2019-2020年高二开学考试数学试题含答案

江苏省海头高级中学2014-2015学年度第一学期开学考试
高二数学试题
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．△ABC 中，45B =，60C =，1c =，则b 等于 ．
2．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C = ．
3.在ABC ∆中，=⋅===AC BA BC AC AB 则,10,2,3 ．
4. 已知锐角ABC ∆的面积为3,4,33==CA BC ,则角=C ．
5．)2cos()2sin(21++-ππ等于 ．
6.已知1cos()33πα+=-，则sin()6
πα-的值为 ． 7．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶2小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_________km ．
8.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若2,2==
b a ，2cos sin =+B B ,则角=A ．
9.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.若B b A a sin cos =,则=+B A A 2cos cos sin ．
10.在ABC ∆中，c
b c A 22sin 2
-=（c b a ,,为相应角的对边），则ABC ∆形状为 ． 11.已知ABC ∆的外接圆半径为R ,060=C ,则R b a +的取值范围为 ． 12. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若045,2==B b ，且此三角形只有一个解，则实数a 的取值范围是 ．
13. △ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ， 12cos sin sin sin sin =++B C B B A .C=23π,则a b
= ． 14. 在ABC ∆中，
1,2==AC BC ,以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，D C ,两点在直线AB 的两侧）。

当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ．
二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（1）计算tan 20tan 403tan 20tan 40++的值 （2）化简tan 70cos10(3tan 201)-
16．设锐角三角形ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a sin 2=
⑴求角B 的大小
⑵若5,33==c a ，求b
17. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且
21
sin sin cos cos =-C B C B 。

（1）求A;
（2）若,4,32=+=c b a 求bc 的值，并求ABC ∆的面积。

18. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，设向量)sin ,(sin ,),(A B n b a m ==,)2,2(--=a b P ⑴若n m //，求证：ABC ∆为等腰三角形 ⑵若p m ⊥，边长2=c ，角3π=
C , 求ABC ∆的面积
19．如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30︒和60︒．
（1）求烟囱AB 的高度； （2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．
20.已知ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2
AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅.
（1）判断△ABC 的形状，并求sin sin A B +的取值范围；
（2）如图，三角形,,A B C 的顶点A,C 分别在12,l l 上运动，AC 2,BC 1==，若直线1l ⊥直线2l ，且相交于点O ，求,O B 间距离的取值范围.
l
O B A
C
l 1
l 2
2019-2020年高二开学考试数学试题含答案
答案
1. 3
2.
23
π 3. 23- 4.
5. sin2－cos2
6.
7. 9.
10. 11. (]
32,3 12. 35
13.
14.3
15. （1
2）—1
16.
17. 【答案】（1）23A π=
；（2
）1422S =⨯⨯=【解析】
试题分析：（1）1cos cos sin sin cos()2
B C B C B C -=+= 3B C π
∴+=
()23
A B C ππ∴=-+=
（2）由余弦定理可得：2212b c bc ++=
224,216b c b c bc +=∴++=
4bc ∴=
由1sin 2
S bc A =得142S =⨯=19. 【答案】（1）15米 （2）10米．
【解析】
试题分析：（1）设AB 的高度为h ，根据OB BE OE -=,利用直角三角形建立等量关系：
=，解得15h =．（2）利用余弦定理建立等量关系：
222222
cos 22OC OB BC OC OE CE COB OC OB OC OE +-+-∠==⋅⋅,从而可得10.CE =
试题解析：（1）设AB 的高度为h ，
在△CAB 中，因为45ACB ∠=︒，所以CB h =， 1分
在△OAB 中，因为30AOB ∠=︒，60AEB ∠=︒， 2分
所以OB ，
EB =， 4分
=15h =． 6分
答：烟囱的高度为15米． 7分
（2）在△OBC 中，222
cos 2OC OB BC COB OC OB +-∠=⋅
5
6==， 10分
所以在△OCE 中，2222cos CE OC OE OC OE COE =+-⋅∠
53003006001006=+-⨯=． 13分
答：CE 的长为10米． 14分
考点：解三角形，余弦定理
20. 【答案】（1）ABC ∆为直角三角形，sin sin A B +2∈；（2）||[1,1OB ∈. 【解析】
试题分析：（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅得到0CA CB ⋅=，从而可确定CA CB ⊥，ABC ∆为直角三角形；
法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到222c a b =+，从而可确定C 为直角，ABC ∆为直角三角形；（2）先引入,[0,]2
ACO πθθ∠=∈，并设(,)B x y ，根据三角函数的定义得到
2cos sin ,cos x y θθθ=+=，进而得到222||)34
OB x y πθ=+=++，利用三角函数的图像与性质即可得到2||OB 的取值范围，从而可确定,O B 两点间的距离的取值范围. 试题解析：(1)法一：因为2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅
所以2()AB AB AC BC CA CB =⋅-+⋅即22
AB AB CA CB =+⋅
所以0CA CB ⋅=，所以CA CB ⊥
所以ABC ∆是以C 为直角的直角三角形
法二：因为2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅ 2cos cos cos c c b A c a B b a C =⋅+⋅+⋅
222222222
2
222c b a c a b a b c c c b c a b a cb ca ab +-+-+-=⋅+⋅+⋅ 222c a b =+
所以ABC ∆是以C 为直角的直角三角形
sin sin A B +=sin cos )4
A A A π=+=+ (0,)2A π∈ 3(,)444
A πππ∴+∈
sin()42
A π+∈即sin sin A
B +∈ (2)不仿设,[0,]2ACO π
θθ∠=∈，(,)B x y
cos cos(90)2cos sin ,sin(90)cos x AC BC y BC θθθθθθ=+︒-=+=︒-=
所以222||)34OB x y πθ=+=++[1,3∈+
所以||[1,1OB ∈.
考点：1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用。