第五章 风险衡量

条形图
VAR00001
曲线图（Line chart）主要用于显示连续型变量的次数分布
（二）损失资料的数字描述

为了简化频数分布所提供的信息并概括出重 要的情况，借助两类指标：
1. 2.
描述集中趋势的指标，称作平均指标； 描述离散趋势的指标，称作变异指标。
损失资料的数字描述
（一）平均指标
1.算术平均数（又称平均数） 最常用的数值量数是算术平均数，简称平均数。其定义为：
总体标志总量 算术平均数＝ 总体单位总量
x
x
i 1
n
i
n
或
x
i 1 n
n
i
fi

i 1
fi
2.几何平均数 几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。
X G n X 1 * X 2 * ... * X n
2002-2006年我国工业品的产量分别是上年的7.6%、 2.5%、0.6%、2.7%、2.2%，计算这5年的平均增 长速度。
方差和标准差 1 n 方差： S2 ( xi x )2 n 1
3.
i 1
标准差：
S
1 n ( xi x ) 2 n i 1
其中：方差与标准差公式还可以演变成多种形式

变异系数
S V x
三、风险衡量指标


风险是指损失的不确定性，而这种不确定性包括损 失发生与否，何时何地发生和一旦发生其损失程度 如何等都不确定，其中损失发生与否和损失程度在 风险管理中尤为重要。 损失概率指损失发生的可能性。 损失程度，则表征损失的严重性，在风险衡量中， 常通过以下两个指标反映风险损失程度：
撞车次数X=k 概率 0 1 2 3
PX k 0.5 k e 0.5 / k!
0.5 0 e 0.5 / 0! 0.6065
0.51 e 0.5 / 1! 0.3033
0.52 e 0.5 / 2! 0.0758
0.53 e 0.5 / 3! 0.0126
4
5 6
（二）损失期望值
某一时期的平均损失，可以通过损失数据的算术
平均数来估计，如果已得到损失的概率分布，则
可精确计算出来。
（三）损失幅度
一旦发生致损事故，其可能造成的最大损失值。 管理人员最基本的是估测单一风险单位在每一事件 发生下的最大可能损失和最大预期损失。 其中，最大可能损失是一种客观存在，与主观认 识无关；而最大预期损失是与概率估算相关的，它 随选择概率水平不同而不同。并且，最大可能损失 大于等于最大预期损失。 仅估测最大可能损失和最大预期损失是不够的， 有时需要估计年度最大可能损失和年度最大预期损 失。
VAR00001
14
12
10
8
直方图
S td . De v = 4. 86 Mea n = 1 63. 3 N = 83 . 00
6
4
2 0
VAR00001
14
12
10
Count
8
6
4
2 0 152.00 155.00 157.00 159.00 161.00 163.00 165.00 167.00 169.00 171.00 174.00

损失期望值：即未来某一时期内预期的损失平均值。 损失幅度：指一旦损失发生，可能形成的最大损失。
风险衡量指标
（一）损失概率 1.含义：损失发生的可能性。 2.损失概率在风险衡量中的两种说法
（1）时间性说法：此种说法侧重于时间的观念，指长期观 察下所得的平均结果。采用此说法需要注意：时间单位的采 用不同，在直觉上损失概率的大小亦不同；此种说法通常是 在经济单位并不拥有许多同类风险单位的情况。 （2）空间性说法：此种说法侧重于特定期内遭受损失的风 险单位数，是众多风险单位在空间上的平均结果。 采用此说 法需要注意：观察的风险单位是相互独立的和同质的。
第五章 风险衡量
风险衡量主要包括以下工作： 一、收集有助于估计未来损失的资料。 二、整理、描述损失资料。 三、运用概率统计工具进行分析、估算。
一、损失资料的搜集与整理
（一）损失资料的搜集
预测偶然损失，需要找出过去的资料并应用于未来。 在搜集损失资料时，有如下要求：
1.完整性：即收集到的数据尽可能充分、完整，这种完善不仅 要求有足够的损失数据，而且要求收集与这些数据相关的外部 信息。 2.一致性：所有记录在案的损失数据必须在统一的基础上收集 (相同的来源和相同的技术）；损失价值必须具有一致性。 3.相关性：过去损失额的确定必须以与风险管理相关性最大为 基础。 4.系统性：根据风险管理的目的与要求，按一定的方法对收集 到的数据进行整理，使之系统化，以提供有用的信息。
例题：

某地若干年间夏季出现暴雨共84次，每次暴雨以一天计算，一个夏季（5~9月） 共153天。每次暴雨造成的损失频率分布表，试估算下次暴雨的（1）期望损失； （2）损失额落在什么区间的概率为95.45%；（3）损失额大于100万的概率的 多大？
组别 1 2 3 分组（万元） 5~25 25~45 45~65 频数fi 4 8 14 频率（%） 0.0476 0.0952 0.1667
P{ X k} C p q
k n k
( nk )

两个或两个以上风险单位发生事故的概率
n n
i P{ X 2} P{ X 2} .... P{ X n} P{ X i} Cn p i q ni i 2 i 2
或者通过下式计算：
P{X 2} 1 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
损失资料的数字描述
（二）变异指标
1. 2.
全距（＝最大观察值－最小观察值） 平均绝对差（将所有数据与算术平均数相差的结果取绝 对值，再对其进行算术平均）
x
M . A.D
xi x
i 1
n
n
其中：xi－经递增整理的数据资料中的第i个数据；x 为算术平均数;n为数据个数
损失资料的数字描述
解：设需要维修工人N人，令同一时刻发生故障的 设备数为X台。则：
P{ X N} 0.01
由于n=300很大，P=0.01很小，所以可以用泊松分 布来近似。 P{ X N} 0.99 ，查表可知，此时最小的 N=8。也就是说至少需要配备8名维修工人。
泊松分布的优势
每个风险单位在一定时期内可能发生多次风 险事故。泊松分布常见于稠密性问题，因此 对风险单位数较多的情况特别有效，一般来 说，要求风险单位不少于50，所有单位遭遇 损失的概率都相同并低于0.1。

年度最大可能损失与年度最大预期损失均可成因 于单一风险，或者成因于多种风险，它们可包括 各种风险事故所致众多风险单位的所有类型损失。 年度最大预期损失是面临风险的单个单位或单位 群体在一年内可能遭受的最大总损失量。与最大 预期损失一样，这种损失量依风险管理人员选择 的概率水平而定。但与最大预期损失不同的是， 这种量度并不仅仅是指一次事故的严重性，相反 依事件的个数以及它们的严重性而定。
四、损失概率与损失程度的估测
（一）每年损失事故发生的次数
1. 用二项分布估测损失次数
n个风险单位遭遇同一风险事故的发生是随机的， 其结果只有两个：发生与不发生。当其满足以下条 件时：（1）风险事故发生概率相等；（2）风险事 故之间互相独立；（3）同一风险单位一年中发生 两次以上事故可能性极小，此时即为二项随机分布， 其分布律为：
（二）损失资料的整理
可以将资料中数据按照递增顺序排列，进 行初步整理。对资料的进一步整理有如下方 法： 1.资料分组，将损失数据的变动范围分为许多 组，对分组后数据进行分析。 确定：类型、组数、组距、组限、组中值。
分组步骤



⑴先对数据进行排序，以了解全部数据的 变动范围； ⑵确定分组的形式，也就是确定编制单项 式分组还是组距式分组以及是等距还是异 距； ⑶确定分组组数，计算各组组距； ⑷确定分组的组限；

用于显示离散型变量的次数分布 条形图（Bar chart）
柱状图
5
4 3 2
1 0
体操
举重
乒乓球 羽毛球
射击
跳水
柔道
田径
跆拳道
直方图（ Histogram ）
用于显示连续型变量的次数分布
40
30
20
10 Std. Dev = 4.86 Mean = 163.3 0 154.0 158.0 162.0 166.0 170.0 174.0 N = 83.00
0 4. 17 .0 3 17 .0 2 17 .0 1 17 .0 0 17 .0 9 16 .0 8 16 .0 7 16 .0 6 16 .0 5 16 .0 4 16 .0 3 16 .0 2 16 .0 1 16 .0 0 16 .0 9 15 .0 8 15 .0 7 15 .0 6 15 .0 5 15 .0 4 15 .0 3 15 .0 2 15
0.54 e 0.5 / 4! 0.0016
0.55 e 0.5 / 5! 0.0002
0.56 e 0.5 / 6! 0.0000

某工厂有同类型设备300台，各台设备工作 相互独立。已知每台设备发射故障的概率 均为0.01。为了保证设备发生故障又不能 及时维修的概率小于0.01，至少要配备多 少维修工人？（假设一台设备的故障可由 一人处理）
0 1 1 Cn p 0q n Cn p1q n1
X的期望值表示事故发生次数的平均值，方差和标准差 描述了实际情况与期望值的偏离程度。 X的期望值E（X）＝np；方差VarX＝npq；标准差 是方差的开方。
2.用泊松分布估测损失次数
当每个风险单位在一定时期内可能发生多次风险事故， 二项分布就不适用了；另外当在二项分布中n很大、 q很小时，计算变得很复杂，但用泊松分布更适合风 险损失次数的估测。设，每年有λ 个风险单位发生 事故，且概率相等，则事故次数X为服从参数λ 的泊 松分布，其分布律如下： k
2.频数分布：在统计分组的基础上，将总体的所有 单位按组归类整理，形成总体单位数在各组间的分 布，称频数分布。 3.累积频数分布:各组对应的累积频数是该组及以前 （或以后）所有各组的组频数之和 向上累计：从最小变量值向最大变量值累计； 向下累计：从最大变量值向最小变量值累计。 当我们所关心的是标志值较小的现象的次数分布 情况时，通常用向上累计；当我们所关心的是标 志值较大的现象的次数分布情况时，通常用向下 累计。
P{ X k}
e
k!源自文库
该分布的期望值：E(X)=λ ,方差：Var(X)=λ 。 关键问题是通过损失资料获得λ的估计值 例如一个车队在过去的三年内共发生二次碰撞事故， 即每年平均约2/3次，则λ估值为2/3。
例题：
例2：假定有一个5辆车组成的车队，该车队 约每两年有一次撞车事故，试估算该车队 下一年中发生撞车事故次数的分布状况。 解：记X为一年中发生撞车事故次数，由 于年平均撞车次数为0.5，故X服从参数 λ=0.5的泊松分布，期望值E（X）=λ=0.5。下 一年撞车次数的概率分布计算如表所示。
（二）每次事故的损失金额
1.用正态分布估测损失额 对于与正态分布相似的损失分布，可以用正态分布 来拟合。对于一些损失频率分布类似一个正态分布 的密度函数图形，即只有一个峰，且图形关于峰是 近似对称的。这样的损失频率分布可用正态分布来 拟合，并通过正态分布来估测损失额落在某区间上 的概率，以及损失额超过某一数值时的概率。我们 通过实例来说明估测方法。
3.众数：样本中出现次数最多的观察值。
4.中位数：样本按顺序排列后位于最中间的数值，假设数据 资料已按递增顺序排列，而观察值的个数是奇数时， 则中位数是位于正中间的观察值。如果观察值的项数 是偶数，则中位数应当是两个中间的观察值的中点数 值。
中位数＝中位数组的下限
n 2
中位数组前一组对应的累积频数 组距 中位数组的频数
二、损失资料的描述
（一）损失资料的图形描述 通过图形描述可以使通过资料分组获得的数据 特征更为鲜明。 主要有：条形图、柱状图、直方图以及累积频 数分布图。
常用分布图
直方图:是在平面坐标上以横轴表示各组标志值， 纵轴表示次数（一般标在左方）和比率（或频率， 一般标在右方），用以直观地说明变量数列的分 布特征。 折线图：折线图可以在直方图的基础上，用折线 将各组次数高度的坐标连接而成，也可以用组中 值坐标点连接而成. 曲线图：用平滑曲线连接各组次数坐标点 即得分 布曲线。 如何选用图形取决于数据特性和风险管理决策的需 要。