大气辐射与遥感-第四章-第四-五-六节
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（4.5.14）
i j ( ) S j S
* j
类似于公式（4.59），可得多分数系粒子散射变换矩阵为：
11 ( ) 12 0 0
12 11
0 0
0 0
33 34
0 0 34 33
（4.5.15）
1 2 * * n ( )( S S S S 1 1 2 2 )d 11 2k 2 1 1 2 n( )( S S * S S * )d 1 1 2 2 12 2k 2 1 其中 1 2 n( )( S S * S S * )d 1 2 2 1 33 2k 2 1 1 2 * 34 2 n( )( S1S2 S2 S1* )d 2k 1
§4.6 辐射传输过程中云和气溶胶粒子的散射参数
辐射在云和气溶胶中传输 时会被云滴或气溶胶粒子 所散射，往往还伴有部分 吸收，散射和吸收过程与 粒子折射指数（包括实部 和虚部）有关，与粒子的 谱分布有关。
但是，需要注意的是辐射在云层中的传输过程是一个多次散射过程。
§4.6.1 云模式及其单次散射参量
利用矩阵运算规则求得散射辐射的Stokes参量为:
1 1 I 2 I 0 [ 1 ( ) 2 ( )] 2 Q0 [ 1 ( ) 2 ( )] Q 1 I [ ( ) ( )] 1 Q [ ( ) ( )] 0 1 2 0 1 2 2 2 U U 0 33 V0 34 V U V 0 34 0 33
对于水云的滴谱已做过多次测量，一般的说它具有钟形分布， 即在某一半径的云滴浓度具有极大值，半径增大或减小云滴数 均减小。Deirmendjian（1964）为了理论研究需要提出要修正 伽马函数来描写，其形式为
n(r ) ar exp(br )
表5.1 Deirmendjian云模式
云型 c1 c2 c3 N总浓度 100cm-3 100cm-3 100cm-3 a 2.3730 1.0851×10-2 5.5556 α 6 8 8 b 1.5 0.041667 0.3333
1 1 I1 ( ) ( I Q ) I 0 1 ( ) 2 2
1 1 I 2 ( ) ( I Q) I 0 2 ( ) 2 2
式中 I1(θ)、 I2(θ) 分别为电矢量平 行于和垂直于观测平面的散射辐 射强度分量。当σ1(θ)= σ2(θ) 时， 散射辐射为非偏振的，这种情况 出现在 θ=0或180，即前向和后向 散射辐射为非偏振的。
（4.5.9）
可见散射辐射为线偏振的，其偏振方向平行于观测平面。
在角散射截面 σj(θ)与相函数Pj (θ) 之间存在一定的关系，可 写为：
s j ( ) Pj ( ) 4
( j 1, 2)
（4.5.10）
因此可以将变换矩阵σ(θ) 中各矩阵元素用相函数表达，则变换矩 阵（4.5.4）可写为：
s ( ) P( ) 4
（4.5.11）
P 11 P 12 P ( ) 式中 0 0
P 12 0 0
0 0
P 11
P33 P34
0 0 P34 P33
称P(θ) 为单个球形粒子的散射相矩阵，各矩阵元素为（见 下页）：
4 P 11 11 s 4 12 12 P s P 4 33 s 33 P 4 34 34 s
1 [ 1 ( ) 2 ( )] 2 1 [ 1 ( ) 2 ( )] 2
（4.5.16）
其中容积角散射系数βj (θ )与 Pj(θ)之间的关系为:
j ( ) Pj ( ) 4
4 11 11 P 4 12 12 P P 4 33 33 P 4 34 34 2
4.5 散射相矩阵
辐射经粒子散射后不仅能量在空间重新分布，且各方向散射辐 射的偏振状态也不同，引用散射辐射矩阵就可以表示出散射辐 射的特征。 先讨论单分散粒子系中单个球形粒子的散射，此时各偏振状 态的散射辐射强度与入射辐射的关系为
I j ( ) j ( ) F0
1 j ( ) 2 S j S * j k
n(r)（m-3μm-1）
c3
c2
c1
r（μm） 图 Deirmendjian的云滴谱分布
对于实际水云的滴谱已有一些观测结果，Carrier（1967）等 根据文献资料整理给出八种典型的云 滴谱分布， Stephens （1978）做了某些修改，其所给出的八种云滴谱如下图所示， 相应的含水量与有关参数列于表5.2中。
上式左端的列矢量[I, Q, U, V]为散射辐射的Stokes参量，右端 列矢量[I0, Q0, U0, V0]为入射辐射的Stokes参量。 σ(θ)称为单个 粒子散射的变换矩阵，它是一个 4 × 4阶矩阵，其形式如下
11 12 11 12 ( ) 0 0 0 0
（4.5.8）
对线性偏振入射辐射时，设偏振方向平行于观测平面，则有 ， I0=Q0，U0=V0 =0，（4.5.6）式化为：
I I 0 1 ( ) Q I ( ) 0 1 U 0 V 0
此时散射辐射 强度为：
I1 ( ) I01 ( )
I 2 ( ) 0
( j 1, 2)
（4.5.17）
可以求出多分散系粒子散射相Pj(θ)矩阵 中各矩阵元素为:
2 [ 1 ( ) 2 ( )]
[ 1 ( ) 2 ( )]
（4.5.18）
由此，散射过程中，可通过散射矩阵将 入射辐射Stokes参量变换得到的散射辐 射Stokes参量，它们就表示了散射辐射 的强度、偏振状态等特性。
表5.2 水云的参数 n(r)（m-3μm-1）
云型 St I St II Sc I Sc II Ns As Cu 云滴浓度cm-3 440 120 350 150 280 430 300 含水量gM-3 0.22 0.05 0.14 0.47 0.50 0.28 1.00 众数半径μm 3.5 2.25 3.5 7.5 3.5 4.5 5.5
在讨论散射传输问题中相函数是一个很重要的因子，对于分子散射 它具有较简单的形式，
（4.4.1）
而对于云和气溶胶而言：
（4.4.2）
然而，计算的相函数只能以数据表的形式给出，这种以数据表示的 相函数有时在作理论计算的时候不便利用，因此需要用解析形式表
示。下面提供一种比较简单的近似处理方法。
辐射模式中常用的Henyey-Greenstein相函数
兰州大学大气科学学院专业必修课-《大气辐射与遥感》
第四章
大气粒子的散射
授课人： 李积明 2015·春季
第四章 大气粒子的散射
§ 4.1 电磁辐射的偏振特性及数学表征（刘长盛，大气辐射学）
§ 4.1.1 电磁波波动方程及其解 （Page 3） § 4.1.2 电磁辐射的偏振状态（Page 11) § 4.1.3 偏振态的数学表征（Page 15)
1 [ 1 ( ) 2 ( )] 2 1 [ 1 ( ) 2 ( )] （4.5.5） 2 1 1 * * Re{ S S } Re{ S S 1 2 2 1} 2 2 k k 1 1 * * I { S S } I { S S } m 1 2 m 2 1 2 2 k k
§ 4.1.4 Stokes参量（Page 15）
§ 4.2 瑞利散射
§ 4.2.1 理论推导 (廖国男，大气辐射导论，page 91） § 4.2.2 瑞利散射特征量的计算（刘长盛，page 111）
§ 4.3 米散射
§ 4.3.1 米散射的特征（刘长盛，page 120，理论推导参见廖：page181-197） § 4.3.2 米散射特征参数的计算（刘长盛，page 123）
0 0
33 34
0 0 34 33
（4.5.4）
1 * * ( S S S S 2 2) 11 2k 2 1 1 1 ( S S * S S * ) 2 2 其中 12 2k 2 1 1 1 ( S S * S S * ) 2 1 33 2k 2 1 2 i * 34 2 ( S1S 2 S 2 S1* ) 2k
（4.5.6）
对于非偏振入射辐Q0 = U0 = V0 = 0，则（4.5.6）式可化为：
1 I I 0 [ 1 ( ) 2 ( )] 2 Q 1 I [ ( ) ( )] 0 1 2 2 U 0 V 0
（4.5.7）
可见此时散射辐射为部分偏振的，可得出散射辐射强度为：
( j 1, 2) （4.5.1）
（4.5.2）
式中F0 为入射辐射通量密度， σj(θ) 为角散射截面，可由Mie散射公式求得:
( j 1, 2)
入射辐射和散射都可以用Stokes参量表示，它们之间的关系可 写为: I0 I Q Q ( ) 0 （4.5.3） U 0 U V V0
§ 4.4 散射相函数的解析表示 （刘长盛，page 246） § 4.5 散射相矩阵 （刘长盛，page 131或廖国男，page197-201） § 4.6 辐射传输过程中云和气溶胶粒子的散射参数（刘：p229-245，廖: p106）
Reddening/Blueing
Glory
4.4 散射相函数的解析表示
对于多分散粒子系，偏振状态的散射辐射强度与入射 辐射的关系为：
I j ( ) j ( ) F0
( j 1, 2) （4.5.13）
式中βj (θ ) 为容积角散射系数，其表达式为：
1 2 j ( ) 2 n( )i j ( )d k 1
其中
( j 1, 2)
2
1 [ 1 ( ) 2 ( )] [P1 ( ) P2 ( )] s 2 2 1 [ 1 ( ) 2 ( )] [P1 ( ) P2 ( )] s 2
（4.5.12）
式中P11 即为上两节中讨论的相函数，在不需要讨论偏振 状态，仅仅研究能量关系时，则只需知道P11就够了。
Biblioteka Baidu
v
（4.6.1）
r 1 3 3 Rc众数 半径 4.0μm 4.0 2.0 N(rc) 24.09c m-3μm-1 49.41 98.82
Deirmendjian的云模式并不代表某一实际的云，虽然其 c1模式 在某种程度上有些类似于薄的积云的情况，但其c1云的含水量 仅0.063 gM-3，需要调整总浓度数值以期与实际相近。 c2、c3模式具有更狭窄的 谱（右图），对于众数 半径呈对称分布，是为 模拟大气中某些光像而 设计的。Deirmendjian （1969）计算了这些云 模式在若干波长的散射 相函数、减弱系数和单 次散射反照率。
（4.4.3）
Henyey-Greenstein（简称为H-G）相函数值决定于一个参数g（不对 称因子），它的表达式为：
（4.4.4）
g越大时前向散射越多，P(θ)随θ增大逐渐减小。
上图给出了g=0.79和g=0.84时的H-G相函数，同时也给出了根据米散射公式计算 的云和霾对于可见光或近红外的散射相函数。H-G相函数由前向至后向单调地下 降，前向散射也不是非常突出，可近似代表热红外辐射在云中的散射。H-G相函 数目前在很多研究中被采用
i j ( ) S j S
* j
类似于公式（4.59），可得多分数系粒子散射变换矩阵为：
11 ( ) 12 0 0
12 11
0 0
0 0
33 34
0 0 34 33
（4.5.15）
1 2 * * n ( )( S S S S 1 1 2 2 )d 11 2k 2 1 1 2 n( )( S S * S S * )d 1 1 2 2 12 2k 2 1 其中 1 2 n( )( S S * S S * )d 1 2 2 1 33 2k 2 1 1 2 * 34 2 n( )( S1S2 S2 S1* )d 2k 1
§4.6 辐射传输过程中云和气溶胶粒子的散射参数
辐射在云和气溶胶中传输 时会被云滴或气溶胶粒子 所散射，往往还伴有部分 吸收，散射和吸收过程与 粒子折射指数（包括实部 和虚部）有关，与粒子的 谱分布有关。
但是，需要注意的是辐射在云层中的传输过程是一个多次散射过程。
§4.6.1 云模式及其单次散射参量
利用矩阵运算规则求得散射辐射的Stokes参量为:
1 1 I 2 I 0 [ 1 ( ) 2 ( )] 2 Q0 [ 1 ( ) 2 ( )] Q 1 I [ ( ) ( )] 1 Q [ ( ) ( )] 0 1 2 0 1 2 2 2 U U 0 33 V0 34 V U V 0 34 0 33
对于水云的滴谱已做过多次测量，一般的说它具有钟形分布， 即在某一半径的云滴浓度具有极大值，半径增大或减小云滴数 均减小。Deirmendjian（1964）为了理论研究需要提出要修正 伽马函数来描写，其形式为
n(r ) ar exp(br )
表5.1 Deirmendjian云模式
云型 c1 c2 c3 N总浓度 100cm-3 100cm-3 100cm-3 a 2.3730 1.0851×10-2 5.5556 α 6 8 8 b 1.5 0.041667 0.3333
1 1 I1 ( ) ( I Q ) I 0 1 ( ) 2 2
1 1 I 2 ( ) ( I Q) I 0 2 ( ) 2 2
式中 I1(θ)、 I2(θ) 分别为电矢量平 行于和垂直于观测平面的散射辐 射强度分量。当σ1(θ)= σ2(θ) 时， 散射辐射为非偏振的，这种情况 出现在 θ=0或180，即前向和后向 散射辐射为非偏振的。
（4.5.9）
可见散射辐射为线偏振的，其偏振方向平行于观测平面。
在角散射截面 σj(θ)与相函数Pj (θ) 之间存在一定的关系，可 写为：
s j ( ) Pj ( ) 4
( j 1, 2)
（4.5.10）
因此可以将变换矩阵σ(θ) 中各矩阵元素用相函数表达，则变换矩 阵（4.5.4）可写为：
s ( ) P( ) 4
（4.5.11）
P 11 P 12 P ( ) 式中 0 0
P 12 0 0
0 0
P 11
P33 P34
0 0 P34 P33
称P(θ) 为单个球形粒子的散射相矩阵，各矩阵元素为（见 下页）：
4 P 11 11 s 4 12 12 P s P 4 33 s 33 P 4 34 34 s
1 [ 1 ( ) 2 ( )] 2 1 [ 1 ( ) 2 ( )] 2
（4.5.16）
其中容积角散射系数βj (θ )与 Pj(θ)之间的关系为:
j ( ) Pj ( ) 4
4 11 11 P 4 12 12 P P 4 33 33 P 4 34 34 2
4.5 散射相矩阵
辐射经粒子散射后不仅能量在空间重新分布，且各方向散射辐 射的偏振状态也不同，引用散射辐射矩阵就可以表示出散射辐 射的特征。 先讨论单分散粒子系中单个球形粒子的散射，此时各偏振状 态的散射辐射强度与入射辐射的关系为
I j ( ) j ( ) F0
1 j ( ) 2 S j S * j k
n(r)（m-3μm-1）
c3
c2
c1
r（μm） 图 Deirmendjian的云滴谱分布
对于实际水云的滴谱已有一些观测结果，Carrier（1967）等 根据文献资料整理给出八种典型的云 滴谱分布， Stephens （1978）做了某些修改，其所给出的八种云滴谱如下图所示， 相应的含水量与有关参数列于表5.2中。
上式左端的列矢量[I, Q, U, V]为散射辐射的Stokes参量，右端 列矢量[I0, Q0, U0, V0]为入射辐射的Stokes参量。 σ(θ)称为单个 粒子散射的变换矩阵，它是一个 4 × 4阶矩阵，其形式如下
11 12 11 12 ( ) 0 0 0 0
（4.5.8）
对线性偏振入射辐射时，设偏振方向平行于观测平面，则有 ， I0=Q0，U0=V0 =0，（4.5.6）式化为：
I I 0 1 ( ) Q I ( ) 0 1 U 0 V 0
此时散射辐射 强度为：
I1 ( ) I01 ( )
I 2 ( ) 0
( j 1, 2)
（4.5.17）
可以求出多分散系粒子散射相Pj(θ)矩阵 中各矩阵元素为:
2 [ 1 ( ) 2 ( )]
[ 1 ( ) 2 ( )]
（4.5.18）
由此，散射过程中，可通过散射矩阵将 入射辐射Stokes参量变换得到的散射辐 射Stokes参量，它们就表示了散射辐射 的强度、偏振状态等特性。
表5.2 水云的参数 n(r)（m-3μm-1）
云型 St I St II Sc I Sc II Ns As Cu 云滴浓度cm-3 440 120 350 150 280 430 300 含水量gM-3 0.22 0.05 0.14 0.47 0.50 0.28 1.00 众数半径μm 3.5 2.25 3.5 7.5 3.5 4.5 5.5
在讨论散射传输问题中相函数是一个很重要的因子，对于分子散射 它具有较简单的形式，
（4.4.1）
而对于云和气溶胶而言：
（4.4.2）
然而，计算的相函数只能以数据表的形式给出，这种以数据表示的 相函数有时在作理论计算的时候不便利用，因此需要用解析形式表
示。下面提供一种比较简单的近似处理方法。
辐射模式中常用的Henyey-Greenstein相函数
兰州大学大气科学学院专业必修课-《大气辐射与遥感》
第四章
大气粒子的散射
授课人： 李积明 2015·春季
第四章 大气粒子的散射
§ 4.1 电磁辐射的偏振特性及数学表征（刘长盛，大气辐射学）
§ 4.1.1 电磁波波动方程及其解 （Page 3） § 4.1.2 电磁辐射的偏振状态（Page 11) § 4.1.3 偏振态的数学表征（Page 15)
1 [ 1 ( ) 2 ( )] 2 1 [ 1 ( ) 2 ( )] （4.5.5） 2 1 1 * * Re{ S S } Re{ S S 1 2 2 1} 2 2 k k 1 1 * * I { S S } I { S S } m 1 2 m 2 1 2 2 k k
§ 4.1.4 Stokes参量（Page 15）
§ 4.2 瑞利散射
§ 4.2.1 理论推导 (廖国男，大气辐射导论，page 91） § 4.2.2 瑞利散射特征量的计算（刘长盛，page 111）
§ 4.3 米散射
§ 4.3.1 米散射的特征（刘长盛，page 120，理论推导参见廖：page181-197） § 4.3.2 米散射特征参数的计算（刘长盛，page 123）
0 0
33 34
0 0 34 33
（4.5.4）
1 * * ( S S S S 2 2) 11 2k 2 1 1 1 ( S S * S S * ) 2 2 其中 12 2k 2 1 1 1 ( S S * S S * ) 2 1 33 2k 2 1 2 i * 34 2 ( S1S 2 S 2 S1* ) 2k
（4.5.6）
对于非偏振入射辐Q0 = U0 = V0 = 0，则（4.5.6）式可化为：
1 I I 0 [ 1 ( ) 2 ( )] 2 Q 1 I [ ( ) ( )] 0 1 2 2 U 0 V 0
（4.5.7）
可见此时散射辐射为部分偏振的，可得出散射辐射强度为：
( j 1, 2) （4.5.1）
（4.5.2）
式中F0 为入射辐射通量密度， σj(θ) 为角散射截面，可由Mie散射公式求得:
( j 1, 2)
入射辐射和散射都可以用Stokes参量表示，它们之间的关系可 写为: I0 I Q Q ( ) 0 （4.5.3） U 0 U V V0
§ 4.4 散射相函数的解析表示 （刘长盛，page 246） § 4.5 散射相矩阵 （刘长盛，page 131或廖国男，page197-201） § 4.6 辐射传输过程中云和气溶胶粒子的散射参数（刘：p229-245，廖: p106）
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4.4 散射相函数的解析表示
对于多分散粒子系，偏振状态的散射辐射强度与入射 辐射的关系为：
I j ( ) j ( ) F0
( j 1, 2) （4.5.13）
式中βj (θ ) 为容积角散射系数，其表达式为：
1 2 j ( ) 2 n( )i j ( )d k 1
其中
( j 1, 2)
2
1 [ 1 ( ) 2 ( )] [P1 ( ) P2 ( )] s 2 2 1 [ 1 ( ) 2 ( )] [P1 ( ) P2 ( )] s 2
（4.5.12）
式中P11 即为上两节中讨论的相函数，在不需要讨论偏振 状态，仅仅研究能量关系时，则只需知道P11就够了。
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（4.6.1）
r 1 3 3 Rc众数 半径 4.0μm 4.0 2.0 N(rc) 24.09c m-3μm-1 49.41 98.82
Deirmendjian的云模式并不代表某一实际的云，虽然其 c1模式 在某种程度上有些类似于薄的积云的情况，但其c1云的含水量 仅0.063 gM-3，需要调整总浓度数值以期与实际相近。 c2、c3模式具有更狭窄的 谱（右图），对于众数 半径呈对称分布，是为 模拟大气中某些光像而 设计的。Deirmendjian （1969）计算了这些云 模式在若干波长的散射 相函数、减弱系数和单 次散射反照率。
（4.4.3）
Henyey-Greenstein（简称为H-G）相函数值决定于一个参数g（不对 称因子），它的表达式为：
（4.4.4）
g越大时前向散射越多，P(θ)随θ增大逐渐减小。
上图给出了g=0.79和g=0.84时的H-G相函数，同时也给出了根据米散射公式计算 的云和霾对于可见光或近红外的散射相函数。H-G相函数由前向至后向单调地下 降，前向散射也不是非常突出，可近似代表热红外辐射在云中的散射。H-G相函 数目前在很多研究中被采用