逆矩阵及伴随矩阵
逆矩阵的三个基本公式
逆矩阵的三个基本公式逆矩阵是矩阵理论中重要的概念之一，它在线性代数、计算机图形学、物理学等领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论逆矩阵的三个基本公式，包括逆矩阵的定义、逆矩阵的计算方法以及逆矩阵的性质。
1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B使得它们的乘积等于单位矩阵I，即 AB = BA = I，则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵可以看作是原矩阵在矩阵乘法下的“倒数”。
2. 逆矩阵的计算方法对于一个n阶方阵A要求其逆矩阵，有以下两个常用的计算方法：2.1 初等变换法（高斯-约旦消元法）通过对A做初等变换，将矩阵A化为n阶单位矩阵I，此时经过一系列初等变换得到的矩阵B 就是逆矩阵A^-1。
具体做法是将矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，然后利用行变换将矩阵A转化为单位阵I，此时变换后的单位阵就是逆矩阵。
2.2 公式法（伴随矩阵法）设A为一个可逆矩阵，其伴随矩阵记作adj(A)，则逆矩阵A^-1可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式。
伴随矩阵adj(A)的计算方法是，将A的元素的代数余子式组成的矩阵转置得到。
3. 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下几个重要的性质：3.1 逆的逆仍为原矩阵如果矩阵A有逆矩阵A^-1，那么A^-1的逆矩阵是A，即(A^-1)^-1 = A。
3.2 乘积的逆等于逆的乘积对于可逆矩阵A和B，(AB)^-1 = B^-1 * A^-1。
简单来说，如果两个矩阵的乘积是可逆矩阵，那么它们的逆矩阵是分别取逆然后交换顺序。
3.3 逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵对于可逆矩阵A，(A.T)^-1 = (A^-1).T。
即逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵。
逆矩阵在矩阵理论中具有重要的地位，它不仅可以帮助我们解决线性方程组的求解问题，还可以应用于矩阵的分解、特征值计算和矩阵的变换等许多领域。
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
2012-6-16
定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
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证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
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定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
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A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
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8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
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四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
伴随矩阵法求逆矩阵解题步骤
伴随矩阵法求逆矩阵解题步骤嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个看似复杂但其实超级有趣的数学话题——伴随矩阵法求逆矩阵。
这可是个热门话题，别看名字听起来高大上，其实它跟咱们的日常生活也有不少关联。
你知道吗，有时候我们在做决定的时候，心里也会想：“这条路该怎么走？这件事该怎么处理？”就像求逆矩阵，都是在寻找一种反向的解决方案呢。
先来了解一下什么是伴随矩阵。
想象一下，伴随矩阵就像是你身边那个总是支持你的好朋友，默默地在你需要的时候出现在你身边。
伴随矩阵其实是通过原矩阵的行列式和余子式来计算出来的。
行列式，听起来有点吓人，但其实就像是你把一堆物品整齐排列后的结果。
越复杂的排列，行列式的值就越复杂。
没事，别慌，慢慢来。
咱们先算出一个矩阵的行列式，假设咱们的矩阵叫做A。
A是个二阶矩阵，就两个行两个列。
行列式的计算方式简单得很，只需要交叉相乘，然后相减就好。
比如，矩阵A = (begin{pmatrix a & b c & d end{pmatrix)，行列式就是ad bc。
简单吧？这就是A的独特“身份标识”，接下来咱们来找到它的伴随矩阵。
伴随矩阵，听起来很神秘，其实它就是把原矩阵中的每个元素替换成它的余子式，然后再转置一下。
说白了，就是把每个元素换个位置，像拼图一样。
余子式嘛，简单来说，就是在删除相应的行和列后剩下的部分的行列式。
如果觉得复杂，不妨想象成换座位游戏，选谁的旁边就看谁的余子式了。
把所有的余子式都求出来，再转置，就得到了伴随矩阵，像是一道美味的数学料理。
咱们要用这个伴随矩阵来求逆矩阵。
这个时候，咱们需要用到一个公式，听起来有点公式感，但其实简单得很：逆矩阵A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)。
这其中的det(A)就是之前计算的行列式，而adj(A)就是你刚刚求出来的伴随矩阵。
把这两个结合在一起，完美无瑕！把伴随矩阵乘以行列式的倒数，就能得到逆矩阵。
就像找到了一扇新的门，开启了新世界。
求逆矩阵知识点总结
求逆矩阵知识点总结一、定义矩阵的逆是指存在一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。
具体来说，如果矩阵A的逆矩阵存在，我们用A^-1来表示它，那么矩阵A的逆矩阵定义为满足下式的矩阵B：A *B = B * A = I其中，I是单位矩阵。
二、求解方法1. 初等变换法利用行初等变换把矩阵A转换为单位矩阵，所做的初等行变换同时作用于一个相同次序的单位矩阵，然后将单位矩阵转换得到的矩阵即是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法对于n阶方阵A，它的伴随矩阵定义为其每个元素的代数余子式。
A的伴随矩阵记作Adj(A)，则有A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A)，其中det(A)是A的行列式。
3. 初等矩阵法对于矩阵A，构造一个n阶单位矩阵In，然后对In进行一系列的乘法和加减操作所得到的新矩阵记为B，如果B=A^-1，则B就是矩阵A的逆矩阵。
三、性质1. 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵A有逆矩阵，那么这个逆矩阵是唯一的。
也就是说，如果存在矩阵B和C，使得A*B=I和A*C=I，那么B=C。
2. 若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且有(A*B)^-1=B^-1*A^-13. (A^-1)^-1 = A4. (A^T)^-1 = (A^-1)^T5. 行列式为0的矩阵没有逆矩阵。
四、应用求逆矩阵在实际应用中有着广泛的作用，其中包括但不限于以下几个方面。
1. 线性方程组求解线性方程组Ax=b时，如果A是可逆矩阵，则可以直接用逆矩阵求解：x=A^-1*b。
2. 信号处理在信号处理领域中，矩阵的逆可以用来解决信号的解耦、滤波等问题。
3. 机器学习矩阵的逆在机器学习中也有重要的应用，比如用于参数的最小二乘估计以及矩阵分解等问题。
4. 几何变换在计算机图形学和几何变换领域，矩阵的逆可以用来表示坐标点的逆向变换。
总结求逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，有着广泛的应用。
本文从定义、求解方法、性质和应用等方面对求逆矩阵的知识点进行了总结，希望能帮助读者更好地理解和应用这一概念。
《逆矩阵与伴随矩阵》课件
伴随矩阵的元素由原矩阵 的代数余子式构成，其元 素位置与原矩阵对应元素 位置互换。
ABCD
伴随矩阵的定义基于代数 余子式，通过代数余子式 构建出一个新的矩阵，即 为伴随矩阵。
伴随矩阵的行列式称为伴 随行列式，其值等于原矩 阵行列式的代数余子式之 和。
伴随矩阵的性质
01 伴随矩阵与原矩阵的行数和列数相同。
逆矩阵的存在条件
可逆矩阵
如果一个矩阵满足其行列式值不为0，则该矩阵是可 逆的。
奇异值
对于奇异值分解，如果一个矩阵的奇异值都为0，则 该矩阵是不可逆的。
线性方程组
如果线性方程组无解或有无穷多解，则系数矩阵不可 逆。
逆矩阵的性质
逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩 阵
$AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
逆矩阵的定义与性 质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设$A$是一个$n times n$矩阵， 如果存在一个$n times n$矩阵 $B$，使得$AB = BA = I$，则称 $B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{1}$。
逆矩阵的唯一性
一个矩阵的逆矩阵是唯一的，记 作$A^{-1}$。
逆矩阵与行列式
一个可逆矩阵的行列式值不为0， 即$|A| neq 0$。
《逆矩阵与伴随矩阵 》PPT课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 逆矩阵的定义与性质 • 伴随矩阵的定义与性质 • 逆矩阵与伴随矩阵的应用 • 逆矩阵与伴随矩阵的运算规则 • 逆矩阵与伴随矩阵的特殊情况 • 逆矩阵与伴随矩阵的实例分析
01
，得到伴随矩阵。
若原矩阵可逆，则可以通过伴随 矩阵计算行列式的值。
线性代数2-5
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
3
4 1 1− λ
= (1 − λ ) + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ ) (− 3 + λ )
(1 − λ )3 + 2(1 − λ )2 + λ − 3 =
解
1 2 3 1 2 3 A = 2 1 2 = 0 −3 −4 1 3 3 0 1 0
1
−3 −4 可逆 0 −3 −4 = = 4 ≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0
0 1 0
代数余子式的符号不能丢 2 3 1 2 , 可得 3 3 2 2 2 2 1 = −3, A12 = − = −4, A13 = = 5, 3 1 3 1 3
例 4
解线性方程组 x1 − 2 x2 + x3 = −2, 2 x1 + x2 + −3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3 由于方程组的系数行列式
解
−2 1 D= 2 1 − 3 = −5 ≠ 0, 知方程组有唯一解， 知方程组有唯一解， −1 1 −1 1
a11 ⋯ a1 , j −1 b1 a1 , j + 1 ⋯ a1 n D j = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 ⋯ a n , j −1 bn a n , j +1 ⋯ a nn
逆否命题 如果线性方程组 (1) 无解或有超过一个 以上的解，则它的系数行列式必为零. 以上的解，则它的系数行列式必为零.
a的逆的伴随等于a的伴随的逆证明
a的逆的伴随等于a的伴随的逆证明主题：a的逆的伴随等于a的伴随的逆证明在线性代数中，矩阵的逆和伴随是非常重要的概念。
它们在解线性方程组、求解矩阵的特征值和特征向量等方面起着关键作用。
而关于矩阵逆和伴随的性质之一就是：矩阵a的逆的伴随等于a的伴随的逆。
本文将对这一性质进行深入探讨，并给出证明过程。
1. 矩阵的逆在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是矩阵A是可逆的。
2. 矩阵的伴随对于n阶方阵A，定义它的伴随矩阵为adj(A)，其中adj(A)的元素是A的代数余子式。
伴随矩阵在求解矩阵的逆、计算矩阵的幂等问题中具有重要作用。
3. 证明：a的逆的伴随等于a的伴随的逆现在来证明性质：矩阵a的逆的伴随等于a的伴随的逆。
假设矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵记为A^-1。
我们有以下证明过程：（1）证明A^-1的伴随是adj(A)的逆由伴随矩阵的性质可知，对于任意的n阶方阵A，有A*adj(A)=det(A)I（其中det(A)为A的行列式）。
A*adj(A)是一个数量，记作k。
（2）证明A的伴随的逆是(A^-1)的伴随我们知道，A的伴随矩阵的元素是A的代数余子式，记为adj(A)=(A_ij)，其中A_ij是矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式。
则A的伴随的逆矩阵记为(adj(A))^-1。
（3）结合（1）和（2），得出结论因为A*adj(A)是一个数量k，而A*adj(A)=det(A)I，所以A*adj(A)的逆矩阵是1/det(A)*I。
我们得出结论：矩阵a的逆的伴随等于a的伴随的逆。
这一性质在矩阵运算、线性方程组求解等领域具有重要的理论意义和实际应用价值。
4. 个人观点和理解对于矩阵的逆和伴随，我深有体会。
在实际工程问题中，常常需要对矩阵进行求逆操作，或者利用伴随矩阵来解决相关问题。
矩阵求逆伴随矩阵方法
矩阵求逆伴随矩阵方法矩阵求逆伴随矩阵方法可以用来求解矩阵的逆矩阵。
逆矩阵是指能够将原矩阵乘上一个逆矩阵得到单位矩阵的矩阵。
矩阵的逆不存在的情况下，就无法使用逆矩阵求解方程组等一系列问题。
因此，求解逆矩阵是非常重要的。
在矩阵求逆伴随矩阵方法中，首先需要求出矩阵的伴随矩阵。
伴随矩阵也被称为伪逆矩阵或伪反转矩阵，它的作用是将原矩阵变成一个具有相似特征的矩阵。
伴随矩阵的求解需要用到矩阵的行列式和余子式，这些数学概念需要在数学基础中学习。
矩阵的伴随矩阵可以使用如下公式进行计算：$$ A^{-1}=\frac{1}{\left| A\right|}\textbf{A}^*_i^j $$ 其中，$\textbf{A}^*_i^j$表示矩阵$\textbf{A}$的余子式。
需要注意的是，只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵，非方阵只有伪逆矩阵。
另外，在计算矩阵的逆矩阵时，需要注意矩阵的行列式是否为0，如果行列式为0，则矩阵不存在逆矩阵。
矩阵求逆伴随矩阵方法的步骤如下：1. 求解矩阵的行列式$\left| A\right|$（需要保证矩阵为方阵）；2. 求解矩阵的余子式$\textbf{A}^*_i^j$（需要保证矩阵为方阵）； 3. 根据公式$\textbf{A}^{-1}=\frac{1}{\left|\textbf{A}\right|}\textbf{A}^*_i^j$计算矩阵的逆矩阵。
有了逆矩阵，我们就可以使用矩阵乘法来求解方程组等问题。
例如，对于方程组$\textbf{Ax}=\textbf{b}$，如果矩阵$\textbf{A}$存在逆矩阵，那么我们可以将方程组变形为$\textbf{x}=\textbf{A}^{-1}\textbf{b}$，然后使用逆矩阵求解向量$\textbf{x}$的值。
除了矩阵求逆伴随矩阵方法，还有其他求逆矩阵的方法，例如高斯-约旦消元法、LU分解法、Jacobi迭代法等。
每种方法都有其适用范围和注意事项，需要根据实际情况选择合适的求解方法。
伴随矩阵求逆矩阵例题
伴随矩阵求逆矩阵例题摘要：1.伴随矩阵的概念及其性质2.利用伴随矩阵求逆矩阵的方法3.例题讲解4.总结与扩展正文：一、伴随矩阵的概念及其性质伴随矩阵是线性代数中一种重要的矩阵，与一个矩阵A 密切相关。
伴随矩阵B(A) 的元素是矩阵A 的代数余子式，即B(A) 的第i 行第j 列的元素为A 的第(j-i) 行第(i-1) 列的代数余子式。
伴随矩阵具有以下性质：1.伴随矩阵的转置等于原矩阵的逆矩阵，即B(A)^T = A^-1。
2.伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的相反数，即det(B(A)) = -det(A)。
二、利用伴随矩阵求逆矩阵的方法根据伴随矩阵的性质，可以得到求逆矩阵的公式：A^-1 = B(A)^T。
利用这个公式，可以通过计算伴随矩阵来求解逆矩阵。
三、例题讲解例1：求下列矩阵的逆矩阵：begin{bmatrix}1 &2 & 37 & 8 & 9end{bmatrix}解：先计算伴随矩阵B(A)：begin{bmatrix}-3 & -6 & -9-8 & -10 & -12-7 & -8 & -9end{bmatrix}然后计算B(A)^T：begin{bmatrix}-3 & 6 & 98 & 10 & 127 & 8 & 9end{bmatrix}最后，A^-1 = B(A)^T = begin{bmatrix} -3 & 6 & 98 & 10 & 127 & 8 & 9end{bmatrix}例2：求下列矩阵的逆矩阵：begin{bmatrix}0 & 2 & 00 & 0 & 3end{bmatrix}解：先计算伴随矩阵B(A)：begin{bmatrix}2 & 0 & 00 & 3 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}然后计算B(A)^T：begin{bmatrix}2 & 0 & 00 & 3 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}最后，A^-1 = B(A)^T = begin{bmatrix} 2 & 0 & 00 & 3 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}四、总结与扩展本篇文章介绍了如何利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，通过计算伴随矩阵及其转置，可以方便地求得逆矩阵。
用伴随矩阵求逆的合理解释
用伴随矩阵求逆的合理解释
伴随矩阵（Adjoint Matrix）也称为矩阵的伴随矩阵、伴随系数矩阵，它是线性代数中的
一种非常常见的概念，可以用来求解线性方程组，是矩阵求逆的一种高效方法。
首先，什么是伴随矩阵，伴随矩阵就是某个矩阵A的伴随矩阵C(A)，它是定义在A矩阵上的，A具有n个行n个列，而C(A)具有n个行n个列，每个元素Cij与A互为伴随。
即，Cij=Aij，因此说伴随矩阵可以用来表示矩阵的逆的。
其次，为什么要使用伴随矩阵来求解矩阵的逆，由于可以大大简化计算量，使用伴随矩阵
来计算逆矩阵可以大大减少计算量，避免使用大量复杂的矩阵乘法。
例如，求解3阶矩阵
A的逆，其中Aij是3阶矩阵A中第i行第j列的元素，其计算量为O(n^4) ，而使用伴
随矩阵只需要O(n^3)的计算量。
此外，伴随矩阵也可以用于解决一些其他的数学问题，通过按行或按列求和计算，可以找
出不同的特征值及伴随矩阵。
可以利用这种方法来求解系统的几何形状，求解多隔计算机
图形的位置变换，从而推导出很多复杂的图形动画方法。
同时，利用伴随矩阵还可以解决
一些概率统计问题，可以在一系列重要变量之间找出成正比例的关系，从而求解概率问题。
最后，在线性代数中，伴随矩阵无疑是一种有效的矩阵求逆方法，它能够大大简化计算量，而且还可以拓展用于解决几何形状，图形动画及概率统计的问题等，也是数学中常用的线
性代数工具。
在总结，伴随矩阵可以用来求解矩阵的逆，是线性代数中的一种有用的工具，可以大大减
少计算量，同时还可以拓展用于解决更多的数学问题。
伴随矩阵求逆矩阵例题
伴随矩阵求逆矩阵例题摘要：一、伴随矩阵求逆矩阵的方法二、利用伴随矩阵求逆矩阵的例题解析1.例题一2.例题二3.例题三三、总结与展望正文：伴随矩阵求逆矩阵的方法是利用矩阵的性质，通过特定的计算方式求得矩阵的逆矩阵。
这种方法相较于其他方法更为简便，适用于求解一些特定类型的矩阵。
接下来，我们将通过例题来解析如何利用伴随矩阵求逆矩阵。
例题一：给定矩阵A = | 1 2 |，| 2 5 |，求A 的逆矩阵。
解答：首先，计算伴随矩阵| 1 2 |，| 5 2 |。
然后，将伴随矩阵除以矩阵A 的行列式，即(1 2) / (1 * 5) = 1/5，(5 2) / (2 * 1) = 2/1。
最后，将得到的伴随矩阵除以行列式的结果作为新的矩阵，即| 1/5 2/1 |，| 2/1 1/5 |。
所以，矩阵A 的逆矩阵为| 1/5 2/1 |，| 2/1 1/5 |。
例题二：给定矩阵B = | 1 2 3 |，| 4 5 6 |，| 7 8 9 |，求B 的逆矩阵。
解答：首先，计算伴随矩阵| 1 2 3 |，| 5 6 7 |，| 8 9 4 |。
然后，将伴随矩阵除以矩阵B 的行列式，即(1 2 3) / (1 * 7) = 1/7，(5 6 7) / (2 * 8) = 5/16，(8 9 4) / (3 * 5) = 8/15。
最后，将得到的伴随矩阵除以行列式的结果作为新的矩阵，即| 1/7 2/15 3/14 |，| 5/16 6/15 7/14 |，| 8/15 9/14 4/7 |。
所以，矩阵B 的逆矩阵为| 1/7 2/15 3/14 |，| 5/16 6/15 7/14 |，| 8/15 9/14 4/7 |。
例题三：给定矩阵C = | 1 2 3 |，| 4 5 6 |，求C 的逆矩阵。
解答：首先，计算伴随矩阵| 1 2 3 |，| 6 5 4 |。
然后，将伴随矩阵除以矩阵C 的行列式，即(1 2 3) / (1 * 6) = 1/6，(6 5 4) / (2 * 5) = 3/5。
矩阵的行列式,伴随阵,逆
temp=b[z][j];
b[z][j]=b[j][z];
b[j][z]=temp;
}
printf("Because |A|!=0,the original matrix have 逆矩阵!\n");
printf("The 伴随矩阵 A* is:\n");
//判断条件:若|A|==0，则原矩阵无逆矩阵，反之则存在逆矩阵
else
{
n_1(a,b,n); //调用n_1()函数，得到原矩阵各元素对应的"余子式",存放在数组b[N][N]中
for(z=0;z<n;z++) //求代数余子式，此时b[N][N]中存放的为原矩阵各元素对应的"代数余子式"
for(j=0;j<n;j++)
if((z+j)%2!=0 && b[z][j]!=0)
b[z][j]=-b[z][j];
for(z=0;z<n;z++) //对b[N][N]转置,此时b[N][N]中存放的为原矩阵的伴随矩阵
for(j=z+2;j<n;j++)
printf("The original matrix is:\n");
for(z=0;z<n;z++) //打印原矩阵
{
for(j=0;j<n;j++)
printf("%5d",a[z][j]);
printf("\n");
}
if(k>=l&&g<m)
矩阵求逆的几种方法总结（C++）
矩阵求逆的⼏种⽅法总结（C++）矩阵求逆运算有多种算法：1. 伴随矩阵的思想，分别算出其伴随矩阵和⾏列式，再算出逆矩阵；2. LU分解法（若选主元即为LUP分解法: Ax = b ==> PAx = Pb ==>LUx = Pb ==> Ly = Pb ==> Ux = y，每步重新选主元），它有两种不同的实现；A-1=(LU)-1=U-1L-1，将A分解为LU后，对L和U分别求逆，再相乘；通过解线程⽅程组Ax=b的⽅式求逆矩阵。
b分别取单位阵的各个列向量，所得到的解向量x就是逆矩阵的各个列向量，拼成逆矩阵即可。
下⾯是这两种⽅法的c++代码实现，所有代码均利⽤常规数据集验证过。
⽂内程序旨在实现求逆运算核⼼思想，某些异常检测的功能就未实现（如矩阵维数检测、矩阵奇异等）。
注意：⽂中A阵均为⽅阵。
伴随矩阵法C++程序：1 #include <iostream>2 #include <ctime> //⽤于产⽣随机数据的种⼦34#define N 3 //测试矩阵维数定义56//按第⼀⾏展开计算|A|7double getA(double arcs[N][N],int n)8 {9if(n==1)10 {11return arcs[0][0];12 }13double ans = 0;14double temp[N][N]={0.0};15int i,j,k;16for(i=0;i<n;i++)17 {18for(j=0;j<n-1;j++)19 {20for(k=0;k<n-1;k++)21 {22 temp[j][k] = arcs[j+1][(k>=i)?k+1:k];2324 }25 }26double t = getA(temp,n-1);27if(i%2==0)28 {29 ans += arcs[0][i]*t;30 }31else32 {33 ans -= arcs[0][i]*t;34 }35 }36return ans;37 }3839//计算每⼀⾏每⼀列的每个元素所对应的余⼦式，组成A*40void getAStart(double arcs[N][N],int n,double ans[N][N])41 {42if(n==1)43 {44 ans[0][0] = 1;45return;46 }47int i,j,k,t;48double temp[N][N];49for(i=0;i<n;i++)50 {51for(j=0;j<n;j++)52 {53for(k=0;k<n-1;k++)54 {55for(t=0;t<n-1;t++)56 {57 temp[k][t] = arcs[k>=i?k+1:k][t>=j?t+1:t];58 }59 }606162 ans[j][i] = getA(temp,n-1); //此处顺便进⾏了转置63if((i+j)%2 == 1)64 {65 ans[j][i] = - ans[j][i];66 }67 }68 }69 }7071//得到给定矩阵src的逆矩阵保存到des中。
伴随矩阵十大公式
伴随矩阵十大公式伴随矩阵是代数学中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用，如线性代数、数学物理、控制论等。
伴随矩阵是一个与方阵 A 相对应的矩阵，它在许多情况下都可以用来计算方阵 A 的特征值和特征向量。
在本文中，我们将介绍伴随矩阵的十大公式，以及这些公式在数学和工程应用中的重要性。
1. 伴随矩阵的定义公式：设 A 为 n 阶方阵，则伴随矩阵 A^(-1) 定义为满足 A^(-1)*A=I 的最小正整数 n 时的矩阵。
其中，I 为单位矩阵。
这个公式给出了伴随矩阵的基本概念，并且是伴随矩阵的许多应用的基础。
2. 伴随矩阵的逆公式：设 A 为 n 阶方阵，则 A 的逆矩阵可以通过伴随矩阵来计算，即 A^(-1)*A=A^(-1)。
这个公式说明了如何使用伴随矩阵来计算方阵的逆矩阵，它是伴随矩阵在线性代数中的应用之一。
3. 伴随矩阵的特征值公式：设 A 为 n 阶方阵，则 A 的特征值可以通过伴随矩阵来计算，即 Tr(A^(-1)*AA*A^(-1))=n。
这个公式说明了如何使用伴随矩阵来计算方阵 A 的特征值，它是伴随矩阵在数学和工程应用中的重要应用之一。
4. 伴随矩阵的特征向量公式：设 A 为 n 阶方阵，则 A 的特征向量可以通过伴随矩阵来计算，即 A^(-1)*AA*A^(-1)*特征向量=特征向量。
这个公式说明了如何使用伴随矩阵来计算方阵 A 的特征向量，它是伴随矩阵在数学和工程应用中的重要应用之一。
5. 伴随矩阵的谱分解公式：设 A 为 n 阶方阵，则 A 可以通过伴随矩阵的谱分解来计算，即 A=P^(-1)*AP，其中 P 为特征向量矩阵。
这个公式说明了如何使用伴随矩阵来计算方阵 A 的谱分解，它是伴随矩阵在数学和工程应用中的重要应用之一。
6. 伴随矩阵的谱定理公式：设 A 为 n 阶方阵，则 A 可以通过伴随矩阵的谱定理来计算，即 A 的特征值可以通过伴随矩阵的谱分解来计算。
这个公式说明了如何使用伴随矩阵来计算方阵 A 的特征值，它是伴随矩阵在数学和工程应用中的重要应用之一。
伴随矩阵求逆矩阵例题
伴随矩阵求逆矩阵例题（实用版）目录1.伴随矩阵求逆矩阵的定义与公式2.伴随矩阵求逆矩阵的例子3.伴随矩阵求逆矩阵的特殊求法4.如何利用伴随矩阵求逆矩阵正文一、伴随矩阵求逆矩阵的定义与公式伴随矩阵求逆矩阵是一种求矩阵逆矩阵的方法，它通过矩阵的伴随矩阵来求解。
设矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，矩阵 A 的逆矩阵为 A^-1，那么有以下公式：A^-1 = A* / |A|其中，|A|表示矩阵 A 的行列式。
二、伴随矩阵求逆矩阵的例子下面我们通过一个例子来说明如何利用伴随矩阵求逆矩阵。
例：求下列矩阵的逆矩阵：begin{bmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{bmatrix}首先，我们求出该矩阵的伴随矩阵 A*：begin{bmatrix}1 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}然后，我们计算矩阵 A 的行列式|A|：|A| = 1 * 8 - 2 * 7 + 3 * 6 = 2最后，利用公式 A^-1 = A* / |A|，求得矩阵 A 的逆矩阵：A^-1 = begin{bmatrix}1/2 & -1/2 & -1/2-1/2 & 1/2 & -1/21/2 & -1/2 & 1/2end{bmatrix}三、伴随矩阵求逆矩阵的特殊求法当矩阵 A 是大于等于二阶矩阵时，可以采用以下特殊求法求解逆矩阵：1.主对角元素：将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以（x，y 为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从 1 开始）。
2.非主对角元素：原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以（x，y 为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从 1 开始）。