第2节质点系的角动量定理及角动量守恒定律

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角动量及其守恒定律

m r2 r1 J0
22
因为 1 2， 1 1 2 E k 1 J 1 1 ( J 1 1 ) 1 2 2 相 E k1 E k 2 等 1 1 2 E k 2 J 2 2 ( J 2 2 ) 2 2 2 即系统的机械能不守恒。
23
人双臂收回过程中，内力做功，
J 2
l/2
r dr
2
1 12
l
3
0

1 12
ml
2
如转轴过端点垂直于棒 l 1 2 J r d r ml 2 0 3
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解设圆盘面密度为，在盘上取半径为 r ，宽为 d r 的圆环
v M (2 gh )
u l 2
1 2
M

h N
B
l 2 1 12
2
2
把M、N和跷板作为一个系统, 角动量守恒
mvM l 2 J 2 mu
C l
m l 1 2 1 6 m ( 2 gh )
A l/2
ml
2
解得

mvMl 2 m l
2
2
12 ml
2
2 2 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J
m
j
j j
r
2
r dm
2
d m ：质量元
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O´

角动量定理角动量守恒定律

量守恒。
13
第3章动量与角动量
例2 发射一宇宙飞船去考察一质量为 M 、半径为 R 的行星，当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一
质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。求 θ角及着陆滑行的初速度。解引力场（有心力）系统的机械能守恒
m
r0
v0
v
R
OM

质点的动量矩守恒 1 GMm 1 2 GMm 2 mv 0 mv 2 r0 2 R
求此时刻质点对三个参考点的动量矩
d1
m v
d3
d2
解
4
LA d1mv LB d1mv LC 0
第3章动量与角动量
B
C
二、力对定点的力矩定义为力对定点O的力矩 M r F 大小： M r F sin
方向：垂直 r , F 组成的平面 M ML2T 2 SI Nm 量纲：
r r r M r F 0
L
r L mvrsin m rsin t 1 r r rsin S 2 2m 2m t t
12
r r r L r m C

r r F
r

m
掠面速度
行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
i i
L Li ri Pi
P2 r2 o
P 1
r1
质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和
dLi 2. 质点系的动量矩定理 M i dt i i M M i ri Fi ri fi

角动量守恒定律ppt课件

数学补充知识：
点积
abba
aaa2
叉积
a b b a
a a 0
c ( a b ) a ( b c ) b ( a c )
点积的微商叉积的微商
c ( a b ) a ( b c ) b ( c a )
d(a b )a db da b
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
L r p r ( m v ) m r v (r v )
大小：
L mrv
方向：满足右手关系，向上。
2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动
对定点（太阳）的角动量：
v
L r p m (r v)
大小： Lmvsrin
v
r
r
Sun
方向：满足右手关系，向上。
L dm trv m ( a c o ti s b si t jn )
( asit in bco t j) s
m m ( a a k c bb (2 恒矢o t k 量 ) a ss b 2 i t k ) n
M
dL
0
!
dt
或由 M rF 直接计算力矩
r a co ti s b sit j n
(1)对C点的角动量是否守恒？
(2)对O点的角动量是否守恒？
C T
O
mg C'
(3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？
请同学思考！
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
证明：
M 1r1f1
M 2r2f2
r2
f2
r
M 1 M 2 r 1 f 1 r 2 f 2

质点角动量定理角动量守恒

v2
o
v1
4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。
2.5 质点角动量定理角动量守恒
例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿过中心的线拉住。开始时绳半径为r1 ，小球速率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ，小球速率变为 v2 ，求v2 =？
ri fi 0
i
有
dL M外 dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角动量的时间变化率等于质点系对该点的合外力矩。
2.5 质点角动量定理角动量守恒
结论：
1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lx i Ly j Lz k
当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定律。
角动量守恒例题
2.5 质点角动量定理角动量守恒
盘状星系——角动量守恒的结果
质点系对o点的角动量
r2
o
r1
L Li ri Pi
i i
质点系对o点的角动量等于系统中各质点对同一点角动量的矢量和。
2.5 质点角动量定理角动量守恒
2.质点系的角动量定理
用 f i 表示第i个质点所受内力之和
用 Fi 表示第i个质点所受外力之和
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt d dt t
由速度定义
dr v v p 0 dt

质点系角动量守恒定律

dL τ ，再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得 dt
dL τ i外 ri (mi ac ) dt 式中惯性力矩又可写作 mi ri dL ( mi ri) ac ( ) mac τ i外 m dt
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有完全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。
第五章角动量•关于对称性
前言质点的角动量质点系的角动量定理及角动量守恒定律质点系对质心的角动量定理和守恒定律对称性 • 对称性与守恒律经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
当τ iz 0时,
Lz 常量.
§5.4 质点系对质心的角动量定理和守恒定律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图（a），C xyz 即质心参考系。C 为质心，x ' , y ' 和 z 坐标轴
与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行，而质心具有加速度 ac 。 z
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅）
§5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个质点的角动量定理的表达式为τ dLi

第2章-2-动量-角动量守恒定律2019

3
4 105
（2）
I
Fdt
00.003
400

4 105 3
t

dt

400t

4105t 2 23
0.003
0.6 N s
0
（3） I mv 0
m I 0.6 0.002kg 2g v 300
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
（2）系统内所有质点的动量都必须对同一个惯性参考系而言。（3）若系统所受合外力不为零，但是合外力在某一方向上的分量为零，则系统在该方向上的总动量守恒。
Fix 0 Px mivix 常量
（4）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击，爆炸等过程）
称为“冲量矩”
质点系的角动量定理的推导：

m1
m2
质点系的角动量定理：
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的所有外力对同一参考点力矩的矢量和。
质点系角动量定理的积分式：
t2
t1
Mdt

L2

L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内
的角动量的增量。
质点系的z轴的角动量定理：

第 i 个质点：质量mi

内力 fi
初速度末速度
外力
vviio
Fi
由质点动量定理：
Fi
i
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t

to Fi fi dt mivi mi vio

角动量定理和角动量守恒定律

O
M
l
l /2
1 1 2 2 l 0 = Ml ω + (Mg ) 2 3 2
3g ω= l
m
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒）第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 1 1 2 1 2 ′ + mVl = ( M + m)lV ， V = ω′l Ml ω = Ml ω 3 3 3
t2
∫
例：水平面内，均质杆 (M, l) 水平面内，子弹 (m,V ) 击穿杆的自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度 ω 解：角动量守恒 3mV V 1 2 mVl = m l + Ml ω ， ω = 2Ml 2 3
O
M
l
ω
m
V /2
V
例：rA = 0.2m ，mA = 2kg
ω0A = 50rads rB = 0.1m ，mB = 4kg ω0B = 200rads 1
dL d dω = (Iω) = I = Iβ = M dt dt dt dL = M ：角动量定理 dt dL = Mdt
L = ∫ Mdt
t1 t2
y
x
如果 M = 0 ，则 L = C ：角动量守恒定律非刚体，一般随时间变化，非刚体， I 一般随时间变化， M = Iβ 不成立角动量定理及角动量守恒定律仍成立！角动量定理及角动量守恒定律仍成立！定轴转动， dL = M ， dL = Mdt ， L = Mdt 定轴转动， dt t1 L = C ， L = Iω ， M = Iβ
如果合外力矩 M = 0
例：圆锥摆球在水平面内匀速转动分别对固定点 A和 O ，讨论小球受到的张力矩，重力矩，小球受到的张力矩，重力矩， LA 合力矩和角动量对 A: M = R ×T = 0

5-2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律

若质点系的所有质点均分别在与 z 轴垂直的平面内运动，且一共同的角速度绕 z 轴作圆周运动，则质点系对 z 轴的角动量为
Lz ri mi vi mi ri
i i
2
当质点系对轴的角动量守恒时：
ri 变小，则
M z 0 ，Lz 常量
增大；
ri 变大，则
减小.
质点系对轴的角动量定理
质点系对轴的角动量定理
dLz Mz dt
如果在一个过程中，质点系所受的外力对 z 轴的力矩始终保持为零，则质点系对该轴的角动量守恒.
M z 0 ，Lz 常量
质点系对轴的角动量守恒定律
当内力矩远大于外力矩时，质点系对轴的角动量也是守恒的. （例：P170例1）
在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
dLy dLx dLz M x M ix , My , Mz . dt dt dt
• 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则表现为对轴的特征：即质点系对于 z 轴的角动量对时间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。
ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
ri fij 0
i i j
成对出现的内力对参考点的力矩矢量和为零. 由于系统内力总是成对出现，则系统内力矩的矢量和为零. • 可见，系统的内力矩只能使系统内各质点的角动量改变，但不能改变质点系总的角动量。
如果在一个过程中，始终无外力矩作用或所受的外力矩为零，则质点系的总角动量守恒 .
M外 0 ，L 常矢量
质点系对某一固定点的角动量守恒定律

角动量与角动量守恒定理

∆s
b
行星在有心力作用下运动，故角动量守恒。又因质量不变,所以 ∆ A / ∆ t = 恒量（证毕）
9
例：质量为m的小球，以速率v0沿质量为M，半径为 R的地球表面水平切向飞出，地轴OO′与v0平行，小球的轨道与轴OO′ 相交于 3R的 C点，忽略地球自转和空气阻力，求小球在C点的v与v0之间的夹角θ。解：M，m 组成的系统机械能和角动量守恒。（万有引力：保守力，且为有心力）以无穷远为势能零点，则：r0 = R r1 = 3R 1 mM v0 2 Z mv 0 − G 2 R m r r1 0 C 1 mM 2 Y (1) = mv − G θ O O ′ 2 3R M v
v0
2 9v0 − 12GM / R
O M地 O′
v
Y θ
11
r0 × m v0 = r1 × m v
( 2)
X
地
10
由（1）式：由（2）式：
v=
v0
2
4 GM − 3R
( 3)
ˆ = −3Rmv sin θiˆ − Rmv0i
Z
( 4)
v0
由(3)和(4)式得：
v0 v0 sin θ = = 2 3v 9v0 − 12GM / R
r0
X
m
r1
C
∴θ = arcsin
6
d Li = ∑ ri × Fi + ∑ ri × f i ∑ dt i i i
d Li = ∑ ri × Fi ∑ dt i i
合外力矩M外
内力矩矢量合为零
dL = M外 dt
质点系的角动量守恒定律：当
质点系角动量定个系统的角动量。
在直角坐标系中

角动量守恒定律

tt12M dtL L 12d L L 2L 1 t2M dt为质t内点O 对在点的冲量矩
t1
质点的角动量
力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改
变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量来描述）改变的原因。
1. 质点的圆周运动动量：pmv
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），
永远与矢径是反平行的。故对力心质点所受的力矩为
零。则对力心角动量守恒！
注意
L
力心
v
m
r
F
r
Lmsvir nm rsin
1rrs 2m2
t in2mS
t
t
——开普勒第二定律
小结：
质点角动量质点角动量定理：
L rpm r v
dL M rF dt
一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
质点→质点系
角动量守恒的几种可能情况：
1 孤立系. 2 有心力场,对力心角动量守恒.
重点！
3 由分量式：
M ix0; L x 常量
即：虽然 Mi 0,但对某轴外力矩为零,则总角动
解:对象: 滑轮+绳+A+B,
z轴正向: O点向外 .
受外力:mAg=mBg=mg, N, 对z 轴的合力为0. 对z轴,系统角动量守恒,A,B对O点速率 v'A,v'B,初始时刻系统角动量为零,则:
rm vA rm vB 0 则 vA vB
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何, 二人对O的速率相同, 故将同时到达O点.

动量与角动量守恒

解：开谱勒第一定律告诉我们,行星绕太
阳沿椭圆轨道运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。行星受力为有心力,取力心太阳为坐标原点，则行星相对于原点的角动量守恒
dr
rdt
0
r
在dt时间内，
扫过的面积为
d A 1 rdr sin
2
1
r
dr
2
单位时间扫过面积为
d A 1 r dr 1 r
dt 2 dt 2
2）M , I , 应是对同一轴而言的
例4、一轴承光滑的定滑轮，质量M,半径 R，一根不可伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有质量为m的物体，求定滑轮的角加速度。
T T
选择轴承为参照系。
对定滑轮
TR I 1 mR2
2
对物块
mg T ma
a R 轻绳不可伸长，物块的加速
度等于轮缘的切向速度
2gR sin
2g sin
R
L Rm Rm 2gR sin
(3)法3. 角动量定理
mgRcos dL dL dt d
dL L
d mR2 LdL m2gR3 cosd
L
LdL
m2 gR3 cosd
0
0
L mR 2gR sin
L mR2
2g sin
R
例2、证明绕太阳运动的一个行星，在相同的时间内扫过相同的面积。
§4.2 刚体的定轴转动
个质转元轴都位以置相不同变的，角刚速体度上的和每角
加速度绕定轴作圆周运动。
一、角速度矢量：
O’
O
角速度 d
dt
角加速度
d d2
dt dt2
距轴r处的质元
速度 v r

质点的角动量

i
ri p i ,
对于标号为i的质点，它不仅受到来自系统外的作用力，而且还受到系统内其它质点的作用力（内力）
fi

j
f ij ,
利用质点的角动量定理可得
d dt
d Li dt
ri Fi f i ,

i

i
Li

i
ri ( Fi f i )
r1 , 以角速度 1旋转，然后慢慢向下拉离为 r2时，拉力对质点所做的
v
绳，求质点离圆心距
功。

选小孔为参考点，任意时刻质点受力矩 M r f 0 , 质点的角动量守恒，因而有：
o r f
f
mr 1 1 mr 2 2
2 2
根据动能定理，外力做功为
v
O
rห้องสมุดไป่ตู้m
若一个质量为m的粒子在半径为r的圆周上以速 v 运动，则它的动量为 P m v ,相对于圆心的度位置矢量 r 与粒子运动速度 v 互相垂直，角动量大小为： L m rv m r 2
是质点运动的角速度
角动量的方向由右手螺旋法则判断，垂直于物体转动所在的平面
2
1
4、推广到质点系情形
利用牛顿第三定律，我们还可以将质点角动量定律推广到质点系的情况，得到质点系总角动量的时间变化率与合外力矩的简单关系，即质点系的角动量定理。我们定义质点系对给定参考点O的总角动量为系统内所有质点对选定参考点O的角动量的矢量和，即：
L

i
Li
多个外力作用于同一个质点的合力矩等于各力的力矩的矢量和，即如果

大学物理第3章第2节-角动量定理及其守恒定律

用角动量定理和守恒定律处理问题 (i) 确定研究对象 (单一刚体、刚体系、刚体+质点); (ii) 确定是对点还是对轴; (iii) 受力分析 (外力) 并求各力的力矩; (iv) 求初、末状态的角动量; (v) 用角动量定理和角动量守恒定律 (对点或对轴) 列方程求解.
例3.9 一半径为 R 、质量为 m 的匀质圆 R 盘平放在粗糙的水平面上. 设盘与桌面的摩擦因数为 , 令圆盘最初以角速度0 绕过其中心且垂直于盘面的轴旋转, 问它经过多少时间才停止转动? 解圆盘与桌面间有摩擦, 在转动过程中受到摩擦力矩的作用, 对圆盘上半径为 r 宽度为 d r 的圆环, 受到的阻力矩为
解受力分析 N N 人: m M 重力 mg R 支持力 N1 mg 转台: 重力 Mg 支持力 N 2 Mg 合外力为零, 不产生力矩, 角动量守恒.
2 1
设转台沿逆时 M 针转动, 对地的角速度为 , 人沿顺时针运动, 人对转台的角速度为 , 则人对地的角速度为 . 转动惯量 2 I MR 2 转台: 2 I mR 人:
dM f rd f
f ( d m) g d r (d m) g m d S d r ( d S ) g
m

R
m r (2 rd r ) g 2 R
m R 2 , d S 2 rd r
m
R

角动量守恒
I I ( ) 0
M

R
m
MR mR2 ( ) 0 2
2

解得
2m M , M 2m M 2m
当人在转台上跑一周时

4.0 质点的角动量角动量定理和守恒定律

定义：质点对选取的参考点的角动量等于其矢径 r 与其动量 mv 之矢量积。用 L 表示。
LO
LO
LO r mv
o m
mv r mv r
L
LO
o m
mv r
LO r mv
注意：1)为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上. 2）单位：
MO
注意：
1）大小
MO r F
o m
F r
M
3）单位：牛顿米
2）方向： r F 的方向
M rF sin
F
r
M
O
4）当 F 0 时
A) r 0
有两种情况,
M 0
B）力的方向沿矢径的方向（ sin 0 ）有心力的力矩为零.
dL 0 L 恒矢量则： dt
合外力矩
0
角动量守恒定律：当系统所受合外力矩为零时，质点系的角动量保持不变. 注意：1、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，
无论在宏观上还是微观领域中都成立. 2、守恒定律：表明尽管自然界千变万化，变换无穷，但决非杂乱无章，而是严格地受着某种规律的制约，变中有不变. 这反映着自然界的和谐统一.
两式相加：
d M 1 M 10 M 2 M 20 ( L1 L2 ) 3 dt
d M 1 M 2 ( L1 L2 ) 4 dt 令：M M 1 M 2 质点所受的合外力矩
L L1 L2
F
三、角动量定理 1、角动量定理的微分形式对一个质点：

质点系的角动量定理及角动量守恒定律

对质点系
Mi内z
Mi外z
d dt
(ri
mi vi
sin
i
)
而
Mi内 0
Mi内z 0
Mi外z
d dt
(ri mivi
sin
i
)
d dt
Lz
——称质点系对z 轴的角动量定理.
3.质点系对轴的角动量守恒定律
若
Mi外z 0
Lz rimivi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Liz ri mivi sin i
质点系对轴的角动量
Lz rimivi sin i
2.质点系对轴的角动量定理质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个质点
Miz
dLi dt
d dt
(ri
mivi
sin
i
)
M iz M i外z M i内z
M i内z
M
sin
i)
m 2gh v
2m m
本题也可以利用对点的角动量守恒求解，读者可自行完成.
§5.2质点系的角动量定理及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
对质点系中的第 i 个质点,有
Mi
dLi dt
其中
Mi Mi外 Mi内
M i内
M i外
dLi dt
对质点系，有
M i内
M i外
dLi dt
2.内力的力矩
ri
Fij i
因质点i与质点 j 间的相互作用力
i

大学物理-角动量守恒定律 PPT

dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12v0 t)
dt 2
24 v0
7l
37
例6 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
M
h
N
C
A
B
l/2
l
38
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
6mv0
(M 3m)l
v0 m
31
例3 摩擦离合器飞轮1：J1、 w1 摩擦轮2： J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。解：两轮对共同转轴的角动量守恒
21
试与下例的齿轮啮合过程比较。
32
例4 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心
垂轮直以于0 盘转面动转，轴然的后转两动轮惯正量交为啮J1合、，J2求，啮开合始后1
点o的矢径为 r ，动量为 p ，如下图。在计算其
角动量时，注意有两个特点：
(1) o点到 p 方向的垂直距离 r sin 不变;
(2) L 方向不变;
p2
假如 p 的大小也不变，显然L 的大小不变。这表
明，自由质点对任意参考点的角动量保持不变。
p1
1 r1

2
r2
r sin o
5
1.5.2 质点角动量定理
必须指明是对哪个点而言的
注意两点：
(1) 质点的角动量是相对某一参考点而言的，因此
对不同的参考点，角动量 L 不同;
(2) L 的大小在0~ rp 之间变化，如果把动量分解
为径向分量 pcos 和横向分量 psin ，则仅横

第2章-角动量守恒定律

2.质点系角动量定理
i 1 i 1 dL dri dpi 两边对时间求导： pi ri dt dt dt dri dpi pi 0 ri ri Fi f i 上式中 dt dt dL ri Fi ri f i dt 上式中 ri fi 0 合内力矩为零
dr
r
证毕
例2.匀速直线运动的小球m，以速度运动，试求：（1）对直线外一固定点O的角动量？（2）问角动量是否守恒？解：（1）大小：方向：（2）不论
的方向，即垂直纸面向里 d
O
如何变，合力矩为零
守恒
L 恒矢量
质点或质点系的角动量守恒定律：
当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。
质点系对z 轴的角动量守恒定律：系统所受外力对z轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。
Lz 恒量
M z 0
注意： 1) 同一质点相对于不同的点，力矩和角动量可以不同。在说明质点的力矩和角动量时，必须指明是对哪个点而言的。角动量定理中力矩和角动量都是对于惯性系中同一固定点而言的。 2)有心力作用下，物体角动量守恒。 3)角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。
质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。角动量定理的积分式：
dL M0 dt
--质点的角动量定理微分式

t2
t1
M 0dt L2 L1

t2
t1
M 0 dt 称为“冲量矩”
作用于质点的冲量矩等于质点在作用时间内的角动量的增量。