高三数学暑假作业_名师指点

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辽宁省沈阳市高中数学暑假作业第一部分解三角形(2)(2021年整理)

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解三角形（2）一、知识点1、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2)已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况)；已知a ，b 和A ，不解三角形,求B 时的解的情况：如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解;如果sin A <sin B 〈1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解;如果sin B 〉1,则B 无解。

2、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；(2）已知三边。

3、常用的三角形面积公式（1)高底⨯⨯=∆21ABC S ；（2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）; 4、三角形中常用结论（1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）(2)sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）(3）在△ABC 中,A+B+C=π，所以sin （A+B)=sinC ；cos （A+B ）=－cosC;tan(A+B ）=－tanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+ 二、练习1、ABC 中，角A ，B,C 的对边分别是a,b ，c ，,1,3A a b π===则c 等于（）A ．1 D 。

高三数学暑假作业数列(2)

一基础再现考点28：等差数列考点29：等比数列1.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++= 2．等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为______________．3．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 .4. 已知等比数列{}n a 的各项都为正数，它的前三项依次为1，1a +，25a +则数列{}n a 的通项公式是n a = ．5．三个数c b a ,,成等比数列，且(0)a b c m m ++=>，则b 的取值范围是． 6．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，77b a = ． 7. 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为 16 . 8. 对于数列{}n a ，定义数列{}n a ∆满足： 1n n n a a a +=∆-，（n *∈N ），定义数列2{}n a ∆满足： 21n n n a a a +∆=∆-∆，（n *∈N ），若数列2{}n a ∆中各项均为1，且2120080a a ==，则1a =__________．9．数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．二感悟解答1分析：本题主要是考查等比数列的基本概念和性质，可利用方程思想将等比数列问题转化为1a 和q 处理，也可利用等比数列的定义进行求解.设公比为q ，由题知，12111321a a a q a q =⎧⎨++=⎩得2q =或30q =-<（舍去)，∴34584a a a ++=2解：依题意,中间项为1+n a ,于是有11(1)319290n n n a na +++=⎧⎨=⎩解得129n a +=.3分析：本题主要考查等比数列的求和公式，等差数列的概念运用，可直接求得.解：1(1)1n n a q S q -=-，122n n n S S S ++=+，则有12111(1)(1)(1)2111n n n a q a q a q q q q++---⋅=+---， 220q q ∴+-=，2q ∴=-.，1q =时，1222(1)(2)23n n n S n S S n n n ++=≠+=+++=+4解：.n a =13n -．5解：[,0)(0,]3mm -⋃．解：设,b a c bq q ==，则有1,0,1b m b bq m b q q q b ++=≠∴++=．当0q >时，113m q b q =++≥，而0b >，03m b ∴<≤；当0<q 时，111m q b q =++≤-，即1mb ≤-，而0m >，0<∴b ，则0m b -≤<，故[,0)(0,]3mb m ∈-⋃6解：解法1：“若2,,,N m p q m p q *=+∈，则2qp m a a a +=”解析：77b a =1131311313()13172()1322a a Ab b B +⨯==+⨯ 解法2：可设(745)n A kn n =+，(3)n B kn n =+，则1(1438)n n n a A A k n -=-=+，(22)n b k n =+，则77b a =(14738)17(272)2k k ⨯+=⨯+ 7解：利用等差数列的性质得：468101285120a a a a a a ++++== ，824a =，91113a a -= 88812(3)1633a d a d a +-+==8 解：由数列2{}n a ∆中各项均为1，知数列{}n a ∆是首项为1a ∆，公差为1的等差数列，所以，111111(1)(2)2(1)n k n k a a a a n n a n -=∆==+-+-+∆-∑．这说明，n a 是关于n 的二次函数，且二次项系数为12，由2120080a a ==，得1(21)(2008)2n a n n -=-，从而120070a =．点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题.9．点拨：本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力．解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d >∴2d = ∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+ 点评：证明一个数列是等差数列或等比数列的几种方法要熟练掌握，在求通项时往往该数列自身就是一个等差或等比数列，或者以该数列为基础构建的新数列为等差或等比数列，要有向此方向转化的意识. 三范例剖析例1 ．已知各项均为正数的数列{n a }满足221120n n n n a a a a ++--=（*∈N n ），且23+a 是42,a a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式n a ；（Ⅱ）若n b =n a n n n b b b S a +⋅⋅⋅++=2121,log ，求使S 12+⋅+n n n >50成立的正整数n 的最小值.变式：已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项．（1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n n b a a =，12n n S b b b =+++求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值．例2．设数列0,1,)1(,}{-≠-+=λλλ其中且项和为的前n n n n a S S n a （1）证明：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()q f λ=，数列{}n b 满足1b =12，b n =f (b n -1)(n ∈N *,n ≥2),求数列}{n b 的通项公式；（2）记1λ=，1(1)n n nC a b =-，求数列{}n C 的前n 项和Ｔn ．例3. 已知数列{}n a 满足21=a ，2112(1)n n a a n+=+，n ∈N *．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b n =，求1n i i b =∑；（3）设n n n c a =，求证1ni i c =∑＜1724．四巩固训练1. 等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，,220052007,2008200520071=--=S S a 则S 2008的值为 ▲ 2：已知等比数列{}n a 中21a =，则其前三项的和3s 的取值范围是3：定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做已知数列，这个常数叫该数列的公鸡积，已知数列{}n a I 等级数列，且1a =2，公积为5，Tn 为数列{}n a 的前n 项和，则2005T = 4．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=22+n n a a （n ∈N *），则72是这个数列的第_________项． 5.已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时，有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯=，求数列{}n na 的前n 项和S n ．。

2021-2022年高三暑假作业数学(文)(20)试题含答案

2021-2022年高三暑假作业数学（文）（20）试题含答案1、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．2、已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3、若函数，其定义域为，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．4、下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A ．B ．C ．D ．5、若函数的定义域为R ，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6、已知函数为奇函数，且当时，，则（）A ．B ．C ．D ．7、设函数，若，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8、是定义在R 上的函数满足，且()22(2)131401,3433x x f x x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+≤<<<⎪⎩，则函数与函数的图象的交点个数为（）A ．3B ．5C ．9D ．109、若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则10、函数的单调递减区间是11、已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围为12、已知函数满足：()()4()()(,)f x f y f x y f x y x y R =+-∈，且，则13、已知函数()21021x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪≤<⎩，满足。

（1）求常数c 的值；（2）求使成立的的取值范围。

14、已知函数，若函数图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数的图象。

（1）写出函数的解析式；（2）若时，总有成立，求实数m 的取值范围。

|36879 900F 透38219 954B 镋a29120 71C0 燀aUX+25632 6420 搠 *25548 63CC 揌38134 94F6 银32861 805D 聝。

高三数学暑假作业：三角函数(1).pdf

一　基础再现考点12：三角函数的有关概念 1. 若角的终边经过点，则= ．考点13：同角三角函数的基本关系式 2. 已知则的值______ ，则f()的值等于 . 考点15：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 4.函数内的交点为P，它们在点P处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积为 ▲ 5. 函数的单调递减区间为考点16：函数的图象和性质 6. 已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________． 7. 若对任意实数t都有记，则－1 8．函数的部分图象如图所示，则=▲ ． 9．已知：（1）请说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到；（2）设函数图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A1、A2、A3、A4、…、…、，试求A4的坐标。

二　感悟解答 ; 2. 【解析∵，∴，∴，∴＝＝ ; ; 6解析：本小题主要考查三角函数图像对称性及周期性。

依题意且在区间有最小值,无最大值, ∴区间为的一个半周期的子区间，且知的图像关于对称，∴,取得答案： 7．解析：本小题主要考查三角函数图像对称性及同角三角函数关系。

依题意图象关于直线对称，所以=，所以 8．解析：由图象知：，再由周期性得解为0。

9. 解析：（1） ∴ 所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向上平移 1个单位而得到（2）∵函数图象的对称中心为，，由得函数的对称中心为，依次取1，2，3，4……可得 A1、A2、A3、A4……各点， ∴A4的坐标为【点评】（1）三角函数图像及其变换是当前考查热点，其书写的规范性是考生必须高度重视的. （2）正弦、余弦函数图象的对称中心即图象与平衡位置的交点。

三　范例剖析例1．已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数在区间上的值域【变题】已知函数的图象关于直线对称，则函数的图象在区间上的一条对称轴是 ▲ 例2．已知函数的最小正周期为，其图像过点.(Ⅰ) 求和的值;(Ⅱ) 函数的图像可由R）的图像经过怎样的变换而得到?时的位置为 ▲ 例3．在中，已知内角，边.设内角,周长为. 求函数的解析式和定义域; (2)求的最大值. 【变题】设A、B、C为锐角三角形的三个内角，，，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数y=的最大值．四　巩固训练函数在区间上取得2个最大值，则数t的是设ω是正实数，如果函数 f(x)=2sinωx在[－ω的取值范围是 ▲ 3. 已知函数f（x）＝cosωx（ω >0）在区间上是单调函数，且f（）＝0，则ω＝ ▲ ． 4. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则 ▲ ，其中。

高三数学暑假作业：数列(2).pdf

10.5 物体的浮与沉一、【学习目标】： 1、通过实验观察知道物体浸在液体中可能出现的状态。

2、通过探究了解控制物体浮沉的方法，并能用控制变量法对实验现象作合理的分析。

3、结合二力平衡条件，对物体的悬浮和漂浮条件进行深入探讨。

三、【自主学习】： 1、漂浮。

2、悬浮。

3、当重力大于浮力时，物体就要；当重力小于浮力时，物体就要；当重力等于浮力时，物体就会或；四、【合作探究】： 1．怎样使物体上浮或下沉. (活动10.12猜测) 上浮的物体有: 下沉的物体有: 思考：怎样使下沉的物体浮起来? 怎样使上浮的物体沉下去? 讨论：你们认为物体受到的浮力大小与哪些因素有关？ 2、阅读课本理解漂浮、悬浮、上浮（1）自学课本（2）汇报小结 3、理解物体浮沉条件思考、讨论：怎样使下沉的物体浮起来? 怎样使上浮的物体沉下去?这说明什么问题？小结：（1）排液体积不娈,减小重力。

（2）重力不娈,增大排液重力。

（3）增大液体密度 4、阅读生活、物理、社会了解物体浮沉条件在实际生活中的应用。

如潜水艇。

五、【达标巩固】： 1、2007年12月22日在海底沉睡了800多年的“南海一号”被成功打捞出水。

在打捞过程中潜水员多次下潜勘查，当潜水员浸没海水后继续下潜的过程中，其所受浮力的大小，压强的大小。

（选填“增大”、“减小”或“不变”） 2、金属箔是由密度大于水的材料制成的。

小红取一片金属箔做成中空的筒，放在盛有水的烧杯中，发现它漂浮在水面上，然后她再将此金属箔揉成团放入水中，金属箔沉入水底。

比较前后两种情况，下列说法正确的是（） A．金属箔漂浮时受到的重力比它沉底时受到的重力小 B．金属箔漂浮时受到的浮力比它沉底时受到的浮力大 C．金属箔沉底时受到的浮力等于它的重力 D．金属箔沉底时排开水的体积与它漂浮时排开水的体积相等 3、小刚同学为了比较两种液体密度，将同一物块先后放入甲、乙两杯不同的液体中。

高三数学暑假作业开放探究题的解法

一基础再现1.请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x ）：①图象关于y 轴对称；②对定义域内任意不同两点12x x 、, 都有1212()()2()2x x f x f x f ++<答： . 2.定义在R 上的偶函数()f x 满足：(2)()f x f x -=-，且在[]1,0-上是增函数，下面关于()f x 的判断：①()f x 是周期函数；②(5)f =0；③()f x 在[]1,2上是减函数；④()f x 在[]2,1--上是减函数.其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）3. ABC A B C ∆已知的三个顶角、、,,P PA PB PC AB ++=及平面内一点且P 则点与 ABC ∆的位置关系为4.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．125.已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是．二感悟解答1.答案：答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如2(),()cos (),()|tan |()2222f x x f x x x f x x x ππππ=-=-≤≤=--<<等等.首先由①知f （x ）为偶函数，由②知f （x ）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数.评析：本题主要考查函数的图象与性质，问题以开放的形式出现，着重突出对考生数学素质的要求.2. 答案：∵(2)()f x f x -=- ∵()f x 有对称中心()1,0，又∵()f x 为偶函数 ∴可知()f x 图象可如图所示：从而由图象可知其中正确的判断是①、②、③ 解析：∵(2)()f x f x -=- ∴()(2)f x f x =-- ∴()()(4)242f x f x f x +=--+=--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又∵()f x 为偶函数 ∴()(4)2f x f x +=-+∴()()()(4)22f x f x f x f x +=-+=-=⎡⎤⎣⎦ ∴()f x 的周期为5； 3. 答案：:由已知得,PA PB PC PB PA ++=-2,PC PA =-则则P AC 在边上评析：4.解析：A. 22121212121()()222a ab b a a b b +++≤+= 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--≥ 11221221()a b a b a b a b +≥+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++≤+112212a b a b +≥5. 解：2142(2)()4()8y xx y x y x y x y+=+⋅+=++≥，而222x y m m +>+对0,0x y >>恒成立，则228m m +<，解得42m -<<三范例剖析例１.2[0,1],cos x x θ∈已知当时不等式2(1)(1)sin 0,x x x θ--+->恒成立试求θ.的取值范围辨析：设函数b a x x x f +-=||)((Ⅰ) 求证：)(x f 为奇函数的充要条件是022=+b a ；(Ⅱ) 设常数322-<b ，且对任意0)(],1,0[<∈x f x 恒成立，求实数a 的取值范围。

高三暑假数学自主学习练习卷20套答案

所以关于 r 的函数 c

22 500 π 90 故当 r 90 即 x 80 （m）时，内圈周长 c 取得最小值， π 2 90 2 π
且最小值为
22 500 ． 90 340 （m） 90
…………………………………14 分
18. （1）由题意 B(0,1), C (0, 1) ，焦点 F ( 3,0) ，当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，则直线 PM 的方程为
因为平面 PBC ⊥平面 ABC ，又平面 PBC ∩平面 ABC ＝BC，
PD 平面 PBC ，所以 PD ⊥平面 ABC ． ……………………………11 分
又 l ⊥平面 ABC ，所以 l // PD ．又 l 平面 PBC ， PD 平面 PBC ， l //平面 PBC ．…………………14 分 17．设题中半圆形半径为 r（m），矩形 ABCD 的面积为 S（m2），内圈周长为 c（m）．（1）由题意知： S 2rx ，且 2 x 2πr 400 ，即 x πr 200 ，于是 S 2rx 2 x (πr ) ≤ 2 x πr π π 2 …………………2 分
…………………8 分
22 500 π r 2πr πr ． 222π500 r 2 πr
22 500 π 2 r ≥ 80 ，即 πr 160 πr 22 500 ≤ 0 ， 2πr 2
解得 250 ≤ πr ≤ 90 ，所以 0 r ≤ 90 ， π
AB 平面 ABC ， AB ⊥ BC ，所以 AB ⊥平面 PBC ． ………………….2 分
因为 CP 平面 PBC ，所以 CP ⊥ AB

2021【暑假作业】新高三数学考点07 三角恒等变换与解三角形(教师版)

1 1 2 5 ， 55
sin C
sin(
B)
sin
cos
B
cos
sin
B
2 (cos B sin B)
10 ．
4
4
4
2
10
C
c
sin
2
B 2
c cos
B 2
由正弦定理可得， sin B sin C sin C cos B ， 2
因为 sin C 0 ，所以 sin B cos B 2sin B cos B ，
2
22
因为 cos B 0 ， 2
所以 sin B 1 ，又 0 B
22
22
B 1 ，即B ，
∴ c 37 ，
故选 D．
4．在 ABC 中， c 3 ， B 45 ， C 60 ，则 b （）
A． 2 2
B． 3 2
C． 3 2 2
【答案】D
【解析】在 ABC 中， c 3 ， B 45 ， C 60
D． 2
由余弦定理有：
c sin C
b sin B
,即 b
c sin B sin C
即 a2 b2 c2 bc ，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A ，
故
cos
A
1 2
，
A
1200
；
（2）由（1）得：
sin B sin C sin B sin(600 B) 3 cos B 1 sin B sin(600 B)
2
2
故当 B 300 时， sin B sin C 取得最大值 1，此时三角形为等腰三角形.
因此 ABC 是等腰三角形，而 B 60 ，所以 ABC 是等边三角形，故本命题是正确的；

2017年高二数学江苏,理科新高三暑期作业高考复习方法

第8讲解三角形——实质是解方程对解三角形的复习要紧紧抓住正弦定理、余弦定理，弄清楚正、余弦定理所反映的边、角混合关系．解三角形的实质是解方程，通过正弦定理或余弦定理，建立三角形未知元素的代数方程或三角方程，借助其他知识，如三角形内角和定理、三角变换公式等，解出方程，并注意是否有增解．1．结合三角形全等的条件认识正、余弦定理．三角形全等有角边角、边边边、边角边定理，所以已知三角形三边，两边及其夹角，利用余弦定理求其他边、角时，解是唯一的，已知三角形任意两角及一边，利用正弦定理求其他边、角时，解是唯一的．但已知两边及一边所对的角时，利用正弦定理求其他边、角时，可能会出现两解，因为两三角形两边及一边所对的角分别对应相等时，不能保证三角形全等．2．了解专业术语，会画图形．知道俯角、仰角、方位角等专业术语的含义，会画图形，将题目条件直观地表现出来，有助于分析问题．图形是载体，根据条件，画出图形，将条件直观化，是合理选择公式的关键．3．会设计测量方案．对于实际测量问题，能独立地设计测量方案．能从课本的《应用举例》中提炼出常见的测量距离、高度、角度问题等测量方案，并能指导自己设计解决实际问题的测量方案．4．重视三角形内角和定理的作用．在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要的作用，如确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等．例1在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求cos A的值；(2)求c的值．解后反思1．解三角形的实质是根据题意寻求等量关系，通过正弦、余弦定理，建立所求的方程．2．解三角形得到多解时，一定要注意检验．往往利用大角对大边，三角形内角和定理等知识判断解的情况，或通过题设检验．例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，c cos A＝b，则△ABC的形状是________三角形．解后反思判断三角形的形状，要充分利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，由边的代数运算或角的代数运算、三角运算，暴露边与边或角与角的关系，从而作出判断．例3如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解后反思1．本例所呈现的三角形模型十分清晰，如何将实际问题转化为解三角形问题，是解决问题的关键所在．2．求解实际问题，首先要准确理解题意，理清已知与所求，能将求解的问题归结到三角形中去，借助正弦定理或余弦定理解决，最后把数学问题还原到实际问题中去．总结感悟1．解三角形的实质是解方程，通过正弦定理或余弦定理，建立三角形未知元素的代数方程或三角方程．注意利用题设，大角对大边、三角形内角和定理等知识判断解的情况，防止增解．2．运用数形结合的思想，要根据条件画出图形，将条件直观化，有助于分析问题，选择恰当公式.3．判断三角形的形状，主要途径有两条：(1)化边为角；(2)化角为边．利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，由边的代数运算或通过三角变换，暴露边与边或角与角的关系，从而作出判断．4．解三角形实际问题，要理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问题．A级1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A ＝________．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B 的值为________．3．若a，b，c是△ABC的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则△ABC 一定是________三角形．4．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为________．5．在△ABC中，若b＝2a，B＝2A，则△ABC的形状为________三角形．6．(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________．B级7．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．8．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C．则A的取值范围是__________．9．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．10．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长是______．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝______．12.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)13．(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；33(2)若c＝7，△ABC的面积为2，求△ABC的周长．第8讲解三角形——实质是解方程复习指导题型分析例1解(1)在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B⇒3sin A＝26sin 2A＝262sin A cos A∴cos A＝6 3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A⇒32＝(26)2＋c2－2×26c×6 3则c2－8c＋15＝0.∴c＝5或c＝3.当c＝3时，a＝c，∴A＝C.由A＋B＋C＝π，知B＝π2，与a2＋c2≠b2矛盾．∴c＝3舍去．故c的值为5.例2直角解析方法一由cos A＝b2＋c2－a22bc，得a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形．方法二由正弦定理得：sin C cos A＝sin B，即sin C cos A＝sin(A＋C)，得sin A cos C ＝0，即cos C＝0，故△ABC是直角三角形．例3解(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以A，C∈(0，π2]，且sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sinπ－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．线下作业 1.π3解析在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3. 2.π6解析由a 2＋c 2－b 2＝3ac 联想到余弦定理得cos B ＝32，∴角B ＝π6.3．钝角解析由题设知|c |a 2＋b 2>1，即a 2＋b 2<c 2，即a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．4. 3解析因为S ＝12×AB ×AC sin A＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 5．等腰直角解析由正弦定理知sin B ＝2sin A ，又∵B ＝2A ，∴sin 2A ＝2sin A ， ∴2sin A cos A ＝2sin A ，∴cos A ＝22，∴A ＝45°，B ＝90°. 故△ABC 为等腰直角三角形． 6.2113解析在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 7.43解析由(a ＋b )2－c 2＝4 得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，故方程①化为2ab (1＋cos C )＝4. ∴ab ＝21＋cos C.又∵C ＝60°，∴ab ＝43.8．(0，π3]解析由题意及正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc ⇒b 2＋c 2－a 2≥bc ⇒b 2＋c 2－a 2bc ≥1⇒cos A ≥12⇒0<A ≤π3.9．27解析由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A ，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27. 10．5 6解析在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12， ∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°， ∠ADB ＝60°，由正弦定理得 AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，∴AB ＝AD sin ∠ADB sin B＝10sin 60°sin 45°＝5 6. 11.π6解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12， ∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，∴B ＝π6. 12.539解析如图，过点P 作PO⊥BC 于点O ，连结AO ，则∠P AO ＝θ.设CO ＝x m ，则OP ＝33x m ．在Rt △ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，所以BC ＝20 m ．所以cos ∠BCA ＝45. 所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40x ＋625(m)．所以tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x 2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925.当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539.13．解 (1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A ) ＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ．可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.。

江苏省灌云县杨集中学高三数学暑假作业(四)必修四

灌云县杨集中学高二数学暑假作业（四）必修四班级姓名一．填空题1．若角α满足条件sin2α<0，cos α–sin α<0，则角α终边在第象限 2．已知51)sin(,32)sin(-=-=+βαβα，则βαtan tan = 。

3．已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝ 4．角α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则角α的集合是＝。

5．已知角α的终边过点()m m P 34，-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是 6．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．角C ＝ 7．若()x x f 2sin tan =，则()1-f 的值是___________8．设a ＝(43,sin α)，b ＝(cos α, 31)，且a ⊥b ，则tan α＝ . 9．已知sin cos 1αβ=，则cos()αβ+＝ . 10．函数()tan()4f x x π=+的单调增区间为11．已知向量a =，且单位向量b 与a 的夹角为30︒，则向量b 的坐标为． 12．函数sin 2cos2y x x =的最小正周期是13．已知点P(4，9-)，Q(2-，3)，且y 轴与线段PQ 交于M ，若MQ QP λ=，则λ的值为14．已知函数1)cos (sin cos 2)(+-=x x x x f ，则函数)(x f 的最小值是二．解答题15．已知向量=（6，2），=（－3，k ），当k 为何值时（1）a ∥b （2）a ⊥b （3）a 与b 所成角θ是钝角16．已知向量a =(cos ,sin αα)，b =(cos ,sin ββ)．(1) 求(2)+a a b 的取值范围；(2) 若3παβ-=，求2a b +17．已知α为锐角，且4sin 5α=.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求5tan()4πα-的值18．已知sin (αβ-)=135，sin (α+β)=513-，且αβ-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，α+β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ2,23，求sin 2α,cos 2β的值。

2021年高考数学复习第8天暑假作业二次函数

2021年高考数学复习第8天暑假作业二次函数一、选择题（每题5分，共60分）1．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，则( C )A ．f (2)>f (3)B ．f (3)>f (2)C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定解：∵f (4)＝f (1)，∴对称轴为 52，∴f (2)＝f (3)．2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( D )A ．f (x )＝－x 2－x －1B ．f (x )＝－x 2＋x －1C ．f (x )＝x 2－x －1 D ．f (x )＝x 2－x ＋1解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a x ＋12＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，∴ f (x )＝x 2－x ＋1.3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，则|OA |·|OB |等于( B )A. ca B ．－c a C ．±c aD ．无法确定解：∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a(∵a <0，c >0)．4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( C )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5) 解：二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1,2]．5．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( C )6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤0，2x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x的解的个数为( D )A ．4B ．2C ．1D ．3 解：由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4.f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2x ≤0，2 x >0.又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x >0时，x ＝2，综上可知有三解． 7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)解：由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图像在对称轴左侧为减函数．而 1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( C )A ．－1<b <0B ．b >0C ．b <－1或b >2D ．不能确定解：由f (1－x )＝f (1＋x )，得对称轴方程为x ＝1＝a2. ∴a ＝2，f (x )在[－1,1]上是增函数． ∴要使x ∈[－1,1]，f (x )>0恒成立．只要f (x )min ＝f (－1)＝b 2－b －2>0，∴b >2或b <－1. 9．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( A )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解：由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0.10．已知f (x )是二次函数，且函数y ＝ln f (x )的值域为[0，＋∞)，则f (x )的表达式可以是( B )A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2＋2x ＋2 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝－x 2＋1 解：由题意可知f (x )≥1.11．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( B )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3) 解：由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]．即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.12．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( A )A ．a ≥－1B ．a ≥0C ．a ≤3D ．a ≤1解：令t ＝x 2≥0，则原不等式转化为t 2＋(a －1)t ＋1≥0，当t ≥0时恒成立．令f (t )＝t 2＋(a －1)t ＋1，则f (0)＝1>0. (1)当－a －12≤0即a ≥1时，恒成立．(2)当－a －12>0即a <1时，由Δ＝(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3. ∴－1≤a <1，综上：a ≥－1.二、填空题（每题5分，共60分）13．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋1(x ∈[－1,1])的最大值等于___4____解：因为对称轴x ＝2∉[－1,1]，∴函数在[－1,1]上单调递增，∴当x ＝1时，函数取最大值4.14．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是_____(－4,0] 15．设函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝_____ 6 16．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝_______9或25解：∵ y ＝8(x －m －116)2＋m －7－8·(m －116)2的值域为[0，＋∞)，∴ m －7－8·(m －116)2＝0，∴m ＝9或25.17．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a ]，并且函数f (x )的最大值为f (a )，则实数a ∈___解：∵f (x )的对称轴为x ＝3，要使f (x )在[1，a ]上f (x )max ＝f (a )，由图像对称性知a ≥5. 18．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时，y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则实数a 的范围是______解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.19．若函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上的最小值是2，最大值是3，则实数m ∈_____[1,2]解：∵f (x )＝(x －1)2＋2≥2，∴x ＝1∈[0，m ]．∴m ≥1. ① ∵f (0)＝3，而3是最大值．∴f (m )≤3⇒m 2－2m ＋3≤3⇒0≤m ≤2.②由①②知：1≤m ≤2．20．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最___大___值(填“大”或“小”)，且该值为___－3____解：∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0.∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a＝－3.21．函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为__ a <15__；②恒成立，则a 的取值范围为___ a <3_____解：①f (x )>a 在区间[1,3]上恒有解，等价于a <[f (x )]max ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝3时，[f (x )]max ＝15，故a 的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间[1,3]上恒成立，等价于a <[f (x )]min ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝1时，[f (x )]min ＝3. 22．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝___1____ 解：∵y ＝|(x －1)2－t －1|的对称轴为x ＝1.当－t －1<0即t >－1时，则当x ＝1或x ＝3时为最大值，即|1－2－t |＝t ＋1＝2或9－6－t ＝2，得t ＝1；若－t －1≥0，即t ≤－1时，则当x ＝3时为最大值，即9－6－t ＝2，t 无解．故得t ＝1.23．若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论： ①f (b )≤0；②若b ＝a ＋c2，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤a ＋c2，则f (a )≤f (c )；④f (a )＝f (c )成立的充要条件为b ＝0. 其中正确的是___①②③_____．(请填写序号)解：f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min ＝f (a ＋b ＋c3)．当b ＝a ＋c2时，a ＋b ＋c3＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，所以②正确；f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确． 24. 关于的方程的两个实根、满足，则实数m 的取值范围解：设，则，即：，解得：．三、解答题（每题10分，共30分）25．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解： (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．26．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求实数a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1.解： (1)若b ＝2，则f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 由f (x )＝x ，得ax 2＋2x ＋1＝x . 即ax 2＋x ＋1＝0.由|x 2－x 1|＝2，得(x 2－x 1)2＝4. ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4. ∴(1a )2－41a ＝4，得a ＝2－12(a >0)． (2)由f (x )＝x ，得ax 2＋bx ＋1＝x . 即ax 2＋(b －1)x ＋1＝0. 设g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g 2<0，g4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0.画出点(a ，b )的平面区域知该区域内有点均满足2a －b >0. 从而2a >b ，∴x 0＝－b2a>－1.27．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1－2a ＋5＝a ，f a ＝a 2－2a 2＋5＝1.解得a ＝2.(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，即(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.33431 8297 芗 )#30137 75B9 疹,40491 9E2B 鸫28797707D 災25394 6332 挲Lv-O。

高中数学复习提升-高三文科数学暑假作业一

高三文科数学寒假作业一一、单选题1．已知函数f(x)=√1−x2的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N，则M∪(C R N)=( ) A．{x|x<1}B．{x|x≥1}C．ϕD．{x|−1<x<1}2．曲线y=x3−4x在点(1,−3)处的切线倾斜角为（）A．3π4B．π2C．π4D．π63．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题.B．命题“∃x∈R,x2−x−1<0”的否定是“∀x∈R,x2−x−1≥0”. C．设A,B是两个集合,则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件. D．当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.4．已知函数f(x)={e x,x<0lnx,x>0，则f[f(1e)]=（）A．−1e B．−e C．e D．1e5．设f(x)=3ax+1−2a在(−1,1)内存在x0使f(x0)=0，则a的取值范围是A．−1<a<15B．a>15C．a>15或a<−1D．a<−16．设函数f(x)=x3+3x,x∈R，若当0<θ<π2时，不等式f(msinθ)+f(1−m)>0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,1]B．[1,+∞)C．(12,1)D．(12,1]7．已知y=f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=f(x−1)，当x∈(0,1)时，f(x)=log211−x，则y= f(x)在(1,2)内是（）A．单调增函数，且f(x)<0B．单调减函数，且f(x)>0C．单调增函数，且f(x)>0D．单调减函数，且f(x)<08．已知函数f(x)=√3sin(2x−φ)−cos(2x−φ)（|φ|<π2）的图象关于y轴对称，则f(x)在区间[−π6,π3]上的最大值为（）A．1B．√3C．√2D．29．设曲线f(x)=√m2+1cosx(m∈R)上任一点(x,y)处的切线斜率为g(x)，则函数y=x2g(x)的部分图象可以为（）A．B．C．D．10．已知函数f(x)=3x+4lnx−x−a在区间(0,2)上至少有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．(0,2)B．[2,4ln3−2)C．(2,4ln2−12)D．[2,+∞)11．关于x的方程(x2−1)2−|x2−1|+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同实根；其中假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)={4−|8x−12|(1≤x≤2)12f(x2)(x>2)，则（）A．在[1,6]上，方程f(x)−16x=0有5个零点B．关于x的方程f(x)−12n=0(n∈N∗)有2n+4个不同的零点C．当x∈[2n−1,2n](n∈N∗)时，函数f(x)的图象与x轴围成的面积为4D．对于实数x∈[1,+∞)，不等式xf(x)≤6恒成立二、填空题13．已知命题p:“若a>b>0，则log12a<(log12b)+1，” 命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为_______.14．已知命题p:函数f(x)=−x3+ax2−x−1在(−∞,+∞)上是单调函数，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是______.15．若不等式kx+3k> |x2−4x−5|对x∈[−1,5]恒成立，则实数k的取值范围为______. 16．设过曲线()xf x e x=--（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l，总有过曲线()2cosg x ax x=+上一点处的切线2l，使得12l l⊥，则实数a的取值范围为．二、解答题17．设函数f(x)=sinωx ⋅cosωx −√3cos 2ωx +√32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为√π2+4. （1）求ω的值；（2）若函数y =f(x +φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g(x)=cos(2x −φ)在[0，2π]上的单调递减区间.18．已知四棱锥E −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°，AB =EC =2，AE =BE =√2. （1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.19．一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位辆)，若按A,B,C 三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,则A 类轿车有10辆轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z标准型 300450600（1）求下表中z 的值；（2）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下：94,86,92,96,87,93,90,82把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个得分数a 记这8辆轿车的得分的平均数为x̅，定义事件E ={|a −x̅|≤0.5，且函数f(x)=ax 2−ax +2.31没有零点}，求事件E 发生的概率20．已知函数f(x)=2x 3−3x . （1）求f(x)在区间[−2,1]上的值域；（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y =f(x)相切，求t 的取值范围.21．已知函数f(x)=12x 2−(a +1)x +alnx .（1）当a <1时，求函数f(x)的单调增区间；（2）若不等式f(x)+(a +1)x ≥12x 2+x a +1−e 对于任意1e ≤x ≤e 成立，求正实数a 的取值范围.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为221164y x +=，以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；(2)设(),M x y 为椭圆C 上任意一点，求231x y +-的最大值. 23．设函数f(x)=|x +2|−|x −2|. （1）解不等式f(x)≥2；（2）当x ∈R,0<y <1时，证明：|x +2|−|x −2|≤1y +11−y .高三文科数学寒假作业一1．A2．A3．C4．D5．C6．A7．A8．A9．D10．D11．A12．D 13．214．[−√3,√3]15．k >216．[]1,2-17．试题解析：（1）f(x)=sinωx ⋅cosωx −√3cos 2ωx +√32=12sin2ωx −√3(1+cos2ωx)2+√32=12sin2ωx −√32cos2ωx ，设T 为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为√π2+4，得 ∴(T2)2+[2f(x)max ]2=π2+4，因为f(x)max =1，所以(T2)2+4=π2+4，整理得T =2π 又因为ω>0，T =2π2ω=2π，所以ω=12.（2）由（1）可知f(x)=sin(x −π3)=0，∴f(x +φ)=sin(x +φ−π3)，∵y =f(x +φ)是奇函数，则sin(φ−π3)=0，又0<φ<π2， ∴φ=π3，∴g(x)=cos(2x −φ)=cos(2x −π3)，令2kπ≤2x −π3≤2kπ+π，k ∈Z ，则kπ+π6≤x ≤kπ+2π3，k ∈Z∴单调递减区间是[kπ+π6，kπ+2π6]，k ∈Z ，又∵x ∈[0，2π]，∴当k =0时，递减区间为[π6，2π3]；当k =1时，递减区间为[76π，53π].∴函数g(x)在[0，2π]上的单调递减区间是[π6，2π3]，[76π，53π].18．（1）取AB 得中点O ，连接PO 、CO ，由PA =PB =√2，AB =2知ΔPAB 为等腰直角三角形，所以PO ⊥AB ，PO =1，又AB =BA =2，∠ABC =60°知ΔABC 为等边三角形，所以CO =√3.又由PC =2得PO 2+CO 2=PC 2，所以PO ⊥CO ，所以PO ⊥平面ABC ，又因为PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD . （2）设点D 到平面APC 的距离为ℎ，由（1）知ΔAPC 的边长为2的等边三角形， ΔPAC 为等腰三角形，由V D−PAC =V P−ADC 得13S ΔPAC ⋅ℎ=13S ΔADC ⋅PO ，因为S ADC =√34×22=√3，S ΔPAC =12PA ⋅√PC 2−(12PA)2=√72. 所以ℎ=S ΔADC ⋅PO S ΔPAC=√3×1√72=2√217，即点D 到平面APC 的距离为2√217. 19．试题分析：（1）设该厂本月生产轿车为n 辆，由题意得：，求得n =2000，可得a 的值（2）求出8辆轿车的得分的平均数为，由|a −x̅|≤0.5，且函数f(x)=ax 2−ax +2.31没有零点可得，由此解得a 的范围，求得E 发生当且仅当a 的值，从而求出事件E 发生的概率试题解析：（1）设该厂本月生产轿车为z 辆,由题意得,所以n =2000a =2000-100-300-150-450-600=400 4分（2） 8辆轿车的得分的平均数为6分把8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a 对应的基本事件的总数为个, 由|a −x̅|≤0.5，且函数f(x)=ax 2−ax +2.31没有零点10分E 发生当且仅当a 的值为：8 6, 9 2, 8 7, 9 0共4个,12分20．（1）由f (x )=2x 3−3x 得f′(x )=6x 2−3. 令f′(x )=0,得x =−√22或x=√22. 因为f (−2)=−10,f (−√22)=√2,f (√22)=−√2,f (1)=−1,所以f (x )在区间[−2,1]上的最大值为f (−√22)=√2.（2）设过点P (1,t )的直线与曲线y =f (x )相切于点(x 0,y 0),则y 0=2x 03−3x 0,且切线斜率为k =6x 02−3, 所以切线方程为y −y 0=(6x 02−3)(x −x 0), 因此t −y 0=(6x 02−3)(1−x 0). 整理得4x 03−6x 02+t +3=0.设g (x )=4x 3−6x 2+t +3,则“过点P (1,t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”. g′(x )=12x 2−12x =12x (x −1). g (x )与g′(x )的变化情况如下:x (−∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) g′(x ) + 0 − 0 + g (x ) ↗t +3↘t +1↗所以, g (0)=t +3是g (x )的极大值, g (1)=t +1是g (x )的极小值. 当g (0)=t +3≤0,即t ≤−3时,此时g (x )在区间(−∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点, 所以g (x )至多有2个零点.当g (1)=t +1≥0,即t ≥−1时,此时g (x )在区间(−∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g (x )至多有2个零点. 当g (0)>0且g (1)<0,即−3<t <−1时,因为g (−1)=t −7<0,g (2)=t +11>0,所以g (x )分别在区间[−1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点. 由于g (x )在区间(−∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g (x )分别在区间(−∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综上可知,当过点P (1,t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切时,t 的取值范围是(−3,−1). 21．（1）由题意得，函数f(x)的定义域为(0,+∞). f ′(x)=x −(a +1)+ax=x 2−(a+1)x+ax=(x−a)(x−1)x.若0<a <1，则当0<x <a 或x >1时，f ′(x)>0，此时f(x)单调递增，当a <x <1时，f ′(x)<0，此时f(x)单调递减.若a ≤0，则当0<x <1时，f ′(x)<0，此时f(x)单调递减；当x >1时，即f ′(x)>0，此时f(x)单调递增.综上所述，当a ≤0时，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当0<a <1时，函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(0,a)和(1,+∞)上单调递增. （2）不等式f(x)+(a +1)x ≥x 22+x a +1−e 对任意x ∈[e −1,e]成立等价于对任意x ∈[1e,e]，有−alnx +x a ≤e −1成立.设g(x)=−alnx +x a ，a >0，则只要g(x)max ≤e −1即可. g ′(x)=−a x+ax a−1=a(x a −1)x.令g ′(x)<0，得0<x <1；令g ′(x)>0，得x >1. 所以函数g(x)在[1e ,1)是哪个单调递减，在(1,e]上单调递增.所以g(x)的最大值为g(1e )=a +e −a 与g(e)=−a +e a 中的较大者.设ℎ(a)=g(e)−g(1e)=e a −e −a −2a(a >0)，则ℎ′(a)=e a +e−a−2>2√e a ⋅e −a −2=0，所以ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(a)>ℎ(0)=0，所以g(e)>g(1e ). 从而g(x)max =g(e)=−a +e a .所以−a +e a ≤e −1，即e a −a −e +1≤0. 设φ(a)=e a −a −e +1(a >0)，则φ′(a)=e a −1>0，所以φ(a)在(0,+∞)上单调递增.又φ(1)=0，所以e a −a −e +1≤0的解为a ≤1. 因为a >0，所以正实数a 的取值范围为(0,1].22．试题解析：(1)由sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得13sin cos 322ρθρθ+=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得直线l 360x y +-=. 椭圆C 的参数方程为2,{(4x cos y sin φφφ==为参数）.(2)因为点M 在椭圆C 上，所以设()2cos ,4sin M φφ，则23143cos 4sin 18sin 193x y πφφφ⎛⎫+-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当sin 13πφ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，取等号，所以max 2319x y +-=. 23．（1）由已知可得：f (x )={4,x ≥22x,−2<x <2−4,x ≤−2 ，当x ≥2时，4＞2成立；当−2<x <2时，2x ≥2，即x ≥1，则1≤x ＜2．所以f (x )≥2的解集为{x|x ≥1}. （2）由（1）知，|x +2|−|x −2|≤4，由于0＜y ＜1，则1y +11−y =(1y +11−y )[y +(1−y )]=2+1−y y+y 1−y ≥2+2=4，当且仅当1−y y=y 1−y ，即y =12时取等号，则有|x +2|−|x −2|≤1y+11−y．。

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