奥数-整式的乘除-第3讲法师

第三讲 整式的乘法与除法

一、 基础知识

●

整式的加减

整式的加减涉及到许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点：

1．透彻理解“三式”和“四数”的概念

“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的次数、项数．

2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”

“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．

物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类型．这样，使得整式能大为简化，整式的加减实质就是合并同类项

● 整式的乘法与除法 指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：.,(),()m n m n m mn a a a

a a a

b +==n =,.n n m n m n a b a a a -÷=学习指数运算律应注意：

1．运算律成立的条件；

2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；

3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．

多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演

算方法相似，基本步骤是：

1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；

2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；

3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．

二、 例题

第一部分 基础概念与整式加减法

例1. 若2x+5y-3=0,则432_____x y

= (2002年绍兴市竞赛题)

解：8

例2. 已知单项式0.25x b y c 与单项式-0．125x 1-m y 12-n 的和为0．625ax n y m

，求abc 的值． 解：12 提示：由题意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125)

例3. 同时都含有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．

(A)4个 (B)12个 (D)25个

(北京市竞赛题)

解：C 提示：设满足条件的单项式为m n p a b c 的形式，其中m 、n 、p 为自然数，且m+n+p=7.

例4. 把一个正方体的六个面分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F 并展开如图 所示，已知：

A=2234y xy x +-,C=2223y xy x --,B=

)(2

1A c -, E=B －2C ，若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D 、F ． (第9题) 解：222

2374,9112D x xy y F x xy y =-+=-+

例5. 已知 22276(2)()x xy y x y x y A x y B -----=-+++.求A 、B 的值. 思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解.

解：A=-3，B=2。提示：展开比较对应项的系数，得到关于A 、B 的等式。

第二部分 整式乘法与除法

例6. 求(2x 6-3x 5+4x 4-7x 3+2x-5) (3x 5-x 3+2x 2+3x-8)展开式中x 8的系数

解 x 8的系数=2⨯2+(-3) ⨯ (-1)+(-7) ⨯3= -14

评注：只要求x 8的系数，并不需要把展开式全部展开。

例7.

多项式322578x x x -+-与多项式211ax bx ++的乘积中，没有含4x 的项， 也没有含3x 的项，则2_____a b +=

解：26。提示：43

,x x 的系数分别为2b-5a=0，7a-5b+22=0，得到a=4，b=10。

例8. 计算多项式23bx ax ++cx+d 的值时有以下3种算法，分别统计3种算法中乘法的次数． ①直接计算：23bx ax ++cx+d 时共有3+2+1：6(次)乘法；

②利用已有幂运算结果：23x x =·x ，计算23bx ax ++cx+d 时共有2+2+1=5（次）乘法；

③逐项迭代：23bx ax ++cx+d=[(ax+b)x+c]x+d,其中等式右端运算中含有3次乘法，

请问：(1)分别使用以上3种算法，统计算式

1098291100a x a x a x a x a +++++

中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．

（2）对n 次多项式n n n n n a x a x

a x a x a +++++---122110 (其中n a a a a ,,,,210 为系数，n ﹥1),分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣。

解：（1）3种算法中乘法的次数分别为：1，10+9+8+……+2+1=55次；2，2*9+1=19次；3，10次。（2）乘法次数分别为：2（n-1）+1=2n-1次；3，n 次

注：以上部分为整式乘法

例9. 计算 (3x 4-5x 3+x 2+2)÷(x 2+3)

分析 整式除法可用竖式进行

解 3 x 2 - 5x - 8

x 2+3) 3x 4 - 5x 3 + x 2 + 0x + 2

3x 4 +9 x 2

- 5x 3 -8 x 2+ 0x

- 5x 3 -15x

-8 x 2+15x+ 2

-8 x 2 - 24

15x+ 26

所以，商式为3 x 2 - 5x - 8，余式为15x+ 26

评注：用竖式进行整式除法要注意：

(2) 被除式和除式要按同一字母的降幂排列；

(3) 如被除式和除式中有缺项，要留有空位；

(4) 余式的次数要低于除式的次数；

(5) 被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式=除式⨯商式+余式

例10. 若3432

31,912371999x x x x x x -=+--+则的值等于( )．

A ．1997

B ．1999

C ．2001

D ．2003

(北京市竞赛题)

解：D 提示：原式=2(34)(31)2003x x x +--+

例11. 是否存在常数p 、q 使得42225x px q x x ++++能被整数？ 如果存在，求出p 、q 的值，否则请说明理由.

思路点拨 由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数）.根据“被除式=除式×商式”运用待定系数法求出p 、q 的值，所谓p 、q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解.

解：可设42432(2)(52)(25)5x px q x m x n m x n m x n ++=++++++++，对应系数解之6,25p q ==。故存在之。

例12. 求证：(x 2-xy+y 2)3+(x 2+xy+y 2)3能被2x 2+2y 2整除

分析 如果将(x 2-xy+y 2)3与(x 2+xy+y 2)3直接展开，太繁，可将两个式子整体处理，分别看作a 和b ，然后利

用乘法公式展开，可将计算简化。

解 (x 2-xy+y 2)3+(x 2+xy+y 2)3

=[(x 2-xy+y 2)+(x 2+xy+y 2)]3 - 3⋅(x 2-xy+y 2) (x 2+xy+y 2)[ (x 2-xy+y 2)+(x 2+xy+y 2)]

=(2x 2+2y 2)3-3⋅(x 2-xy+y 2) (x 2+xy+y 2) (2x 2+2y 2)

所以原式能被2x 2+2y 2整除。

评注：本题采用的是整体处理思想。

例13. 当a 、b 为何值时，多项式2x 4+6x 3-3x 2-ax+b 能被多项式2x 2-4x+1整除？

例14. 一个关于x 的二次多项式()x f ，它被(x-1)除余2，它被(x-3)除余28，它还可被(x+1)整除，求()x f 注：以上为整式除法

三、 练习题

1. 已知12-n x b a 与m b a 223-是同类项，那么(2m 一n)x

=_________. (第12届江苏省竞赛题)

解：1

2. 已知A=a 2＋b 2－c 2，B=4a 2＋2b 2＋3c 2

，若A+B+C=0，则C=( )．

(A)5a 2＋3b 2＋2c 2 (B)5a 2－3b 2＋4c 2