高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修 排列 组合和概率练习题一、选择题（每小题5分，共60分）(1) 已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C(A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 36解 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标, 不同点的个数为1163P P g分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标, 不同点的个数为1163P P g不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个(2) 从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以得到不同的对数值的个数为(A) 64 (B) 56 (C) 53 (D) 51解 ①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ；②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去；③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个 ,应减去7个；④2324log 4log 92log 3log 9===，49241log 2log 32log 3log 9===，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个（3） 四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同的排法数有（A ）3600 （B ）3200 （C ）3080 （D ）2880解 ①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ；②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的三名女生排在一起的站法应减去。

站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。

符合题设的排列数为：26153625665432254322454322880P P P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种（）（）（）我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有（A ）50项 （B ）17项 （C ）16项 （D ）15项解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L 可见通项式为:1003100230010010010010023666100100100100)666r rr rrr rrr rr rr r CC xC xC x ---++----===（）且当r=06121896L ，，，，，时,相应项的系数为有理数,这些项共有17个, 故系数为有理项的共有17个. （5） 设有甲、 乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有2把钥匙，这4把钥匙与不能开这两把锁的2把钥匙混在一起，从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是（A ） 4/15 （B ） 2/5 （C ） 1/3 （D ） 2/3解 从6把钥匙中任取2把的组合数为26P ，若从中任取的2把钥匙能打开2把锁，则取出的必是甲锁的2把钥匙之一和乙锁的2把钥匙之一。

假设分二次取钥匙，第一次取到甲锁的钥匙，第二次取到乙锁的钥匙，取法的种数为1122P P g ；当然，第一次取到乙锁的钥匙，第二次取到甲锁的钥匙，取法的种数也为1122P P g 。

这二种取法都能打开2把锁。

故从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是：1122262415P P P =g（6） 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（A ） 5/6 （B ） 4/5 （C ） 2/3 （D ） 1/2解 ①所有两位数的个数为90个；②能被2或3整除的二位数的个数60个:能被2整除的二位数的个数是有590=4510⨯个（）,能被3 整除的二位数的个数为有24个(从369，，中选2的排列23P 个,121518242745485778，、，、，、，、，、，、，、，、，九组中各选2的排列有229P 个),能被3整除的二位数中有9个(121824425472488478、、、、、、、、)也能被3整除,故能被2或3整除的二位数的个数是2232459960P P -++=个；所有的两位数中，能被2或3整除二位数所占比例是602=903.因此, 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是23（7） 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是（A ）1/8 （B ）3/8 （C ） 7/8 （D 5/8解 恰好出现一次正面的概率为11313113P 1=C 1=228--（）（）（） 恰好出现二次正面的概率为22323113P 1=C 1=228--（）（）（） 恰好出现三次正面的概率为33333111P 1=C 1=228--（）（）（） 至少出现一次正面的概率是3317P=++=8888（8） 在四次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率中的取值范围是（A ）0.41［，） （B ）00.4（，］ （C ）00.6（，）（D 0.61［，） 解 设事件A 在一次试验中发生的概率为x ，由题设得114122424423211446520C x x C xx x x xx x ---≤--≤-≥（）（）（）（）对于252=0x x -，有120, 0.4x x ==对于2520x x -≥，有1200.4x x ≤≥，根据概率的性质，x 的取值范围为0.41［，］（9） 若1001002210100x a x a x a a )3x 2(++++=+Λ，则(a 0+a 2+a 4+…+a 100)2-(a 1+a 3+…+a 99)2的值为（A ）1 （B ）-1 （C ） 0 （D ）2解（10） 从集合{}+17NA x x x ≤≤∈，中任取3个数，这3个数的和恰好能被3整除的概率是（A ） 19/68 （B ） 13/35 （C ） 4/13 （D ） 9/34xy解 从集合{}+17NA x x x ≤≤∈，中任取3个数的取法种数为37P ；取到的数含3或6时,其余二数为12、15、24、27、45、57，能被3整除的数的个数为11236P 2P g ； 取到的数不含3或6和能被3整除的三个数是1、4、7，取法种数有33P 种；因此，所求概率为：1132333762122361361376576535P P P P +⨯⨯+⨯===⨯⨯⨯⨯g （11） 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元 70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少买3片软件，至少买2盒磁盘，则不同的选购方式共有（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 D ）8种解 设选购x 片软件，y 盒磁盘，则：500-602(3)70500-703(2)60xx y y ⎧≥≥⎪⎨⎪≥≥⎩，解得：6324x y ≥≥⎧⎨≤≤⎩， 软件和磁盘数量的选购方式分别为(3,2)333442435262、（，）（，）（，）（，）（，）（，），共7种。

（12） 已知0xy <，且1x y +=，而9()x y +按x 的降幂排列的展开式中，T 2≤T 3，则x 的取值范围是（A ）)51,(-∞ （B ）),54[+∞ （C ）),1(+∞ （D ）]54,(--∞二、填空题（每小题4分，共16分）（13） 已知A 、B 是互相独立事件，C 与A B 、分别是互斥事件，已知P(A)=0.2，P(B)=0.6，P(C)=0.14，则A B C 、、至少有一个发生的概率P A+B+C （）____________解 A 、B 同时发生的概率P(A B)=P(A)P(B)=0.20.6=0.12⨯⨯g A 发生而B 没有发生的概率P(A B)=P(A)P(B)=0.20.4=0.08⨯⨯g A 没有发生而B 发生的概率P(A B)=P(A)P(B)=0.80.6=0.48⨯⨯g C 发生的概率P(C)=0.14 A B C 、、至少有一个发生的概率P A+B+C =P(A B)+P(A B)+P(Ag g g （）（14） 3)2|x |1|x (|-+()()()332332332233221||2||11111 =||++2+32+32+12x +6||2||||||||||13612 =x +8+3x 6++12x +12||x x 1156 =x ++15x 6+20||x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤---+⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫---- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭解（15） 求值：01231010101010101111=23411C C C C C -+-++L ____________0123101010101010109876567891010101010101010101010101098766789101010101010101010101011111 C C C C C234111********* =C C C C C C C C C C C 234567891011111111111 =C C C C C C C C C C C 2345543211-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+L 解10101011 =C =1111重要：56101056C C =111111m m n nm m n nm C C n m C C m n m+++=-=+-（16） 5人担任5种不同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，则共有多少种不同的调整方法？________________解法一 设该5 人分别为ABCDE ,调整前的工作分别是abcde ,当他们的排列为BACDE 时, 工作也分别是abcde ,即有二人调换工作,故他们的每一排列可表示他们的工作的一种安排情况, 他们的全排列可表示工作的全部安排情况.全排列数减去1即为不同的调整方法.故不同的调整方法种数为：55P 1=119-种（）解法二 设该5 人分别为ABCDE ,调整前的工作分别是abcde 。

①求恰有2人调整工作的种数:25C =10种（）②求恰有3人调整工作的种数:从5人中选 3人的组合数为35C =10,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下：22222ABC ABC ACB BAC CBA ABD ABD ADB BAD DBA ABE ABE AEB BAE EBA BCD BCD BDC CBD DCB BCE BCE BEC CBE ECB CDE CDE CED DCE E 有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，BCA CAB BDA DAB BEA EAB CDB DBC CEB EBC DEC ECD 22222DC CDA CDA CAD ADC DCA DEA DEA DAE EDA AED DEB DEB DBE EDB BED DEC DEC DCE CED DEC ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，ACD DAC EAD ADE EBD BDE CDE DCE恰有3人调整工作的种数: 210=20⨯种（）[3511P =2023-（）！！] ③求恰有4人调换工作的种数:从5人中选 4人的组合数为45C =5,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下：ABCD ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BCDA BCAD BACD BDCA ABCD 9CDAB CABD CBDA CBAD DABC DACB DBAC DBCA BCDE BCDE BCED BDEC BDCE BECD BEDC C BCDE ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭有种调整方式：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，BCDA BADC BDAC CDAB CDBA CADB DABC DCAB DCBA DEB CDBE CBDE CEDB 9DEBC DBCE DCBE DCEB EBCD EBDC ECBD ECDB CDEA CDEA CDAE CADE CAED CEAD CEDA DEAC DECA DAEC DCEA CDEA EACD ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎩有种调整方式：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：CDEB CBED CEBD DEBC DECB DBEC EBCD EDBC EDCB DEAC DACE DCAE E 9ECDA EDAC EDCA ACDE ACED ADCE ADEC DEAB DEAB DEBA DABE DAEB DBAE DBEA EABD EADB EBAD EDAB DEAB ABDE ADEB AEBD AEDB BDEA B ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭有种调整方式，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，ACD EADC ECAD ACDE AECD AEDC EABD EBDA EDBA ABDE ABED ADBE BDEA 99DAE BEAD BEDA EABC EABC EACB EBAC EBCA ECAB ECBA ABCE ABEC ACBE AEBC EABC BCEA BAEC BACE BEAC CEAB CEBA CABE CAEB ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭有种调整方式有，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，BADE BAED ABCE ACEB AECB BCEA BCAE BECA CEAB CBAE CBEA ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭种调整方式 恰有4人调换工作的种数:95=45⨯种（）[45111P +=45234-（）！！！] ④求恰有5人调换工作的种数:B 换任A 的工作的排列：BCDEA BCDAE BCADE BCEDA BDEAC BDACE BDCAE BDCEA B BEACD BEADC BECAD BECDA BACDE BACDE BACED BADCE BAEDC ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，BCDEA BCAED BCEAD BDEAC BDECA BDAEC BEACD BEDAC BEDCA BADEC BAECD 11种调整方式C 换任A 的工作的排列：CDEAB CDABE CDBAE CEABD CEADB CEBDA C CABDE CABDE CADBE CAEDB CBDEA CBDEA CBDAE CBADE CBAED CBEAD CBEDA ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，CDEAB CDEBA CDAEB CDBEA CEABD CEBAD CEDAB CEDBA CABED CADEB CAEBD 11种调整方式D 换任A 的工作的排列：DEABC DECAB DECBA DABCE DABCE DACBE DACEB D DBCEA DBCEA DBCAE DBAEC DBACE DBEAC DBECA DCEAB DCABE DCBAE ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，DEABC DEACB DEBAC DEBCA DABEC DAEBC DAECB DCEAB DCEBA DCAEB DCBEA 11种调整方式E 换任A 的工作的排列：EABCD EABDC EACBD EACDB EBCDA EBCDA EBCAD EBACD EBADC EBDCA EBDAC E ECDAB ECADB ECBDA EDABC EDCAB EDCBA ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，EABCD EADBC EADCB ECDAB ECDBA ECABD ECBAD EDABC EDACB EDBAC EDBCA 11种调整方式恰有5人调换工作的种数共有114=44⨯种（）[44)!51!41!31!21(!5=-+-] 故后至少有2人与原来工作不同工作的调整方法的种数是：10+20+45+44=119（种）三、解答题（17）在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（Ⅰ）求展开式的第四项； （Ⅱ）求展开式的常数项； （Ⅲ）求展开式中各项的系数和解二项式n 展开式的通项为2333111()()()()22n r rn rr n rrr r r r r nnn T C a b C x x C x--- -+==-=-，0,1,2,3,,r n =L 由已知得：00122111(),(),()222nn n C C C -成等差数列 ∴ 12112124n n C C ⨯=+，2(1)1 9808n n n n n -=+-+=，，解得1281n n =⎧⎪⎨=⎪⎩舍去（） （Ⅰ）82322333334811876()==72832T C x x x -⨯⨯⨯=--⨯-⨯（Ⅱ）由2311()2n rr r r n T C x -+=-知：当282033n r r --==，即4r =时，5T 为常数项 445811876535()==21648T C ⨯⨯⨯=-⨯！（Ⅲ）令1x =，则展开式的各项（也即各项系数）为：001122334455667788888888888111111111()()()()((()()()222222222C C C C C C C C C ---------，，，，），），，， 各项系数和为： 001122334455667788888888888012343210888888888111111111()+()+()+()+()+()+()+()+()22222222211111111=++++2481632641282563577111=14+77+++=841616256256C C C C C C C C C C C C C C C C C C-----------------（18） 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内(Ⅰ)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？(Ⅱ)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(Ⅲ)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？ 解 （Ⅰ）从5个盒子中任选4个来放球（其中的任1个盒放2个球），有45P 种选法；从5个球中任选2个球（不分先后）的选法有25C ，故盒子的45P 种选法中的每一种都有25C 种放球的方法。