直线的方向向量与平面的法向量PPT教学课件
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北师大版选择性必修第一册第三章4.1 直线的方向向量与平面的法向量课件(25张)
· =
解,因此法向量有无数个.求解时,利用赋值法,只要给 x,y,z 中的一个赋特殊值
(常赋值-1,0,1)即可确定一个法向量,赋值不同,所得法向量不同,但(0,0,0)不
能作为法向量.
数学
[例 2] 如图,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=
提示:根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条
相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意直线,因此,求法
向量的坐标只要满足两个方程就可以了.
[思考2-3] 依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗?
提示:不唯一.利用待定系数法求平面法向量时,由于方程组
· = ,
有无数组
故l⊂α或l∥α.
数学
[应用探究]根据下列条件,判断相应的线面位置关系:
(1)直线l1,l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2);
(2)平面α,β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0);
解:(1)因为a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),
所以a·b=8-6-2=0,
所以
即 = .
→
- + = ,
· = ,
令 z=1,可得 n=(1,1,1),所以平面 ECD 的一个法向量为(1,1,1).
则
· = ,
数学
[例2] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为四边形ABCD的中心.
(1)求平面OA1D1的一个法向量;
(1)解:以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.
解:(1)因为 u=(-1,1,-2),ν=(3,2,- ),
解,因此法向量有无数个.求解时,利用赋值法,只要给 x,y,z 中的一个赋特殊值
(常赋值-1,0,1)即可确定一个法向量,赋值不同,所得法向量不同,但(0,0,0)不
能作为法向量.
数学
[例 2] 如图,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=
提示:根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条
相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意直线,因此,求法
向量的坐标只要满足两个方程就可以了.
[思考2-3] 依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗?
提示:不唯一.利用待定系数法求平面法向量时,由于方程组
· = ,
有无数组
故l⊂α或l∥α.
数学
[应用探究]根据下列条件,判断相应的线面位置关系:
(1)直线l1,l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2);
(2)平面α,β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0);
解:(1)因为a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),
所以a·b=8-6-2=0,
所以
即 = .
→
- + = ,
· = ,
令 z=1,可得 n=(1,1,1),所以平面 ECD 的一个法向量为(1,1,1).
则
· = ,
数学
[例2] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为四边形ABCD的中心.
(1)求平面OA1D1的一个法向量;
(1)解:以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.
解:(1)因为 u=(-1,1,-2),ν=(3,2,- ),
直线的方向向量和平面的法向量 课件
[分析] 设 l1、l2 的方向向量分别为 a，b，则 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b.
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
[例 2] 设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据 下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
O→P＝ xa＋yb . 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的
法向量．
给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A 以向量 a 为法向量 的平面唯一确定．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知 v＝－2u，即 u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，
∴u、v 不垂直，显然 u≠v，
∴α 与 β 既不平行也不垂直．
命题方向 求平面的法向量 [例 3] 已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
[例 2] 设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据 下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
O→P＝ xa＋yb . 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的
法向量．
给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A 以向量 a 为法向量 的平面唯一确定．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知 v＝－2u，即 u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，
∴u、v 不垂直，显然 u≠v，
∴α 与 β 既不平行也不垂直．
命题方向 求平面的法向量 [例 3] 已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
高中数学《直线的方向向量及平面的法向量》课件
同理，DB1⊥AD1，又 AC∩AD1＝A，所以 DB1⊥平面 ACD1，从而是平面 ACD1 的一个法向量．
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随堂达标自测
课后课时精练
答案
探究 3 利用方向向量、法向量判断线、面关系 例 3 (1)设 a，b 分别是不重合的直线 l1，l2 的方向向量，根据下列条件 判断 l1 与 l2 的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
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(3)(教材改编 P104T2)设平面 α 的法向量为(1,3，－2)，平面 β 的法向量为
(－2，－6，k)，若 α∥β，则 k＝________.
(4)已知直线 l1，l2 的方向向量分别是 v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，
则直线 l1，l2 的位置关系为________．
向量为A→D＝12，0，0.
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答案
拓展提升 设直线 l 的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v＝(a2，b2，c2)， 则 l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中 k∈R， 平面的法向量的求解方法： ①设出平面的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)．
形式 数对(x，y)，使得O→P＝ □04 xa＋yb
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答案
探究 3 利用方向向量、法向量判断线、面关系 例 3 (1)设 a，b 分别是不重合的直线 l1，l2 的方向向量，根据下列条件 判断 l1 与 l2 的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
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(3)(教材改编 P104T2)设平面 α 的法向量为(1,3，－2)，平面 β 的法向量为
(－2，－6，k)，若 α∥β，则 k＝________.
(4)已知直线 l1，l2 的方向向量分别是 v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，
则直线 l1，l2 的位置关系为________．
向量为A→D＝12，0，0.
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答案
拓展提升 设直线 l 的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v＝(a2，b2，c2)， 则 l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中 k∈R， 平面的法向量的求解方法： ①设出平面的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)．
形式 数对(x，y)，使得O→P＝ □04 xa＋yb
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课件直线的方向向量与平面的法向量
例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
直线的方向向量与平面的法向量
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
北师大高中数学选择性必修第一册3.4.1直线的方向向量与平面的法向量【课件】
求平面 PCB 和平面 PCE 的一个法向量.
[解]
过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO⊥平面ABC，以O为坐
标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴建
立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝1，
则E － ，， ，P ，，
B
－ ， ，
，C
，
－ ，－ ，
2. 平面法向量的性质
(1)平面 α 的法向量与 α 内任一向量垂直.
(2)平面的法向量有无穷多个，它们相互平行.
1. 如何确定直线的方向向量?
提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，
都是直线的方向向量. 一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给
坐标赋特殊值.
2. 零向量可以是直线的方向向量或平面的法向量吗?
对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t，使得＝ta. 这个式子称为直
线 l 的向量表示.
1. l 的方向向量 a，我们称向量 a 为平面 α
的法向量. 给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a 为法向量的平
面是完全确定的.
第三章
4
空间向量与立体几何
向量在立体几何中的应用
4. 1
直线的方向向量与平面的法向量
自
主
预
习
互
动
学
习
达
标
小
练
[课标解读]1. 会求直线的方向向量. 2. 会求平面的法向量.
[素养目标] 水平一：求直线的方向向量(逻辑推理).
水平二：会求平面的法向量(数学运算).
[解]
过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO⊥平面ABC，以O为坐
标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴建
立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝1，
则E － ，， ，P ，，
B
－ ， ，
，C
，
－ ，－ ，
2. 平面法向量的性质
(1)平面 α 的法向量与 α 内任一向量垂直.
(2)平面的法向量有无穷多个，它们相互平行.
1. 如何确定直线的方向向量?
提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，
都是直线的方向向量. 一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给
坐标赋特殊值.
2. 零向量可以是直线的方向向量或平面的法向量吗?
对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t，使得＝ta. 这个式子称为直
线 l 的向量表示.
1. l 的方向向量 a，我们称向量 a 为平面 α
的法向量. 给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a 为法向量的平
面是完全确定的.
第三章
4
空间向量与立体几何
向量在立体几何中的应用
4. 1
直线的方向向量与平面的法向量
自
主
预
习
互
动
学
习
达
标
小
练
[课标解读]1. 会求直线的方向向量. 2. 会求平面的法向量.
[素养目标] 水平一：求直线的方向向量(逻辑推理).
水平二：会求平面的法向量(数学运算).
高中数学理科基础知识讲解《87空间几何中的向量方法》教学课件
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√
√
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×
×
--
考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
--
考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
--
知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
--
知识梳理
--
知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
--
知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.
×
√
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考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
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考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
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知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
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知识梳理
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知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
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知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.
新教材北师大版选择性必修第一册第3章44.1直线的方向向量与平面的法向量课件(44张)
第三章 空间向量与立体几何
§4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习任务
核心素养 1．通过直线的方向向量和平面的
1．理解直线的方向向量和平面 法向量的学习，提升数学抽象素
的法向量及其意义．(重点) 养．
2．会求直线的方向向量和平面 2．通过求直线的方向向量和平面
的法向量．(重点、难点)
1．直线的方向向量 设 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称A→B为直线 l 的方__向__向__量__． 如图所示，已知点 M 是直线 l 上的一点，非零向量 a 是直线 l 的一个方向向量，那么对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t， 使得M→P＝ta．把这个式子称为直线 l 的向量表示．
故|2a＋b|＝ 02＋－52＋52＝5 2． (2)O→E＝O→A＋A→E＝O→A＋tA→B＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－ 3＋t，－1－t，4－2t)， 若O→E⊥b，则O→E·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得 t＝95， 因此存在点 E，使得O→E⊥b，点 E 的坐标为 E－65，－154，25．
所以x＝23y z＝－43y
，x∶y∶z＝23y∶y∶－43y＝2∶3∶(－4)．]
1234
4．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－ 1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|； (2)若O为原点，则在直线AB上，是否存在一点E，使得O→E⊥b?
1234
[解] (1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
∴n＝1，－12，12，即为平面 SCD 的一个法向量．
§4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习任务
核心素养 1．通过直线的方向向量和平面的
1．理解直线的方向向量和平面 法向量的学习，提升数学抽象素
的法向量及其意义．(重点) 养．
2．会求直线的方向向量和平面 2．通过求直线的方向向量和平面
的法向量．(重点、难点)
1．直线的方向向量 设 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称A→B为直线 l 的方__向__向__量__． 如图所示，已知点 M 是直线 l 上的一点，非零向量 a 是直线 l 的一个方向向量，那么对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t， 使得M→P＝ta．把这个式子称为直线 l 的向量表示．
故|2a＋b|＝ 02＋－52＋52＝5 2． (2)O→E＝O→A＋A→E＝O→A＋tA→B＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－ 3＋t，－1－t，4－2t)， 若O→E⊥b，则O→E·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得 t＝95， 因此存在点 E，使得O→E⊥b，点 E 的坐标为 E－65，－154，25．
所以x＝23y z＝－43y
，x∶y∶z＝23y∶y∶－43y＝2∶3∶(－4)．]
1234
4．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－ 1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|； (2)若O为原点，则在直线AB上，是否存在一点E，使得O→E⊥b?
1234
[解] (1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
∴n＝1，－12，12，即为平面 SCD 的一个法向量．
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
直线的方向向量与平面的法向量课件高二下学期数学选择性
1－
315052＝
3352，
所以平行四边形 ABCD 的面积＝|A→B|·|A→D|·sin ∠BAD＝8 6.
内容索引
内容索引
1. 已知直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，
y，3)和 B(－1，2，z)两点，则 y－z 等于
()
A. 0
B. 1C.Fra bibliotek3 2【答案】 AC
12345
内容索引
4. 在空间直角坐标系O-xyz中，设平面α经过点P(1，0，0)，平面α 的法向量为e＝(1，0，0)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，则x，y，z 满足的关系是______________．
【解析】 由题意可知 e·P→M＝0，即(1，0，0)·(x－1，y，z)＝0，所 以 x＝1，y∈R，z∈R.
D. 3
【解析】 因为 A(0，y，3)和 B(－1，2，z)，所以A→B＝(－1，2－y， z－3).因为直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，故设A→B＝km， 所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得 k＝－12，y＝32，z＝32，所以 y－z＝0.
【答案】 A
12345
Thank you for watching
直线l上的非零向量e以及与e共线的非零向量叫作直 直线的方向向量
线l的方向向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面 平面的法向量 α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我 们把向量n叫作平面α的法向量
内容索引
(2) 用向量表示直线的位置：
直线 l 上一点 A 条件
直线的方向向量
如果在直线 l 上取A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P， 性质
直线的方向向量与平面的法向量课件
P
A
B
D
C
例3
如图（自己画），在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面 ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的坐标系，求平面PAB 的一个法向量.
解 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB， DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0,0,1)，A→B＝(－1， 3，0)，P→B＝(0， 3，－1).
→ C.AB
—→
√D. A1A
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或 重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
课堂练习
4.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为 1的正方体，给出下列结论： ①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个 方 向 向 量 为 (0,1,1) ； ③ 平 面 ABB1A1 的 一 个 法 向 量 为 (0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是_①__②__③___.(填序号)
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z). 则nn··AP→ →BB＝ ＝00， ， 即－3xy＋－z＝3y0＝，0， 因此可取 n＝( 3，1， 3). 所以平面 PAB 的一个法向量可以为( 3，1， 3)(答案不唯一).
解析 由题意得a∥b， 所以26xx2＝＝－2，6， 解得 x＝－1.
课堂练习
2.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为
A
B
D
C
例3
如图（自己画），在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面 ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的坐标系，求平面PAB 的一个法向量.
解 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB， DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0,0,1)，A→B＝(－1， 3，0)，P→B＝(0， 3，－1).
→ C.AB
—→
√D. A1A
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或 重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
课堂练习
4.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为 1的正方体，给出下列结论： ①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个 方 向 向 量 为 (0,1,1) ； ③ 平 面 ABB1A1 的 一 个 法 向 量 为 (0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是_①__②__③___.(填序号)
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z). 则nn··AP→ →BB＝ ＝00， ， 即－3xy＋－z＝3y0＝，0， 因此可取 n＝( 3，1， 3). 所以平面 PAB 的一个法向量可以为( 3，1， 3)(答案不唯一).
解析 由题意得a∥b， 所以26xx2＝＝－2，6， 解得 x＝－1.
课堂练习
2.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为
直线的方向向量与平面的法向量 课件
a⊥平面α，向量 a 叫做平面α的______法__向__量___． 注意：(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向
量．(2)一个平面的法向量有无限多个，且它们互相平行．
4．设 a，b 在平面α内(或与α平行)，a 与 b 不平行，直线 l 的方向向量为 c，则 l⊥α⇔__a_⊥__c_且__b_⊥__c_(_或__a_·c_＝__0_且__b_·_c＝__0_).
【要点1】用直线的方向向量确定空间中的直线和平面． 【剖析】(1)若点 A 是直线 l 上的一点，向量 a 是 l 的方向 向量，在直线 l 上取A→B＝a，则对于直线 l 上任一点 P，一定存 在实数 t，使得A→P＝tA→B，这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定 l 的位置，还可具体表示出 l 上的任意一点． (2)空间中平面 α 的位置可以由 α 上两条相交直线来确定， 若设这两条直线交于点 O，它们的方向向量分别是 a 和 b，点 P 为平面 α 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实 数对(x，y)，使得O→P＝xa＋yb.这样，点 O 与向量 a，b 不仅可 以确定平面 α 的位置，还可以具体表示出 α 上的任意一点．
∴A→1O·B→D＝c＋12a＋b·(b－a) ＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋12(b2－a2) ＝12(|b|2－|a|2)＝0. ∴A→1O⊥B→D.∴A1O⊥BD. 同理可证，A→1O⊥O→G. 又∵OG∩BD＝O，且 A1O⊄面 GBD， ∴A1O⊥面 GBD.
直线的方向向量与平面的法向量
1．空间中的点P，可用向量O→P表示，O→P称为点P的_位__置__向__量_．
2．空间中任意一条直线 l 的位置可以由_l_上__一__个__定__点__A___ 以及一个向量确定，这个向量叫做直线的__方__向__向__量____．
量．(2)一个平面的法向量有无限多个，且它们互相平行．
4．设 a，b 在平面α内(或与α平行)，a 与 b 不平行，直线 l 的方向向量为 c，则 l⊥α⇔__a_⊥__c_且__b_⊥__c_(_或__a_·c_＝__0_且__b_·_c＝__0_).
【要点1】用直线的方向向量确定空间中的直线和平面． 【剖析】(1)若点 A 是直线 l 上的一点，向量 a 是 l 的方向 向量，在直线 l 上取A→B＝a，则对于直线 l 上任一点 P，一定存 在实数 t，使得A→P＝tA→B，这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定 l 的位置，还可具体表示出 l 上的任意一点． (2)空间中平面 α 的位置可以由 α 上两条相交直线来确定， 若设这两条直线交于点 O，它们的方向向量分别是 a 和 b，点 P 为平面 α 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实 数对(x，y)，使得O→P＝xa＋yb.这样，点 O 与向量 a，b 不仅可 以确定平面 α 的位置，还可以具体表示出 α 上的任意一点．
∴A→1O·B→D＝c＋12a＋b·(b－a) ＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋12(b2－a2) ＝12(|b|2－|a|2)＝0. ∴A→1O⊥B→D.∴A1O⊥BD. 同理可证，A→1O⊥O→G. 又∵OG∩BD＝O，且 A1O⊄面 GBD， ∴A1O⊥面 GBD.
直线的方向向量与平面的法向量
1．空间中的点P，可用向量O→P表示，O→P称为点P的_位__置__向__量_．
2．空间中任意一条直线 l 的位置可以由_l_上__一__个__定__点__A___ 以及一个向量确定，这个向量叫做直线的__方__向__向__量____．
高中数学课件-空间直线的方向向量和平面的法向量
空间直线的方向向量 和平面的法向量
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
向量 叫做直线l的一个方向向量。 z
O
y
x
例1 已知正四面体ABCD的棱长为a，建立适当的空间直角
坐标系。 （1）确定各棱所在直线的一个方向向D
y
C x
问题1：如何确定一个平面的方向呢？ 结论1：垂直于同一平面的两直线平行。 结论2：垂直于同一直线的两个平面平行。
垂直，那么向量 叫做平面 的一个法向量。
（1）平面ABCD； （2）平面ACC1A1； （3）平面ACD1.
z
D
C
A
B
D1
A1
x
C1
y
B1
5.求平面法向量的方法： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
待定系数法
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的 单位法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
p＝0，取m＝1，则n＝－ 3，从而n1＝(1，－ 3，0)． 同理可得平面A1DE的一个法向量为n＝( 3，1，2a)， 直接计算知n1·n2＝0， 所以平面A1AE⊥平面A1DE.
11
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
向量 叫做直线l的一个方向向量。 z
O
y
x
例1 已知正四面体ABCD的棱长为a，建立适当的空间直角
坐标系。 （1）确定各棱所在直线的一个方向向D
y
C x
问题1：如何确定一个平面的方向呢？ 结论1：垂直于同一平面的两直线平行。 结论2：垂直于同一直线的两个平面平行。
垂直，那么向量 叫做平面 的一个法向量。
（1）平面ABCD； （2）平面ACC1A1； （3）平面ACD1.
z
D
C
A
B
D1
A1
x
C1
y
B1
5.求平面法向量的方法： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
待定系数法
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的 单位法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
p＝0，取m＝1，则n＝－ 3，从而n1＝(1，－ 3，0)． 同理可得平面A1DE的一个法向量为n＝( 3，1，2a)， 直接计算知n1·n2＝0， 所以平面A1AE⊥平面A1DE.
11
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
新教材2023版高中数学第三章 4.1直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修第一册
)
2
A．－4
C．－8
B．－6
D．8
答案：C
1
2
解析：∵l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为（1， ，2）
1
∴向量为(2，m，1)与平面α的法向量（1， ，2）垂直
2
1
1
则(2，m，1)·（1， ，2）＝2＋ m＋2＝0
2
2
解得m＝－8.
5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，求平面ABC的一
4
3
1
1
3
1
1
＝AB＋AD＋ (AP－AB－AD)＝ AB＋ AD＋ AP＝ a＋ b
4
4
4
4
4
4
3
＋ c，
4
1
1
3
故直线AE的一个方向向量是 a＋ b＋ c.
4
4
4
题型二 求平面的法向量
例 2 如 图 ， 已 知 ABCD 是 直 角 梯 形 ， ∠ABC ＝ 90° ， SA⊥ 平 面
1
ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐标系．
－5＝0
＝5
∴D点的坐标为(1，0，5).
[课堂十分钟]
1．已知AB＝(2，2，1)，AC＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法
向量为(
)
1
2
2
1
2
2
A． − ， − ， −
B． − ， ， −
C．
3
3
1
2
2
− ， ，
3
3
3
3
3
3
3
1
2
2
2
A．－4
C．－8
B．－6
D．8
答案：C
1
2
解析：∵l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为（1， ，2）
1
∴向量为(2，m，1)与平面α的法向量（1， ，2）垂直
2
1
1
则(2，m，1)·（1， ，2）＝2＋ m＋2＝0
2
2
解得m＝－8.
5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，求平面ABC的一
4
3
1
1
3
1
1
＝AB＋AD＋ (AP－AB－AD)＝ AB＋ AD＋ AP＝ a＋ b
4
4
4
4
4
4
3
＋ c，
4
1
1
3
故直线AE的一个方向向量是 a＋ b＋ c.
4
4
4
题型二 求平面的法向量
例 2 如 图 ， 已 知 ABCD 是 直 角 梯 形 ， ∠ABC ＝ 90° ， SA⊥ 平 面
1
ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐标系．
－5＝0
＝5
∴D点的坐标为(1，0，5).
[课堂十分钟]
1．已知AB＝(2，2，1)，AC＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法
向量为(
)
1
2
2
1
2
2
A． − ， − ， −
B． − ， ， −
C．
3
3
1
2
2
− ， ，
3
3
3
3
3
3
3
1
2
2
空间直线的方向向量和平面的法向量教学课件
例题3：已知所有棱长为 的正三棱锥 A BCD ，试建立空间 直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
a
课堂练习： 1、已知A(3,3,1) ， B(1, 0,5) ，求线段AB 所在直线的一个 方向向量； 2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 ， E , F分别是 DD1 , DB 中点 ，G 在 棱 上 ，CG 1 CD， H是 C1G 的中点，求线段 CD 4 所在直线的一个方向向量
A' F
例题2：已知长方体 ABCD A' B' C ' D'的棱长 AB 2, AD ， 4, AA' 3 以长方体的顶点 D为坐标原点，过 ' D ' 的三条棱所在的直线为坐标 轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1) AA' ; (2) B' C; (3) A' C; (4) DB'
3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？
如何表示空间直线平行的非零向量d 叫做直线的一个方向向量。
空间直线的方向向量是唯一的吗？
一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 OABC OABC 中，F为棱上的中点， （1）向量 可以分别表示哪条空间直线的方向向量？ AA', OC, BC （2）写出空间直线 的一个方向向量，并说明这个方向向量 是否可以表示正方体的某条棱所在直线的方向。
，
B1C, EF, C1G, FH
3、教材P49 1 4、教材P49 2
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念 直线方向向量的不唯一 一个向量可以表示无数条直线的方向
空间直线的方向向量和平面的法向量PPT培训课件
7 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
A 1 (4,0,8) B (4,4,0) C 1 (0,4,8)
D1
C1
A1B(0,4,8) BC1 (4,0,8)
A1
E
B1
设 平 面 A 1 B C 1 的 法 向 量 为 n .
F
nA1B n BC1 设 n(m ,n,k)
4n8k0令 k 1 4m8k0
C1
B1
L
M
则C(0,0,0), A(2a,0,0),
A1
B(0,2a,0),C1(0,0,2c),
A1(2a,0,2c),B1(0,2a,2c)
M
N
M(a,0,c),N(0,2a,c), MN(a,2a,0)
O
y
C
N
B
A
易知平 A面 B的 C 一个法向 n量 (0,0,为 1)
x
MN n0 M/N /平A 面 BC
m 2
n
2
O D
A
B
n(2,2,1) E (4, 2, 8) Fx (0, 0, 4) EF(4,2,4)
设 E F ,n 的 夹 角 为 cos E F n 8
| E F || n | 9
设 直 线 E F 和 平 面 A 1 B C 1 所 成 角 为 sin| cos |
5 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
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x
y
1 2
z
0
所以n=(0，1，- 2)
又因为D1F
(0,
1 2
, 1)
所以D1F//n
所以 D1F 平面ADE
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
在汉代罗布泊曾 “广袤三百 里，其水亭居，冬夏不增减”。 面积约2400-3000平方公里。
其后，由于注入河流的改 道和水量减少，百年来罗布 泊逐渐干涸，至1960年代， 塔里木河下游断流。1972年 底，罗布泊彻底干涸。
全 冰川融化 海岸侵蚀加剧
球
气 海平面上升 沿海低地受淹 温
变
暖
深水良港远离陆地……
解：由题意可得 PM (x x0, y y0, z z0 )， e PM 0
即( A, B,C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0 化简得：A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
D
A
E
B
Q
C
B
G C
F B
l1 l2
e1 e2
l1 // l2 e1 // e2 e1 e2
e1
l1
n1
l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
n1
1 n2
2
1 // 2 n1 // n2 n1 n2
l1
e1 e2
l2
l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
的 影
异常气象增多
响
生态环境退化
全球变暖对人类有好处吗?
预测全球气候持续变暖会对以下 地区造成什么样的影响：
影响地区
生态环境
（如干湿环境和 冷暖环境）
社会经济
（如能源利用、农业生产、 人类生活）
加拿大北部
中亚荒漠
上海市
珊瑚岛国
人类如何解决全球变暖问题？
遏制全球气候变暖，我们应当采取积极对策： 减少温室气体的排放 改善能源结构，提高能源利用率 植树造林，增加绿化 加强国际合作 《京都议定书》
面对全球变暖的趋势,IPCC(全球政府间气候变化委 员会)提出了三种不同的预案,其气温变化趋势如图:
１、维持能源消费结构的原状，气温变化趋势——A预案。
２、天然气广泛取代煤，气温变化趋势
——Ｂ预案。
３、可再生能源取代煤、石油、天然气等，气温变化趋势 ——Ｃ预案。
全球变暖，我们当如何应对？
证：设正方体棱长为 1，
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
美国为何不肯签署《京都议定书》?
Do it like Putin. Sign Kyoto!
这张摄于2004年10月 22日的资料照片上，在德 国汉堡的美国驻德领事馆 旁的一条河里，一些绿色 和平组织成员在自由女神 像复制品周围举起标语， 呼吁美国像俄罗斯那样接 受《京都议定书》。 旗帜 上的英文意思是: “像普京那样做吧。签署 《京都议定书》”。
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？
三、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
瑞典最大的动物园科尔玛登里的棕熊们， 在比往年多醒了２个月后，终于勉强进入 冬眠，温暖天气搅乱了它们的生物钟。
德国……
2006年年初
代2007年年初根多夫的
一
户
人
家
2005.12.30
西 南 部 葡 萄 园 里 的 两 个 冬 季
2007.1.1
!
全球变暖完全是 由人为因素造成的吗?
主要温室气体
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
x x
b1 b2
y y
c1z c2z
0 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
满足的关系式。
见，取z=1较合理。 其实平面的法向量不
（ x，y，z）(2, 2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx
2y 5y
z0 ,
3z 0
取z
1，得
x y
1 2 1
n (1 , 1,1), | n | 3
2
2
求平面ABC的单位法向量为
(1，- 2，2）
3 33
若e (a1,b1,c1), n (a2,b2,c2),则
l e // n e n a1 a2 ,b1 b2 , c1 c2.
当a2 , b2 , c2
0时,e // n
a1 a2
b1 b2
c1 c2
例5.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2, c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的量不惟一， 合理取值即
可。
方程组
n n
• •
a b
0 0
aa12
所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的
单位法向量。
由两个三元一次方程
解：设平面的法向量为n （x，y，z），组不成 惟的 一方 的程 ，组 为的 方解 便是 起
则n AB，n AC
l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
A 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是
与平面平行或在平面内，则有
nm 0
例 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
N
基底，建立如图所示空间坐标系， A
D
设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，
y
则可得各点坐标，从而有
B
M
x
C
NM NA AB BM (2a,0,c)
又平面CDE的一个法向量是 AD (0,3b,0) 由NM AD 0 得到NM AD
因为MN不在平面CDE内 所以MN//平面CDE
证明：设正方体棱长为1，以DA，DC,DD1为单位正交
基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
DA (1, 0, 0)，DE (1,1, , 1)
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量
A1
B1
为n=(x，y，z) 则由n DA 0，n DE 0得
D Ax
E
C
F
y
B
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为
(-2,-4,k),若 // ，则k=
；若
则 k=
。
2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面
的法向量为(1,1/2,2),则m=
.
3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为
(1,1/2,2),且 l ，则m=
.
练习:用空间向量来解决下列题目
1．如图，正方体 ABCD ABCD中， D