直线的方向向量与平面的法向量PPT教学课件

巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为
(-2,-4,k),若 // ，则k=
；若
则 k=
。
2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面
的法向量为(1,1/2,2),则m=
.
3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为
(1,1/2,2),且 l ，则m=
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
见，取z=1较合理。 其实平面的法向量不
（ x，y，z）(2, 2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx
2y 5y
z0 ,
3z 0
取z
1，得
x y
1 2 1
n (1 , 1,1), | n | 3
2
2
求平面ABC的单位法向量为
(1，- 2，2）
3 33
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？
三、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
解：由题意可得 PM (x x0, y y0, z z0 )， e PM 0
即( A, B,C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0 化简得：A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
海岛小国的“灭顶之灾”！
据报道，图瓦卢全境有1万多人口，根据该国政府两年前的一项移民计划，目 前已经有3000多名居民移居到了新西兰，然而还有9300多名居民等着搬迁。
因海平面上升而受到威胁的海岸
罗布泊 ——死亡之湖、生命禁地!
关于罗布泊的环境变迁
罗布泊在蒙古语中是“汇入 多水之湖”，它位于新疆若羌 县境东北部，曾是新疆境内最 大的湖泊，有塔里木河、孔雀 河等注入。
美国为何不肯签署《京都议定书》?
Do it like Putin. Sign Kyoto!
这张摄于2004年10月 22日的资料照片上，在德 国汉堡的美国驻德领事馆 旁的一条河里，一些绿色 和平组织成员在自由女神 像复制品周围举起标语， 呼吁美国像俄罗斯那样接 受《京都议定书》。 旗帜 上的英文意思是: “像普京那样做吧。签署 《京都议定书》”。
面对全球变暖的趋势,IPCC(全球政府间气候变化委 员会)提出了三种不同的预案,其气温变化趋势如图:
１、维持能源消费结构的原状，气温变化趋势——A预案。
２、天然气广泛取代煤，气温变化趋势
——Ｂ预案。
３、可再生能源取代煤、石油、天然气等，气温变化趋势 ——Ｃ预案。
全球变暖，我们当如何应对？
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注设意直：线这l里的的方线向线向平量行为包e括线(a线1,重b1合, c1，),线平面面平行的
包法括向线量在为面n内，(面a2面,b2平, c行2 )包,则括面面重合.
l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
A 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是
与平面平行或在平面内，则有
nm 0
例 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
在大气中 持续时间
二氧化碳
50-200 年
甲烷
7-10 年
一氧化碳
150 年
温室效应作
用百分比%
53
13
6~7
氟利昂
对流层臭氧
CFC-11为75年 CFC-12为11年
12小时 或几天
约8,
20
经常变化
按这样的势头发展下去,50年后哪种 温室气体威胁最大?
全球变暖给我们带来了什么？ 上海会被淹吗?
N
基底，建立如图所示空间坐标系， A
D
设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，
y
则可得各点坐标，从而有
B
M
x
C
NM NA AB BM (2a,0,c)
又平面CDE的一个法向量是 AD (0,3b,0) 由NM AD 0 得到NM AD
因为MN不在平面CDE内 所以MN//平面CDE
x x
b1 b2
y y
c1z c2z
0 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
满足的关系式。
所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的
单位法向量。
由两个三元一次方程
解：设平面的法向量为n （x，y，z），组不成 惟的 一方 的程 ，组 为的 方解 便是 起
则n AB，n AC
若e (a1,b1,c1), n (a2,b2,c2),则
l e // n e n a1 a2 ,b1 b2 , c1 c2.
当a2 , b2 , c2
0时,e // n
a1 a2
b1 b2
c1 c2
例5.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE
l
e1
n1
l1 1 e1 // n1 e1 n1
2 n2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
位于赤道附近乞力马扎罗山海拔5892米，是非洲第一高峰。其山顶终年积雪。
欧洲—— 这个冬天不太冷！
１月初 法国东部的玫瑰开了；荷兰的番红花开了。
英国很多人家的花园里都绽放出粉红色的 花，看上去颇似４月的风景。
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2, c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的量不惟一， 合理取值即
可。
方程组
n n
• •
a b
0 0
aa12
D
A
E
B
Q
C
B
G C
F B
l1 l2
e1 e2
l1 // l2 e1 // e2 e1 e2
e1
l1
n1
l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
n1
1 n2
2
1 // 2 n1 // n2 n1 n2
l1
e1 e2
l2
l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量e 以及与e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
eB
A
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
例4 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，所以AB，AD，
Fz
E
AF互相垂直。以 AB，AD，AF 为正交
x
y
1 2
z
0
所以n=(0，1，- 2)
又因为D1F
(0,
1 2
, 1)
所以D1F//n
所以 D1F 平面ADE
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
瑞典最大的动物园科尔玛登里的棕熊们， 在比往年多醒了２个月后，终于勉强进入 冬眠，温暖天气搅乱了它们的生物钟。
德国……
2006年年初
代
2007年年初
根
多
夫
的
一
户
人
家
2005.12.30
西 南 部 葡 萄 园 里 的 两 个 冬 季
2007.1.1
!
全球变暖完全是 由人为因素造成的吗?
主要温室气体
的 影
异常气象增多
响
生态环境退化
全球变暖对人类有好处吗?
预测全球气候持续变暖会对以下 地区造成什么样的影响：
影响地区
生态环境
（如干湿环境和 冷暖环境）
社会经济
（如能源利用、农业生产、 人类生活）
加拿大北部
中亚荒漠
上海市
珊瑚岛国
人类如何解决全球变暖问题？
遏制全球气候变暖，我们应当采取积极对策： 减少温室气体的排放 改善能源结构，提高能源利用率 植树造林，增加绿化 加强国际合作 《京都议定书》
2005年2月16日，《京都议定书》正式生效
5.2 %
美 中 俄日 德印 英 加 乌 意
国
国
罗 斯
本
国度
国
拿 大
克 兰
大 利
世界CO2排放量最多的十国
(吨/人)
0
俄 罗 斯
美来自百度文库国
中 国
日 本
巴 西
德英墨印 国国西度
哥
加 拿 大
意 大 利
法泰 国国
波 兰
人均C02排放量居世界前列的国家
人均C02排放量居世界前列的国家
证明：设正方体棱长为1，以DA，DC,DD1为单位正交
基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
DA (1, 0, 0)，DE (1,1, , 1)
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量
A1
B1
为n=(x，y，z) 则由n DA 0，n DE 0得
D Ax
E
C
F
y
B
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2
证：设正方体棱长为 1，
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
.
练习:用空间向量来解决下列题目
1．如图，正方体 ABCD ABCD中， D
C
E为 DD的中点， 证明：BD //平面AEC
A
B
E
D
C
2、在正方体AC 中，E、F、G、P、 A
Q、R分别是所在棱AB、BC、BB
D
AD 、D C 、DD的中点，
求证：⑴平面PQR∥平面EFG。
P A
R
⑵ BD⊥平面EFG
在汉代罗布泊曾 “广袤三百 里，其水亭居，冬夏不增减”。 面积约2400-3000平方公里。
其后，由于注入河流的改 道和水量减少，百年来罗布 泊逐渐干涸，至1960年代， 塔里木河下游断流。1972年 底，罗布泊彻底干涸。
全 冰川融化 海岸侵蚀加剧
球
气 海平面上升 沿海低地受淹 温
变
暖
深水良港远离陆地……