第2节质点系的角动量定理及角动量守恒定律

（2）当绳长为5米时，运动员距O点的距离为r=2.5m。由于运动员绕O点作圆周运动，故运动员的角动量为：mvr。由角动量守恒：
(3)绳内张力提供向心力：
N
(4)由动能定理：
（5）总动能的改变：
总动能增加
第5.2节质点系的角动量定理及角动量守恒定律
5.2.1离心调速器模型如图所示．由转轴上方向下看，质量为m的小球在水平面内绕AB逆时针作匀速圆周运动，当角速度为时，杆张开角．杆长为l．杆与转轴在B点相交．求(1)作用在小球上的各力对A点、B点及AB轴的力矩．(2)小球在图示位置对A点、B点及AB轴的角动量．杆质量不计
解：（本题中A点的位置不明确，A点应与两小球同高度）
以A点为坐标原点建立坐标系，x轴向右，y轴向上，z轴垂直于纸面向外。
左侧小球：
受力： ，
位失：相对于A点：
相对于B点：
速度：小球绕y轴作匀速圆周运动，速率为：
在图中所示位置：
重力矩：
拉力T的力矩：
角动量：
右侧小球：
受力： ，
位失：相对于A点：
相对于B点：
解：设绳子的中点为O。考虑两运动员组成的质点系，外力为重力和冰面的支撑力。由于是在水平面上运动，故重力和支撑力大小相等、方向相反。所以外力矩为零，角动量守恒。
（1）抓住绳子前： kgm2/s
抓住后，每个运动员将围绕O点作圆周运动，速率不变。由于速度方向还是与位置矢量方向垂直，且运动员距O点的距离不变，故角动量与抓住绳子前相同。
即：向上弹起的砝码的速率是砝码盘的3倍。该式对在燃断轻线后、砝码在弹离弹簧前的任意时刻都适用。
考虑滑轮、弹簧、砝码、砝码盘和地球组成的质点系，外力为其他物体对滑轮的悬挂力，该力不做功；内力为滑轮两边绳的拉力（为一对内力）和弹簧的弹性力（为保守力）由于绳不伸长，故绳的拉力不做功；所以体系的机械能守恒。
初态：法码和法码盘静止，所以Lz= 0;
末态：
设被弹起的砝码的速度为 ， 垂直向上， ，对z轴的角动量：
两侧砝码盘的速度分别为 和 ， 方向垂直向下， 方向垂直向上。由于绳不伸长，故| |=| |=v
左侧的砝码盘向下运动： ，对z轴的角动量：
右侧的砝码和砝码盘一起运动， ，对z轴的角动量：
由角动量守恒： ，得
速度：小球绕y轴作匀速圆周运动，速率为：
在图中所示位置：
重力矩：
拉ຫໍສະໝຸດ BaiduT的力矩：
角动量：
5.2.2理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘。用轻线拴住轻弹簧的两端使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m的砝码，另一砝码盘上也放一质量为m的砝码，使两盘静止。燃断轻线，弹簧达到自然伸展状态即与砝码脱离。求法码升起的高度。已知弹簧的劲度系数为k，被压缩的长度为L0
先求法码弹离弹簧后体系重力势能的改变
由于开始时弹簧被压缩了L0，法码被弹离后，弹簧达到自然伸长，故法码和法码盘间的距离增加了L0。
设法码盘向下移动了y，法码向上移动了y：
由y+y = L0，得：
右侧的砝码和法码盘向上移动了y。
设开始时，体系的重力势能为零，则砝码弹离弹簧时重力势能的改变为：
以弹簧自然伸长时为弹性势能的零点，则弹性势能的改变为：
体系动能的改变量：
由机械能守恒 ，得：
砝码弹离弹簧后作自由上抛运动，设其上升的最大高度为h，则
砝码上升的总高度为：
5.2.3两个滑冰运动员的质量各为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m．当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转．(1)在抓住绳索一端之前，各自对绳中心的角动量是多少?抓住之后是多少?(2)他们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何?(3)绳长为5m时，绳内张力多大? (4)二人在收拢绳索时，各做了多少功? (5)总动能如何变化?
解：考虑法码和法码盘组成的质点系，外力为重力和滑轮两边绳的拉力。
选择坐标系：原点位于滑轮的中心，x轴沿水平方向，y轴铅直向上，z轴通过滑轮的轴线垂直纸面向外。
设滑轮的半径为r
由于是理想滑轮，故两边绳的拉力相等；在法码脱离弹簧前，两边法码和法码盘所受的重力也相等；故外力对z轴的力矩为零，体系对z轴的角动量守恒。