数列求和错位相减法,裂项相消法后附答案
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一、解答题
1．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ．
【详解】
（Ⅰ） ，∴
，∴
则
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
,
-
=
=
∴
2．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，
求数列 的通项公式；
设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） （2）
【详解】
7．已知数列 为等差数列， ，且 ， ， 依次成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值.
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得bn （ ），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n．
∴
,
∴ ，∴ ，∴ 的最小正整数为1
6．已知 是首项为 的等比数列，各项均为正数，且 .
（1来自百度文库求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【分析】
（1）由 得q方程求解即可；（2） 变形为
裂项求和即可.
【详解】
（1）设 的公比为 ，
由 得 ，
解得 ，或 ，
因 各项都为正数，所以 ，所以 ，所以 ，
（2）设 ，记数列 的前 项和 ，求使得 恒成立时 的最小正整数.
【分析】
（1）先设设等差数列 的公差为 ，由 ， 列出方程组求出首项和公差即可；
（2）由(1)先求出 ，再由裂项相消法求数列的前 项和即可.
【详解】
解：（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，
所以 解得
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可知
， ， ，
即 ， ，
两式相减，得 ，即 ，
又 ， ，
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ；
设 ，则 ，
，
，
两式相减，得：
．
【点睛】
本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位相减法，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题．
3．已知等差数列 的前 项和为 ，满足 .数列 的前 项和为 ，满足 .
可得 ．所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ．
数列 的前 项和为 .
【点睛】
本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查分组求和法，是基本知识的考查．
10．等差数列 的公差为正数， ，其前 项和为 ；数列 为等比数列， ，且 ．
(I)求数列 与 的通项公式；
(II)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）等差数列{an}的公差d为正数，数列{bn}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得cn＝bn 2n 2n+2（ ），数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．
若 ，则 ，所以 .所以 ，故 不合题意，舍去.
所以等差数列 的公差 ，
故 .
数列 对任意正整数 ，满足 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，
所以 .
所以 是以首项 ，公比 的等比数列，
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，①
所以 ，②
①-②，得
，
所以 .
4．已知数列 的首项 ，且满足
求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） , ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求得 ，然后求得公差，即可求出数列 的通项，再利用 求得 的通项公式；
（2）先求出 的通项，然后利用数列求和中错位相减求和 .
【详解】
解：（1）由 ，得 ，解得 .
由 ，解得 或 .
【详解】
设首项为 ，公差为d的等差数列 是递增数列，且 ， ．
则： ，解得： 或9， 或1，由于数列为递增数列，
则： ， ．故： ，则： ．
由于 ，则： ．
所以： ．
【点睛】
本题主要考查的知识要点为等差数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题型．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ；（3） ；（4） ；需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
【详解】
解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，则
解得
∴ ， .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 .
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
11．已知数列 满足 ， ，数列 满足 ，且 是公差为2的等差数列．
【分析】
（Ⅰ）由 是 与 的等比中项列方程整理，可得出：数列 是首项为1，公差为1的等差数列，问题得解。
（Ⅱ）整理 ，代入 的表示式子即可求解。
【详解】
解：（Ⅰ）∵ 是 与 的等比中项，
∴ ，
等 时， ，∴ .
当 时， ，
整理得 .
又 ，∴ ，
即数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
∴ .
（Ⅱ） ，
【详解】
（1）设数列 的公差为 ，因为 ，
所以 ，解得 .
因为 ， ， 依次成等比数列，所以 ，
即 ，解得 .
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，得 .
8．设正项数列 的前 项和 ，且 是 与 的等比中项，其中 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
记 ，求数列 的前项和为 ．
【答案】（1）证明见解析， （2）
【解析】
【分析】
由 ，得 ，由此可判断 为等差数列，可求 ，进而得到 ; 求出 ，利用错位相减法可求 ．
【详解】
由 ，得 ，
又 ，
为等差数列，首项为1，公差为2，
，
．
，
，
，
得，
，
．
【点睛】
5．已知等差数列 的前 项的和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求 的前n项和 ．
【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和法求{bn}的前n项和Sn即可．
【详解】
解：（Ⅰ）由 ， ， 是首项为 ，公比为 的等比数列.所以 ．
因为 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列．
∴
.
【点睛】
本题主要考查了 法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于基础题。
9．已知等差数列 是递增数列，且 ， ．
求数列 的通项公式；
若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
根据等差数列 中， ， ，列出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得数列 的通项公式；（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求和即可得结果.
1．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 ．
【详解】
（Ⅰ） ，∴
，∴
则
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
,
-
=
=
∴
2．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，
求数列 的通项公式；
设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） （2）
【详解】
7．已知数列 为等差数列， ，且 ， ， 依次成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值.
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得bn （ ），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n．
∴
,
∴ ，∴ ，∴ 的最小正整数为1
6．已知 是首项为 的等比数列，各项均为正数，且 .
（1来自百度文库求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【分析】
（1）由 得q方程求解即可；（2） 变形为
裂项求和即可.
【详解】
（1）设 的公比为 ，
由 得 ，
解得 ，或 ，
因 各项都为正数，所以 ，所以 ，所以 ，
（2）设 ，记数列 的前 项和 ，求使得 恒成立时 的最小正整数.
【分析】
（1）先设设等差数列 的公差为 ，由 ， 列出方程组求出首项和公差即可；
（2）由(1)先求出 ，再由裂项相消法求数列的前 项和即可.
【详解】
解：（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，
所以 解得
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可知
， ， ，
即 ， ，
两式相减，得 ，即 ，
又 ， ，
即数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ；
设 ，则 ，
，
，
两式相减，得：
．
【点睛】
本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位相减法，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题．
3．已知等差数列 的前 项和为 ，满足 .数列 的前 项和为 ，满足 .
可得 ．所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ．
数列 的前 项和为 .
【点睛】
本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查分组求和法，是基本知识的考查．
10．等差数列 的公差为正数， ，其前 项和为 ；数列 为等比数列， ，且 ．
(I)求数列 与 的通项公式；
(II)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）等差数列{an}的公差d为正数，数列{bn}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得cn＝bn 2n 2n+2（ ），数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．
若 ，则 ，所以 .所以 ，故 不合题意，舍去.
所以等差数列 的公差 ，
故 .
数列 对任意正整数 ，满足 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，
所以 .
所以 是以首项 ，公比 的等比数列，
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，①
所以 ，②
①-②，得
，
所以 .
4．已知数列 的首项 ，且满足
求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） , ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求得 ，然后求得公差，即可求出数列 的通项，再利用 求得 的通项公式；
（2）先求出 的通项，然后利用数列求和中错位相减求和 .
【详解】
解：（1）由 ，得 ，解得 .
由 ，解得 或 .
【详解】
设首项为 ，公差为d的等差数列 是递增数列，且 ， ．
则： ，解得： 或9， 或1，由于数列为递增数列，
则： ， ．故： ，则： ．
由于 ，则： ．
所以： ．
【点睛】
本题主要考查的知识要点为等差数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题型．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ；（3） ；（4） ；需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
【详解】
解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，则
解得
∴ ， .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 .
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
11．已知数列 满足 ， ，数列 满足 ，且 是公差为2的等差数列．
【分析】
（Ⅰ）由 是 与 的等比中项列方程整理，可得出：数列 是首项为1，公差为1的等差数列，问题得解。
（Ⅱ）整理 ，代入 的表示式子即可求解。
【详解】
解：（Ⅰ）∵ 是 与 的等比中项，
∴ ，
等 时， ，∴ .
当 时， ，
整理得 .
又 ，∴ ，
即数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
∴ .
（Ⅱ） ，
【详解】
（1）设数列 的公差为 ，因为 ，
所以 ，解得 .
因为 ， ， 依次成等比数列，所以 ，
即 ，解得 .
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，得 .
8．设正项数列 的前 项和 ，且 是 与 的等比中项，其中 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
记 ，求数列 的前项和为 ．
【答案】（1）证明见解析， （2）
【解析】
【分析】
由 ，得 ，由此可判断 为等差数列，可求 ，进而得到 ; 求出 ，利用错位相减法可求 ．
【详解】
由 ，得 ，
又 ，
为等差数列，首项为1，公差为2，
，
．
，
，
，
得，
，
．
【点睛】
5．已知等差数列 的前 项的和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求 的前n项和 ．
【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和法求{bn}的前n项和Sn即可．
【详解】
解：（Ⅰ）由 ， ， 是首项为 ，公比为 的等比数列.所以 ．
因为 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列．
∴
.
【点睛】
本题主要考查了 法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于基础题。
9．已知等差数列 是递增数列，且 ， ．
求数列 的通项公式；
若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
根据等差数列 中， ， ，列出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得数列 的通项公式；（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求和即可得结果.