浅谈常见函数的导函数证明及推导

浅谈常见函数的导函数证明及推导

西南大学数学与统计学院 彭兵

【摘要】：随着新课程的改革，导数及其应用这一节凸显了其作用，利用导数知识研究函数、不等式的证明、数列求和等问题是高考中最常见的，占每年高考数学试卷总分的20%左右。但导数这一章又是最难学的知识点之一，让很多一线教师表示很无奈。据笔者观察，大部分老师在第二节“几种常见函数的导数”的教学中，只是要求学生背住这几个公式即可，没有深入去探讨去讲解这几种导函数的本质，证明过程肯定也是省略掉了。但笔者认为，这恰好失去了一次引导学生，培养学生发散思维能力的机会。笔者通过自己对教材的理解，谈一谈对常用函数的导函数证明及推导。

【关键词】常见函数 导函数 证明 引导

导数的重要性正如本章的导言中所说的: “……，它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑……”。而在高中教学中，由于其应用的广泛性，导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具，并且在许多问题上起到居高临下和以简驭繁的作用。]

1[变化率是数学史上一个重要的转折, 由此数学发展到了变量数学的新阶段, 开辟了数学研究的崭新天地。 这一节知识点是近年来高考命题的热点之一, 这部分内容可以加强对考生由有限到无限的辩证思想的教育,使考生能以导数为工具研究函数的变化率, 为解决函数的极值问题提供有效的途径及更简便的手段, 加强对函数的深刻理解和直观认识, 同时为解决几何问题提供新的方法, 从而使学生掌握一种科学的语言和工具, 学习一种理性的思维模式。学好这部分内容是十分重要的。

一、准确把握导函数的背景和概念

1、教学背景

高中导数教学中，对导数的介绍比较抽象，仅仅是一种极限思想的应用，具体的表达式是

()()()x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆0

'lim

，这与之前所学到的知识和内容有很差距，所以这也就要求

教师在教学的过程中可以适当地结合实际问题，以实际问题为背景，在不断变化，充分体会导数的概念和内涵，这样也可以收到很好的效果。 2、导数的几何意义

函数()x f y =在点0x 的导数的几何意义就是表示了函数曲线在点()000,y x p 处的斜率。 利用导数的几何意义求曲线切线斜率是高考的热点。所以导数的几何意义可以看做是教学工作的重点和难点，学生需要充分理解导数的概念和意义，才能在此基础上深刻理解导数的几何意义，理解导数的内涵，为导数以后的学习打下良好的基础。

二、导数在高考中的运用

1、导数体现在函数问题中

导函数是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。利用导数方法分析函数的性质是一种重要的手段。在分析函数图像、判断函数的单调性、求解函数的最值等方面，采用导数方法使得复杂问题简单化、程序化。 2、导数体现在不等式的证明问题中 不等式的证明是高考中的一个难点，当我们遇到常规方法很难直接证明的不等式问题时，就可以利用导数这一工具绕过这些障碍。利用导数证明不等式，要考虑构造新的函数，将不等式复杂的问题转化成求新函数的单调性或最值问题。 3、导数体现在数列问题中

数列可以看成是特殊的函数，联想求导公式构造相关的函数式，来达到问题的解决，体现出用导数法解决有关初等数学的优越性。应用导数知识处理数列问题会更加简单、便捷．

三、常见函数的导函数的推导及证明

① 常数()C x f =

()呢？

那么它的导数是怎样的也是一种特殊的函数，常数C x f = 显而易见，()C x f =是一条平行于x 轴的直线，所以该函数处处的切线都是平行于x 轴的，故斜率为0.即它的导数处处为0.根据定义，有：()00lim lim lim

000'

=∆=∆-=∆∆=→∆→∆→∆x

x c c x y x f x x x 。

② ()()Q ∈=n x x f n

在高中阶段，这一类函数用的特别多，但利用高中所学的知识，是还能完整的证明的。但我

们把其中的n 特殊化，当成正整数来看的话，我们是可以证明的。 根据定义：

()()()()()111110

1112232221100

1

112232221100

1

112232221100112222221100000'1lim lim 0,0lim lim lim lim lim lim

-----→∆-------→∆-------→∆-------→∆------→∆→∆→∆→∆-===+∆++∆+∆+∆∆→∆+∆++∆+∆+∆=∆-++∆++∆+∆+∆=∆-+∆+∆++∆+∆+∆=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=n n n n n n n x n n n n n n n n n n n n x n n n n n n n n n n n n x n n n n n n n n n n n n n n n n x n

n n n n n n n n n n n n n n n x n

n

x x x x n x C x C x C x x C x x C x x C x C x x x C x x C x x C x x C x C x

x x C x C x x C x x C x x C x C x

x x C x x C x x C x x C x x C x C x

x x x x

x f x x f x y x f ，故

的均趋于所以上式中含有由于

评注:上面的证明过程对于高中生来说，是可以理解并掌握的。运用二项式定理展开后再证明，化原式为1221

1

)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x

C ，当Δx →0时，其极限为1

1-n n

x C ，即1-n nx .在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求()n

a x y +=的