浅谈常见函数的导函数证明及推导
几种常见函数的导数
§ 3.2 几种常见函数的导数课时安排1课时从容说课本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是xx x x x x f x x f nn ∆-∆+=∆-∆+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-⋅+-+-=-- ，1112110)1()1(------++-⋅-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim0=→∆xx x ，根据学生的情况可以补充证明.第五课时课 题§ 3.2 几种常见函数的导数教学目标一、教学知识点1.公式1 C ′=0(C 为常数)2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )3.公式3 (sin x )′=cos x4.公式4 (cos x )′=-sin x5.变化率二、能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.三、德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力.教学重点四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y =C (C 是常数)，求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=C ，∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,xy ∆∆=0. y ′=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=x n ,∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x nn n n n n n n n n x x C x x C x x C x -∆⋅++∆+∆+=--)()(22211n n n n n n n x C x x C x x C )()(22211∆⋅++∆+∆=--12211)(---∆++∆+=∆∆n n n n n n n x C x x C x C xy ∴y ′=(x n )′1111221100)(lim lim -----→∆→∆==∆++∆+=∆∆=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：Δy =(x +Δx )-n -x -nnn n n n n n n n n n n n n n n n n nn nn nn x x x x C x x C x C x y x x x x C x x C x C x x x x x x x x x )()()()()()()(1)(11221122211∆+∆++∆+-=∆∆∆+∆++∆+-=∆+∆+-=-∆+=----- ∴xy y x ∆∆='→∆0lim n n n n n n n n n n n n n x x x xC xx x x C x x C x C ⋅-=∆+∆++∆+-=----→∆11122110])()([lim=-nx -n -1.∴y ′=-nx -n -1.※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)［学生板演］［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴xy y x ∆∆='→∆0lim x x x x x xx x x x x xx x x x xxx x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim22002000+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=∆-∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆ =-2sin x ·1·0+cos x =cos x .∴y ′=cos x .［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x=2cos(x +2x ∆)sin 2x ∆，xx y ∆=∆∆22, ∴xy y x ∆∆='→∆0lim 22sin lim )2cos(lim 22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2lim 0000xx x x xx x x xx x x x x x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆∆+=→∆→∆→∆→∆ =cos x .∴y ′=cos x .(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)※5.y =cos x ,求y ′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )-cos x=cos x cos Δx -sin x sin Δx -cos x ,x x x x x x x yy x x ∆-∆-∆=∆∆='→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00 1sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim2200200⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆x x x x x xx x x x x xxx x x x x x x =-2cos x ·1·0-sin x =-sin x ,∴y ′=-sin x .［生乙］解：x x x x x ∆-∆+→∆cos )cos(lim22sin )2sin(lim 22lim 00xx x x xx x ∆∆∆+-=∆=→∆→∆ =-sin x ,∴y ′=-sin x .［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1 C ′=0(C 是常数)公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3 (sin x )′=cos x公式4 (cos x )′=-sin x(二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:(1)(x 3)′；(2)(21x )′;(3)(x )′. ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3-1=3x 2.(2)解：3122222)()1(----=-='='x x x x. (3)解：xx x x x 212121)()(2112121==='='--. (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)(三)变化率举例［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t )，瞬时速度v =s′(t ).［板书］物体按s=s(t )作直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s′(t 0).v 0=s′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.［生］例如角速度、电流等.［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.解：C =Q ′(T ),即热容量为Q ′(T )J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？［生］比热容是v1Q ′(T ) J/(kg·K).图3-9［例2］如图3-9，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.解：时刻t 时，∵角速度为1 rad/s,∴∠POA=1·t =t rad.∴∠MPO =∠POA =t rad.∴OM =OP ·sin ∠MPO =10·sin t .∴点M 的运动方程为y =10sin t .∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t ，即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y =x 5;(2)y =x 6;(3)x =sin t ;(4)u =cos φ. ［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4.［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5.［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t .［生］(4)u ′=(cos φ)′=-sin φ.2.求下列函数的导数.(1)31xy =;(2)3x y =. (1)解：y ′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)解：321313133131)()(--==''='x x x x y . 3.质点的运动方程是s=t 3(s 单位：m ,t 单位：s),求质点在t =3时的速度.解：v =s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2,当t =3时，v =3×32=27(m/s),∴质点在t =3时的速度为27 m/s.4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=221gt (s 单位：m ,t 单位：s,g =9.8 m/s 2),求t =3时的速度.解：gt t g gt t s v =⋅==='=-122221)21()(, 当t =3时，v =g·3=9.8×3=29.4(m/s),∴t =3时的速度为29.4 m/s.［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf (x )］′=Cf ′(x )(C 是常数).这由极限的知识可以证得.xx f x x f C x x Cf x x Cf x Cf x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆)()(lim )()(lim ])([00=Cf ′(x ). 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4-1=4x 3.∴y ′|x =2=4×23=32.∴点P (2，16)处的切线方程为y -16=32(x -2),即32x -y -48=0.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n -1(n ∈R),③(sin x )′=cos x ,④(cos x )′=-sin x )以及变化率的概念:v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.Ⅴ.课后作业(一)课本P 116习题3.2 2，4，5.(二)1.预习内容：课本P 118~119和(或差)、积的导数.2.预习提纲：(1)和(或差)的导数公式、证明过程.(2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.板书设计§ 3.2 几种常见函数的导数公式1C ′=0(C 为常数)公式2(x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3(sin x )′=cos x公式4(cos x )′=-sin xv 0=s ′(t 0)是位移s 在t 0对时间t 的变化率.函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.1.y =C (C 是常数),求y ′.2.y =x n (n ∈N *),求y ′.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.4.y =sin x ,求y ′.(两种方法)5.y =cos x ,求y ′.(两种方法) 课本例题(1)(x 3)′;(2)(21x)′;(3)(x )′. 例1.已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(Q 单位:J ，T 单位:K)，求热量对温度的变化率C (热容量).例2.质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.课堂练习1.(口答)(1)(x 5)′;(2)(x 6)′;(3)(sin t )′；(4)(cos φ)′.2.(1) )1(3'x;(2)(3x )′. 3.质点运动方程是s=t 3，求t =3时的速度.4.221gt s =,求t =3时的速度. 5.求曲线y =x 4在P (2，16)处的切线方程.课后作业。
导数的基本公式推导过程
导数的基本公式推导过程导数是日常生活中许多重要的概念，具有重大的应用价值。
它是求解微积分过程中一个重要的参数，他可以使我们求解一些复杂的数学问题变得更加容易。
此外，导数也广泛用于物理模型的建立中，它可以帮助我们更好地理解和分析实验结果。
一般而言，导数是一个函数的变化率，它可以反映出函数的变化速度，以及函数的变化程度。
而计算出导数的基本公式则是找到函数的变化率的关键，有了这个公式，我们就可以计算出更加准确的导数值了。
那么，具体来说，导函数的基本公式推导过程是下面这样的：首先，根据反比例函数的定义，求出反比例函数的导数的基本公式：设定一个反比例函数 f(x)=ax，其中a为常数。
当x发生变化时，f(x)的变化量Δf(x)也随之发生变化。
这时，Δf(x)可以用下面的式子表示：Δf(x)=f(x+Δx)-f(x)=a(x+Δx)-ax=aΔx将Δf(x)表示为Δx的函数，即Δf(x)＝aΔx可以求出反比例函数f(x)=ax的导数为：f′(x)＝a接着，根据一次函数的定义，求出一次函数的导数的基本公式：设定一个一次函数 f(x)=ax+b，其中a为常数而b为变数。
当x发生变化时，f(x)的变化量Δf(x)也随之发生变化。
这时，Δf(x)可以用下面的式子表示：Δf(x)=f(x+Δx)-f(x)=(ax+b)-(ax)=bΔx将Δf(x)表示为Δx的函数，即Δf(x)=bΔx可以求出一次函数f(x)=ax+b的导数为：f′(x)=a最后，根据幂函数的定义，求出幂函数的导数的基本公式：设定一个幂函数f(x)=xn，其中n为正数。
当x发生变化时，f(x)的变化量Δf(x)也随之发生变化。
这时，Δf(x)可以用下面的式子表示：Δf(x)=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)n-xn=n(x+Δx)n-1Δx将Δf(x)表示为Δx的函数，即Δf(x)=n(x+Δx)n-1Δx可以求出幂函数f(x)=xn的导数为：f′(x)=nxn-1上面就是推出反比例函数、一次函数和幂函数的导数基本公式的推导过程，也就是导数的基本公式的推导过程。
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
导数的运算法则:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
B
y k x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f(x1)
O
A x2-x1=△x x x1 x2
回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
lim
x 0
f ( x 0 x) f ( x 0) x
lim
x 0
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
例6:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
基本初等函数 的导数公式及导数的运算法则
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
回顾
y x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y
比值反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．
Y=f(x)
②割线的斜率
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
16个基本导数公式推导过程
16个基本导数公式推导过程推导过程如下：1.常数函数：f(x)=c求导结果：f'(x)=0。
证明过程：由导数定义可得，当函数为常数时，无论x取任何值，函数的增量都为0，即f(x + Δx) - f(x) = 0。
所以，f'(x) =lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。
2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为正整数。
求导结果：f'(x) = nx^(n-1)。
证明过程：利用定义求导。
计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x) = x^n的差值，然后除以Δx，当Δx趋于0时求极限。
利用二项式展开，可以得出f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数：f(x)=e^x。
求导结果：f'(x)=e^x。
证明过程：由指数函数的性质可知，e^0 = 1，且(d(e^x)/dx) = e^x。
因此，可以据此推导出f'(x) = e^x。
4. 对数函数：f(x) = ln(x)。
求导结果：f'(x)=1/x。
证明过程：由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx。
利用对数的性质，将差值化简为ln((x + Δx)/x)，再除以Δx并取极限，最终得出f'(x) = 1/x。
5. 正弦函数：f(x) = sin(x)。
求导结果：f'(x) = cos(x)。
证明过程：利用极限定义求导。
计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x + Δx) - sin(x)，然后除以Δx并取极限。
应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。
6. 余弦函数：f(x) = cos(x)。
求导结果：f'(x) = -sin(x)。
证明过程：同样应用极限定义。
计算f(x + Δx) - f(x) = cos(x + Δx) - cos(x)，然后除以Δx并取极限。
基本初等函数导数公式推导过程
基本初等函数导数公式推导过程数学中，可以将函数比喻成一种机器，它能将输入变量的值映射到另一种值，这种从输入到输出的映射称之为函数。
并且，可以将函数的行为比喻为沿着某条路径转动，而这个路径就是所谓的函数曲线，它可以用来描述函数的变化情况。
其中，在数学中，有一种重要的概念叫做“导数”。
导数为一函数在某点的导函数表征，它可以用来描述函数的变化率，甚至是函数的优化情况。
举例来说，当你想要求解一个最小点，使用导数就可以找到解决方案，因为它可以有效地描述函数的增减特征，从而快速求得最优解。
以下，就以基本初等函数的导数为例，探讨它们的导数计算公式推导过程。
首先，我们介绍几种基本初等函数及它们的导数：- 一次函数 y = ax+b 导数为：dy/dx = a- 二次函数 y = ax2+bx+c 导数为：dy/dx = 2ax+b-数函数 y = ax 导数为：dy/dx = a ln(a)-数函数 y = logax 导数为：dy/dx = x1/ loga其次，我们开始讨论对这些基本初等函数求导数的公式推导过程：1. 一次函数的导数：由于一次函数的形式只有一个变量，即x，所以要求得它的导数，即dy/dx，我们可以令x增加一个很小的量Δx，求出函数的变化量Δy，然后除以Δx，形成的比值即为导数的值，即dy/dx。
例如，有函数 y = 2x+3，此时x增加一个很小的量Δx，函数的值变化量Δy = 2Δx+3，那么，此时函数的导数就是dy/dx = 2Δx/Δx = 2.因此，一次函数的导数公式就是 dy/dx = a，其中a为函数的系数。
2. 二次函数的导数：由于二次函数的形式有两个变量，即x和x2，所以要求得它的导数，同样也可以令x增加一个很小的量Δx，求出函数的变化量Δy，然后除以Δx，形成的比值即为导数的值，即dy/dx。
例如，有函数 y = 3x2+2x+3，此时x增加一个很小的量Δx，函数的值变化量Δy = 3(x+Δx)2+2(x+Δx)+3 - 3x2 - 2x - 3 = 2(x+Δx)+3 - 2x - 3 = 2Δx+3，那么，此时函数的导数就是dy/dx = 2Δx/Δx = 2.因此，二次函数的导数公式就是 dy/dx = 2ax+b，其中a和b 分别为二次函数的系数。
导数
导数导数导数------------------------------------------------------------- 1 导数定义 --------------------------------------------------- 3 导数的起源 ------------------------------------------------ 4 导数的几何意义 ------------------------------------------ 4 微积分 ------------------------------------------------------ 5 求导数的方法 --------------------------------------------- 6 导数公式及证明 ------------------------------------------ 7 单调性 ---------------------------------------------------- 10 函数的极值 ---------------------------------------------- 10 求极值 ---------------------------------------------------- 10 函数的最值 ---------------------------------------------- 10 导数应用 ------------------------------------------------- 11 高阶导数 ------------------------------------------------- 11创建公式 ------------------------------------------------- 12导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
导数证明的基本方法与策略总结
导数证明的基本方法与策略总结导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数的计算和证明是必不可少的。
本文将总结导数证明的基本方法与策略，帮助读者更好地理解和应用导数概念。
一、定义法证明定义法是导数证明中最基本也是最常用的方法。
导数的定义为函数在某一点处的极限，即f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗。
基于该定义，我们可以通过极限的性质和运算法则，逐步推导出导数的具体形式。
以函数f(x) = x²为例，我们可以使用定义法证明其导数。
首先，根据导数的定义，计算差商：(f(x+Δx)-f(x))/Δx = ((x+Δx)²-x²)/Δx = (x²+2xΔx+Δx²-x²)/Δx化简得：(2x+Δx)/Δx = 2x+Δx/Δx当Δx→0时，上式的极限为2x。
因此，f'(x) = 2x，即导数为2x。
通过定义法，我们成功证明了函数f(x) = x²的导数为2x。
二、公式法证明公式法是导数证明的另一种常用方法。
对于一些常见的函数，我们可以利用已知的导数公式，快速推导出其他函数的导数。
以常数函数f(x) = c为例，其中c为常数。
显然，该函数在任意一点处变化率都为0。
因此，根据导数的定义，导数f'(x) =lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗= lim┬(Δx→0)(c-c)/Δx =lim┬(Δx→0)0 = 0。
根据公式法，我们推导出常数函数的导数为0。
三、初等函数法证明初等函数法是导数证明中的一种常见策略。
根据初等函数的定义和性质，我们可以运用代数和函数的操作法则，推导出复杂函数的导数。
以幂函数f(x) = xⁿ为例，其中n为整数。
我们可以通过利用幂函数的指数法则，推导出其导数的一般形式。
首先，利用指数法则可得：f'(x) = d/dx (xⁿ) = d/dx (x * x * ... * x) =xⁿ⁻¹ * 1 + xⁿ⁻¹ * 1 + ... + xⁿ⁻¹ * 1 = nxⁿ⁻¹通过初等函数法，我们求得了幂函数f(x) = xⁿ的导数为nxⁿ⁻¹。
ln的导函数公式
ln的导函数公式自然对数函数(ln)是一种常见的数学函数，其导函数公式在微积分中具有重要的应用。
本文将介绍ln函数的导函数公式及其推导过程。
ln函数的定义ln函数是以常数e为底的对数函数，通常表示为ln(x)，其中x为函数的自变量。
ln函数的定义域为正实数集合，即x>0。
ln函数的导数ln函数的导数表示为ln’(x)，即ln函数的对x的导数。
根据导数的定义，ln’(x)可以通过极限的方式进行推导。
定义ln函数为y=ln(x)，则可得到ln函数的导数如下：$$ ln'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{ln(x+h) - ln(x)}{h} $$利用ln函数的性质和极限的定义，可以进一步推导ln函数的导数公式。
ln函数的导函数公式根据导数的定义和ln函数的特性，可以得到ln函数的导函数公式如下：$$ ln'(x) = \\frac{1}{x} $$这就是ln函数的导函数公式。
其含义是：ln函数在任意点x处的导数等于1除以x。
推导过程为了更好地理解ln函数的导数公式，可以通过一定的推导过程来验证导函数的正确性。
这里给出ln’(x) = 1/x 的推导过程：1.定义ln函数为y=ln(x)。
2.计算ln(x+h) 和 ln(x) 的差值：$$ ln(x+h) - ln(x) = ln(\\frac{x+h}{x}) = ln(1+\\frac{h}{x}) $$3.根据ln函数的特性，可以展开ln(1+h)为其泰勒级数展开式：$$ ln(1+h) = h - \\frac{h^2}{2} + \\frac{h^3}{3} -\\frac{h^4}{4} + \\ldots $$4.将展开式中的h替换为h/x，并应用极限的定义，得到ln’(x)的计算公式：$$ ln'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{ln(x+h) - ln(x)}{h} =\\lim_{h \\to 0} \\frac{ln(1+\\frac{h}{x})}{h} = \\frac{1}{x} $$5.故得到ln函数的导函数公式为ln’(x) = 1/x。
函数的导数与导函数
函数的导数与导函数在数学中，函数的导数是研究函数变化率的重要概念。
导数可以对函数进行局部线性逼近，并给出了函数在某一点处的切线斜率。
而导函数则是将整个函数映射成一个新的函数，描述了函数在每个点的变化率。
一、导数的定义与性质函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中h表示一个极限过程，表示x的变化量趋向于0。
导数可以理解为函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数具有以下几个主要的性质：1. 线性性质：若f(x)和g(x)都是可导函数，k为常数，则有(cf(x))' = cf'(x)和(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)。
2. 乘积法则：若f(x)和g(x)都是可导函数，则有(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
3. 商法则：若f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，则有(f(x)/g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
二、导函数的定义与应用导函数是将整个函数映射成一个新的函数，描述了函数在每个点的变化率。
如果函数f(x)在定义域内每一点都可导，那么导函数就是这个函数的导数。
将函数的导数以函数形式表示，可得到导函数。
导函数常用记号为f'(x)、dy/dx或y'，其中y表示原函数。
通过求导可以解决许多问题，包括但不限于以下几个方面：1. 极值点：函数在极值点的导数为0。
通过求导可确定函数的极大值和极小值。
2. 切线与法线：导数可以告诉我们函数在某一点的切线斜率，进而绘制切线方程。
切线斜率的负倒数即为法线斜率。
3. 凹凸性：函数在凹凸点的导数存在变号。
导数的正负可以确定函数的凹凸性质。
符合导数为正的区间为凸区间，导数为负的区间为凹区间。
基本初等函数导数公式推导过程
基本初等函数导数公式推导过程初等函数导数公式是微积分的基础，被广泛应用于物理、数学、化学等学科的研究和实践中。
对于不同的函数，其导数公式也各不相同，如一元函数、二元函数、多元函数等。
本文将从定义、基本准则以及特殊函数等方面来探讨基本初等函数导数公式的推导过程。
首先，我们来看一下函数的导数的定义。
函数的导数指的是函数的变化率，也就是函数在给定点处的斜率。
考虑函数f(x)在某一点x0处的导数，它可以由f(x)的定义域内的x与x0的变化量Δx的比值定义。
也就是，当Δx的取值趋近于0时，就可以将函数f(x)的导数表示为：f(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx我们还需要熟悉基本初等函数导数公式的推导准则，其中有三条基本原则：1、连加性原则：若f（x）=u（x）+v（x），则f（x）=u（x）+v （x）；2、连乘性原则：若f（x）=u（x）* v（x），则f（x）=u（x）* v（x）+ u（x）* v（x）；3、链式法则：若y=f（x），则y＝f（x）* x，其中x=1。
这三条基本准则可以帮助我们有效地推导各种复杂的基本初等函数的导数公式。
下面我们将重点讨论一元函数的导数公式推导过程。
首先，我们需要了解一些基本的一元函数，如常数函数、线性函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数等等。
对于常数函数f(x)=c，其导数f(x)=0。
这一特性可以根据定义以及连加性原则很容易证明。
而线性函数f(x)=ax+b的导数，则可以由定义以及连乘性原则得出f(x)=a。
这一公式无论何时都适用。
而关于二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数，也可以通过连乘性原则来推导。
利用定义重新表示二次函数，可以写成f(x)=u(x)v(x)，其中u(x)=ax，v(x)=x+b/a。
根据连乘性原则，则可以得到f(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)=ax+b。
对于幂函数f(x)=xn，其导数f(x)=nxn-1。
高中数学三角函数的常用公式及推导方法
高中数学三角函数的常用公式及推导方法三角函数是高中数学中的重要内容，它在几何、物理等领域中有广泛的应用。
掌握三角函数的常用公式和推导方法，对于解题和理解数学概念都非常重要。
本文将介绍高中数学中常见的三角函数公式，并通过具体的题目来说明其考点和解题技巧。
一、正弦函数和余弦函数的常用公式及推导方法1. 正弦函数的常用公式：a) 余弦函数的平方与正弦函数的平方的和等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。
b) 正弦函数的奇偶性：sin(-θ) = -sinθ，即正弦函数是奇函数。
c) 正弦函数的周期性：sin(θ+2π) = sinθ，即正弦函数的周期为2π。
2. 余弦函数的常用公式：a) 余弦函数的奇偶性：cos(-θ) = cosθ，即余弦函数是偶函数。
b) 余弦函数的周期性：cos(θ+2π) = cosθ，即余弦函数的周期为2π。
通过以下题目来说明正弦函数和余弦函数的应用和推导方法：例题1：已知角A为锐角，且sinA = 3/5，求cosA的值。
解析：根据正弦函数的定义可知，sinA = 对边/斜边= 3/5。
根据勾股定理可得，邻边为4，斜边为5。
由此可得cosA = 邻边/斜边 = 4/5。
例题2：已知角θ的终边与x轴的夹角为α，且sinα = 1/2，求sin(θ+π/2)的值。
解析：根据正弦函数的周期性可知，sin(θ+π/2) = sinθ。
又因为sinα = 1/2，根据三角函数的定义可知，邻边为1，斜边为2。
由此可得sin(θ+π/2) = sinθ = 邻边/斜边= 1/2。
二、正切函数和余切函数的常用公式及推导方法1. 正切函数的常用公式：a) 正切函数的定义：tanθ = 正弦函数/余弦函数= sinθ/cosθ。
b) 正切函数的奇偶性：tan(-θ) = -tanθ，即正切函数是奇函数。
c) 正切函数的周期性：tan(θ+π) = tanθ，即正切函数的周期为π。
2. 余切函数的常用公式：a) 余切函数的定义：cotθ = 余弦函数/正弦函数= cosθ/sinθ。
导数的公式及证明
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀： 常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3． 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。 所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x。 也可以进一步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。 这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。 对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y>0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率 上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。 x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值。
导数常用的一些技巧和结论
导数常用的一些技巧和结论导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，常常需要用到导数的一些技巧和结论来求解具体问题。
下面介绍一些常用的导数技巧和结论。
一、常数规则和幂规则1.常数规则：如果f(x)是一个常数，那么f'(x)=0。
2. 幂规则：对于任意实数n，如果f(x)=x^n，那么f'(x)=nx^(n-1)。
特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1二、和差规则和乘积规则1.和差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)和(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
2.乘积规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
三、商规则和复合函数规则1.商规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^22.复合函数规则：如果h(x)=f(g(x))，且f(x)和g(x)都是可导函数，那么h'(x)=f'(g(x))g'(x)。
四、链式法则和反函数的导数1. 链式法则：如果y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，那么y=f(g(x))的导数为dy/dx = f'(g(x))g'(x)。
2.反函数的导数：如果y=f(x)在区间I上可导，且f'(x)≠0，则它的反函数x=f^(-1)(y)在对应的区间f(I)上可导，且有[f^(-1)(y)]'=1/[f'(f^(-1)(y))]。
五、隐函数的导数和参数方程的导数1. 隐函数的导数：如果方程F(x, y) = 0确定了一个隐函数y=f(x)，那么这个函数的导数可以通过求解dy/dx = -F_x/F_y来得到，其中F_x表示对x求偏导，F_y表示对y求偏导。
常见函数的导数1,2
s inx lim 1. x0 x
要证明这个公式, 必须用到一个常用极限.
证 : y f ( x ) s x , i y f n ( x x ) f ( x ) sx i x ) n s x i (
x x
2coxs( )sin ,
22
y2coxs( 2x)s
说明
1.某点的导数与导函数的异同点.
导函数指f(x)在开区间(a,b)内每一点处都 可导，而开区间(a,b)内每一个确定的值x0都对 应着一个确定的 f′(x0), 它们构成了一个新的 函数，就是导函数，简称导数。
函数的导数，是对某一区间内任意点而言 的，也就是导函数。求函数在一点处的导数， 一般是先求 f′(x),再求 f'(x0)f'(x)xx0
练习 1 .求下列函数的导数：
1 ) y x sin x cos x 22
2)y x(x2 1 1 ) x x3
3 ) y （ x 1 )( 1 1 ) x
4)y x5
x sin x x2
练习
2.下列函数在点x=0处没有切线的是( D )
(A)y=x3+sinx
( 2 )s ( t) t3 1 2 t2 3 2 t,令 s ( t) 0 , 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例2 已知曲线S1:y=x2与S2:y= -(x-2)2,若直线l 与S1,S2 均相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1,y2x,则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2,y2(x2)与, S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.② 因为两切线重合, 2x 1x 1 2 2(xx 2 22 42) x x2 1 0 2或 x x1 2 2 0. 若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
三角函数公式大全及其推导方法
三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义由此，我们定义：如Figure I, 在ΔABC 中sin () cos () tan ()11 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c ac ba ab b ac a a cc b b cθθθθθθθθθθθθθθθ∠=∠=∠=∠===∠===∠===对边的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。
在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。
2. 额外的定义222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ===Ac b θC a B Figure I3. 简便计算公式22sin cos cos(90)cos sin sin(90)111tan tan tan(90)sin cos 1bA c cA b b a a A bθθθθθθθθ===-∠===-∠====-∠+= 证明：2222222222901sin sin 1sin cos 1ABC ABC a b c a b c cB A θθ∆∠=∴+=∴+=∴+=∴+=在中,证完222222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a cθθθθθθθθθ===+=+=4. 任意三角形的面积公式如Figure II ,Ca b hd eFigure II121sin 21sin ()2ABC S ah ab C ac B ∆===两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。
证明： 如Figure II,2222222222222222222222(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c Ba ac B c B B a c ac Bb ac a c b B ac ac=+=-+=-++-++=+---+-⇒==-证完6. 海伦公式 证明： 如Figure II ,1sin 212121212ABC S ab C ∆=========2ABC a b c s S ∆===++=设：7. 正弦定理如 Figure III ,c 为ΔABC 外接圆的直径,sin 2 sin a A cac r r ABC A =∴==∆（为的外接圆半径）同理：, sin sin 2sin sin sin b c c c B Ca b c r A BC ==∴===Figure III8. 加法定理(1)两角差的余弦如 Figure IV,AOC BOC AOB αβαβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠令AO=BO=r点A 的横坐标为cos A x r α= 点A 的纵坐标为sin A y r α= 点B 的横坐标为cos B x r β= 点B 的纵坐标为sin B y r β=()()()()()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦Figure IV由余弦公式可得：()()()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACBr r r r r r r r αβαβαβαβ=+-⋅∠=++⋅-=+-=--⎡⎤⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+ (2)两角和的余弦 ()()()()cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+=--⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(3)两角和的正弦()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβαβ+=︒-+⎡⎤⎣⎦=︒--⎡⎤⎣⎦=︒-+︒-=+(4)两角差的正弦 ()()()()sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(5)两角和的正切()()()sin tan cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββαβααβαβαβαβ++=++=-+=-+=-+=-(6)两角差的正切()()()()tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦+-=---=+9. 两倍角公式()()()()()()()222222222222sin 2sin sin cos sin cos 2sin cos cos 2cos cos cos sin sin cos sin 12sin 2cos 1sin 2tan 2cos 22sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 1cos 2tan 1ta αααααααααααααααααααααααααααααααααααααα=+=+==+=-=-=-=-==-=-=-=-2n α10.积化和差公式()()()()1sin cos 2sin cos 21sin cos sin cos cos sin cos sin 21sin sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()1cos cos 2cos cos 21cos cos cos cos sin sin sin sin 21cos cos 21sin sin 2sin sin 21sin sin sin sin cos cos cos cos 21cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦==++-=+--⎡⎤⎣⎦ 11.和差化积公式(1)设：A=α+β, B=α-β,()()()()sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos 222sin cos 22sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos si A B A B A B A B αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+=++-=++-=++-+--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+--=+-+=n 2cos sin 222cos sin 22A B A B βαβαβαβαβ++-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)设：cos sin αα==∵22cos sin 1αα+=()()sin sin cos cos sin sin cos sin sin b a θθθθαθαθαθ+=+=+=+12.其他常用公式()()()()()()()()()()()()()()000sin 360sin cos 360cos tan 360tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 180sin cos 180cos n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+⨯=+⨯=+⨯=︒-=︒-=︒-=︒+=︒+=-︒+=--︒=--︒=-︒=-︒-=︒-=-()()()()()()()()tan 180tan sin 180sin cos 180cos tan 180tan sin sin cos cos tan tan tan 2190 1cos 1cos 11sin 1sin 1n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ︒-=-±︒=-±︒=-±︒=-=--=-=-+⨯︒⎡⎤⎣⎦-≤≤⇒≤-≤≤⇒≤不存在在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x 用弧度计算()()1357210246sin 1!3!5!7!21!cos 0!2!4!6!2!n n nn x x x x x x n x x x x x x n +=∞=∞=-+-+=+=-+-+=∑∑推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数*表示乘号，/表示除号定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=a^[log(a)(N)]a=b^[log(b)(a)]综合两式可得N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）推导如下由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下:由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*( n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
基本初等函数导数推导
基本初等函数导数推导定义1：设函数 f(x) 在 x_{0} 附近有定义，对应自变量的改变量 \Delta x ，有函数的改变量 \Deltay=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) ，若极限 \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\Delta y}{\Delta x} 存在，则称该极限为f(x) 在 x_{0}的导数，记作 f'(x_{0}) 。
引理1(导数公式1):常数函数的导数处处为零。
证明：设 f(x)=C 。
f'(x)=\underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Deltax}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{C-C}{\Delta x}= \underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{0}{\Delta x}=0引理2：部分三角函数和差化积公式\sin\alpha-\sin\beta=\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin (\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))-(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos\alpha-\cos\beta=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))-(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})引理3：部分等价无穷小（1） \sin x\sim x(x\rightarrow 0)（2） e^{x}-1\sim x(x\rightarrow0)（3） \ln(1+x)\sim x(x\rightarrow0)（1）的证明略去，（2）（3）的证明见以下文章：引理4：导数的四则运算，设 u(x) 和 v(x) 可导。
导函数的证明过程
导函数的证明过程一阶导数的定义是函数在其中一点的变化率或斜率，即函数的导数。
对于一个函数f(x)，如果f(x)在其中一点x0处可导，则其导数表示为f'(x0)，可以使用以下定义来计算：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x0+h)-f(x0))/h〗其中h表示x的增量。
该定义说明当h趋近于0时，斜率逼近于切线。
1. 首先，我们需要确保函数在该点处存在极限。
也就是说，要证明f(x)在x0处可导，我们需要证明lim┬(h→0)〖(f(x0+h)-f(x0))/h〗存在。
2.接下来，我们可以通过运算和简化来计算导函数。
对于一些基本的函数，例如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，我们可以使用它们的性质和定义来计算导数。
3.对于复合函数，例如f(g(x))，我们可以使用链式法则来计算导数。
链式法则给出了复合函数导数的计算规则，即f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)。
4.在证明过程中，我们还需要注意使用极限法则和运算法则。
例如，常数乘法法则、加法法则等。
这些法则可以简化导数的计算过程。
5.最后，我们可以通过代入x0得到导数的值。
也就是说，通过将h趋近于0，计算得到f'(x0)的值。
除了基本的导数计算，还有一些特殊的函数需要特殊的证明过程。
例如，绝对值函数、阶乘函数等都需要特殊的技巧来计算导数。
总结来说，导函数的证明过程是通过对于给定函数的导数的计算和运算进行推导和证明。
在证明过程中，我们使用函数的性质、极限法则、运算法则和链式法则来计算导数，并通过代入x0得到导数的值。
正确的导函数证明过程需要严密的逻辑和数学推导，以确保结果的正确性。
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浅谈常见函数的导函数证明及推导西南大学数学与统计学院 彭兵【摘要】：随着新课程的改革，导数及其应用这一节凸显了其作用，利用导数知识研究函数、不等式的证明、数列求和等问题是高考中最常见的，占每年高考数学试卷总分的20%左右。
但导数这一章又是最难学的知识点之一，让很多一线教师表示很无奈。
据笔者观察，大部分老师在第二节“几种常见函数的导数”的教学中，只是要求学生背住这几个公式即可，没有深入去探讨去讲解这几种导函数的本质，证明过程肯定也是省略掉了。
但笔者认为，这恰好失去了一次引导学生，培养学生发散思维能力的机会。
笔者通过自己对教材的理解，谈一谈对常用函数的导函数证明及推导。
【关键词】常见函数 导函数 证明 引导导数的重要性正如本章的导言中所说的: “……，它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑……”。
而在高中教学中，由于其应用的广泛性，导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具，并且在许多问题上起到居高临下和以简驭繁的作用。
]1[变化率是数学史上一个重要的转折, 由此数学发展到了变量数学的新阶段, 开辟了数学研究的崭新天地。
这一节知识点是近年来高考命题的热点之一, 这部分内容可以加强对考生由有限到无限的辩证思想的教育,使考生能以导数为工具研究函数的变化率, 为解决函数的极值问题提供有效的途径及更简便的手段, 加强对函数的深刻理解和直观认识, 同时为解决几何问题提供新的方法, 从而使学生掌握一种科学的语言和工具, 学习一种理性的思维模式。
学好这部分内容是十分重要的。
一、准确把握导函数的背景和概念1、教学背景高中导数教学中，对导数的介绍比较抽象，仅仅是一种极限思想的应用，具体的表达式是()()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆0'lim，这与之前所学到的知识和内容有很差距，所以这也就要求教师在教学的过程中可以适当地结合实际问题，以实际问题为背景，在不断变化，充分体会导数的概念和内涵，这样也可以收到很好的效果。
2、导数的几何意义函数()x f y =在点0x 的导数的几何意义就是表示了函数曲线在点()000,y x p 处的斜率。
利用导数的几何意义求曲线切线斜率是高考的热点。
所以导数的几何意义可以看做是教学工作的重点和难点，学生需要充分理解导数的概念和意义，才能在此基础上深刻理解导数的几何意义，理解导数的内涵，为导数以后的学习打下良好的基础。
二、导数在高考中的运用1、导数体现在函数问题中导函数是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。
利用导数方法分析函数的性质是一种重要的手段。
在分析函数图像、判断函数的单调性、求解函数的最值等方面，采用导数方法使得复杂问题简单化、程序化。
2、导数体现在不等式的证明问题中 不等式的证明是高考中的一个难点，当我们遇到常规方法很难直接证明的不等式问题时，就可以利用导数这一工具绕过这些障碍。
利用导数证明不等式，要考虑构造新的函数，将不等式复杂的问题转化成求新函数的单调性或最值问题。
3、导数体现在数列问题中数列可以看成是特殊的函数，联想求导公式构造相关的函数式，来达到问题的解决，体现出用导数法解决有关初等数学的优越性。
应用导数知识处理数列问题会更加简单、便捷．三、常见函数的导函数的推导及证明① 常数()C x f =()呢？那么它的导数是怎样的也是一种特殊的函数，常数C x f = 显而易见，()C x f =是一条平行于x 轴的直线，所以该函数处处的切线都是平行于x 轴的，故斜率为0.即它的导数处处为0.根据定义，有：()00lim lim lim000'=∆=∆-=∆∆=→∆→∆→∆xx c c x y x f x x x 。
② ()()Q ∈=n x x f n在高中阶段，这一类函数用的特别多，但利用高中所学的知识，是还能完整的证明的。
但我们把其中的n 特殊化，当成正整数来看的话，我们是可以证明的。
根据定义：()()()()()111110111223222110011122322211001112232221100112222221100000'1lim lim 0,0lim lim lim lim lim lim-----→∆-------→∆-------→∆-------→∆------→∆→∆→∆→∆-===+∆++∆+∆+∆∆→∆+∆++∆+∆+∆=∆-++∆++∆+∆+∆=∆-+∆+∆++∆+∆+∆=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=n n n n n n n x n n n n n n n n n n n n x n n n n n n n n n n n n x n n n n n n n n n n n n n n n n x nn n n n n n n n n n n n n n n x nnx x x x n x C x C x C x x C x x C x x C x C x x x C x x C x x C x x C x C xx x C x C x x C x x C x x C x C xx x C x x C x x C x x C x x C x C xx x x xx f x x f x y x f ，故的均趋于所以上式中含有由于评注:上面的证明过程对于高中生来说，是可以理解并掌握的。
运用二项式定理展开后再证明，化原式为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C xC ，当Δx →0时，其极限为11-n nx C ，即1-n nx .在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求()na x y +=的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将()na x +展开，然后求导,y =(x -a )n =()n nn n n n n n n n n n na C xa C a x C a x C x C a x y ⋅+++++=+=----11222110 ，112110)1(----++-⋅+='n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新。
通过上述的证明，巧妙地运用了二项式定理，不仅让学生再次巩固了旧的知识点，也让学生体会到了数学的魅力。
在此之前，有的学生可能认为二项式定理只在排列组合中又运用，当老师把上述的证明展现在同学们面前时，便会打破学生的习惯性思维，引导学生灵活使用数学工具，这无疑是一次培养学生发散性思维的重要契机。
下面，笔者给出一个对于R ∈n 时的完整证明]3[()()()()()()()xx x x x x x x x x x xxx x xx xxx x xxx x x x x f x x f x y nn n nn nnnnnnnnn∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆∆--1111111提出一个记t x x n =-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+11，则()⎪⎭⎫⎝⎛∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=+x x n x x t n1ln 1ln 1ln ，且当()()()()()()()()10'00111lim ,11ln lim ,11ln lim 1ln 1ln 1ln 1ln 00-→∆→∆→---=∆-∆+==∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=+∆⎪⎭⎫⎝⎛∆+⋅+⋅=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⋅+⋅=∆=∆-∆+∴→→∆n x x t n n n nx xx f x x f x f xx x x t t x x x x t t nx x x x x n t t x x x t x x x f x x f t x 得由于时，③()x x f sin = 证明：()()()22sin 2cos 2sin 2cos 22sin 2cos 2sin sin x x x x xx x x x y x x x x x x x f x x f y ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=-∆+=-∆+=∆如图1所示，当θ越小，OAB ∆的面积和扇形OAB 的面积就越接近，用S 表示三角形的面积，'S 表示扇形的面积，当0→θ时，S 就趋于'S .假设该园的半径为R ,则有2'21,sin 21R S R R S θθ=⋅= 由于2020'0021lim sin 21lim ,lim lim R R S S θθθθθθ→→→→==即 1sin lim,lim sin lim 0==→→→θθθθθθθ即故.所以有：()()x x x x x x x x x x x xx f x x f x y x x x x x x cos 2cos lim 22sin lim 2cos lim 22sin 2cos lim lim lim 000000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆评注：在高中阶段，由于学过的数学工具十分有限，证明任何一个定理或推论，都只能依靠定义来完成。
上述关于()x x f sin =的导函数的证明过程，首先也是从定义出发，得到22sin 2cos x x x x xy ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆，接下来就遇到困难了，怎么想到先去证明1sin lim 0=→θθθ的呢？其实当我们遇到障碍，实在进行不下去时，不妨进行一次逆向推导，也就是说，我们知道了()x x x f cos sin ''==，而根据前面所学的知识，有x x x x cos 2cos lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛∆+→∆成立，那么对于刚刚证明不下去的式子中，需要我们证明的就是122sin lim 0=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆→∆xx x ，这样，自然就可以想到了。
这种逆向思维是逻辑推理中经常用到的，教师可以把这种思想传授给学生，对于他们的逻辑思维能力的提升是有很大帮助的。
类似地，可以推导出x sin cos '-=，篇幅有限，此处不再赘述。
④()x x f ln =()0>xθABO图1由于()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+=⎪⎭⎫⎝⎛∆+=-∆+=∆x x x x x x x x y 1ln ln ln ln又由于()11ln lim 0=+→tt t ，则11ln lim 0=∆⎪⎭⎫⎝⎛∆+→∆x x x x x ，所以有：()()xx xx x x x xx x x x f x x f x y x x x x x 11lim 1ln 1lim 1ln lim lim lim 00000==∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⋅=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆⑤()xe xf =()1-=-=∆∆∆+xxxxx e e e ey ，由于()xx x e ∆→∆∆+=101lim所以()()()()xx x xx x x x x x x x e xx e x x e xe e x xf x x f x y =∆-∆+=∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-=∆-∆+=∆∆→∆∆∆→∆∆→∆→∆→∆11lim 11lim 1lim lim lim 010000 评注：④、⑤两个函数的导函数证明过程与前面的类似，此处便不再赘述。