2014中考数学二次函数与四边形的动点问题(含答案)

72
x =
B(0,4)
A(6,0)
E
F
x
y
O
二次函数与四边形
一．二次函数与四边形的形状
例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；
将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =
时，PE 的最大值=9
4
（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是7
2
x =
，可设解析式为27
()2
y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得
227(6)0,27(0) 4.2
a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =
--，顶点为725
(,).26
- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
22725
()326
y x =
--， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴217
2264()2522
OAE S S OA y y ==⨯
⨯⋅=-=--+ ． 因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6． ①
根据题意，当S = 24时，即2
7
4()25242
x --+=．
A
72
x =
B(0,4) A(6,0)
E F
x
y
O
化简，得2
71
().2
4
x -=
解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，
使OEAF 为正方形．
练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线7
2
x =的抛物线经过点
A （6，0）和
B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF
是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？
②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E
的坐标；若不存在，请说明理由．
练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．
（1）求抛物线2l 的函数关系式；
5- 4- 3- 2- 1- 1 2
3
4
5
5
4
3
2
1 A E
B
C '
1- O
2l
1l
x
y
（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30
的直角三角形？若存，
求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，
，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C
关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于
C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的
面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位
的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
二．二次函数与四边形的面积
例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2
+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x
…
-3
-2
1
2
…
5-
4-
3-
2-
1- 1 2 3 4
5
5 4 3 2 1 A E
B
C '
1- O 2l 1l
x y
y …
-
52
-4
-
52
0 …
(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；
(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；
(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.
练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；
（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，
Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D
→方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡
图10
皮筋扫过的面积为2
cm y ．
（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；
（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；
（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．
练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .
(1) 求l 2的解析式；
(2) 求证：点D 一定在l 2上；
(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值
.
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．
(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；
B C P
O D Q
A B
P
C
O D
Q A y
3
2
1
O
1
2 x
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S
的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．
例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．
（1） S 与S '相等吗？请说明理由．
（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？
图 2
O
C A B
x
y D
P
E F 图 1
F
E P D y x
B
A C O
（3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE 是等腰三角形．
练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．
（1）点 （填M 或N ）能到达终点；
（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自 变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；
（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标， 若不存在，说明理由．
练习2..(江西省) 25．实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，
2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，
， ， ； x N
M Q
P H G F
E D C B A 图11 Q P N M H G
F E D C B A 图10
图12
y
x
P
Q
B
C
N
M
O
A
（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）；
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线2
(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四
边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．
答案：
一．二次函数与四边形的形状
例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；
y
C
()A
(40)D ，
(12)B ，
O x
图1
y
C
()A
(0)D e ，
()B c d ，
O x
图2
y
C
()A a b ， ()D e b ，
()B c d ，
O
x
图3
y C
()A a b ，
()D e f ，
()B c d ，
O
x
图4
72
x =
B(0,4)
A(6,0)
E
F
x
y
O
将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当1
2
x =
时，PE 的最大值=94
（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是7
2
x =
，可设解析式为27
()2
y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得
227(6)0,27(0) 4.2
a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =
--，顶点为725
(,).26
- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
22725
()326
y x =
--， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴217
2264()2522
OAE S S OA y y ==⨯
⨯⋅=-=--+ ． 因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6． ③
根据题意，当S = 24时，即2
7
4()25242
x --+=．
化简，得2
71
().2
4
x -=
解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ④ 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．
练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2
(3)4y a x =--．
又 点(1
0)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =． ∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）． 4-
3-
2- 1-
1 2 3 4
5
5
4 3 2 1 A
E
B
C '
1
- O 2l
x
y
5
-4
-3-2
-1
-1
2 3
D
5
5
4 3
2 1 A
C
E
M
B
C '
1-O
2
l 1
l x
y
（2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．
设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为2
65m m -+，4OD = ，22654m m ∴-+=，即
2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得
32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时，
P P OD '
∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形． （3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则
90AMB ∠= ，30BAM ∠= （或30ABM ∠= ）， 11
4222
BM AB ∴==⨯=．
过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=
．
11
2122
EB BM ∴=
=⨯=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，．
但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．
∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．
练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(
08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是
2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得1
68a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，，．
所以所求抛物线的解析式是2
68y x x =-+-．
（2）由（1）可计算得点(3
1)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．
当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．
根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．
所以2A
D N
S S =△．所以，四边形MDNA 的面积
2
(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为
止，据题意可知04t <≤．
所以，所求关系式是2
4148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．
（3）781
444
S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =
时，S 有最大值814
． 提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．
所以OD ON =．所以2
2
2
2
OD ON OH NH ==+．
所以2
2
420t t +-=．解之得126262t t =-=--，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =-．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

二．二次函数与四边形的面积
例1. 解：（1）解法一：设)0(2≠++=a c bx ax y ，
任取x,y 的三组值代入，求出解析式2
142
y x x =
+-， 令y=0，求出124,2x x =-=；令x=0，得y=-4， ∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . ·········
解法二：由抛物线P 过点(1，-52)，(-3，5
2
-)可知，
抛物线P 的对称轴方程为x=-1，
又∵ 抛物线P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .
（2）由题意，AD DG
AO OC
=
，而AO=2，OC=4，AD=2-m ，故DG=4-2m ， ········ 又 BE EF BO OC =
，EF=DG ，得BE=4-2m ，∴ DE=3m ， ∴DEFG s =DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m 2
(0＜m ＜2) .
注：也可通过解Rt△BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解.
(3)∵SDEFG=12m-6m 2
(0＜m ＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，
设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=23，b=-23，∴22
33y x =-，
又可求得抛物线P 的解析式为：21
42
y x x =+-，
令2233x -=21
42x x +-，可求出3
611--=x . 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，
则N 的横坐标为
161
3
--，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有
FN HE DF DE
=
=161
233----
=5619-+， 点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是
k≠5619
-+且k ＞0.
说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题：
(2)∵AD DG AO OC =
，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2， 又∵FG CP AB OC
=
， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3， ∴DEFG s =DG·FG=6.
练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC ． ················· 1分 ∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称，
∴A （0，4），B （6，4），C （8，0） ··················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分）
（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为，
∵抛物线过点A （0，4）， ∴
．则抛物线关系式为
． ·············· 4分
将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得
···························· 5AB ，垂足为
G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝分
解得····················· 6分
所求抛物线关系式为：．········ 7分
（3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ． ·········· 8分 ∴
OA （AB +OC ）AF ·AG OE ·OF CE ·OA
（ 0＜
＜4） ········ 10分
∵
． ∴当
时，S 的取最小值．
又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． ······· 12分 （4）当
时，GB =GF ，当
时，BE =BG ． 14分
练习3.[解] （1）当01x ≤≤时，2AP x =，AQ x =，21
2
y AQ AP x == ， 即2
y x =．
（2）当1
2
ABCD ABPQ S S =
正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子， 22BP x =-，AQ x =，()211
222222
x x -+⨯=⨯，43x ∴=．
（3）当4
13
x ≤≤时，2AB =，
22PB x =-，AQ x =，
22
23222
AQ BP x x y AB x ++-∴=
=⨯=- ， 即32y x =-．
作OE AB ⊥，E 为垂足．
当
4
23
x ≤≤时，22BP x =-，AQ x =，1OE =， BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122
x x
+-+=
⨯+⨯32x =， 即32
y x =．
3
2
1
O
1 2 x
y
4
3
90180POQ ≤∠≤或180270POQ ≤∠≤ （4）如图所示：
练习4.[解] (1) 设l 2的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)， ∵l 1与x 轴的交点为A (-2，0)，C (2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l 2与l 1关于x 轴对称， ∴l 2过A (-2,0),C (2,0)，顶点坐标是(0，4)， ∴420,420,4.a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨=⎪⎩ ∴ a =-1,b =0,c =4，即l 2的解析式为y = -x 2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)
(2) 设点B (m ，n )为l 1：y =x 2-4上任意一点，则n = m 2-4 (*). ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，点A 、C 关于原点O 对称， ∴ B 、D 关于原点O 对称， ∴ 点D 的坐标为D (-m ,-n ) .
由(*)式可知， -n =-(m 2-4)= -(-m )2+4， 即点D 的坐标满足y = -x 2+4， ∴ 点D 在l 2上.
(3) □ABCD 能为矩形. 过点B 作BH ⊥x 轴于H ，由点B 在l 1：y =x 2-4上，可设点B 的坐标为 (x 0，x 02-4)， 则OH =| x 0|，BH =| x 02-4| .
易知，当且仅当BO = AO =2时，□ABCD 为矩形. 在Rt △OBH 中，由勾股定理得，| x 0|2+| x 02-4|2=22， (x 02-4)( x 02-3)=0，∴x 0=±2(舍去)、x 0=±3 .
所以，当点B 坐标为B ( 3 ，-1)或B ′(- 3 ，-1)时，□ABCD 为矩形，此时，点D 的坐标分别是D (- 3 ，1)、D ′( 3 ，1).
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD 和矩形AB ′CD ′ . 设直线AB 与y 轴交于E ，显然，△AOE ∽△AHB ， ∴ EO AO = BH AH ，∴1
223
EO =+.
∴ EO =4-23 .
由该图形的对称性知矩形ABCD 与矩形AB ′CD ′重合部分是菱形，其面积为
S =2S ΔACE =2×12 × AC ×EO =2×1
2 ×4×(4-2
3 )=16 - 8 3 .
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ．
∴Rt △POE ∽Rt △BPA ．
∴
PO BA OE AP =
．即34x y x =-．∴y =2114(4)333
x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x =2时，y 有最大值1
3
．
(2)由已知，△PAB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)．
设过此三点的抛物线为y =ax 2＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩∴1,23,21.
a b c ⎧=⎪⎪
⎪=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
y =
213
122
x x -+． (3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件． 直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)， ∴该直线为y =x ＋1．
由21,
131,22y x y x x =+⎧⎪
⎨=-+⎪⎩
得5,6.x y =⎧⎨
=⎩∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．
例2.解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8 ……………………1分 ∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） …………………4分 （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得
解得
∴所求抛物线的表达式为y ＝x
2 x ＋8 ………………………7分
（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC
∴ 即
∴EF ＝
∴
＝ ∴FG ＝·＝8－m
∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝（8－m ）×8－（8－m ）（8－m ）
＝（8－m ）（8－8＋m ）＝（8－m ）m ＝－m 2＋4m …………10分
自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 …………………………11分 （4）存在．
理由：∵S ＝－m 2＋4m ＝－（m －4）2＋8 且－＜0，
∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ………………………12分 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0）
∴△BCE 为等腰三角形． …………………………14分
（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
例3解: （1）相等
理由是：因为四边形ABCD 、EFGH 是矩形， 所以,,EGH EGF ECN ECP CGQ CGM S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===
所以,EGH ECP CGM EGF ECN CGQ S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=-- 即：S S '=
（2）AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，设AE ＝x ，则EC ＝5－x ，34(5),,5
5
PC x MC x =-=
所以12(5)25S PC MC x x ==- ，即21212
(05)255
S x x x =-+≤≤ 配方得：2125()3252S x =--+，所以当5
2
x =时， S 有最大值3
（3）当AE ＝AB ＝3或AE ＝BE ＝5
2或AE ＝3.6时，ABE ∆是等腰三角形
练习1． 解：（1）点 M
1分（2）经过t 秒时，NB t =，2OM t =
则3CN t =-，42AM t =-∵BCA ∠=MAQ ∠=45 ∴ 3QN CN t ==- ∴ 1 PQ t =+
∴11(42)(1)22AMQ
S AM PQ t t ==-+ △22t t =-++ ∴2
219224
S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∵02t ≤≤∴当1
2
t =
时，S 的值最大． （3）存在．设经过t 秒时，NB =t ，OM=2t 则3CN t =-，42AM t =-∴BCA ∠=MAQ ∠=45
①若90AQM ∠= ，则PQ 是等腰Rt △MQA 底边MA 上的高 ∴PQ 是底边MA 的中线 ∴12PQ AP MA ==∴11(42)2
t t +=-∴1
2t = ∴点M 的坐标为（1，0）
②若90QMA ∠= ，此时QM 与QP 重合∴QM QP MA ==∴142t t +=-∴1t = ∴点M 的坐标为（2，0）
练习2.解：（1）()e c d +，，()c e a d +-，．
（2）分别过点A B C D ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111A B C D ，，，， 分别过A D ，作1AE BB ⊥于E ，1DF CC ⊥于点F ． 在平行四边形ABCD 中，CD BA =，又11BB CC ∥，
180EBA ABC BCF ABC BCF FCD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠= ． EBA FCD ∴∠=∠．
又90BEA CFD ∠=∠=
，
BEA CFD ∴△≌△．
AF DF a c ∴==-，BE CF d b ==-．
设()C x y ，．由e x a c -=-，得x e c a =+-．
由y f d b -=-，得y f d b =+-．()C e c a f d b ∴+-+-，．
（3）m c e a =+-，n d f b =+-．或m a c e +=+，n b d f +=+．
（4）若GS 为平行四边形的对角线，由（3）可得1(27)P c
c -，．要使1P 在抛物线上， 则有2
74(53)(2)c c c c c =--⨯--，即2
0c c -=．
10c ∴=（舍去），21c =．此时1(27)P -，
． y
C
()A a b ，
()D e f ，
()B c d ，
E F
1B 1A 1C 1D
O x
若SH 为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32)P c c ，，同理可得1c =，此时2(32)P ，． 若GH 为平行四边形的对角线，由（3）可得(2)c c -，，同理可得1c =，此时3(12)P -，． 综上所述，当1c =时，抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形． 符合条件的点有1(27)P -，，2(32)P ，，3(12)P -，． 练习3.解：⑴由Rt △AOB ≌Rt △CDA 得 OD=2+1=3,CD=1 ∴C 点坐标为(－3,1),
∵抛物线经过点C,
∴1= (－3)2 a ＋(－3)ａ－2，∴2
1
=a 。

∴抛物线的解析式为22
1
212-+=
x x y . ⑵在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。

以AB 边在AB 右侧作正方形ABPQ 。

过P 作PE ⊥OB 于E ，QG ⊥x 轴于G ， 可证△PBE ≌△AQG ≌△BAO ，
∴PE ＝AG ＝BO ＝2，BE ＝QG ＝AO ＝1， ∴∴P 点坐标为（2,1），Q 点坐标为（1,－1）。

由（1）抛物线22
1
212-+=
x x y 。

当x ＝2时，y ＝1，当x ＝,1时，y ＝－1。

∴P 、Q 在抛物线上。

故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2,1）、Q （1,－1），使四边形ABPQ 是正方形。

⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。

延长CA 交抛物线于Q ，过B 作BP ∥CA 交抛物线于P ，连PQ ，设直线CA 、BP 的解析式分别为y=k 1x+b 1, y=k 2x+b 2,
∵A （－1,0），C （－3,1）， ∴CA 的解析式2121--
=x y ，同理BP 的解析式为2
1
21+-=x y ， 解方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-+=--=221212
1212x x y x y 得Q 点坐标为（1,－1），同理得P 点坐标为（2,1）。

由勾股定理得AQ ＝BP ＝AB ＝5，而∠BAQ ＝90°，
∴四边形ABPQ 是正方形。

故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2,1）、Q （1,－1），使四
边形ABPQ 是正方形。

⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。

如图，将线段CA 沿CA 方向平移至AQ ，
∵C （－3,1）的对应点是A （－1,0），∴A （－1,0）的对应点是Q （1,－1），再将线段AQ 沿AB 方向平移至BP ，同理可得P （2,1）
∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC
∴四边形ABPQ 是正方形。

经验证P （2,1）、Q （1,－1）两点均在抛物线22
1
212-+=x x y 上。

⑶结论②
AG
BG
AF BF =成立， 证明如下：连EF ，过F 作FM ∥BG 交AB 的延长线于M ，则△AMF ∽△ABG ，
∴
AG
BG AF MF =。

由⑴知△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠1＝∠2＝45°。

∵AF ＝AE ，∴∠AEF ＝∠1＝45°。

∴∠EAF ＝90°，EF 是⊙O ´的直径。

∴∠EBF ＝90°。

∵FM ∥BG ，∴∠MFB ＝∠EBF ＝90°，∠M ＝∠2＝45°， ∴BF ＝MF ， ∴AG
BG
AF BF =。