2019-2020年高中数学竞赛模拟试题一

2019-2020年高中数学竞赛模拟试题一

一、填空题 1、已

知

函

数

1

)1(ln )(22+-+=ax x a x f

)

0(>a ，则

=+)1

(ln )(ln a

f a f ____________.

2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62

=和1)2(:⊙2

2

=+-y x C 上，则AB 的取值范围是____________.

3、若⎪⎭

⎫

⎝

⎛<

≤<=20tan 3tan παβαβ，则βα-的最大值为____________.

4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC =BC =1，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得DB =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为____________.

5、已知函数x x x f 3)(3

+=，对任意的[]2,2-∈m ，0)2()8(<+-x

f mx f 恒成立，则正．

实数．．x 的取值范围为____________.

6、已知向量c ,b ,a 满足)(3::2||:||:||*N k k c b a ∈=，且)(2b c a b -=-，若α为c ,a 的夹角，则αcos 的值为____________.

7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.

8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________.

二、解答题

9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ，向量()B C A sin ,sin sin +=p ，向量),(a b c a --=q ，且满足q p ⊥. (Ⅰ)求△ABC 的内角C 的值；

(Ⅱ)若c =2，2sin2A +sin(2B +C )=sin C ，求△ABC 的面积.

10.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：n n n a a ,a a 222

11+==+.

(1)求证：数列{})1lg(+n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式; (2)若2

11++=n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1

11.(本小题满分14分)设a ax e x f x

--=)(.（e 是自然对数的底数） (Ⅰ)若0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立，求a 的取值范围；

(Ⅱ)求证：211008

)2016

2015(-

12.(本小题满分15分)设正数x ,y 满足y x y x -=+3

3

，求使12

2

≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值.

13.(本小题满分15分)已知椭圆12:22=+y x C 及点)2

1

,1(P ，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于点Q .

(1)求点Q 的轨迹方程；

(2)求△ABQ 的面积的最小值.

数学竞赛模拟试卷（1）答案

1.【解析】

2

2)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222=+-+=++++-+=-+x a x a ax x a ax x a x f x f .

2.【解析】由于1-=AC AB ，则只需要考虑AC 的范围.

，

故又2,0,3)1(426)2()2(min 222222

=≥++=++=+-=+-=AC x x x x x x y x AC 故AB 的取值范围为[)∝+，1

. 3.【解析】()6

tan 33tan 3tan 1

2tan 31tan 2tan tan 1tan tan tan 2πββ

β

β

βαβαβ=≤

+=

+=+-=

-α .2020παπαβ<-≤∴≤≤≤β， .6

π

=-∴βα

4.【解析】由题意可知， 4

π

=∠CDB ，且∠BDA 与∠CDA

之和为

2

π

.如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面DA B 1和DC B 2，且与侧面ADC 位于同一个平面上.则△BEF 周长的最小值即面C DB AB 21上两点21,B B 之间的线段长.

由

前

面

的

分

析

可

知

，

4

3422121πππCDB ADC DA B DB B =+=

∠+∠+∠=∠， 由余弦定理可得，.DB B D B D B D B D B B B 2222211cos 22121222121+=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-⋅-+=∠⋅⋅-+= 所以，△BEF 周长的最小值为22+.

αcos 的值为6

-.

7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为

36，故容器棱长的最小值为6243

6

324+=⨯

⨯+. 8.【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为

21；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为3

1

；如果只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为4

1

；以此类推，可知将

10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为

6

1； 法2：直接从10个小球入手分类讨论.

9.【解析】(Ⅰ)由题意q p ⊥，所以，()()()0sin sin sin =-++-B a b C A c a . 由正弦定理，可得()()()0=-++-b a b c a c a .整理得ab b c a =+-2

2

2

.

由余弦定理可得，212cos 222=-+=

ab c b a C ，又()π，C 0∈，所以， 3

π

C = ……6分 (Ⅱ)由()C C B A sin 2sin 2sin 2=++可得，()()A B A πB A A +=-++sin sin cos sin 4. 整理得，()()A B A B A B A A cos sin 2sin sin

cos sin 4=-++=.