频率特性法——第五章复习
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第五章频率特性分析法5_4(精)
第五章频率特性分析法掌握利用频率特性分析系统的方法内容系统的频率特性典型环节的频率特性频率特性作图频率特性分析§ 5. 7利用开环频率特性分析系统的性能■ S 低频渐近线与系统稳态误差的关系■S中频段斜率与系统稳定性关系■开环频域指标与动态性能指标间的关系■L(^)高频段反映系统抗干扰能力0型系统的对数幅频特性的低频部分如下图所示②I型系统I型系统的开环频率特性有如下形式mKf[(MC+l)G(jeo) = 号--------丿砧(丿哲+1)J=1I型系统的对数幅频特性的低频部分如下图所示（§）n型系统ii型系统的开环频率特性有如下形式m(7^)2n(j^.+i);=lII型系统的对数幅频特性的低频部分如下图所示(a )(b) G(je) =1 •由开环频率特性确定系统的稳态性能误差系数与稳态误差之间的关系低频段斜率确定系统的无差度积分环节的个数即无差度对应低频段的斜率低频段高度确定系统开环放大系数的大力\2■中频斜率与系统稳定性关系■开环对数幅频特性的中频段指的是截至频率◎ 附近的频段 ■根据截至频率处的相角是否大于-180°判断闭环 系统的稳定性 ■稳定性:入>0 , 4>0 要求：〃一般不要小于30。
Lg 一般不要小于6 dB0型系统201g KI 型系统 II 型系K= ay TKM/201gK OdB -最小相位系统厶3）与0d ）的1 -1对应性• 0（0.）大小除了与该频率下厶（Q的斜率有关之外' 还受到该频率段之外的各转折频率的影0向。
近者 影0向大'远者影0向小。
G(s) =75+1= T 7<T,= 15co ccui=5 盹砒=10 %-2 0 dB/处 J 工…0 dBWec•若厶（动的斜率变得更负，0（Q 也往更负的方向 变化相角裕度i=-90' +11 丁= -90° +5.7°2©CD(p(co) = -90 - arctan ----2阿=180°+) = 180° — 90° - arctanL2现3.动态性能分析A 开环频率指标：co 。
频率特性法——第五章复习
知识点十：频率特性与 时域指标的关系
时域法中： 频域法中：
重 要
σ%—系统的平稳性 γ —系统的平稳性 ts —系统的快速性 ωc —系统的快速性
相位裕量γ越大，超调量σ%越小，系 统越稳定。 γ不变时，穿越频率ωc 越大，调节时 间越短，系统响应越快。
纵坐标：L(ω)=20lgA(ω)
40 20 0 -20 -40
L(ω)=20lgA(ω)/dB
-20dB/dec -40dB/dec 0.1 1 10 -20dB/dec
对数幅频 特性曲线
纵坐标则表示为Φ(ω)
ω
对数相频 特性曲线
0 -90 -180
0.1
1
10
ω
知识点四：典型环节的频率特性
1．比例环节
比例环节的伯德图 比例环节的奈氏图
Im
0 0.1
L(ω)/dB
20lgK
1
ω
K 0
Re
0
φ(ω)
0.1
1
ω
奈氏图是实轴上的K点。
知识点四：典型环节的频率特性
2．积分环节
积分环节奈氏图
Im
积分环节的伯德图
40
20 0 0.1 1 -20
L(ω)/dB
-20dB/dec
10
ω
∞
0
Re
Φ(ω)
0 0.1 1 10
≈0
ω=ω
→转折频率
知识点四：典型环节的频率特性
知识点五：系统奈奎斯特曲线
系统奈奎斯特曲线
（1）W=0+的点 （2）W=∞的点 （3）开环幅相曲线与实轴的交点
0
Im
ω
∞
Re
ω ω =0 由于奈奎斯特曲线可以确定起点和终点，只是一个粗略图。
第五章 频率特性法 (4)
ω=0 Re
根的实部为负，系统稳 根的实部为负， 相角增量为90 定，相角增量为 0 。
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
TS-1 因子的相角变化量为： 因子的相角变化量为：
ω=0→∞
∆ ∠(jωT-1)
TS-1幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线
Im ∞
=90o-180o=-90o 根的实部为正， 根的实部为正， 系统不稳定， 系统不稳定，相角 增量为-90 增量为 0 。
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
例 已知系统开环传递函数试判断 闭环系统的稳定性。 闭环系统的稳定性。 K G(s)H(s)= S(TS-1) 奈氏曲线： 奈氏曲线： 系统开环频率特性为： 解： 系统开环频率特性为： ω=0+ 特殊点： 特殊点： Im K G(jω)H(jω)= jω(jωT-1) 曲线顺时针方向 ω=0+ υ =1 点的， 绕过 (-1, j0)φ(ω)=90o K A(ω)=∞ 点的， A(ω)= ω 1+(ωT)2 所以系统不稳定。 ω=∞ 所以系统不稳定。 ω= ∞ 0 Re ω=0 -1 o-tg-1 ωT φ(ω)=-90 A(ω)= 0 φ(ω)=180o -1
ω=0+ + ω=0
-1
Im Im ω=∞ ω=0 ω=∞ ω=0 Re -1 0 0 Re
曲线包围了(-1,j0)点， 曲线包围了 点 曲线没有包围(-1,j0)点， 点 曲线没有包围 系统不稳定。 系统不稳定。 系统是稳定的。 系统是稳定的。
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
五、对数频率稳定判据
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
已知系统的奈氏曲线,试判断系统的 例 已知系统的奈氏曲线 试判断系统的 稳定性。 稳定性。 解： 系统的 系统的G(jω)H (jω)曲线如图 曲线如图
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
自动控制原理--第五章-频率特性法
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
第五章 频率特性法
-10 -20
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
第五章 频率特性法(5.4)——稳定裕度
5.4 用频率特性法分析系统稳定性 ——稳定裕量
幅相曲线和对数曲线相对于临界点 的位置即偏离临界点的程度，反映系统 的相对稳定性，即稳定裕量。
一、相位裕量 二、幅值裕量
临界稳定的概念
最小相位系统当G(jω)过(-1,j0)点时(见图)，
闭环系统临界稳定。 G(jω) = -1
1+G(jω) = 0 s=jω
稳定裕量的定义 Kg G(jωg) =1
G( jc )－
= –180o G(jωg) -1 ωg
幅值裕量 Kg=
1
G(jωg)
G(jω)
∠G(jωc)
K g dB 20 lg G ( j g )
相位裕量 =180o +∠G(jωc)
0dB
幅值裕量: KgdB=－20lg G ( j g ) c
40 20 0 -20dB/dec 6.32 4 -40dB/dec 10
10 ≈1 0.25ωc2
ω
ωc=6.32
-20
-60dB/dec
(c ) 180
=180o-90o-tg-10.25×6.23 - tg-10.1×6.23
()
0 -90 -180
γ
ω
=90o-57.67o -32.3o = 0.03o
1 3
解：
10
由上式可见G(jω)与坐标轴无交点。 40 0.5 2<ω<10 2.5s ∵G(j∞)=0∠-1800, ∴h=∞
例2 试绘制图示系统开环的伯德图，并确 定系统的相位稳定裕量γ 。
θ r(s)
–
10 s(0.25s+1)(0.1s+1)
θ c(s)
第五章 频率法
2
2 G ( j ) arctan 2 2 1
二阶微分的极坐标图
二阶微分的Bode标图
7.时滞环节（延迟环节）
G( s) e
r (t )
s
s
G( j ) e
j
r(t)
y (t )
t
0 y(t) t 0
e
时滞环节极坐标图
| G( j ) || e j | 1
0°
8.非最小相位环节
1 G( s) Ts 1 1 G( j ) jT 1
பைடு நூலகம்
1 一个正实数极点 T
| G ( j ) |
1
2T 2 1
G ( j ) 180 arctan T
U( )=
1 T 1
2 2
T V( )= 2 2 T 1
-0.5
非最小相位环节Bode图
1 G( s) s 1
相角裕度
G( j ) H ( j )与单位圆相交的角频率计为c 剪切频率
| G( jc ) H ( jc ) | 1
Im
-1
0
1 Re
0
c
G( jc ) H ( jc ) 180
G( j ) H ( j )
2T 1 180 arctan 2 2 , 1 2T 2 0 T 1 T
低频与高频渐进对数幅频特性
低频段 1 T , T 1
20 lg (1 2T 2 ) 2 (2T ) 2 20 lg1 0dB 0dB的水平线
高频段 1 T , T 1
G( j ) H ( j )
1 幅值裕度 K g | G ( j g ) H ( j g ) |
第5章 频率特性法
得相位裕度为 180 (c ) 54.2
该系统是稳定的。为Ⅰ型系统，有Kv=100 具有闭环主导极点的三阶系统，应用二阶近似 公式可求取时域指标为： c tg 26.873 4 0.5302 n 4 2 2 4 1 2 2 ( tg ) 1
1 1 L( ) 20 lgT 20 lg 20 lg T T
惯性环节的伯德图（续1）
Bode Diagram
L(ω)
Magnitude (dB)
0
1/10T
1/T
10/T
-10
-20
-30
Φ(ω)
Phase (deg)
-40 0
-45
-90 10
-2
10
-1
10
0
10
1Байду номын сангаас
1 1 Am H (s) Am H (s) s j s j s j s j s j s j
1 H ( j ) H ( j ) Am j 2 s j s j
10(s 3) G( s) 1 1 2 1 s s 1 s s 1 2 2 2
解：将G(s)变换成典型环节之积形式有
1 1 1 1 G( s) 10 3 s 1 1 1 2 1 3 s 比例 s 1 s s 1 一阶微分积 2 2 2
系统性能分析举例
例5.5某单位负反馈系统测得开环幅频特性图 如图所示，试分析其性能。 1
100( s 1) 6 G(s) 1 1 s( s 1)( s 1) 2 60
解：求ωc有 20 lg100 20 lg 2 40 lg 3 20 lg 6 100
该系统是稳定的。为Ⅰ型系统，有Kv=100 具有闭环主导极点的三阶系统，应用二阶近似 公式可求取时域指标为： c tg 26.873 4 0.5302 n 4 2 2 4 1 2 2 ( tg ) 1
1 1 L( ) 20 lgT 20 lg 20 lg T T
惯性环节的伯德图（续1）
Bode Diagram
L(ω)
Magnitude (dB)
0
1/10T
1/T
10/T
-10
-20
-30
Φ(ω)
Phase (deg)
-40 0
-45
-90 10
-2
10
-1
10
0
10
1Байду номын сангаас
1 1 Am H (s) Am H (s) s j s j s j s j s j s j
1 H ( j ) H ( j ) Am j 2 s j s j
10(s 3) G( s) 1 1 2 1 s s 1 s s 1 2 2 2
解：将G(s)变换成典型环节之积形式有
1 1 1 1 G( s) 10 3 s 1 1 1 2 1 3 s 比例 s 1 s s 1 一阶微分积 2 2 2
系统性能分析举例
例5.5某单位负反馈系统测得开环幅频特性图 如图所示，试分析其性能。 1
100( s 1) 6 G(s) 1 1 s( s 1)( s 1) 2 60
解：求ωc有 20 lg100 20 lg 2 40 lg 3 20 lg 6 100
第五章频率法(12学时)
本章主要内容 本章介绍了控制系统 频率分析法的相关概念和 基本原理。包括频率特性 的基本概念和定义、开环 频率特性的奈氏图表示法、 波特图表示法、控制系统 稳定性的频率特性分析法 及其应用、控制系统闭环 频率特性、闭环频率特性 与时域性能的关系等。
本章重点 通过本章学习， 应重点掌握频率特性 的概念与性质、典型 环节及系统开环频率 特性的奈氏图和波特 图的绘制和分析方法、 控制系统稳定性的频 域分析法、系统稳定 裕度的概念和求法、 闭环系统性能指标的 频域分析法等。
传递函数：
X c ( s) 1 W ( s) X r ( s) 1 Ts
频率特性： （1） W ( j )
1 1 T j 2 2 1 jT 1 T 1 T 2 2
1 1 T 2 2
1 1 T 2 2
e j arctan T
（2） L( ) 20lg A( ) 20lg
以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐进线斜率。 1 每当遇到 环节的交接频率时，
jT j 1
渐进线斜率增加-20dB/十倍频；
每当遇到 ( jTi 1) 环节的交接频率时， 斜率增加+20dB/十倍频； 每当遇到
2 n 2 ( j ) 2 2 n j n
环节的交接频率时，
奈 氏 图
Bode图
5. 惯性环节
传递函数：
1 W ( s) 2 2 T s 2Ts 1
频率特性：
1 1 2 Tj T 2 2
（1） W ( j )
1 (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
e
arctan(
2 T 1T
第五章 频率特性法
若系统稳定 , 则c ss (t )
幅频特性 A(ω) =
r(t )
[ ]
E(s) 输出幅值与输入幅值之比 相频特性 φ (ω) = 幅频？ Φ (s) = , 当系统稳定时 ② er R(s)
rt () t ) j (j ) 若 r ( 称为频率特性 Φ(jω) = ( j) e 若系统稳定 , 则c ss (t ) [ 则e ss (t ) [ r(t )
si t lim e 0 系统稳定 t A1 A2 Cs ( s) s j s j
A A ( j) A1 ( s ) ( s j) j2 ( s j)( s j) s j
A A A2 ( s ) ( s j) ( j) ( s j)( s j) j2 s j
倒置的坐标系
( 补充 )
该坐标纸拿反啦！！
频率特性物理意义
C (s) 1 闭环 (s) R ( s ) Ts 1 传函
s j
T RC
频率特性 幅频特性 A() ( j)
1
1 ( j) jT 1
1 T 2 2
相频特性 () ( j) arctan T
改变输入信号的频率， A ( ) 1 , ( ) 0 0 得到一组幅频特性和相 1 1 A() , () 45 T 频特性的数据，绘出曲 2 A() 0, () 90 线——频率特性曲线
频率特性
1 ( j) jT 1
设系统传递函数为
s1 , s2 sn U (s) (s) 特征方程的根 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) U (s) A C (s) 2 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) s 2 U (s) A ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) ( s j)( s j)
幅频特性 A(ω) =
r(t )
[ ]
E(s) 输出幅值与输入幅值之比 相频特性 φ (ω) = 幅频？ Φ (s) = , 当系统稳定时 ② er R(s)
rt () t ) j (j ) 若 r ( 称为频率特性 Φ(jω) = ( j) e 若系统稳定 , 则c ss (t ) [ 则e ss (t ) [ r(t )
si t lim e 0 系统稳定 t A1 A2 Cs ( s) s j s j
A A ( j) A1 ( s ) ( s j) j2 ( s j)( s j) s j
A A A2 ( s ) ( s j) ( j) ( s j)( s j) j2 s j
倒置的坐标系
( 补充 )
该坐标纸拿反啦！！
频率特性物理意义
C (s) 1 闭环 (s) R ( s ) Ts 1 传函
s j
T RC
频率特性 幅频特性 A() ( j)
1
1 ( j) jT 1
1 T 2 2
相频特性 () ( j) arctan T
改变输入信号的频率， A ( ) 1 , ( ) 0 0 得到一组幅频特性和相 1 1 A() , () 45 T 频特性的数据，绘出曲 2 A() 0, () 90 线——频率特性曲线
频率特性
1 ( j) jT 1
设系统传递函数为
s1 , s2 sn U (s) (s) 特征方程的根 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) U (s) A C (s) 2 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) s 2 U (s) A ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) ( s j)( s j)
第五章线性系统的频率分析法
5.1 频率特性
一、频率特性的定义： 指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入
量的频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振 幅之比和相位差的变化规律，用G(jω) 表示。
xr (t) xrm sin(t)
xc(t) xcm sin(t ( ))
稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
3）在ω轴上，十倍频程的长度相等；
4）可以将幅值的乘除化为加减L(ω)=20lgA(ω) ；
5）满足直线方程：斜率k
k L(2 ) L(1 ) lg2 lg1
例如：G ( s )
1 Ts
1
的（对数频率特性曲线）伯德图
1）频率特性： G( j ) 1
1
tg1T
jT 1 2T 2 1
微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：
s d dt
传递函数
微分方程 系统
d j
dt
频率特性
s j
四、 频率特性的几何表示法
常用频率特性的三种表示法： 1)幅相频率特性曲线（又称：幅相曲线、奈奎斯
特图（Nyquist）、极坐标图） 2)对数频率特性曲线（又称：伯德图 (Bode)）
频率对数分度,幅值/相角线性分度
2）对数频率特性：
0
Bode Diagram
Magnitude (dB)
L( ) 201g 1
-10
T 1 2 2
-20
-30
( ) tg1T
-40 0
Phase (deg)
3）画出伯德图：
-45
-90 10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
102
五、典型环节的分解
一、频率特性的定义： 指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入
量的频率由0变化到 时，稳态输出量与输入量的振 幅之比和相位差的变化规律，用G(jω) 表示。
xr (t) xrm sin(t)
xc(t) xcm sin(t ( ))
稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。
3）在ω轴上，十倍频程的长度相等；
4）可以将幅值的乘除化为加减L(ω)=20lgA(ω) ；
5）满足直线方程：斜率k
k L(2 ) L(1 ) lg2 lg1
例如：G ( s )
1 Ts
1
的（对数频率特性曲线）伯德图
1）频率特性： G( j ) 1
1
tg1T
jT 1 2T 2 1
微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：
s d dt
传递函数
微分方程 系统
d j
dt
频率特性
s j
四、 频率特性的几何表示法
常用频率特性的三种表示法： 1)幅相频率特性曲线（又称：幅相曲线、奈奎斯
特图（Nyquist）、极坐标图） 2)对数频率特性曲线（又称：伯德图 (Bode)）
频率对数分度,幅值/相角线性分度
2）对数频率特性：
0
Bode Diagram
Magnitude (dB)
L( ) 201g 1
-10
T 1 2 2
-20
-30
( ) tg1T
-40 0
Phase (deg)
3）画出伯德图：
-45
-90 10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
102
五、典型环节的分解
第5章 频率特性法
频率特性描述了在不同频率下系统(或元件)传递正弦信号的能力。
红河学院自动化系
自动控制原理
且：根据欧拉公式有
G( jw ) A( w )e j ( w ) A( w )[cos ( w ) j sin ( w )] P( w ) jQ( w ) j
Q( w )
式中：
几何关系
ω ∞ 0 Re
ω ω=0
自动控制原理
2．对数频率特性曲线
对数幅频特性 横坐标表示为：
ω ω L( )=20lgA( ) dB
40 20 0 -20 -40 -20dB/dec -1 0.1
斜率
1 10
为方便只表示ω
纵坐标表示为：
-40dB/dec 0 1
lg ω ω
L( )=20lgA(ω ) ω 单位为 dB 对数相频特性
红河学院自动化系
自动控制原理
2．积分环节 (1) Nyquist奈氏图 1 1 Im A( )=ω ω G(s)= s 0 Re )= j 1 υ ( )= -90o ω G(j ω ω ∞
(2) Bode伯德图 ω=0 对数幅频特性： ω L( ) dB 20 -20dB/dec L( )=20lgA(ω )=-20lgω ω 0 1 L( )=-20lg1=0dB -20 0.1 ω ω=1 ω=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB υ (ω ) ω 0 0.1 1 o υω 对数相频特性： ( )= -90 -90
C0 C s C2 1T Xw 2 1 建模 ur R i uc s 1 T s w 2 s 1 T s2 w 2 du i C c Xw T X wT C0 lim 2 dt duc s 1 T s w 2 1 w 2T 2 ur CR uc i dt -X wT Xw C1 C2 Ur [ CR s 1 ] Uc 1 w 2T 2 1 w 2T 2 X wT 1 X 1 w Tw s Uc ( s ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 w 2T 2 s 1 T s w2 s w2 1w T 1w T 1w T t X wT X uc ( t ) eT sin wT cos cos wT sin 2 2 2 2 1w T 1w T t X X wT sin( wT-arctanwT) eT 2 2 2 2 1w T 1w T Uc ( s )
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自动控制原理
且：根据欧拉公式有
G( jw ) A( w )e j ( w ) A( w )[cos ( w ) j sin ( w )] P( w ) jQ( w ) j
Q( w )
式中：
几何关系
ω ∞ 0 Re
ω ω=0
自动控制原理
2．对数频率特性曲线
对数幅频特性 横坐标表示为：
ω ω L( )=20lgA( ) dB
40 20 0 -20 -40 -20dB/dec -1 0.1
斜率
1 10
为方便只表示ω
纵坐标表示为：
-40dB/dec 0 1
lg ω ω
L( )=20lgA(ω ) ω 单位为 dB 对数相频特性
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自动控制原理
2．积分环节 (1) Nyquist奈氏图 1 1 Im A( )=ω ω G(s)= s 0 Re )= j 1 υ ( )= -90o ω G(j ω ω ∞
(2) Bode伯德图 ω=0 对数幅频特性： ω L( ) dB 20 -20dB/dec L( )=20lgA(ω )=-20lgω ω 0 1 L( )=-20lg1=0dB -20 0.1 ω ω=1 ω=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB υ (ω ) ω 0 0.1 1 o υω 对数相频特性： ( )= -90 -90
C0 C s C2 1T Xw 2 1 建模 ur R i uc s 1 T s w 2 s 1 T s2 w 2 du i C c Xw T X wT C0 lim 2 dt duc s 1 T s w 2 1 w 2T 2 ur CR uc i dt -X wT Xw C1 C2 Ur [ CR s 1 ] Uc 1 w 2T 2 1 w 2T 2 X wT 1 X 1 w Tw s Uc ( s ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 w 2T 2 s 1 T s w2 s w2 1w T 1w T 1w T t X wT X uc ( t ) eT sin wT cos cos wT sin 2 2 2 2 1w T 1w T t X X wT sin( wT-arctanwT) eT 2 2 2 2 1w T 1w T Uc ( s )
第五章 频率法
二阶微分环节的传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2
当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞；
当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1，然2 后 单调增至∞。
Im
2
Ar
Re
O
1
5.2.8 延迟环节
(s
sn
)
R s2
2
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
用留数法计算系数
A1
lim (s s j
j)G(s) R s2 2
R G(j) R
2j
2j
G( j)
e jG( j)
A2
lim (s
s j
惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
ω→∞
ω=0 O
Re
1
L / dB
0 0.1/T
20
0° 0.1/T
-90°
精确曲线
3.01dB
1/T
10/T
20dB/dec
1/T
10/T
一阶惯性环节的对数幅频特性曲线通常用两端直 线渐近线来近似，在转折频率以前与0dB线重合，在 转折频率以后是斜率为-20dB/dec的直线。
sC
3
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2
当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞；
当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1，然2 后 单调增至∞。
Im
2
Ar
Re
O
1
5.2.8 延迟环节
(s
sn
)
R s2
2
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
用留数法计算系数
A1
lim (s s j
j)G(s) R s2 2
R G(j) R
2j
2j
G( j)
e jG( j)
A2
lim (s
s j
惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
ω→∞
ω=0 O
Re
1
L / dB
0 0.1/T
20
0° 0.1/T
-90°
精确曲线
3.01dB
1/T
10/T
20dB/dec
1/T
10/T
一阶惯性环节的对数幅频特性曲线通常用两端直 线渐近线来近似，在转折频率以前与0dB线重合，在 转折频率以后是斜率为-20dB/dec的直线。
sC
3
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
自动控制原理第5章频率特性
频率特性等于传递函数令s=jω。这一结论可推广到所有 。 频率特性等于传递函数令 稳定的线性定常系统？设系统的传递函数为 稳定的线性定常系统？设系统的传递函数为
b0 s m + b1s m−1 + b2 s m−2 + L + bm−1s + bm G ( s) = a0 s n + a1s n −1 + a2 s n −2 + L + an−1s + an
第五章 频 率 响 应 法 在零初始条件下， 在零初始条件下，对应的微分方程为
d n c(t ) d n −1c(t ) d n −2 c(t ) dc(t ) a0 + a1 + a2 + L + a n −1 + a n c(t ) n n −1 n−2 dt dt dt dt d m r (t ) d m−1 r (t ) d m−2 r (t ) dr (t ) ＝b0 + b1 + b2 + L + bm−1 + bm r (t ) m m −1 m−2 dt dt dt dt
G ( jω ) = 1 1 Tω = 2 2 −j 2 2 j ωT + 1 T ω ư) 极坐标法
G ( jω ) = A(ω )e jφ (ω )
当频率ω从0→∞变化时，可得到许多矢量，把矢量的端点连 接起来，同样可得到G(jω)的轨迹，两种表示方法之间存在如下 关系：
L(ω ) = 20 log A(ω ) 分贝（dB）
第五章 频 率 响 应 法 请注意 对数刻度和线性刻度的区别
ω
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (a) 渐线积正
第五章 频率特性法
L( ) dB
20 0.1 1 10 100
rad / s
( )
0
0
度
1 10 100
0.1
rad / s
19
比例环节的对数幅频特性如图所示，它是一
条与角频率ω无关且平行于横轴的 直线，其纵坐标为20lgk。
dB L( )
20
当有n个比例环节串联时，即 G( j ) K1 K 2 K n
频率每扩大10倍，横轴上变化一个单位长度。因此，对 于坐标分度不均匀，对于lg 则是均匀的。
10
• 幅频特性是 的偶函数 • 相频特性是 的奇函数
: 0 的曲线和 : 0的曲线关于实轴对称
• 性能分析（尤其是稳定性）时不需要绘制精确 的幅相特性曲线，只需绘制大致形状即可
当 0 时， G( j 0) 1 G( j 0) 00
1 当 时， G ( j 1 ) 1 0.707 G ( j 1 ) 450 T T T 2
当 时， G( j)
G( j) 900 当ω由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 G( j )平 面上是正实轴下方的半个圆周，证明如下：
幅值的总分贝数为 20 lg G( j ) 20 lg K1 20 lg K2 20 lg Kn 比例环节的相频特性是
10
0
20 log K
1
10
10
100
1000
度
100
00
（）
G( j ) 00
如图所示，它是一条与角频率ω无关且 与ω轴重合的直线。
10
90
1 G1 G2
G1 1 G2
第5章线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念1.频率特性的
·145·第5章 线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念 1. 频率特性的定义设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比)(ωA 称为幅频特性，其相位与输入正弦信号的相位之差)(ωϕ称为相频特性。
系统频率特性与传递函数之间有着以下重要关系：ωωj s s G j G ==|)()(2. 频率特性的几何表示用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法：（1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist ）曲线或极坐标图。
它是以ω为参变量，以复平面上的矢量表示)(ωj G 的一种方法。
（2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode ）图。
这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。
横坐标为ω，按常用对数lg ω分度。
对数相频特性的纵坐标表示)(ωϕ，单位为“°”（度）。
而对数幅频特性的纵坐标为)(lg 20)(ωωA L =，单位为dB 。
（3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。
该方法以ω为参变量，)(ωϕ为横坐标，)(ωL 为纵坐标。
3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 （1）惯性环节：惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G 其频率特性 11)()(+===j T s G j G j s ωωω·146·对数幅频特性 2211lg20)(ωωT L +=(5.1)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1 )lg(2010)(ωωωωT T T L a (5.2) 在ωT =1处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为3dB 。
对数相频特性)(arctg )(ωωϕT -= (5.3)其渐近线为⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤+<=10 90101.0 )lg(1.0 0)(ωωωωωϕT T T b a T a (5.4)当ωT =0.1时，有b a b a -=+=1.0lg 0 (5.5)当ωT =10时，有b a b a +=+=︒-10lg 90 (5.6)由式（5.5）、式（5.6）得︒=︒-=45 45b a因此：⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤︒-<=10 90101.0 )10lg(451.0 0)(ωωωωωϕT T T T a (5.7)（2）振荡环节：振荡环节的传递函数为10 121)(22<<++=ξξTs S T s G·147·其频率特性)1(21|)()(22ωωξωωT j Ts s G j G j s -+=== 对数幅频特性2222224)1(lg 20)(ωξωωT T L +--= (5.8)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1)lg(4010)(ωωωωT T T L a (5.9) 当707.0<ξ时，在221ξω-=T 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为2121lg20ξξ-。
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知识点六：伯德图画法详解
G( s) H ( s) 300( s 2) s( s 0.5)(s 30)
重点 掌握
例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为
链接详解：附件三
知识点七：由伯德图得 传递函数详解
1、观察低频段斜率值：
重点 掌握
①：当低频渐近线是一条平行于横轴的直线时，不含积分 环节。 ②：当低频渐近线是一条斜率为-20dB/dec的直线时，有1个 积分环节。
2 0 0 20
90
一阶微分环节的伯德图
L(ω)/dB
精确曲线
1 T 1 10T 1 0T
∞
ω=0
ω
1
渐近线
φ(ω)
0
1
Re
45 0
ω=1/T →转折频率
ω
知识点四：典型环节的频率特性
6．振荡环节
振荡环节的奈氏图 ω ∞ ω=0
1
ω2 (2ζ
振荡环节的伯德图
2 )2 ω n
≈0
1
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
截止频率 ωg
G(jω)H(jω)
G( jωg ) H ( jωg ) 180
知识点十：频率特性与 时域指标的关系
稳定：σ%
重 要
时域指标
快速：ts
准确：ess
低频段：系统的稳态性能（准确性）
频域指标
中频段 ：系统的平稳性和快速性。
高频段：抗干扰能力
知识点十：频率特性与 时域指标的关系
≈0
ω=ω
→转折频率
知识点四：典型环节的频率特性
知识点五：系统奈奎斯特曲线
系统奈奎斯特曲线
（1）W=0+的点 （2）W=∞的点 （3）开环幅相曲线与实轴的交点
0
Im
ω
∞
Re
ω ω =0 由于奈奎斯特曲线可以确定起点和终点，只是一个粗略图。
知识点六：伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
知识点九：稳定裕度
相角裕度
重点 掌握
如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞 后再增大 度，则系统处于临界稳定状态。
幅值裕度h
如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍， 则系统处于临界稳定状态。
正相位 裕量
正幅值裕量
Im G(jω) 0
1 Kg -1
Im
γ ωc
Re
ωg 0 Re
G(jω)
φ
Im 0
G(jω)= A(ω)e A(ω) =√
jφ (ω )
=P(ω)+jQ(ω)
P2(ω)+Q2(ω)
P(ω)
幅频特性
相频特性
φ (ω ) = tg-1Q(ω)
知识点二：频率特性与传递函数
G(jω)=G(s)
10 G( s ) s( s 3)
s j
S =jω
10 G ( j ) j ( j 3)
G(jω)=C(jw)/R(jw)
G(jω) =|G(jω)|e j G(jω) ω) = A(ω)e jφ (
系统的幅频特性：
A(ω) =|G(jω)|
系统的相频特性： φ (ω ) = G(jω)
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。 二者统称为频率特性。
知识点一：频率特性定义
重 要
频率特性可表示为：
G(jω) Re
负相位 ωc 裕量 γ
负幅值裕量 ωg -1
1 Kg
Im 0 Re
φ
G(jω)
γ > 00 — 系统稳定 γ< 00 — 系统不稳定
Kg>1 Kg<1
系统稳定 系统不稳定
知识点九：稳定裕度
稳定裕度的概念 稳定裕度的定义
(开环频率指标) 截止频率 ωc 相角裕度
重 要
G( jωc ) H ( jωc ) 1
K G ( s ) 例：单位反馈控制系统开环传递函数 (s 1)(s 5)
求当K=10，K=100时的相位裕度和增益裕度。
解：
思路：
相位裕度γ 幅值裕度h
h 1 G( jg ) H ( jg )
180 G( jc )H ( jc )
截止频率 ωc
G( jωc ) H ( jωc ) 1
重点 掌握
R=2N=2(N+-N-)=P
注意：若有积分环节，则需要补偿曲线。 习题5-11
知识点八：频率稳定判据
Bode图上的稳定判据
重点 掌握
闭环系统稳定的充要条件是：当ω 由0变到 +∞ 时，在开环 对数幅频特性 L(ω)≥0 的频段内，相频特性φ(ω) 穿越-π线的次 数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开 环极点数。
知识点三：频率特性的几何表示
序号 1 2 3 名称 幅相频率特性曲线 图形常用名 极坐标图 奈奎斯特图 伯德图 坐标系 极坐标
对数频率特性曲线
半对数坐标
对数幅相频率特性曲线
尼柯尔斯图
对数幅相坐标
知识点三：频率特性的几何表
示 幅相频率特性曲线（魁斯特曲线） Im
幅频特性和相频特性在一个图上体现。 ω
K=ω0
③：当低频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线时，有2个
积分环节。 K=ω02
注意：低频段的曲线与横轴相交点的频率为ω0。
知识点七：由伯德图得 传递函数详解
重点 掌握
2、找出伯德图中的转折频率，从低频段开始：
①：若斜率减小20dB/dec，说明是惯性环节的转折频率； ②：若斜率增加20dB/dec，说明是一阶微分环节的转折频率；
纵坐标：L(ω)=20lgA(ω)
40 20 0 -20 -40
L(ω)=20lgA(ω)/dB
-20dB/dec -40dB/dec 0.1 1 10 -20dB/dec
对数幅频 特性曲线
纵坐标则表示为Φ(ω)
ω
对数相频 特性曲线
0 -90 -180
0.1
1
10
ω
知识点四：典型环节的频率特性
1．比例环节
知识点一：频率特性定义 知识点二：频率特性与传递函数 知识点三：频率特性的几何表示 知识点四：典型环节的频率特性 知识点五：系统奈奎斯特曲线 知识点六：伯德图画法详解 知识点七：由伯德图得传递函数详解 知识点八：频率稳定判据 知识点九：稳定裕度 知识点十：频率特性与时域指标的关系
知识点一：频率特性定义
③：若斜率减小40dB/dec，说明是振荡环节的转折频率。
3、最后几个典型环节串联得出开环系统的 传递函数。
详解见附件六
知识点八：频率稳定判据
Nyquist稳定判据： 当ω由0变化到+∞时，Nyquist曲线在(-1, j0 ) 点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时( P为 系统开环传函右极点数)，闭环系统稳定，否则， 闭环系统不稳定。
知识点六：伯德图画法详解
实际作图步骤：
重点 掌握
(4) 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一 次渐近线斜率:
遇到惯性环节的转折频率，斜率减小20dB/dec 遇到一阶微分环节的转折频率，斜率增加20dB/dec 遇到二阶微分环节的转折频率，斜率增加40dB/dec 遇到振荡环节的转折频率，斜率减小40dB/dec
重 要
低频段：积分环节和比例环节组成。
对数幅频特性曲线的位置越高，开环增 益K 越大，斜率越负，积分环节数越多。 系统稳态性能越好。低频段的斜率要陡， 增益要大， 则系统的稳态精度高。
频域指标
中频段 ：系统的平稳性和快速性。
中频段以斜率-20 dB/dec穿越 0 dB线， 且 具有一定中频带宽， 则系统动态性能好。
高频段：抗干扰能力
高频段的斜率要比低频段的斜率还要陡， 以提高系统抑制高频干扰的能力。
知识点十：频率特性与 时域指标的关系
频段 对应性能
开环增益 K 稳态误差 e ss 系统型别 v 截止频率 ω c 相角裕度
重 要
希望形状
低频段
L()
陡，高 缓，宽 低，陡
中频段
动态性能
高频段Leabharlann 系统抗高频干扰的能力0∞
Re
其中矢量的长度是幅频值，矢量与实 轴的夹角为相频值。
ω ω= 0
知识点三：频率特性的几何表示
对数频率特性曲线 （魁斯特曲线） Im
作图方法：
a：取特殊点ω=0和ω= ∞的点 ω
0
∞
Re
b：必要时取0<ω< ∞之间选取一
个特殊点
ω ω= 0
C：用光滑曲线将它们连接起来。
知识点三：频率特性的几何表示
第五章频率分析法复习
系统的 分析方法
时域分析法
根轨迹分析 频率分析法
第五章频率分析法复习
稳定性分析 （劳斯判据） 一阶系统、 二阶系统 时域分析法
概念及定义
传递函数 （t—s—t） 典型的输入信 号（5个）
典型环节以及 传递函数（6个）
优点：直观，明了 缺点：计算麻烦，尤其是高阶信号。
第五章频率分析法复习
渐近线
1 10T
1 T
转折频率
10 T -20dB/dec
∞
0 -45
ω=0
ω
Re
ω= 1 T
-20
精确曲线 φ(ω)
0
渐近线 ω
-45
惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为 圆心，以1/2为半径的半圆。
-90
ω=1/T →转折频率
知识点四：典型环节的频率特性
5．一阶微分环节
一阶微分环节奈氏图