大学物理第三章题解

第三章 经典运动学

3-1．判断以下表达式的正误：（1）0lim t v a t ∆→∆=∆；（2）d d v

a t

=；（3）v r =；（4）a v =．

解 （1）正确．（2）错；一般

t d d v

|a |a t

=±≠． （3）与（4）均错；矢量和标量不能相等．

3-2．如图，高出水面h 处岸边有人经定滑轮用绳拉水面的小船，t 时刻绳长为0l ，人收绳的速率为0v ，求此时刻小船之速率．设人、绳、船在同一竖直平面内．

解 沿水面建立坐标系Ox ，设绳长为l ，所以

222x h l +=

对时间求导数得

d d 22d d x l x

l t t

= 由于收绳速率0d d l v t =-

，小船速率d d x v t =-

，因此00l v v x ==，t 时刻

00l

v v x ==

3-3．已知质点的运动学方程2286r t i t j k =++（国际单位制），求质点运动轨道、速

度和加速度．

解 由2

286

x t

y t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩中消去t ，即得到轨道方程226y x z ⎧=⎨=⎩（国际单位制）．

速度 2d d

(286)216(m s)d d r v t i t j k i tj t t

=

=++=+ 加速度 2d d

(216)16(m s )d d v a i tj j t t

=

=+=

3-4．质点沿Ox 轴运动，其加速度2cos x a A t ωω=-，0t =时0x v =、x A =，其中A 、

ω为正值常量．求此质点的运动学方程．

解 由

2d cos d x

x v a A t t

ωω==-可得 2d cos d x v A t t ωω=-

作定积分，由初始条件0t =时0x v =确定积分下限

2

d cos d x

v t

x v A t t ω

ω=-⎰

⎰

把上式右侧积分变量换为t ω

d cos d x

v t

x v A t t ωωωω=-⎰

⎰

则得到 0

0sin

x v t

x

v A t ωωω=-

sin x v A t ωω=-

再由

d sin d x x

v A t t

ωω==-得到 d sin d x A t t ωω=-

做定积分，由初始条件0t =时x A =确定积分下限

d sin d sin d x

t t

A

x A t t A t t ωωωωω=-=-⎰

⎰⎰

0cos x t

A x A t ωω=

所以质点运动学方程为 cos x A t ω=

3-5．如图极坐标系，有一质点沿垂直于极轴Ox 、到O 点距离OA a =的直线以匀速率0v 运动，求质点位于P 点时的加速度分量r a 、a θ．

解 因为v =常矢量，所以0a =，0r a =、0a θ=．

3-6．直管OA 绕O 点在平面内转动，管与其初始方向的夹角随时间线性增加，比例系数为c ．初始时有一质点P 由O 点出发沿管向A 端运动，P 点与O 点距离亦随时间线性增加，比例系数为b ．试求质点的轨道方程、速度和加速度．

解 以O 点为极点，沿管的初始方向建立极轴Ox ，规定极角的正方向为管转动的方向．设初始时0t =，由题意可知质点的运动学方程为

r bt = ，ct θ=

由运动学方程消去t 即得到质点的轨道方程r b c θ=（阿基米德螺旋线）．质点的速度和加速度为

r r v r e r e be bcte θθθ=+=+

22()(2)2r r a r r e r r e bc t e bce θθθθθ=-++=-+

3-7．有一根细杆在水平面内绕其一端O 转动，角速度不变，其大小为ω．一小虫由0t =开始，从O 点沿杆向外爬动，小虫到O 点的距离与2

t 成正比，比例系数为a ．求小虫的速度和加速度．

解 以O 为极点，沿细杆的初始方向建立极轴Ox ，规定极角的正方向为细杆转动的方向．设初始时0t =，由题意可知

2r at = ，θω=

所以小虫（质点）的速度和加速度为

22r r v r e r e ate a t e θθθω=+=+

222()(2)(2)4r r a r r e r r e a a t e a te θθθθθωω=-++=-+

3-8．如果质点的切向加速度t a 和法向加速度n a 为以下情况，试问质点作何种运动？ （1）t 0a =，n 0a =；（2）t 0a ≠，n 0a =； （3）t 0a =，n 0a ≠；（4）t 0a ≠，n 0a ≠． 解 t 0a s ==，则s =常数，说明质点做匀速率运动．

2

n 0v a ρ

=

=和0v ≠，则ρ=∞，说明质点做直线运动．

所以（1）匀速率直线运动；（2）变速率直线运动；

（3）匀速率曲线运动；（4）变速率曲线运动．

3-9．汽车在半径为100m 的圆弧形轨道上刹车，自刹车开始其弧长方程为3

10s t t =-（单位分别为m 、s ），求汽车在1s t =时的速度和加速度．

解 以圆弧轨道上的刹车点为原点，汽车运动方向为弧长正方向建立自然坐标，则

310s t t =-

2t t t t (103)v v e se t e ===-

224

t t t n t n 1006096100

v t t a v e e te e R -+=+=-+

当1t s =时，t 7v e =，t n 60.49a e e =-+，单位分别为m 、s ．

3-10．一质点从静止出发沿半径为2m R =的圆周运动，切向加速度2t 2m a =，问经过多长时间它的加速度矢量与半径成45角？在这段时间内质点经过的路程为多少？

解 因0t =时t 0v =，由t

t d d v a t

=

，即t t d d v a t =，所以 t

t t 0

d d v t v a t =⎰

⎰

可求出t t 2v a t t ==．因此

2

2t n 2v a t R ==

加速度矢量与半径成45角，t 2n 1

tg451a a t

===，此时1s t =．

根据d 2d t s

v t t

==，即d 2d s t t =，所以 1

d 2d s

s t t =⎰

⎰

可知在0t =到1s t =时间内质点经过的路程为1m s =． （第三章题解结束）