习 可降阶的二阶微分方程
y=∫
(∫ f (x)dx) dx + C x + C .
1 2
求方程 y′′ = xex + cos x 的通解. 例1
求方程 y′′ = xex + cos x 的通解. 例1
解
′ = ∫ ( xe x + cos x )dx y
= xe x − e x − sin x + C1 y = ∫ ( xe x − e x − sin x + C1 )dx = xe x − 2e x + cos x + C1 x + C 2
即 y′ = C1 x,
1 y = C1 x2 + C2 , 2
2
即 y = Cx + C0 ,
例2 解
求方程 x2 y′′ + xy′ = 1的通解.
设 y′ = P(x),
则 y′′ = P′(x)
代入原方程 x 2 P ′ + xP = 1 , 即P′ + 1 P = 1 , x x2 1 解线性方程, 解线性方程 得 P = (ln x + C1 ) x 1 即 y′ = (ln x + C1 ) x 两端积分,得原方程通解为 两端积分 得原方程通解为 1 2 y = ln x + C1 ln x + C2 , 2
解
yy′′ = 2( y′ 2 − y′) 即求初值问题 y(0) = 0 , y′(0) = 2
dP , 设 y′ = P( y), 则 y′′ = P dy dy dP 2( P − 1) 代入原方程得 = dy y dP dy =∫ ln( P − 1) = ln y 2 + C ∫ P −1 y ∴ y′ = P = y 2 + 1 , 将 y = 1 , P = 2 代入 , 得 C = 0 ,
可降阶的二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程是指在求解过程中可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
这种方程在物理学、工程学等领域中经常出现，因此掌握其求解方法对于理工科学生来说非常重要。
我们来看一个典型的可降阶的二阶微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是已知的非齐次项函数，$y$是未知函数。
我们可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
我们令$y'=z$，则原方程可以写成：$$z'+p(x)z+q(x)y=f(x)$$接下来，我们再令$u(x)=\int p(x)dx$，则上式可以写成：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=e^{u(x)}f(x)$$这是一个一阶线性微分方程，我们可以通过求解它来得到原方程的解。
具体来说，我们可以先求解其齐次方程：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=0$$这个方程的通解可以表示为：$$z=c_1e^{-u(x)}-\int e^{-u(x)}q(x)ydx$$其中，$c_1$是常数。
接下来，我们可以利用常数变易法来求解非齐次方程的特解。
假设特解为$z=u(x)v(x)$，则代入原方程得到： $$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}u'(x)v(x))+e^{u(x)}q(x)y=f(x)$$化简后得到：$$u'(x)e^{u(x)}v(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}\int e^{u(x)}f(x)dx$$因此，特解可以表示为：$$z=u(x)v(x)=\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$将特解和通解相加，即可得到原方程的通解：$$y=c_1\int e^{-u(x)}dx+\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$这就是可降阶的二阶微分方程的求解方法。
(整理)可降阶的二阶微分方程
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
可降阶的二阶微分方程
且初速度为0 , 求质点的运动规律. 解 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F
F0 (1
t T
)
o Tt
对方程两边积分, 得
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) d t m 2T
解法 y f ( x)dx C1, y ( f ( x)dx)dx C1x C2.
例 1 求方程 y xe x cos x 的通解.
解 y ( xe x cos x)dx xex ex sin x C1, y ( xe x e x sin x C1)dx
p C1 y, 即
故原方程通解为 y C2ec1x .
例 1 求方程 yy y2 0 的通解.
解2
两端同乘
1 y2
,
yy y2
y2
d( dx
y) y
0,
故 y C1 y, 从而通解为 y C2eC1x .
解3
原方程变为
y y
y y
,
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
p f ( x, p). 关于 p(x) 的一阶方程 设其通解为 p ( x,C1), 即 y ( x,C1) ,
再次积分, 得原方程的通解 y ( x,C1)dx C2.
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e 设 y u( x)e P( x令)d x 是v( xd) y uP((xx)y Q( x)的解. dx 5
设 y u( x)e P( x)d x 是 d y P( x) y Q( x) 的解.
dx
y u( x)e P(x)d x u( x)[P( x)]e P(x)d x ,
将 y, y代入原方程得
P y f (x)
解此微分方程
y ed x C
2
xe
d
x
d
x
o
xx
Ce x 2 x 2, 由 y |x0 0, 得 C 2,
所求曲线为 y 2(e x x 1).
13
例4 求方程 y2 d x (x 2xy y2)d y 0 的通解.
分析：可变形为：d
d
y x
则原方程的通解为 y ( x2 C)esin x .
8
例2求解微分方程
dy dx
3y
e2x满足条件
y x0
0的特解.
解 这是一个一阶非齐次线性方程.
它对应的齐次方程为
d d
y x
3y
0，分离变量得：dyy
3d
x,
积分得：ln y 3x lnC, 即 y Ce3x .
再用常数变易法，把 C 换成新函数 u u(x)
x
x
解 (用常数变易法)
先求
y
1 x
y
0 的解，分离变量：d y y
dx x
,
两边积分ln y ln x lnC，得通解：y C
再用常数变易法求
y
1
y
sin
x
x
的解，
x
x
设 y u( x) 是原方程的解，则 y
将 y,
y代x入原方程：ux
x
2
u
1 x
ux
x2 u x
u， sin x
x
1 dP P
1 d x，即ln P x
ln
x ln C1
P C1 , 即 d y C1 ， x dx x
两端积分,得 y C1 ln x C2，
原方程通解为 y C1 ln x C2 .
19
(3) y f ( y, y) 型
特点： 不显含自变量 x.
解法：
令 y P( y),
例1 求方程 y sin x的通解.
解 y sin x d x cos x C1
y (cos x C1)d x sin x C1 x C2
y
( sin
x
C1 x
C2 ) d
x
cos
x
1 2
C1
x2
C2
x
C3
所以原方程通解为
y
cos
x
1 2
C1
x
2
C
2
x
C
3
.
17
(2) y f ( x, y)型
dx
讨论
dy y
Q( x)
y
P(
x)
d
x,
两边积分
ln
y
Q( x) y
d
x
P(
x)d
x,
设
Q( x) d x为v( x), y
ln y v(x) P(x)d x,
e 即 y v( x)e P( x)d x . 非齐次方程通解形式.
与齐次方程通解相比: Cu( x)
y Ce P(x)d x
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定 函数的方法.叫常数变易法. 实质: 未知函数的变量代换.
7
例1求解微分方程 y y cos x 2xesin x . 解 这是一个一阶非齐次线性方程.
它对应的齐次方程为 y y cos x 0,
分离变量得：d y cos x d x, 积分得：ln y sin x lnC, y
即令 y ue3x , 则 y ue3x 3ue3x ,
代入原方程并整理得 u e x , 所以 u e x C ,
则原方程的通解为 y (e x C )e3x , 又 y x0 0,
则得C 1, 于是所求特解为 y e2x e3x .
9
例3 求方程 y 1 y sin x的通解.
dx
dx dx
于是 d u u 1， d u d x， ln(u 1) x lnC,
dx
u1
u 1 ex， 即它的通解为：y Cex x 1. C 若将该方程变形为：d y y x，
dx
这是一个一阶线性微分方程.
2
6-2 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程的标准形式:
1.定义：d y P(x) y Q(x) 或 y P(x) y Q(x)
dx 特点：它是关于 y, y的一次方程. Q(x)：自由项.
例如 d y y x2, d x x sint t2, 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
当Q(x) 0, d y P(x) y 0称为一阶线性齐次方程.
dx 当Q(x) 0, d y P( x) y Q( x)称为一阶线性非齐次方程.
6
y u( x)e P( x)d x
积分得 u( x) Q( x)e P(x)dx d x C,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dx d x C] e P( x)d x
Ce P( x)d x e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x
非齐次特解
22
▲可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x)型 解法：接连积分 n 次，得通解．
(2) y f ( x, y)型 特点：不显含未知函数 y.
解法： 令 y P( x), y P( x) d P ,
代入原方程,得 P f ( x, P( x)). d x
(3) y f ( y, y) 型 特点：不显含自变量 x.
Ce
P(
x)d
x
,
2.将上式中的常数 C 变为函数 u(x)
3.代入原方程 (非齐次方程) 求出 u( x),
4.得非齐次方程的通解：y u( x)e P( x)d x
即 y Ce P( x)d x e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x
则一阶线性微分方程的解法有： 要求大家熟练掌握
即 y Cesin x . 再用常数变易法， 把 C 换成新函数u u(x)， 即令 y uesin x为原方程的解,
则 y uesin x uesin x cos x. 代入原方程得
uesin x uesin x cos x uesin x cos x 2xesin x ,
整理得 u 2x, 积分得 u( x) x2 C ,
dx
2.线性非齐次方程 d y P(x) y Q(x). dx
常数变易法：令 y u( x)e P( x)d x
通解为: y e P(x)d x[ Q( x)e P(x)d x d x C]
Ce P( x)d x e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x
齐次通解
e e1xPd(xxd)d
x
x
CQ (
x
)e
P一 程( x阶的)d x线解d性法x 方:
eln x sin x eln x d x C
x
1.常数变易法 2.公式法
1 x
sin x d x C
1 cos x C .
x
11
常数变易法的求解步骤：
1.求出相应的齐次方程的通解
y
x
y2 2xy
y2
,它不是线性方程.
设想： 把x当成函数，把y当成自变量.
解 原方程可变为：d x 1 2 y x 1
d y y2
这是关于未知函数x x( y)的一阶线性方程.
P(
y)
1
2 y2
y
,
Q(
y)
1代入公式：
x
e
12 y2
y
d
y
[C
e
12 y2
y
d
y
1d
y]
1
y 2e y (C
1
e y)
1
所以所求通解为：x y2(1 Ce y ). 14
三、贝努利 (Bernoulli) 方程
1.定义：形如 d y P(x) y Q(x) yn (n 0,1)的方程.
dx
2.解法：变形为
yn
d d
y x
P(
x)
y1n
Q(
x)，
令z y1n，从而有
d z (1 n) yn d y , yn d y 1 d z ,
2P
0
,
由 1 d P 2 d y， Py
可得
P
C1
y2,
d d
y x
C1
y2,
dy y2
C1
d
x,
1 y C1x C2.
所以原方程通解为 y 1 . C1x C2
21
小结
▲一阶线性方程 y P( x) y Q( x) 1.齐次方程 d y P( x) y 0的通解为：y Ce . P(x)d x
dx 3
二、一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 d y P(x) y 0. dx
(使用分离变量法)
d y P(x)d x, y
dy y
P(
x)d
x,
ln y P(x)d x lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)d x .