七年级数学 旋转变换
小学数学七年级认识简单的几何变换
小学数学七年级认识简单的几何变换几何变换是数学中的一个重要概念，它指的是在平面内对图形进行变换的操作。
小学数学七年级学生需要通过学习认识简单的几何变换，从而加深对图形的理解和空间想象力的培养。
本文将介绍小学数学七年级学生应该了解的三种简单几何变换：平移、旋转和翻转。
一、平移平移是指以某个参考点为中心，将图形沿着直线方向按给定的距离平行移动。
具体操作时，我们需要指定平移的方向和距离。
平移后的图形与原图形形状相同，但位置发生了改变。
例如，我们有一个正方形ABCDEF。
现在我们以点A为参考点进行平移，向右平移2个单位长度，得到平移后的正方形A'B'C'D'E'F'。
可以看到，经过平移后，正方形的位置发生了改变，但形状并没有发生变化。
[插入图片：正方形ABCDEF和平移后的正方形A'B'C'D'E'F']二、旋转旋转是指以某个参考点为中心，将图形按给定角度进行旋转。
具体操作时，我们需要指定旋转的角度和参考点。
旋转后的图形与原图形形状相同，但方向发生了改变。
例如，我们有一个三角形ABC。
现在我们以点A为参考点进行旋转，按逆时针方向旋转60°，得到旋转后的三角形A'B'C'。
可以看到，经过旋转后，三角形的方向发生了改变，但形状并没有发生变化。
[插入图片：三角形ABC和旋转后的三角形A'B'C']三、翻转翻转是指将图形沿着一条直线进行对称变换。
具体操作时，我们需要指定翻转的轴线。
翻转后的图形与原图形形状相同，但位置发生了改变。
例如，我们有一个长方形ABCD。
现在我们以线段AD为轴线进行翻转，得到翻转后的长方形A'B'C'D'。
可以看到，经过翻转后，长方形的位置发生了改变，但形状并没有发生变化。
[插入图片：长方形ABCD和翻转后的长方形A'B'C'D']通过学习和理解这三种简单的几何变换，小学数学七年级的学生可以更好地认识图形特点和属性，培养和提高空间想象力和几何思维能力。
七年级数学下册 2.4旋转变换课件 浙教版
A’
旋转后 的像
O
旋转中心
点A’就是所求作的旋转变换后的像.
例２．线段的旋转变换
已知旋转角是顺时针９０°及旋转中心为O.
B
原线段
A’ A
90 ° 90 °
旋转后 的像
B’
O 旋转中心
线段A’B’就是所求作的旋转变换后的像.
例、如图,O是△ABC外一点,以点O为旋转中心,将 △ABC按逆时针方向旋转80º,作出经旋转变换后的像.
请欣赏下面一组旋转变换
按顺时针方向旋转90°，再向下作一次平移变换，就
得到牌B. 方法二、先将牌A向下作一次平移变换，平移到牌 A的右下角与牌B的左下角重合，再以牌A的右下角顶点
为旋转中心，按顺时针方向旋转90°，再就得到牌B.
请欣赏下面一组旋转变换
请欣赏下面一组旋转变换
请欣赏下面一组旋转变换
请欣赏下面一组旋转变换
B
o
A
C
D
风车的叶片由A至B的运动,钟表的钟摆由C至D
的运动有什么共同特点? 运动物体各部分旋转的方向和角度都相同； 到一个固定点的距离保持不变.
.
旋转变换的定义:
由一个图形改变为另一个图形，在改变的过中， (1)原图形上的所有点都绕一个固定的点，
(2)按同一个方向，
(3)转动同一个角度，
这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋
A
O
B
C
做 一 做
在方格纸上画旋转后的图形
在方格纸上作出 “小旗子”绕 O点按顺时针方向旋转
90度后的图案 ，并简述理由.
1、相同：都是一种运动；运动前
后 不改变图形的形状 改变 不变
旋转
初中数学重点梳理：旋转
旋转知识定位旋转在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，是解决平面几何中最重要的工具之一，它的有关知识是今后我们学习综合题目重要基础。
本节需要掌握旋转图形变换的特征；学会运用旋转的特征进行图形的求解换。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中旋转相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、旋转的定义在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点。
注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
2、旋转的基本特点（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3、旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形。
常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．4、中心对称（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换 旋转
初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换—旋转一：如何构造旋转图形1、遇中点，旋180°，构造中心对称图形，即倍长中线。
2、遇90°，旋90°，构造垂直—等腰直角三角形、正方形。
3、遇60°，旋60°，构造等边。
口诀：边相等，就旋转。
二：倒角（旋转后，常见图形）、如图，边长为的正方形AB=AD，由图形旋转的性质可知AD=AB′，故可得出Rt△ADE≌Rt△AB′E，由直角三角形的性质可得出DE的长，再由S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB′即可得出结论．解答：解：连接AE，∵∠BAB′=30°，∴∠DAB′=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠B=90°，∵正方形AB′C′D′是正方形ABCD旋转而成，∴AD=AB′，∠B′=90°，在Rt△ADE与Rt△AB′E中，AD=AB′，AE=AE，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E，∴∠DAE==30°，∴DE=AD?tan∠DAE=×=1，∴S四边形ADEB′=2S△ADE=2××AD×DE=，∴S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB=3-．2、如图，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PA C绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为????，∠APB=????°.答案此题答案为：6；150°.解：连接PP′.∵△P′AB是△PAC绕点A旋转得到的，∴△P′AB≌△PAC.∵△P′AB≌△PAC，PA=6，PB=8，PC=10，∴P′A=PA=6，P′B=PC=10，∠PAC=∠P′AB.∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAC+∠BAP=60°.∵∠PAC=∠P′AB，∴∠P′AB+∠BAP=∠P′AP=60°.∵∠P′AP=60°，PA=P′A，∴△PAP′是等边三角形，∴PP′=PA=6，∴∠P′PA=60°.∵在△PBP′中PP′=6，PB=8，P′B=10，∴△PBP′是直角三角形，∴∠BPP′=90°，∴∠APB=∠P′PA+∠BPP′=60°+90°=150°.3、如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上结果都不对答案此题答案为：A.解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．4、如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接。
七年级下册旋转知识点
七年级下册旋转知识点旋转是数学中的一种基本运算，也是生活中常见的一种运动。
在七年级下册的数学课程中，旋转是一个重要的知识点，本文将为大家介绍七年级下册旋转知识点及其应用。
一、旋转的定义旋转是指在平面内，将一个图形绕着一个点旋转一定角度后得到的新图形。
该点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
例如，下图中，以点O为旋转中心，将图形ABC旋转60°后得到新图形A'B'C'。
二、旋转的性质旋转具有以下几个性质：1.对称性旋转是一种对称操作，旋转180°后得到的图形与原图形完全重合。
2.不变性旋转前后图形的周长、面积、形状都不变。
3.关于旋转中心的对称性旋转中心是图形的中心点。
三、旋转的应用旋转在生活和工作中有许多应用，下面介绍其中的两个应用。
1.计算机图形图像处理计算机中的图形图像处理，通常需要进行旋转操作，以适应各种不同屏幕和格式的要求。
计算机软件中的旋转功能，也很大程度上借鉴了数学中的旋转知识点。
例如，下图中，通过旋转可以将图形调整为不同的角度和方向，以满足用户要求。
2.制作艺术品许多艺术品都运用了旋转的概念，如雕塑、陶瓷等。
艺术家们通过旋转，将原材料变形成各种不同的形态和形状。
例如，下图为一个陶瓷制品，通过旋转和雕刻，艺术家将原材料变形成各种不同的形态和形状，达到了艺术效果。
总结在数学中，旋转是一种基本运算，它具有对称性、不变性和关于旋转中心的对称性等特点。
在生活和工作中，旋转还有许多应用，如计算机图形图像处理和制作艺术品等。
掌握旋转的知识点，对于学生和职场人士都有很大的帮助。
七年级数学2.4《旋转变换》教案浙教版
《2．4旋转变换》教学设计一、教学内容浙教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册2.4旋转变换P.48～51二、教材分析本教材是在平移转换的基础上学习旋转变换，进一步引导学生用运动的眼光看待生活中的图形，并通过揭示图形的变化规律和内在联系，促进学生观察、分析、归纳、探究能力的提高，既能培养学生积极的情感和态度，又能增强他们学数学、用数学的信心。
本节是本章第四节内容，从知识结构上讲，本节内容是在学习了三角形的全等的基础上学习的，是继轴对称变换、平移变换的又一基本图形变换，也为今后研究其他具有对称性质的图形及几何变换奠定基础，起着承上启下的作用。
因此它既是数学上的一个重要基础知识又是重要的数学思想方法，是培养学生思维能力，树立变化观点的良好素材。
它和轴对称、平移这三种变换既是本章的重点也是本章的难点。
三、学情分析在学本节内容之前学生已经学习了两种变换，对图形的运动有一个初步的了解，因此对本节内容比较容易接收，但初一学生的想象比较单纯，空间想象能力较弱，对概念的理解能力不强，观察、分析、认识问题的能力也比较弱，而且旋转变换较前两种变换复杂、要求也高。
所以在下面的几个环节设计中都要考虑到这一情况。
四、教学目标本节通过生动的实例，让学生感受生活中的旋转现象，直观地认识旋转变换，并在此基础上，分析旋转现象的规律，得到旋转变换的性质，然后利用性质进行简单的旋转作图，进一步深化对图形变换的理解和认识，体会旋转变换的应用价值和丰富内涵。
知识与技能目标：1.了解现实生活中图形的旋转。
2.了解图形旋转变换的概念。
3.理解图形旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状和大小；对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转的角度。
4.会按要求作出简单平面图形旋转变换后的图形。
过程与方法目标：经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏以及动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步审美能力，增强对图形欣赏的意识。
浙教版七年级数学旋转变换(含答案)
2．4 旋转变换【知识提要】1．认识旋转变换的概念．•体验影响图形旋转变换的主要因素是旋转中心和旋转角度．2．理解旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状、大小；对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．3．会按要求作出简单平面图形旋转变换后的像．【学法指导】1．旋转变换必须指明旋转中心、旋转方向、旋转角度．2．作旋转图形的关键是找出几个关键点并作出这几个点旋转后的对应点．3．旋转变换中图形中每点都绕着旋转中心旋转相同的角度．4．旋转变换后对应点位置的排列次序相同．Array 5．旋转变换后，图形的面积不变．范例积累【例1】如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转变换后到△ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转变换后，点M转到了什么位置？【分析】（1）确定旋转中心的位置；（2）旋转角度可以根据旋转变换前后某两条对应线段夹角的度数来确定；（3）旋转前后重合的点为对应点，重合的线段为对应线段．【解】（1）旋转中心是A；（2）旋转了60°；（3）点M旋转到了AC的中点位置上．【注意】（1）若连结DE，则△ADE是什么三角形？（2）若△ABC是等腰三角形，且顶角∠BAC=50°，问题（2）的结论如何？【例2】如图，点M是线段AB上一点，将线段AB•绕着点M•顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线段的位置关系如何？如果逆时针方向旋转90°呢？【解】顺时针方向旋转90°，如图（甲）所示，A′B′与AB互相垂直；•逆时针方向旋转90°，如图（乙），A″B″与AB互相垂直．（甲） (乙)【注意】（1）无论怎样旋转，线段旋转90°后总与原来位置互相垂直；（2）从图形中明显可知旋转变换时方向不同，得到像的位置一般也不同．基础训练Array 1．如图，△A′B′C′是△ABC经旋转变换后的像，（1）旋转中心是________，旋转角度是_________；（2）点A•的对应点是点_____，•点B•的对应点是点________，•点C•的对应点是点_______．（3）∠A的对应角是________，∠B的对应角是________，∠C的对应角是______．（4）线段AB的对应线段是________，线段BC的对应线段是_________，线段AC的对应线段是_________．（5）图中相等的线段：OA=_______，OB=________，OC=•________，•AB=•________，•BC=•________，•CA=______．（6）图中相等的角：∠CAB=______，∠ABC=______，•∠BCA=•_______，•∠AOA•′=_______=_______．2．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？3．如图，△ABC按逆时针方向转动一个角后成为△AB′C′，•图中哪一点是旋转中心？旋转了多少度？4．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E•在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心？旋转了多少度？5．如图，画出三角形绕点O逆时针旋转90°后的三角形．6．如图，已知图形F和点O，以点O为旋转中心，•将图形按顺时针方向旋转90°，作出经旋转变换后的像．经几次旋转变换后的像可以与原图形重合？7．已知△ABC是任意三角形，（1）若△ACD、△AEB是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A•为旋转中心，逆时针方向旋转90°后的三角形；（2）若△ACD、△AEB是等边三角形，画出△ACE以点A为旋转中心，•逆时针方向旋转60°后的三角形．8．如图，△A′B′C′是△ABC•经旋转变换后得到的像，•且旋转的角度为25度，AC⊥A′B′，则∠BCB′=_______，∠A=________．(8题) (9题)提高训练9．如图，已知△ABC和过点O的两条互相垂直的直线x、y，以直线x•为对称轴，作出△ABC经轴对称变换后的像△A′B′C′，再以直线y为对称轴，画出△A′B′C′经轴对称变换后的像△A″B″C″，△A″B″C″能否由△ABC经过一次变换得到？10．如图，在线段BD上取一点C，以BC、CD为边分别作正△ABC和正△ECD，•连结AD交EC于点Q，连结BE交AC于点P，交AD于点F．（1）通过旋转变换，图中可得到哪些全等三角形？（2）∠BFD是多少度？（3）PQ∥BD吗？若是，请说明理由．11．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，•试说明BF+CE>EF．应用拓展12．小明在观察时针和分针漫长的马拉松比赛时，发现了一些有趣的问题．•圆形的比赛场地被分成了12站，每站点处都有一个数字警察（标号1～12）把守着，•每站又被分成相等的5份，1份就是1分钟走过的路程，而时针要1小时才能走1站，通过计算，•他发现分针每分钟转过6°，而时针每分钟转过0．5°．（1）第2天，课间休息时，小明看了一下墙上的挂钟，时间是9点多，•他发现时针和分针正好在关于沿垂线对称的位置上，请问此时是9点几分？（2）小明晚上6点至7点之间外出时，发现钟面上时针和分针成110°角，近7•点回家时发现时针和分针的夹角仍是110°，你能说出小明外出所用的时间是几分钟？答案:1．略 2．（1）点A （2）90°（3）等腰直角三角形3．点A 70° 4．点A 45•° 5．略 6．略7．（1）△ABD （2）△ABD 8．25° 65°9．一次旋转180°的变换 •10．（1）△ACD≌△BCE △ACQ≌△BCP △CDQ≌△CEP （2）120°（3）平行11．提示：点F绕点D旋转180°后至F′，连结CF′、EF′12．（1）9时131113分（2）40分钟。
湘教版七年级数学下册 教案：5. 2旋转
课题：5. 2旋转学习目标：1、了解生活中图形的旋转2、了解旋转变换的概念3、理解图形变换中旋转变换的性质重点：会按要求作简单平面图形旋转后的图形难点：旋转要素，旋转与平移、轴反射的连线和区别。
教学过程：一、知识复习（出示ppt 课件） 我们学了哪些关于图形变换的知识？ （1）在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为平移 平移，对应点的连线，平行且相等。
（2）如果一个图形沿着一条直线对折后, 它能够与另一个图形重合，我们就说这两个图形成轴对称. 轴对称：对应点的连线被对称轴垂直平分。
二、观察思考（出示ppt 课件）如图,观察钟表的指针，电风扇的叶片，汽车的雨刮器在转动的过程中有什么共同的特征.钟表的指针绕中间的固定点旋转，电风扇的叶片绕电机的轴旋转，汽车的雨刮器绕支点旋转.三、探究新知（出示ppt 课件）1、旋转的概念：将一个平面图形F 上的每一个点，绕这个平面内一定点O 旋转同一个角α，（即把图形F 上每一个点与定点的连线绕定点O 旋转角α），得到图形F'，如图，图形的这种变换叫做旋转.这个定点 O 叫旋转中心，角α叫做旋转角.原位置的图形F 叫做原像，新位置的图形F'叫做图形F 在旋转下的像. 图形F 上的每一个点P 与它在旋转下的像点P'叫做在旋转下的对应点.旋转的决定因素：旋转中心和旋转角度(旋转方向). 2、旋转的性质： 如图 ，将三角形ABC 按逆时针方向 绕点O 旋转60º得到三角形A'B'C'， 三角形ABC 内的点P 在这个旋转下的像是点P'，则OA'与OA 相等吗？ ∠POP'和∠AOA'相等吗？度数等于多少？ 由旋转的概念可得，OA 与OA '相等 A B CD A′ B ′ C ′ D ′ A B C DEF B 1 A 1 C 1 D 1 E 1 F 1 A · O· P · P′ B C A′ B ′ C ′由旋转的概念可得，∠POP'=60º=∠AOA'.旋转具有下述性质：（1）一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.当三角形ABC旋转到新的位置，得到三角形A'B'C'，它的形状和大小发生变化了吗？（2）旋转不改变图形的形状和大小.3、请思考轴对称、平移和旋转的异同点形状大小方向轴对称平移旋转四、例题解析（出示ppt课件）例1 如图，将三角形ABC按逆时针方向旋转45º，得到三角形AB'C'.（1）图中哪一点是旋转中心？（2）∠B'CB和∠C'AC有何关系？它们的度数是多少？（3）AB与AB'，AC与AC'有何关系？解：（1）点A是旋转中心.（2）B与B'，C与C'是对应点.因为两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，且等于旋转角，所以∠B'AB=∠C'AC=45º.（3）因为对应点到旋转中心的距离相等，所以AB=AB'，AC=AC'.例2.已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形。
初一数学最新课件-24旋转变换浙教版002 精品
2、如图，△ABC与 △ADE都是等腰直角三 角形，∠C和∠AED都是 直角，点E在AB上，如果 △ABC经旋转后能与 △ADE重合，点 是旋 转中心，旋转了 度 点B的对应点是点 ；线段AB的对应线段 是 ；∠ABC的对应角是 。
例、如图，O是△ABC外一点，以点O为旋转中心， 将△ABC按逆时针方向旋转80°，作出经旋转 变换后的像。 A
旋转变换
下图是风车风轮中的两只叶片A和B，它们关于 某直线成轴对称吗？ 你有什么办法使这两个图形A和B重合呢？
A
. o
B
O
F
聪明的你能找出他们的 共同点吗?
由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程 中，原图形上的所有点都绕 一个固定的点 ，按 同一个方向 ，转动 同一个角度 ，这样的图形 改变叫做图形的旋转变换，简称旋转。 这个固定的点叫做旋转中心。 叙述一个旋转变换要注意旋转变换的三个要素： 1、旋转中心； 2、旋转的方向；
O
. B
C
由上面的例子和练习可知，经 旋转变换所得的图形和原图形在 形状和大小上有什么关系？
旋转的基本性质
（１）旋转不改变图形的大小和形状． （２）对应点到旋转中心的距离相等, 对应点与旋转中心的连线所成的角度等 于旋转的角度.
例2 如图，△ ABC绕C点旋转后，顶点A 的对应点为点D。试确定顶点B对应点的位置， E 以及旋转后的三角形。
如图，怎样将右边的图案变成左 边的图案？
下图是由三个正三角形拼成的， 它可以看做是其中一个三角形经 过怎样的变化而得到的？
1、相同：都是一种运动；运动前 后 不改变图形的形状和大小 2、不同 轴对称 平移 形状 不变 不变 方向 不变 不变 大小 改变 不变
初中数学人教版 旋转变换 人教版共21页
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
直角坐标系旋转变换公式
直角坐标系旋转变换公式直角坐标系旋转变换公式直角坐标系是我们在数学和物理学中经常使用的重要工具，然而，在某些时候，我们需要对坐标系进行旋转变换，这时候直角坐标系旋转变换公式是一个十分实用的工具。
本文将会通过类的划分，来介绍直角坐标系旋转变换公式。
定义：直角坐标系旋转变换是一个将一个坐标系旋转一定角度的线性变换。
旋转变换是通过一个旋转矩阵来描述的，这个矩阵是一个正交矩阵，并且满足一些个性质，如：行列式等于1，正交。
下面我们将会介绍几个重要的公式。
一、基本公式首先，我们需要了解一些基本的数学知识，如：三角函数、矩阵乘法等。
下面是一个标准的旋转变换：（x', y') = (cosθ -sinθ) (x, y)(sinθ cosθ)其中，θ为旋转角度，(x, y)为原坐标系上的点，(x', y')为旋转后的坐标系上的点。
这个公式是基本的旋转变换公式，但是，在实际的使用中，我们往往需要进行变换的中心不在原点的情况下，这时候我们便需要使用更为复杂的公式。
二、综合公式对于一个给定的坐标系(x, y)，我们可以将它旋转一个角度θ，再平移到(x0, y0)，这时候，我们便得到如下的旋转变换公式：(x', y') = (cosθ -sinθ) (x - x0) + x0(sinθ cosθ) (y - y0) + y0这个公式中，我们需要先将坐标系平移到中心，然后在平移后的坐标系上进行旋转变换，最后再将坐标系平移回原来的位置。
这是一个十分常见的旋转变换公式，在实际的使用中，我们能够通过调整参数，使得变换到达我们所需要的效果。
三、二维变换在二维坐标系中，我们可以将一个坐标系旋转一个角度θ，也可以进行缩放变换等，这时候我们需要使用二维变换矩阵。
下面是二维变换矩阵的一般形式：(T) = (a b c)(d e f)(0 0 1)其中，a、b、d、e为正交矩阵部分，c、f为平移矩阵部分。
数学公式知识：平面点、线、面的平移与旋转变换
数学公式知识：平面点、线、面的平移与旋转变换平面点、线、面的平移与旋转变换在数学中，平台点、线、面是基础概念之一，我们可以通过对它们进行平移和旋转变换，来丰富它们的应用价值，提高数学问题的解决效率。
一、平面点和平移变换平面点是平面几何中最基本的元素，用两个坐标数（x，y）可以表示一个二维平面上的点。
当我们需要将某个平面点进行平移变换时，我们需要定义一个向量来表示平移的距离和方向（dx，dy），然后对点坐标进行平移，即：P'(x',y')=P(x,y)+T(dx,dy)其中T(dx,dy)表示平移向量，P'(x',y')表示变换后的新点坐标，P(x,y)表示待变换的原点坐标。
例如，如果我们需要将点P1（2,3）平移3个单位向量，则新坐标为：P1' (5,6)=P1(2,3)+T(3,3)二、平面直线和平移变换经过两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线，可以通过斜率和截距表示，即：y=kx+b其中，k为斜率，b为截距。
当我们需要对直线进行平移时，我们可以直接对截距进行变换，即：y=kx+b+dy例如，对于直线y=2x+1，我们需要向下平移2个单位，则新的直线方程为：y=2x+1-2=2x-1三、平面图形的旋转变换在平面几何的研究中，旋转变换是非常常见的一种方法。
当我们需要对平面图形进行旋转时，比较麻烦的就是如何对图形的每一个坐标进行变换。
为了解决这个问题，我们需要通过矩阵运算来实现平面图形的旋转。
设P(x,y)是平面上的一个点，以原点为中心顺时针旋转角度θ后，点P'（x',y'）的坐标可以表示为矩阵乘法的形式：x' cosθ sinθ xy' =-sinθ cosθ * y其中，cosθ和sinθ是以θ为单位的正弦和余弦函数值，分别对应旋转矩阵中的第一行一和第二行一的数值。
例如，如果我们需要将点P1(2,3)绕（0，0）点逆时针旋转60°，则新坐标为：x' cos60° sin60° 2y' =-sin60° cos60° * 3=(-1.5,2.6)四、平面直线和旋转变换平面直线是由坐标系中两个点及其坐标所直接定义的，因此，如果需要对直线进行旋转，就需要借助于坐标系的旋转变换。
4.3旋转变换(热点题型)·数学中考分类精粹
ɦ４．３㊀旋转变换ʌ题型概述ɔ在平面内,将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度,得到一个新的图形,这样的图形运动称为旋转变换,简称旋转．这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角,如果图形上的某个点经过旋转到另一个点,那么这两个点叫旋转对应点．旋转不改变图形的形状和大小,旋转前与旋转后的图形是全等形,旋转是解决全等问题的又一个重要方法．旋转中任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等．ʌ典题演示ɔʌ例１ɔ(１)(２０１２ 江苏无锡)如图(１),әA B C中,øC＝３０ʎ．将әA B C绕点A顺时针旋转６０ʎ得到әA D E,A E与B C交于点F,则øA F B＝㊀㊀㊀㊀ʎ．(１)㊀(２)(２)(２０１２ 广西玉林)如图(２),两块相同的三角板完全重合在一起,øA＝３０ʎ,A C＝１０,把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到әAᶄB Cᶄ的位置,点Cᶄ在A C上,AᶄCᶄ与A B相交于点D,则CᶄD＝㊀㊀㊀㊀．ʌ思路点拨ɔ(１)因为әA D E是由әA B C绕点A顺时针旋转６０ʎ得到的,根据旋转的性质可知øC A F＝６０ʎ;又因为øC＝３０ʎ(已知),所以在әA F C中,由三角形内角和定理可得øC F A＝１８０ʎ－øC－øC A F＝９０ʎ,ʑ㊀øA F B＝９０ʎ．(２)由øA＝３０ʎ,A C＝１０,øA B C＝９０ʎ,知øC＝６０ʎ,B C＝B Cᶄ＝１２A C＝５,ʑ㊀әBC Cᶄ是等边三角形,ʑ㊀C Cᶄ＝５．ȵ㊀øAᶄCᶄB＝øCᶄB C＝６０ʎ,ʑ㊀CᶄDʊB C．ʑ㊀D Cᶄ是әA B C的中位线．ʑ㊀D Cᶄ＝１２B C＝５２．ʌ完全解答ɔ(１)９０㊀(２)５２．ʌ归纳交流ɔ理解旋转这一概念应注意以下两点:①旋转和平移一样是图形的一种基本变换;②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．本题考查了旋转的性质．第(１)题根据已知条件 将әA B C绕点A顺时针旋转６０ʎ得到әA D E 找到旋转角øC A F＝６０ʎ是解题的关键;第(２)题由第四章㊀图形变换已知得出D Cᶄ是әA B C的中位线是解题关键．ʌ例２ɔ㊀(２０１２ 湖南张家界)如图,在方格纸中,以格点连线为边的三角形叫格点三角形,请按要求完成下列操作:先将格点әA B C向右平移４个单位得到әA１B１C１,再将әA１B１C１绕点C１旋转１８０ʎ得到әA２B２C２．ʌ思路点拨ɔ将әA B C向右平移４个单位后,横坐标变为x＋４,而纵坐标不变,所以点A１㊁B１㊁C１的坐标可知,确定坐标点连线即可画出图形,将әA B C中的各点A㊁B㊁C旋转１８０ʎ后,得到相应的对应点A２㊁B２㊁C２,连接各对应点即得әA２B２C２．ʌ完全解答ɔ所作图形如图:ʌ归纳交流ɔ(１)图形的平移变换关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变,而上下平移时点的横坐标不变．(２)旋转作图有两种情况:①给出绕着旋转的定点,旋转方向和旋转角的大小;②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．作图步骤:①作出图形的几个关键点旋转后的对应点;②顺次连接各点得到旋转后的图形．ʌ例３ɔ(２０１２ 辽宁铁岭)已知әA B C是等边三角形．(１)将әA B C绕点A逆时针旋转角θ(０ʎ＜θ＜１８０ʎ),得到әA D E,B D和E C所在直线相交于点O．①如图(１),当θ＝２０ʎ时,әA B D与әA C E是否全等?㊀㊀㊀㊀(填 是 或 否 ),øB O E＝㊀㊀㊀㊀度;②当әA B C旋转到如图(２),求øB O E的度数;(２)如图(３),在A B和A C上分别截取点Bᶄ和Cᶄ,使A B＝３A Bᶄ,A C＝３A Cᶄ,连接BᶄCᶄ,将әA BᶄCᶄ绕点A逆时针旋转角θ(０ʎ＜θ＜１８０ʎ),得到әA D E ,B D和E C所在直线相交于点O,请利用图(３)探索øB O E的度数,直接写出结果,不必说明理由．(１)㊀(２) (３)ʌ完全解答ɔ(１)①ȵ㊀әA D E是由әA B C绕点A旋转θ得到,әA B C是等边三角形,ʑ㊀A B＝A D＝A C＝A E,øB A D＝øC A E＝２０ʎ．在әA B D与әA C E中,A B＝A C,øB A D＝øC A E,A D＝A E,ʑ㊀әA B DɸәA C E(S A S)．ȵ㊀θ＝２０ʎ,ʑ㊀øA B D＝øA E C＝１２(１８０ʎ－２０ʎ)＝８０ʎ．又㊀øB A E＝θ＋øB A C＝２０ʎ＋６０ʎ＝８０ʎ,ʑ㊀在四边形A B O E中,øB O E＝３６０ʎ－８０ʎ－８０ʎ－８０ʎ＝１２０ʎ．②由已知得:әA B C和әA D E是全等的等边三角形,ʑ㊀A B＝A D＝A C＝A E．ȵ㊀әA D E是由әA B C绕点A旋转θ得到的,ʑ㊀øB A D＝øC A E＝θ．ʑ㊀әB A DɸәC A E．ʑ㊀øA D B＝øA E C．ȵ㊀øA D B＋øA B D＋øB A D＝１８０ʎ,ʑ㊀øA E C＋øA B O＋øB A D＝１８０ʎ．ȵ㊀øA B O＋øA E C＋øB A E＋øB O E＝３６０ʎ,øB A E＝øB A D＋øD A E,ʑ㊀øD A E＋øB O E＝１８０ʎ．又㊀øD A E＝６０ʎ,ʑ㊀øB O E＝１２０ʎ．(２)如图,ȵ㊀A B＝３A Bᶄ,A C＝３A Cᶄ,㊀ʑ㊀A BᶄA B＝A CᶄA C＝３３．ʑ㊀BᶄCᶄʊB C．ȵ㊀әA B C是等边三角形,ʑ㊀әA BᶄCᶄ是等边三角形．根据旋转变换的性质可得A D＝A E,øB A D＝øC A E,在әA B D和әA C E中,A B＝A C,øB A D＝øC A E,A D＝A E,ʑ㊀әA B DɸәA C E(S A S)．ʑ㊀øA B D＝øA C E．ʑ㊀øB O C＝１８０ʎ－(øO B C＋øO C B)＝１８０ʎ－(øO B C＋øA C B＋øA C E)＝１８０ʎ－(øO B C＋øA C B＋øA B D)＝１８０ʎ－(øA C B＋øA B C)＝１８０ʎ－(６０ʎ＋６０ʎ)＝６０ʎ．当０ʎ＜θɤ３０ʎ时,øB O E＝øB O C＝３０ʎ,当３０ʎ＜θ＜１８０ʎ时,øB O E＝１８０ʎ－øB O C＝１８０ʎ－６０ʎ＝１２０ʎ．ʌ归纳交流ɔ熟知旋转前㊁后的图形全等是解答本题的关键．ʌ名题选练ɔ一㊁选择题１．(２０１２ 青海西宁)如图,E㊁F分别是正方形A B C D的边B C㊁C D上的点,B E＝C F,连接A E㊁B F．将әA B E绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到әB C F,则旋转角是(㊀㊀)．A．４５ʎ㊀㊀B．１２０ʎ㊀㊀C．６０ʎ㊀㊀D．９０ʎ(第１题)㊀㊀(第２题)２．(２０１２ 湖北十堰)如图,O是正әA B C内一点,O A＝３,O B ＝４,O C＝５,将线段B O以点B为旋转中心逆时针旋转６０ʎ得到线段B Oᶄ,连接A Oᶄ．下列结论:①әB OᶄA可以由әB O C绕点B逆时针旋转６０ʎ得到;②点O与Oᶄ的距离为４;③øA O B＝１５０ʎ;④S四边形A O B Oᶄ＝６＋３３;⑤SәA O C＋SәA O B＝６＋９４３．其中正确的结论是(㊀㊀)．A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③３．(２０１２ 江苏南通)如图R tәA B C中,øA C B＝９０ʎ,øB＝３０ʎ,A C＝１,且A C在直线l上,将әA B C绕点A顺时针旋转到①,可得到点P１,此时A P１＝２;将位置①的三角形绕点P１顺时针旋转到位置②,可得到点P２,此时A P２＝２＋３;将位置②的三角形绕点P２顺时针旋转到位置③,可得到点P３,此时A P３＝３＋３; 按此规律继续旋转,直到点P２０１２为止,则A P２０１２等于(㊀㊀)．(第３题)A．２０１１＋６７１３B．２０１２＋６７１３C．２０１３＋６７１３D．２０１４＋６７１３４．(２０１２ 四川绵阳)如图,P是等腰直角әA B C外一点,把B P绕点B顺时针旋转９０ʎ到B Pᶄ,已知øA PᶄB＝１３５ʎ, PᶄAʒP ᶄC＝１ʒ３,则PᶄAʒP B等于(㊀㊀)．A．１ʒ２B．１ʒ２C．３ʒ２D．１ʒ３(第４题)㊀㊀(第５题)５．(２０１２ 广东佛山)如图,把一个斜边长为２且含有３０ʎ角的直角三角板A B C绕直角顶点C顺时针旋转９０ʎ到әA１B１C,则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是(㊀㊀)．A．πB．３C．３π４＋３２D．１１π１２＋３４二㊁填空题６．(２０１２ 山东青岛)如图,R tәA B C中,øA C B＝９０ʎ,øA B C ＝３０ʎ,A C＝１,将әA B C绕点C逆时针旋转至әAᶄBᶄCᶄ,使得点Aᶄ恰好落在A B上,连接B Bᶄ,则B Bᶄ的长度为㊀㊀㊀㊀．(第６题)㊀㊀(第７题)７．(２０１２ 贵州六盘水)两块大小一样斜边为４且含有３０ʎ角的三角板如图水平放置．将әC D E绕C点按逆时针方向旋转,当点E恰好落在A B上时,әC D E旋转了㊀㊀㊀㊀度,线段C E旋转过程中扫过的面积为㊀㊀㊀㊀．８．(２０１２ 吉林)如图,在等边әA B C中,D是边A C上一点,连接B D．将әB C D绕点B逆时针旋转６０ʎ得到әB A E,连接E D．若B C＝１０,B D＝９,则әA E D的周长是㊀㊀㊀㊀．(第８题)㊀㊀(第９题)９．(２０１２ 黑龙江哈尔滨)如图,平行四边形A B C D绕点A逆时针旋转３０ʎ,得到平行四边形A BᶄCᶄDᶄ(点Bᶄ与点B是对应点,点Cᶄ与点C是对应点,点Dᶄ与点D是对应点),点Bᶄ恰好落在边B C上,则øC＝㊀㊀㊀㊀度．三㊁解答题１０．(２０１２ 湖南怀化)如图(１),四边形A B C D是边长为３２的正方形,长方形A E F G的宽A E＝７２,长E F＝７２３．将长方形A E F G绕点A顺时针旋转１５ʎ得到长方形AMNH(如图(２)),这时B D与MN相交于点O．(１)求øD O M的度数;(２)在图(２)中,求D㊁N两点间的距离;(３)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转１５ʎ得到长方形A R T Z,请问此时点B在矩形A R T Z的内部㊁外部㊁还是边上?并说明理由．(１)㊀(２)(第１０题)ɦ４．３㊀旋转变换１．D㊀２．A㊀３．B㊀４．B㊀５．D６．３㊀７．３０㊀π３㊀８．１９㊀９．１０５１０．(１)根据题意得:øB AM＝１５ʎ,ȵ㊀四边形AMNH是矩形,ʑ㊀øM＝９０ʎ．ʑ㊀øA KM＝９０ʎ－øB AM＝７５ʎ．ʑ㊀øB K O＝øA KM＝７５ʎ．ȵ㊀四边形A B C D是正方形,ʑ㊀øA B D＝４５ʎ．ʑ㊀øD O M＝øB K O＋øA B D＝７５ʎ＋４５ʎ＝１２０ʎ．(２)连接A N,交B D于点I,连接D N,(第１０题)ȵ㊀NH＝７２,AH＝７２３,øH＝９０ʎ,ʑ㊀t a nøHA N＝NH AH＝３３．ʑ㊀øHA N＝３０ʎ．ʑ㊀A N＝２NH＝７．由旋转的性质:øD AH＝１５ʎ,ʑ㊀øD A N＝４５ʎ．ȵ㊀øD A C＝４５ʎ,ʑ㊀A㊁C㊁N共线．ȵ㊀四边形A B C D是正方形,ʑ㊀B DʅA C．ȵ㊀A D＝C D＝３２,ʑ㊀D I＝A I＝１２A C＝１２A B２＋B C２＝３．ʑ㊀N I＝A N－A I＝７－３＝４．在R tәD I N中,D N＝D I２＋N I２＝５．(３)点B在矩形A R T Z的外部．理由:根据题意得:øB A R＝１５ʎ＋１５ʎ＝３０ʎ,ȵ㊀øR＝９０ʎ,A R＝７２,ʑ㊀A K＝A Rc o s３０ʎ＝７３３．ȵ㊀A B＝３２＞７３３,ʑ㊀点B在矩形A R T Z的外部．。
七年级数学知识点：旋转变换知识点
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
七年级数学知识点：旋转变换知识点
人生的道路很长，但关键的却往往只有几步，而初中就是这关键几步中的第一步，初中频道为大家准备了旋转变换知识点，欢迎阅读与选择!
读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。
接下来小编为大家精心准备了图形变换的简单应用知识点，希望大家喜欢!
考点一、平移(3~5 分)
1、定义
把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2、性质
(1)平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
(2)连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等。
考点二、轴对称(3~5 分)
1、定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那幺就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形。
(2)如果两个图形关于某直线对称，那幺对称轴是对应点连线的垂直平分线。
(3)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那幺交点在对称轴上。
今天的努力是为了明天的幸福。
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线段的旋转作法
分析 ：
项目 原图形 原位置
已知 ● ●
未知
备注 线段AB 线段AB
C
旋转中心 ●
点O
旋转方向 ●
顺时针
旋转角度 ●
60˚
目标图形 ●
线段
A
目标位置
O
作法：
● 线段CD (求作)
•将点A绕点O顺时针旋转60˚，得
点C;
2. 将点B绕点O顺时针旋转60 ˚，得
点D ；
B
3. 连接CD, 则线段CD即为所求作.
返回
变式2; O是△ABC外一点，以O为旋转中 心，将△ABC按顺时针方向旋转60∘，作 出经旋转变换后的像。
分析：
E
D
图形的旋转作法
AF B
O C
返回
项目 原图形 原位置 旋转中心 旋转方向 旋转角度 目标图形 目标位置
已知 ● ● ● ● ● ●
未知 ●
备注 △ABC △ABC 点O 顺时针 60˚ 三角形 △DEF (求作)
创设情景
返回
1.它们都是绕着同一个点转动 2.都是想同一个方向转动 3.转动过程中它的形状、大小都没有 发生变化，只是它的位置发生了变化
由一个图形改变为另一个图形，在 改变的过程中，原图形上的所有点 都绕一个固定的点，按同一个方向，
注转意动一：个去角度描，述这一样的个图旋形转改变叫 变做换图，形的必旋须转指变出换：，旋简转称旋转， 中这心个，固定旋的转点的叫做方旋向转（中顺心， 时转针动或的角逆称时为针旋）转和角旋。 转 的角度
书本第48页1，2
如图所示，
如果把钟表的
指针看作四边
形AOBC，它
绕O点按顺时
针方向旋转得
到四边形
DOEF．在这
O
个旋转过程中：
（1）、旋
转中心是什么？
（2）、经 过旋转，点A， B、C分别移动 到什么位置？
（3）、旋 转的角度是什
么？
（4）、AO 与DO的长有什 么关系？BO与
EO呢？ （5）、角 AOD与角BOE 有什么大小关
未知 点A
备注
原位置
●Байду номын сангаас
点A
旋转中心
●
点O
旋转方向
●
顺时针
旋转角度
●
60˚
目标图形
●
点
目标位置
● 点B (求作)
作法：
A
O
1. 以点O为圆心，OA长为半径画圆;
2. 连接OA, 用量角器或三角板（限
特殊角）作出∠AOB，与圆周交
于B点；
返回
3. B点即为所求作.
变式1 将线段AB绕O点沿顺时针方向旋转 60˚.
系
旋转变换的性质
（1）旋转不改变图形的大小和形状． （2）对应点到旋转中心的距离相等．
（3）任意一对对应点与旋转中心的连线 所成的角度都是旋转的角度． （4）图形上的每一点都绕旋转中心沿相
同方向转动了相同的角度．
例1 将A点绕O点沿顺时针方向旋转60˚.
点的旋转作法 B
分析：
项目 原图形
已知 ●
归纳：旋转变换的作图方法
先将图形上的某些点作旋转变换，然后根 据旋转变换不改变图形的形状、大小，以 及点线之间的位置关系等性质，作出原图 形的像
探究活动
•通过本节课的学习，谈谈你 的收获？
1）、旋转变换的
概念
2）、旋转变换的
性质
3）、旋转变换的
作图
基础题：作业本（2）第10页第1—6题。 课本第50页A组第1—3题，B组第4题。 选作题：课本第51页B组第5题和C组第6题。