《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及参考答案
2021年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题(甲乙卷含详解)
2021年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题（甲乙卷含详解）中国教育学会中学数学教学专业委员会2022届“数学周杯”全国初中数学竞赛题（考试时间：2021年3月18日上午9：30――11：30）题号1～56～1011121314一二三总分号证考准名姓校学得分评卷人复查人答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔回答；2.写答案时不要超过装订线；3.草稿没有交上来一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.每道小题均给出了代号为a，b，c，d 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（a）。
如果实数a、B和C在数轴上的位置如图所示，那么代数公式A2 | a？b |？（c？a）2？|BC |可以减少到（）（a）2c?a（b）2a?2b（c）?a（d）a1（乙）．如果a??2?2，那么1?1的值为（）．2.13? a（a）？2（b）2（c）2（d）222（甲）．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=bx（b≠0）的图象有两个十字路口如果一个交点的坐标为（-3，-2），则另一个交点的坐标为（）（a）（2，3）（b）（3，－2）（c）（－2，3）（d）（3，2）2（b）。
在平面直角坐标系xoy中，满足不等式X2＋y2整数点坐标（x，y）的数量≤ 2x+2Y是（）（a）10（b）9（c）7（d）5第1页，共17页3（甲）．如果a，b为给定的实数，且1?a?b，那么1，a?1，2a?b，a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（a）1（b）2a？14（c）12（d）十四3（乙）．如图，四边形abcd中，ac，bd是对角线，△abc是等边三角形．?adc?30?，ad=3，bd=5，则cd的长为（）．（a） 32（b）4（c）25（d）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（a） 1（b）2（c）3（d）424（乙）．如果关于x的方程x?px?q?0（p，q是正整数）的正根小于3，那么这方程式的数量为（）（a）5（b）6（c）7（d）85（a）。
2020年全国初中数学竞赛试题汇编及参考答案-《数学周报》杯二
2020年全国初中数学竞赛试题汇编及参考答案《数学周报》杯二一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）（1）已知实数x y ，满足 42424233y y x x ，，则444y x 的值为（ A）．（A ）7 （B ）1132 （C ）7132 （D ）5解：因为20x ，2y ≥0，由已知条件得212444311384x 2114311322y ，所以444y x 22233y x 2226y x 7．（2）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为n m ,，则二次函数2y x mx n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数.由题意知 ＝24m n ＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P .（3）有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．（4）已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a ．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ B ）．（A 52 （B ）1（C 32（D ）a解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D ，则120ECA EAC ．又因为1160180222ABO ABD 120 ，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ．（5）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ D ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种解：设12345a a a a a ，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a 是奇数，则2i a 是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）（6）对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v ．若关于x 的方程1()4x a x有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a ，或1a ．解：由1()4x a x ，得21(1)(1)04a x a x ，依题意有 210(1)(1)0a a a ，，解得，0a ，或1a ．（7）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s y x 66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x 33． ②由①，②可得 x s 4 ，所以 4 x s ．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．。
“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题(Word版,含答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）22．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A（B（C ）1 （D ）23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）． （A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）325．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组DCOB二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.ED CB12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．。
中国教育学会中学数学教学专业委员会2008--2012年《数学周报杯》竞赛试卷
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ） （C ） （D ）5【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x +==， 21122y --==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先（第3题）后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A）2a （B ）1 （C ）2（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，（第4题）由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒ 所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列． 首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔（第8题）（第9题答案）D 3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则（第8题答案）11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆==＝=（这里2a b cp ++=） 所以112r ==，228ABC a S h a ⨯===△由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===， 即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；， 因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)2104216x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6； 当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
“数学周报杯”全国初中数学竞赛初赛试题
数学周报杯”全国初中数学竞赛初赛试题一、填空题（每小题3分，满分30分） 1、函数22-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是 。
2、2006年底我国外汇储备余额达到10 663亿美元，用科学记数法表示10 663亿美元约为 美元（保留3个有效数字）。
3、等腰三角形两个内角的度数之比为1︰2，这个等腰三角形底角的度数为 。
4、若关于x 的方程312=--x bx 的解是非负数，则b 的取值范围是 。
5、正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点A 顺时针旋转60°得正方形AB ′C ′D ′，点C 所经过的路径长为 。
6、甲、乙、丙、丁、戊五名同学手拉手围成一个五边形，每个人心中想一个数，相邻的两个人反所想两数的平均数告诉与他们不相邻的那个人，结果如图所示，则乙心中所想的数是 。
7、一宽为1cm 的刻度尺在半径为5cm 的圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切，另一边与圆有两个交点时，其中一个交点对应的读数恰好为“8”（单位：cm ），则另一个交点对应的读数为 。
8、智慧学校附近的甲、乙两家商店销售同样的钢笔和练习本，且每支钢笔标价10元，每本练习本标价2元。
为促进销售，甲商店买一支钢笔赠送一本练习本；乙商店按标价九折持款。
小文购买4支钢笔和24本练习本，至少要花费 元。
9、如图，梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC 。
将其沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 上，记为点A ′。
若AD =7，AB =13，则A ′C 的长为 。
10、观察这样一列数组：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），……，按照如此规律，则2008在第 组。
二、单项选择题（每小题3分，满分30分） 11、下列运算正确的是（ ）A 、1243x x x =⋅B 、6332x x x =+ C 、338)2(x x =-D 、x x x 3)2()6(23=-÷-12、将五张分别画有等边三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ）A 、51B 、52 C 、53 D 、54 13、现一平面内有A 、B 、C 三点，A 、B 两点相距5cm ，点C 到直线AB 的距离为2cm ，且△ABC 为直角三角形，则满足上述条件的点C 有（ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个14、抛物线x mx y +=2和x nx y +=2与x 轴正半轴分别交于点A 和点B 。
数学周报杯全国初中数学竞赛试题及答桉
数学周报杯全国初中数学竞赛试题及答桉数学周报杯全国初中数学竞赛试题及答案第一题：（本题20分）请在横线上填入一个整数，使等式成立。
8 ÷ 4 + 2 × 3 - 6 = ______解答：为了计算这个等式，我们必须按照特定的顺序进行运算。
根据数学中的运算法则，乘法和除法具有高于加法和减法的优先级。
所以我们首先计算乘法和除法，然后再进行加法和减法。
按照这个顺序，我们可以解答这道题目。
首先，计算8 ÷ 4得到2。
然后，计算2 × 3得到6。
最后，计算6 -6得到0。
因此，空格应填入整数0。
第二题：（本题25分）如果a = 3, b = 4, c = 5，请判断下列等式的真假。
(a + b) × c = a × c + b × c解答：根据等式，我们可以将等式两边展开计算。
左边的等式为 (3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35。
右边的等式为 3 × 5 + 4 × 5 = 15 + 20 = 35。
由此可见，左边的等式等于右边的等式，所以等式成立，答案为真。
第三题：（本题30分）某班有26个学生，其中男生和女生的比例为5:7。
求这个班级中男生的人数。
解答：题目给出男生和女生的比例为5:7，我们知道比例是可以化简的，所以我们可以将5和7都除以它们的最大公约数（即5）得到1和7/5。
这表示男生和女生的实际人数的比例为1:7/5。
根据题目，这个班级总共有26个学生，所以我们可以设男生的人数为x。
然后根据比例，女生的人数为7/5x。
根据题目条件，男生人数x和女生人数7/5x的和等于总人数26。
所以我们可以列出方程：x + 7/5x = 26我们先将7/5这个分数转化为小数，得到7/5 = 1.4。
现在我们将方程改写为：x + 1.4x = 26合并同类项，得到：2.4x = 26再将26除以2.4，得到：x ≈ 10.83由于人数必须是整数，所以男生的人数应该是最接近10.83的整数，即11人。
初中数学“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛考试题
xx 学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:设，则代数式的值为( ).（A）-6 （B）24 （C）（D）试题2:在同一直角坐标系中，函数（）与（）的图象大致是（A）（B）（C）（D）试题3:在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（）（A）1 （B）7 （C）10 （D）15评卷人得分若，，且满足，则的值为( ).（A）1 （B）2 （C）（D）试题5:设，则的整数部分等于( ).（A）4 （B）5 （C）6 （D）7试题6:若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是 . 。
试题7:若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 .试题8:一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .试题9:如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点. 若，则的值为 .如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .试题11:已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。
试题12:已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 试题13:如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：∠=∠；（2）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.试题14:如图，△ABC中，，．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．试题15: A.试题1答案: -6试题2答案: C.试题3答案: C.试题4答案: C试题5答案: A试题6答案:试题7答案: 3＜m≤4.试题8答案: 1/9试题9答案: 6试题10答案:84试题11答案:解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又因为所以；或者，故，或29.试题12答案:解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为,.由得，于是，即.于是又因为，所以.因为∠∠，所以△∽△，故∠=∠.（2）设，，不妨设≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=，所以=，=.因为∥，所以△∽△.于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得将代入，得到点的坐标（，）.再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或. 试题13答案:解：如图，作△ABQ，使得则△ABQ∽△ACP .由于，所以相似比为2.于是．.由知，，于是．所以，从而．于是.故．试题14答案:11试题15答案:1。
初中数学周报杯国竞赛试题
中国教育学会中学数学教学专业HY 会“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题一、选择题〔一共5小题，每一小题7分，一共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或者错填都得0分〕1．假设20 10a b b c ==，，那么a b b c++的值是〔 〕． 〔A 〕1121 〔B 〕2111 〔C 〕11021 〔D 〕21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．假设实数a ，b 满足21202a ab b -++=，那么a 的取值范围是 〔 〕． 〔A 〕a ≤2- 〔B 〕a ≥4 〔C 〕a ≤2-或者 a ≥4 〔D 〕2-≤a ≤4解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++= 的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或者 a ≥4．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-CD ＝42，那么AD 边的长为〔 〕．〔A 〕26 〔B 〕64 〔C 〕64+ 〔D 〕622+解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由可得BE =AE 6，CF ＝22DF ＝6，〔第3题〕于是 EF ＝46．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得 AD 222(46)(6)(224)=++=+226+4．在一列数123x x x ，，，……中，11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 〔取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=〕，那么2010x 等于〔 〕．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2021=4×502+2，所以2010x =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A 〔1，1〕，B 〔2，－1〕，C 〔－2，－1〕，D 〔－1，1〕．y 轴上一点P 〔0，2〕绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…，那么点P 2021的坐标是〔 〕．〔A 〕〔2021，2〕 〔B 〕〔2021，2-〕〔C 〕〔2021，2-〕 〔D 〕〔0，2〕解：B 由可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为〔2，0〕，〔2，2-〕． 〔第5题〕记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，． 令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为〔624,a b +〕，即10P 〔2242,a b ⨯+〕， 由于2021=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为〔2021，2-〕．二、填空题6．a ＝5－1，那么2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ． 解：0由得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，那么t ＝ ．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的间隔 均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，〔千米/分〕，并设货车经x 分钟追上客车，由题意得 ()10a b S -=， ①()152a c S -=， ②()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=〔分〕．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O 〔0，0〕，A 〔0，6〕，B 〔4，6〕，C 〔4，4〕，D 〔6，4〕，E 〔6，0〕．假设直线l 经过点M 〔2，3〕，且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两局部，那么直线l 的函数表达式是 ． 解：11133y x =-+ 如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由得点M 〔2，3〕是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两局部．又因为点N 〔5，2〕是矩形CDEF 的中心，所以，过点N 〔5，2〕的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两局部．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，那么2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，， 解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．假设CD ＝CF ，那么AE AD= ． 解： 215- 〔第8题〕〔第8题见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n m m+-=， 解得512n m -=512n m --=〔舍去〕． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====512-， 即AE AD 512- 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．假设n 的最小值0n 满足020003000n <<，那么正整数k 的最小值为 ．解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k +=，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数．由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题〔一共4题，每一小题20分，一共80分〕11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点一共线. …………〔5分〕连接AE ，AF ，那么AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………〔10分〕作AH ⊥EF ，垂足为H ，那么AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得EF AH BC AP=， 从而 EF PD BC AP=， 所以 tan PD EF PAD AP BC∠==. …………〔20分〕 12．如图，抛物线2y ax bx =+〔a >0〕与双曲线k y x=相交于点A ，B . 点A 的坐标为〔1，4〕，点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3〔O 为坐标原点〕.〔1〕务实数a ，b ，k 的值；〔2〕过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：〔1〕因为点A 〔1，4〕在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B 〔t ，4t 〕，0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，那么有 〔第11题〕 〔第11题〕〔第12题〕44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或者t ＝21〔舍去〕．所以点B 的坐标为〔2-，2-〕． 因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+〔a >0〕上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩， …………〔10分〕 〔2〕如图，因为AC ∥x 轴，所以C 〔4-，4〕，于是CO＝42. 又BO =22，所以2=BO CO . 设抛物线2y ax bx =+〔a >0〕与x 轴负半轴相交于点D ，那么点D 的坐标为〔3-，0〕.因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.〔i 〕将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为〔4，1-〕.延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E 〔8，2-〕是符合条件的点.〔ii 〕作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A 〔1，4-〕；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２〔2，8-〕是符合条件的点．所以，点E 的坐标是〔8，2-〕，或者〔2，8-〕. …………〔20分〕13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+， 所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或者(2)p m +. ……〔5分〕 〔第12题〕〔1〕假设(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………〔10分〕〔2〕假设(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或者2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，，这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………〔20分〕14．从1，2，…，2021这2021个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯〔即1991〕满足题设条件. …………〔5分〕另一方面，设12n a a a <<<是从1，2，…，2021中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………〔10分〕设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， 所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………〔15分〕133n n a a d -=≤2010116133-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61. 综上所述，n 的最大值为61. …………〔20分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
数学周报杯全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题〔共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分〕1．实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，那么的值为〔 〕． 〔A 〕7 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为m ，n ，那么二次函数2y x mx n =++的图象及x 轴有两个不同交点的概率是〔 〕．〔A 〕512 〔B 〕49 〔C 〕1736 〔D 〕123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，那么这6个点可确定的不同直线最少有( )．〔A 〕6条 〔B 〕 8条 〔C 〕10条 〔D 〕12条4．AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，那么AE 的长为〔 〕．〔A 〕2a 〔B 〕1 〔C 〕2〔D 〕a 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之与都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有〔 〕．〔A 〕2种 〔B 〕3种 〔C 〕4种 〔D 〕5种二、填空题〔共5小题，每题6分，总分值30分〕6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*〞为：u v uv v *=+．假设关于x 的方程有两个不同的实数根，那么满足条件的实数a 的取值范围是 ．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．8．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD 是∠BAC的平分线，MF∥AD，那么FC的长为．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别及AB，AC相交于点D，E，那么DE的长为．10．关于x，y的方程22208()+=-的所有正整数解x y x y为．三、解答题〔共4题，每题15分，总分值60分〕11.在直角坐标系xOy中，一次函数b=0kxy+（）的图象及xk≠轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3OA OB++．（1）用b表示k；（2）求△ABC面积的最小值．12.是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？13.如图，△ABC的三边长BC a CA b AB c，，都是整，，，a b c===数，且a b，的最大公约数为2．点G与点I分别为△ABC的重心与内心，且90∠=︒．求△ABC的周长．GIC〔第13题〕14.从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到假设干个数〔至少一个，也可以是全部〕，它们的与能被10整除，求n 的最小值．中国教育学会中学数学教学专业委员会“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题〔共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分〕1．实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，那么的值为〔 〕． 〔A 〕7 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕5【答】〔A 〕解：因为20x >，2y ≥0，由条件得所以7．2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为m ，n ，那么二次函数2y x mx n =++的图象及x 轴有两个不同交点的概率是〔 〕．〔A 〕512 〔B 〕49 〔C 〕1736 〔D 〕12【答】〔C 〕解：根本领件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，那么这6个点可以确定的不同直线最少有( )．〔A 〕6条 〔B 〕 8条 〔C 〕10条 〔D 〕12条【答】〔B 〕解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 及BD 的交点，那么它及A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如下图放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，那么AE 的长为〔 〕． 〔A 〕52a 〔B 〕1 〔C 〕32〔D 〕a 【答】〔B 〕解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，那么又因为所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之与都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有〔 〕．〔A 〕2种 〔B 〕3种 〔C 〕4种 〔D 〕5种【答】〔D 〕解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列． 首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否那么，这两个之后都是偶数，及条件矛盾．又如果i a 〔1≤i ≤3〕是偶数，1i a +是奇数，那么2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数〔第4题〕是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题〔共5小题，每题6分，总分值30分〕6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*〞为：u v uv v *=+．假设关于x 的方程有两个不同的实数根，那么满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由，得依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，那么每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，那么由①，②可得 x s 4=，所以 ．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，那么FC 的长为 ．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，那么MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 ． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别及AB ，AC 相交于点D ，E ，那么DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，那么所以 ．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此，所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++ 〔第8题〕 〔第8题答案〕 〔第8题答案图〕 〔第9题答案〕故．10．关于x，y的方程22208()+=-的所有正整数解x y x y为．【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设2,2==，那么x a y b同上可知，a，b都是偶数．设2,2==，那么a cb d所以，c，d都是偶数．设2,2==，那么c sd t于是22-++＝2s t(13)(13)⨯，213其中s，t都是偶数．所以所以13s-可能为1，3，5，7，9，进而2t+为337，329，(13)313，289，257，故只能是2(13)t+＝289，从而13s-＝7．于是因此三、解答题〔共4题，每题15分，总分值60分〕11．在直角坐标系xOy中，一次函数b=0kxy+（）的图象及xk≠轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3++．OA OB（3）用b表示k；（4）求△OAB面积的最小值．解：〔1〕令0=x，得0，；令0=y，得．=>y b b所以A，B两点的坐标分别为，于是，△OAB的面积为由题意，有解得 ，2b >．……………… 5分〔2〕由〔1〕知 当且仅当时，有S =102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．所以，△OAB 面积的最小值为1027+．……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程 有有理数根？解：设方程有有理数根，那么判别式为平方数．令 其中n 是一个非负整数．那么……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -及q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：消去n ，解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+， ， ， ， ． ……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4〔不合题意，舍去〕；对于第4种情形，q 是合数〔不合题意，舍去〕．又当2p =，q ＝5时，方程为22520x x -+=，它的根为，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．……………… 15分13．如图，△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最大公约数为2．点G 与点I 分别为△ABC 的重心与内心，且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长． 解：如图，延长GI ，及边BC CA ，分别交于点P Q ，．设重心G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，由可得 ()123a b r GE GF h h =+=+， 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△， 从而可得 ．……………… 10分因为△ABC 的重心G 与内心I 不重合，所以，△ABC 不是正三角形，且b a ≠，否那么，2a b ==，可得2c =，矛盾．不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，，于是有为整数，所以有11()12a b +，即()24a b +．于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满足条件．因此有35a b c ++=．所以，△ABC 的周长为35．……………… 15分〔第13题〕〔第13题答案〕14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到假设干个数〔至少一个，也可以是全部〕，它们的与能被10整除，求n 的最小值．解：当n ＝4时，数1，3，5，8中没有假设干个数的与能被10整除．……………… 5分当n ＝5时，设125a a a ，，，是1，2，…，9中的5个不同的数．假设其中任意假设干个数，它们的与都不能被10整除，那么125a a a ，，，中不可能同时出现1与9；2与8；3与7；4与6．于是125a a a ，，，中必定有一个数是5．假设125a a a ，，，中含1，那么不含9．于是不含4〔4＋1＋5＝10〕，故含6；于是不含3〔3＋6＋1＝10〕，故含7；于是不含2〔2＋1＋7＝10〕，故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．假设125a a a ，，，中含9，那么不含1．于是不含6〔6＋9＋5＝20〕，故含4；于是不含7〔7＋4＋9＝20〕，故含3；于是不含8〔8＋9＋3＝10〕，故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，n 的最小值为5．……………… 15分。
“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛 (天津赛区)试题参考答案及评分标准
“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛（天津赛区）试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）（1）已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ A ）．（A ）7 （B ） （C ） （D ）5 解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==， 所以444y x +=22233y x ++-2226y x=-+=7． （2）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为n m ,，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12 解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数.由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. （3）有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．（4）已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ B ）．（A（B ）1 （C）2 （D ）a 解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则120ECA EAC α∠=︒-=∠． 又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-， 所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． （5）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ D ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）（6）对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ． 【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=， 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．（7）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以 4=xs ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．（8）如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． （9）△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．16 3．【答】解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为a h ， 则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以 a r a h a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此 a a h r DE h BC-=， 所以(1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故879168793DE ⨯+==++（）． （10）关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，b a ,都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<． 所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．有62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，故 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）（11）在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（Ⅰ）用b 表示k ；（Ⅱ）求△OAB 面积的最小值．解：（Ⅰ）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00b x k k=-><，． 所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)bAB b k-（，，，， 于是，△OAB 的面积为)(21kb b S -⋅=． 由题意，有 3)(21++-=-⋅b k b k b b ， 解得 )3(222+-=b b b k ，2b >． …………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-1027+， 当且仅当1022b b -=-时，有S = 即当102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．所以，△OAB 面积的最小值1027+． ……………… 15分（12）已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+． 是否存在二次函数23y ax bx c =++，其图象经过点（－5，2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值1y ，2y ，3y ，都有1y ≤3y ≤2y 成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由．解：存在满足条件的二次函数．因为 2122(1)y y x x -=-+221x x =-+-2(1)x =--≤0， 所以，当自变量x 取任意实数时，1y ≤2y 均成立．由已知，二次函数23y ax bx c =++的图象经过点（－5，2），得2552a b c -+=． ①当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++．由于对于自变量x 取任意实数时，1y ≤3y ≤2y 均成立，所以有2 ≤a b c ++≤2，故2a b c ++=． ②由①，②，得 4b a =，25c a =-，所以234(25)y ax ax a =++-．……… 5分 当1y ≤3y 时，有 2x ≤24(25)ax ax a ++-，即 2(42)(25)ax a x a +-+-≥0，所以二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零， 故20(42)4(25)0a a a a >⎧⎨---≤⎩，． 即20(31)0,a a >⎧⎨-≤⎩，所以13a =．……………… 10分 当3y ≤2y 时， 有 24(25)ax ax a ++-≤21x +， 即2(1)4(51)a x ax a --+-≥0，所以二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故210(4)4(1)(51)0a a a a ->⎧⎨----≤⎩，． 即21(31)0,a a <⎧⎨-≤⎩，所以 13a =． 综上，13a =，443b a ==， 1253c a =-=． 所以，存在二次函数23141333y x x =++，在实数范围内，对于x 的同一个值，都有1y ≤3y ≤2y 成立． ……………… 15分（13）是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令2224q p n ∆=-=，其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=． ……………… 5分 由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩， 消去n ， 解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+， ， ， ， ． ……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．又当2p =，q ＝5时，方程为22520x x -+=，它的根为12122x x ==，，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数． ……………… 15分（14）如图，△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ， 的最大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．解：如图，延长GI ，与边BC CA ，分别交于P Q ，．设重心G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，由PQC GPC GQC S S S =+△△△， 可得()123a b r GE GF h h =+=+， 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△， 从而可得 6ab a b c a b++=+． ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合，所以，△ABC 不是正三角形，且b a ≠，否则，2a b ==，可得2c =，矛盾． 不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，， 于是，有1111126a b ab a b a b =++为整数， 所以有11()12a b +，即()24a b +．于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满足条件．因此有35a b c ++=．所以，△ABC的周长为35．……………… 15分。
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学习必备欢迎下载“《数学周报》杯”20XX年全国初中数学竞赛（3）（天津赛区）试题参考答案及评分标准（A ）1 （B）2 （C）92（D）112【答】C．一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）5 3x，则代数式x(x 1)( x2)( x 3)的值为( ).2 （1）设（A ）0（B）1（C）﹣1（D）2 故y 13 y 4y 1x yx x ，所以4y 11．9x y ．2解：由题设可知y x ，于是1y ，从而x 4 ．于是2【答】C．2 3 1 0x x ，于是解：由已知得2 2x(x 1)(x 2)( x 3) (x3x)( x 3x 2) （4）设1 1 1 1S ，则4S的整数部分等于( ).3 3 3 31 2 3 20112 2(x3x 1) 1 1.（A ）4 （B）5 （C）6 （D）7【答】A．（2）已知x，y，z为实数，且满足x 2y5z 3，x 2y z 5 ，则2 2 2x y z 的最小值为( ). 解：当k 2（A ）111（B）0 （C）5 （D）5411所以1 1 1 1 1 1 51 S 1 1 ．3 3 32 3 2011 2 2 2011 2012 4【答】D．于是有4 4S 5，故4S的整数部分等于4．（5）点D，E 分别在△ABC 的边AB，AC上，BE，CD 相交于点 F ，设x 2y 5z 3，x 3z 1，解：由x 2y z 5，可得y z 2. S四边形S，S SEADF 1 BDF于是 2 2 2 11 2 2 5x y z z z ．则S S 与S2 S4 的大小关系为1 3因此，当1z 时，112 2 2x y z 的最小值为5411．（A ）S S S S （B）S1S3 S2S41 32 4学习必备欢迎下载（C）S S S S （D）不能确定1 32 4【答】C．解：如图，连接DE ，设S S ，DEF 1（8 ）若1y 1 x x 的最大值为a，最小值为b，则22 2a b 的值为.S EF S 则 1 4 S BF S2 3 ，从而有S S S S ．因为S1 S1 ，所以S1S3 S2S4 ．1 32 4【答】32．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）解：由1 x≥0，且1x ≥0，得212≤x ≤1．（6）两条直角边长分别是整数a，b（其中b 2011），斜边长是b 1的直角三角形的个数为.2 1 23 1 1 3 2 1y 2 x x 2 (x) ．2 2 2 2 4 16【答】31．解：由勾股定理, 得a2 (b 1)2 b2 2b 1．因为 b 是整数，b 2011，由于1 3< < 1，所以当2 43x = 时，42y 取到最大值1，故a =1．所以 2a 是 1 到4023 之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31 个，即当1x = 或1 时，22y 取到最小值12，故2b = ．所以，22 2 3a b ．22 2 23 ，5 ，，63 ．因此 a 一定是3，5，⋯，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．（9）如图，双曲线y2x（x＞0）与矩形OABC 的边CB，BA 分别交于点E，F，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为.（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；【答】32．另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷解：如图，设点 B 的坐标为（a, b）, 则点F的坐标这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7 的概率是.【答】 16 ．b为（a，）. 因为点 F 在双曲线2又点E在双曲线上，且纵坐标y2x上，所以ab 4.解：在36 对可能出现的结果中，有 6 对：（1，6），（2，5），（2，5），（3，6 1 4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7 的概率是.36 6 为 b ，所以点E 的坐标为2( , b)b. 于是第（9）题学习必备欢迎下载S S S S OEF 梯形OFBC OEC FBE 则方程 2 0x cx a 的两根为1，1，由题意得1 b 12 1 b 2（）（）b a b a2 2 2 b 2 2 ba， 1 1 a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1 3（）ab 1 2 .2 2两式相加，得 2 2 1 0，即( 2)( 2) 3，（10）如图，在Rt△ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC，所以，21，2 3；或23，2 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分且其边长为12，则△ABC 的周长为.【答】84．解得1，或1；5，3.解：如图，设BC＝a，AC＝b，又因为 a （），b ，c （[ 1）（1）]，则 2 2 352a b ＝1225．①所以a 0，b 1，c 2；或者a 8，b 15，c 6，又Rt△AFE∽Rt△ACB，故a b c 3，或29. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分所以故．②12( a b) ab FE AFCB AC，即12 b 12a b，第（10）题（12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙O 和△BCH 的外接1由①②得 2 2 2 2 1225 24（a b） a b ab （a b），圆⊙O相交于点D ，延长AD 交C H 于点P，2P为CH 的中点.求证：点解得a＋b＝49（另一个解－25 舍去），所以 a b c 49 35 84．AP 交⊙O2 于点Q ，证明：如图，延长三、解答题（共4题，每题20分，共80分）连接AH ，BD，QB，QC ，QH .（11）已知关于x 的一元二次方程x2 cx a 0 的两个整数根恰好比方程因为AB 为⊙O 的直径，12 0x ax b 的两个根都大1，求a b c的值. 所以∠ADB ∠BDQ 90 ．⋯⋯⋯⋯ 5 分解：设方程 2 0x ax b 的两个根为，，其中，为整数，且≤，故BQ 为⊙O 的直径.2学习必备欢迎下载于是CQ BC，BH HQ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分又因为点H 为△ABC 的垂心，所以AH BC，BH AC .由y kx t，2y x32，得232x kx t 0 ，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，于是 3x x t ，即P Q22t x x . 于是，P Q3四边形ACQH 为平行四边形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分所以点P 为C H 的中点.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分22x tBC y tP32PBD y t x t2QQ32 2 22x x x x ( x x )P P Q P P Qx3 3 3 .P2 2 2x2x x x x ( x x )QQ P Q Q Q P3 3 3⋯⋯5 分（13）如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x 轴对称，过点A任PC x又因为PQD xQ，所以B C PCBD QD.作直线交抛物线22y x 于P，Q 两点.3因为∠BCP ∠BDQ 90 ，所以△BCP∽△BDQ .故∠ABP=∠ABQ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（Ⅰ）求证：∠ABP=∠ABQ ；（Ⅱ）若点A的坐标为（0，1），（Ⅱ）解法一设P C a ，D Q b ，不妨设 a ≥b >0，且∠PBQ =60o，试求所有满足条件的由（Ⅰ）可知直线PQ 的函数解析式.∠ABP =∠ABQ 30 ，B C = 3a ，BD= 3b ，解：（Ⅰ）如图，分别过点P，Q 作y轴的垂线，垂足分别为C， D .所以AC = 3a 2 ，A D = 2 3b .设点A的坐标为（0，t ），则点B的坐标为（0，- t ）. 因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .设直线PQ 的函数解析式为y kx t ,并设P，Q的坐标分别为（x ，y ）,（x Q，y Q）.P P 于是PC ACDQ AD，即a 3a 2b b2 3．所以 a b 3ab ．由（Ⅰ）中3x x t ，即P Q23ab ，所以23 3 3ab ， a b ，2 2学习必备欢迎下载于是，可求得 a 2b 3 .同理，若x 3，可得Q3x ，从而P22 3k (x x ) .P Q3 3将3b 代入222y x ，得到点Q 的坐标（332，12 ）. ⋯⋯⋯⋯⋯15 分所以，直线PQ 的函数解析式为再将点Q 的坐标代入y kx 1，求得3k .33y x 1，或33y x 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分3所以直线PQ 的函数解析式为根据对称性知，3y x 1 .3（14）已知0 1 2 2011a ，i ，，，，且a1 a2 a2011，证ia ，a ，，a 中一定存在两个数a i，a（j i j），使得1 2 2011(1 a )(1ia aj i2010所求直线PQ 的函数解析式为3y x 1 ，或33y x 1. ⋯⋯⋯⋯⋯20 分3 证明：令2010x i 1 2 2011，，，，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分i1 ai解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t , 其中t1. 则0x x x 2010 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2011 2010 1由（Ⅰ）可知，∠ABP=∠ABQ 30 ，所以BQ 2DQ . 故一定存在1≤k ≤2010，故将2 22x Q x Q ( y Q 1) .22y x 代入上式，平方并整理得Q Q3使得x x 1 1，从而k k2010 20101 a k 1 a k11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 分4 24x Q 15 x Q 9 0，即2 2(4 x Q 3)(x Q 3) 0 .(1 a )(1 a )即k k 1a a ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分k 1 k2010所以3x 或 3 . Q2又由（Ⅰ），得3 3x x t ，P Q2 23x x k .P Q2若3x ，代入上式得x 3，从而Q P22 3k (x x ) .P Q3 3。
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题及参考答案
只 有 一 个 选 项 是 正 确 的 ．请将 正 确 选 项 的 中 ，等腰 梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的顶 点坐 标分 别 为
１ ） Ｂ ２ １， （２ １ ， （ １ ） 代 号 填入 题 后 的括 号 里 ，不 填 、 多填 或错 Ａ（，１ ， （ ，一 ） Ｃ － ，一 ） Ｄ 一 ，１．
Ｄ
＋
图 １
１ 钟 ，小 轿 车 追 上 了货 车 ； 又 过 了 ５ （ ０分 Ⅱ＞０ 与 双 盹 线 ｙ＝ 相 交 于 点 Ａ、Ｂ ） ．
（ Ａ）２ ／ 、６
（ Ｃ）４＋、 ６ ／ ４ ．在 一 列 数
（ ）４ ／ Ｂ 、６
（ Ｄ）２＋２ ／ ｘ６ … 中 ， 已
５． Ｂ
｜ Ｖ
０
解 ： 由 已知 ，可 得 点 Ｐ 、Ｐ 的 坐 标 Ｉ ２
边和 ５条对角线染色 ，且满足任意有公共 分别为（ ，０ ，（ ，一 ） ２ ） ２ ２． 顶点的两条线段不同色，求颜色数 目的最 小值． 附 ：答案及参考解答
填都 得 ０分 ）
Ｙ轴上一点 Ｐ ｏ ） （ ，２ 绕点 旋转 １０得 点 ８。 Ｐ ，点 Ｐ 绕 点 Ｂ旋转 １０得 点 Ｐ ，点 ｌ ８。 ２
１ 手＝ ， ＝ ， 绕 点 ｃ旋转 １０得点 ，点 绕点 Ｄ旋 ． ２ 争 １ 则 等的 若 ０ ０ ８。
值为 （ ） ． （ ）型 Ｂ （ Ｄ）
． ７ 一 辆客 车 、一辆 货 车和一 辆小轿 最 小 值 为 ． 三 、解 答 题 （ ４题 ，每 题 ２ 共 Ｏ分 ， 车在 一 条 笔 直 的公 路 上 朝 同一 方 向匀 速行
０分 ） 驶 ．在 某 一时 刻 ，客 车在 前 ，小 轿 车在 满 分 ８ １ （ ．如 图 ５ 抛 物 线 Ｙ＝ １ Ａ） ， 后 ，货 车 在 客 车 与 小 轿 车 的正 中 间 ． 了 过
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中国教育学会中学数学教学专业委员会 《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若20 10a b b c ==，，则a bb c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110aa b b c b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =3BC =422-CD ＝42则AD 边的长为（ ）．（A ）6（B ）64（C ）64+ （D ）622+ 解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE 6，CF ＝2，DF ＝6， 于是 EF ＝46．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD 222(46)(6)(224)=++=+226+（第3题）（第3题）4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）． （A ）（2010，2） （B ）（2010，2-） （C ）（2012，2-） （D ）（0，2）解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ． 解：0由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，（第5题）客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ． 解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ①()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=（分）． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．解：11133y x =-+如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以， 过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+．9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分（第8题）（第8题别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AEAD= ．解：215- 见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n nm m +-=，解得512n m =，或512n m =（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF nAD BC FC m ====51- 即AEAD51-． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k +=，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EFPAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分） 连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得EF AHBC AP=， 从而EF PDBC AP=， 所以 tan PD EFPAD AP BC∠==. …………（20分）12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线ky x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标. 解：（1）因为点A （1，4）在双曲线ky x =上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. （第11题）（第11题）（第12题）设点B （t ，4t），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫⎪⎝⎭，故()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=，解得2t =-，或t ＝21（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． 因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩，…………（10分） （2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以2=BOCO. 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ，则点D 的坐标为（3-，0）.因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分） （1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，（第12题）2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分）（2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数. 当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，，这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分） 另一方面，设12n a a a <<<是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分） 设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n .由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++，所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）133n n a a d -=≤2010116133-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61.综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）。