运筹学中的计算复杂性
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中重要的一个分支，它研究了计算问题的难度和可解性。
通过对问题的复杂性进行分析和分类，计算复杂性理论为我们提供了解决问题的指导原则和限制条件。
本文将介绍计算复杂性理论的基本概念、主要研究内容以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念1. P和NP问题在计算复杂性理论中，最基本的概念是P问题和NP问题。
P 问题是指可以在多项式时间内解决的问题，即存在一个算法可以在多项式时间内给出问题的正确答案。
而NP问题则是指可以在多项式时间内验证答案的问题，但尚未找到多项式时间内解决的算法。
P问题是NP问题的子集，即所有的P问题也是NP问题，但目前尚不清楚P问题和NP问题是否是相同的类。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它指的是一类最困难的NP问题。
一个问题被称为是NP完全的，如果它既是一个NP问题，又满足以下条件：对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
换句话说，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决一个NP完全问题，那么我们也可以用同样的算法来解决所有的NP问题。
3. NP难度除了NP完全性概念，计算复杂性理论还引入了NP难度的概念。
一个问题被称为是NP难度的，如果对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
虽然NP难度问题不一定是NP问题，但它们和NP完全问题一样，都是十分困难的问题。
二、主要研究内容1. 多项式时间算法计算复杂性理论的一个主要研究内容是寻找和分析多项式时间算法。
多项式时间算法是指可以在多项式时间内解决的算法，即其执行时间与输入规模呈多项式关系。
研究多项式时间算法的目标是寻找高效的解决方法，从而提高问题的可解性。
2. 算法复杂性分析算法复杂性分析是计算复杂性理论中的另一个重要内容。
通过对算法的复杂性进行全面的分析，我们可以预测算法在实际应用中的性能表现。
算法复杂性分析的主要方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析，通过对算法的时间和空间需求进行测量和评估，我们可以判断算法在给定条件下的可行性和效率。
运筹学中的计算复杂性分析
运筹学中的计算复杂性分析随着科技的发展，计算机越来越成为很多领域的必需品。
越来越多的问题和算法需要借助计算机进行分析和求解。
然而，计算机在解决某些问题时可能会遇到不同程度的计算困难。
为了确定计算机在解决问题方面的适用性，运筹学中的计算复杂性分析成为了必要的工具。
计算复杂性分析旨在确定计算机所需的时间和空间成本。
它基于计算机与算法之间的相互作用，尤其是带来算法正确性和计算时间限制的问题。
对于一个算法，需要评估其计算复杂性并判断其是否适用于我们需要解决的问题。
在运筹学中，最常见的计算复杂性是时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是指计算机在执行某些操作时所需的时间，这将直接影响到算法的实际执行效率。
空间复杂度是指计算机在执行某些操作时所需的内存空间，这也是计算机在执行算法时必须考虑的重要因素。
时间复杂度通常使用大O表示法来描述。
大O表示法通过对算法运算随着问题规模n的增长而增长的速度进行描述来度量算法效率。
在大O表示法中，常数因素被忽略，只关注函数增长的另一个方面。
换句话说，如果算法的时间复杂度为O(n²)，那么随着问题规模n的增长，算法所需的时间将比原数组长度的平方倍。
这意味着算法的效率将迅速降低，并不适用于大规模问题的求解。
空间复杂度也和时间复杂度类似，通常采用大O表示法来描述。
空间复杂度可以粗略地理解为算法所需要的额外内存单元数量，例如算法运行期间需要的其他数据结构的大小。
在空间复杂度分析中需要考虑参数的总数以及所有变量所需的存储空间。
计算复杂度分析是一个广泛的领域，包含许多令人兴奋和复杂的话题。
例如，我们可以讨论算法如何影响发现最佳解决方案的速度和精度，或者我们可以探索如何利用分布式算法，从而轻松地处理大数据集。
通过探讨这些话题，我们可以更好地了解计算复杂度，以及如何应用相关研究来帮助解决实际问题。
总之，计算复杂度分析在运筹学中是不可缺少的工具。
在开发和维护算法时，该工具可确保时间和空间效率达到最佳，从而最大程度地提高了计算机的性能。
计算复杂性的概念
Network Optimization
第 1 章
概 论
1.4 计算复杂性的概念
1
1.4.1 组合优化问题 1、定义
定义1.3 所谓组合(最)优化(Combinatorial Optimization)又称离散优 化（Discrete Optimization），它是通过数学方法去寻找离散事件的 最优编排、分组、次序或筛选等. 这类问题可用数学模型描述为：
15
1.4.3 多项式问题
定义1.5 对于给定的一个优化问题，若存在一个求解该问题
最优解的多项式时间算法，则称给定的优化问题是多项式可 解问题，或简称多项式问题，所有多项式问题集记为 P(Polynomial).
同样道理, 可以定义强多项式问题,伪多项式问题等.
16
布置作 业
目的 掌握图与网络的基本概念
2 | S | n 2 , S {1, 2 , , n }
x ij { 0 , 1}, i , j 1, 2 , , n , i j .
D= {0,1}n×(n-1)
4
例1.9 整数线性规划(Integer Linear Programming)
m in c x
(ILP)
a s 0 , a i {0 , 1} 。
正整数 x 输入长度的估计：
由不等式 2 s
2
lo g 2 x
x 2
s1
2
lo g 2 x 1
，可得：
log 2 x s 1 log 2 x 1
.
故，数 x 的二进制输入的位数为 s 1 lo g 2 x 或 lo g 2 x 1 。
计算复杂性和算法分析 计算机科学导论第六讲
– 可计算性：指一个实际问题是否可以使用计算机 来解决（能解决一定是指有限步内解决）
– 上一讲介绍的就是计算模型和可计算函数
精品课件
4
基本知识
• 计算资源
– 在计算复杂性理论内，计算资源是指在某个计算 模型之下，求解一个问题所要消耗的资源
– 时间资源：求解问题所需花费的时间，通常用计 算步数来度量
j = j +1;
}
if (a[j] == val) {
return j;
} else {
return 1; }// 在最坏情况下，需要把val与a的所有分量比较
}
精品课件
10
复杂性的计量
• 两种查找算法的效率比较
int search(int val) { // 二分查找
int i, j, k; //int a[m]无重复且已按从小到大排序
} ak(0 k n)都只计算1次, 显然效率高于前一个算法
精品课件
13
复杂性的计量
• 两种求斐波那契数列前n+1项算法的效率比较
void Fibonacci(int n) { // 假定n >= 0，循环算法
int j0, j1, i, temp; j0 = 0; j1 = 1; for(i = 0; i <= n; i ++) {
– 精确分析算法的复杂度有时也可行，但它通常基
于一些与具体实现相精关品课的件 假设
8
基本知识
• 可计算性、计算复杂性和算法分析的区别
– 算法分析致力于分析求解一个问题的某个具体算 法所需的资源量
– 计算复杂性理论关注的是用所有可能算法解决同 一类问题层面上的一般性议题
如何利用运筹学模型解决复杂调度问题
如何利用运筹学模型解决复杂调度问题在当今快节奏和高度竞争的商业环境中，有效的资源调度对于企业的成功至关重要。
复杂的调度问题涉及到多个因素的权衡和优化，如时间、成本、资源可用性、任务优先级等。
运筹学模型作为一种强大的工具，可以帮助我们系统地分析和解决这些复杂的调度难题，从而提高效率、降低成本，并增强竞争力。
首先，让我们来了解一下什么是复杂调度问题。
简单来说，它是指在有限的资源和特定的约束条件下，如何合理地安排一系列任务或活动，以达到某种最优目标。
例如，在制造业中，如何安排生产线上不同产品的生产顺序，以最小化生产周期和成本；在物流领域，如何规划车辆的行驶路线和送货顺序，以确保按时交付并降低运输成本；在医疗系统中，如何安排医生和护士的值班表，以满足患者的需求并保证医疗服务的质量。
为了解决这些复杂的调度问题，运筹学提供了多种模型和方法。
其中，线性规划是最常见和基础的一种。
线性规划模型假设目标函数和约束条件都是线性的，通过求解一组线性方程组来找到最优解。
例如，在生产调度中，可以将生产成本作为目标函数，将设备产能、原材料供应等作为约束条件，建立线性规划模型来确定最优的生产计划。
整数规划是另一种重要的运筹学模型，适用于决策变量必须取整数值的情况。
比如，在人员调度问题中，安排的人数必须是整数，这时就需要使用整数规划模型。
整数规划的求解通常比线性规划更复杂，但它能够更准确地反映实际问题的约束。
动态规划则适用于具有阶段性决策的问题。
它将一个复杂的问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐步求解子问题来找到最优解。
例如，在项目管理中，可以将项目分解为多个阶段，每个阶段都有不同的决策和状态，使用动态规划来确定每个阶段的最优行动方案。
除了上述模型，还有网络流模型、排队论模型等也常用于解决调度问题。
网络流模型适用于研究物资、信息等在网络中的流动和分配，如交通网络中的流量分配；排队论模型则用于分析服务系统中的排队现象，如银行柜台的客户等待时间。
运筹学基础―计算复杂性.
运筹学基础胡晓东应用数学研究所 中国科学院数学与系统科学研究院 http://www amt ac cn/member/huxiaodong/index html /member/huxiaodong/index.htmlInstitute of Applied Mathematics提纲20世纪数学的五大指导理论 Five Golden Rules 叶其孝、刘宝光 Great Theories of 20th Century Math 上海教育出版社，2000 -and Why They Matter 1. 线性规划 对偶定理 2. 博弈论 极大极小定理 3. 非线性规划 K-K-T 定理 4. 计算/算法理论 停机定理,库克定理 拓扑学 不动点定理 奇点理论 莫尔斯定理 5. 组合最优化 算法设计技巧运筹学 • 模型 • 理论 • 算法4. 算法理论-参考文献计算复杂性导论 堵丁柱、葛可一、王洁 ，高等教育出版社，2002 基础内容 [1] The Th D Design i and dA Analysis l i of fC Computer t Al Algorithms ith A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman, Addison-Wesley Pub., 1974. [2] Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity C H. C. H P Papadimitriou di it i and d K. K Steiglitz, St i lit Prentice-Hall, P ti H ll 1982. 1982 [3] Introduction to Algorithms T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, MIT, 1990. 较深内容 [1] Complexity and Approximation G. Ausiello, et al, Springer, 1999. [2] Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms B Korte and J. B. J Vygen, Vygen Springer Springer, 2000 2000. [3] Approximation Algorithms xdhu V. V. Vzairani, Springer, 2001.34. 计算/算法理论-历史计算机的理论始于1935年的英国。
计算复杂性理论
如果问题的答案只有两种可能：是或者否，则称这个问题是的，则称判定问题是可判定的或可解的。
图灵机的不可判定问题：
图灵机的停机问题：任给DTM M和格局б，从格局б开始，M是否最终停机。
DTM M的停机问题：任给格局б，从格局б开始，M是否最终停机。
相关结论：
正则表达式可以构造等价的NFA。
DFA和NFA计算能力是相等的，二者等价。DFA与NFA仅仅是控制函数的不同。
定理：语言L能被DFA接受当且仅当语言L能被NFA接受
定理：语言L是正则语言当且仅当存在DFA M使L=L(M)。
3）
正则语言是正则集，可以用正则表达式的简单式子来表示。对任意一个给定的正则表达式可以构造出不确定有限自动机来接收它，反过来，从任意有限自动机可以找出它所接受的正则表达式。不满足正则语言的条件则为非正则语言。
4）
泵引理：设DFA M有n个状态，L=L（M），x L，|x| n，则x=uvw且满足下述条件：1）v 2）|uv| n 3）对任意的i 0，
作用：泵引理揭示了正规语言普遍具有的这样一个封闭性质如果L是一个正规语言那么存在一个正整数k, L中那些长度k的句子中都含有这样的一段子串 把这个子串重复任意多次后形成的句子仍然是L中的语句。
推论 假设P≠NP如果L是NP难的则L∉P
定理 若存在NP难的语言 都有 ≤ ,则L也是NP难的。推论 若L∈NP并且存在NP完全的语言 使 ≤ ,则L也是NP完全的。
2）Cook定理的内容证明及意义
Cook定理：可满足性问题是NP完全的
判读SAT的非确定型多项式时间算法如下：对任给的合取范式F，先猜想一个赋值，然后检查它是否使F成真。故而SAT NP。
NFA的定义：
NFA也有5部分组成，M=（Q，a，δ， ，F），其中Q，A，， ，F与DFA相同，但是δ是Q C到Q的二元关系。
《计算的复杂性》课件
时间复杂性分析
1
概念与定义
时间复杂性是衡量算法执行所需时间的度量。它通常用大O表示法表示执行时间 与问题规模的关系。
2
时间复杂性的计算方法
可以通过估算算法中每一步操作的时间复杂度，并结合问题规模确定整体的时间 复杂度。
3
时间复杂度的分类
时间复杂度可分为常量时间、对数时间、线性时间、指数时间等不同的复杂度级 别。
《计算的复杂性》PPT课 件
欢迎来到《计算的复杂性》课程的PPT课件！在本次课程中，我们将深入探 讨计算的复杂性以及相关的时间和空间复杂度分析方法，还将研究NP问题及 其应用。让我们开始吧！
什么是计算的复杂性
计算的复杂性是指在计算机科学中研究问题求解过程中的计算资源需求。它涉及到时间复杂性和空间复 杂性的分析，有助于评估和设计高效的算法。
空间复杂性分析
1
概念与定义
空间复杂性是衡量算法执行所需内存空间的度量。它通常用大O表示法表示算法 占用的最大内存空间与问题规模的关系。
2
空间复杂性的计算方法
可以通过估算算法中所使用的数据结构和变量的空间占用，结合问题规模确定整 体的空间复杂度。
3空间复杂度的分类源自空间复杂度可分为常量空间、线性空间、二维空间等不同的复杂度级别。
计算复杂性理论总结报告
计算复杂性理论总结报告(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--计算复杂性理论总结报告一、图灵机（1）图灵机基本模型图灵机是由图灵（Alan Mathisom Turing）在1936年提出的，它是一个通用的计算模型。
通过图灵机，来研究递归可枚举集和部分递归函数，对算法和可计算性进行研究提供了形式化描述工具。
图灵机的基本模型包括一个有穷控制器，一条含有无数个带方格的输入带和一个读写头。
其直观物理模型如下图1所示。
基本图灵动作有以下三种：（1）改写被扫描带方格内容，控制器转化为下一状态。
（2）读写头向左移一个带方格，控制器转化为下一状态。
（3）读写头向左移一个带方格，控制器转化为下一状态。
图1图灵机（2）图灵机形式化定义，图灵机演算过程及语言描述定义：一个基本图灵机定义为一个七元组 TM={Q,C,δ,A,B,q1,F}。
其中Q是状态集合，（图灵机所有的状态）非空有限集；C是带符号表，（放在带方格中的符号集合）非空集；δ是控制函数或过程转换函数（定义控制器）δ：QxC QxC∪（R,L）；A是输入字母表，A⊆C；B是空白符，B∈C；q1是初始状态，q1∈Q；F是终态集，F ⊆Q.TM的扫描符号串主要由δ来确定：（1）δ（q，s）=（q’,s’）;（2）δ（q，s）=(q’,R);（3）δ（q，s）=(q’,L);（4）δ（q，s）无效，对应无定义时图灵机终止。
TM的工作用“格局”的转换来描述。
格局：σ：a1a2a3…aj-1qajaj+1…其中q∈Q，ai∈C；（1）若δ（q，ai）无定义，称σ为停机格局；（2）若q∈F，称σ为接受格局；（3）若q为初始状态，称σ为初始格局；格局σ到格局τ的转换σ├mτ若成立σ=σ1├m1σ2├m2σ…3├Mσk 记为σ1├*σk （k>=0）（3）图灵机其他形式（1）五元机δ：QxC→QxCx{R,L}基本动作：qsq’s’即δ（q，s）=（q’,s’）；qsq’L即δ（q，s）=（q’,L）；qsq’R即δ（q，s）=（q’,R）。
计算复杂性
巡回和周相
在上面提到的模型中，有的是串行模型，有的则是并行模型。如前所述，并行模型的串行时间相当于计算过 程中的总运算量。至于串行模型的并行时间，可以认为它是一个叫作巡回的量。简而言之，巡回是计算过程中周 相的总数。而周相则是计算过程中的一个阶段，在此阶段内写入工作空间的信息不会在同一阶段中读出。由此可 见，串行模型的巡回相应于并行模型的并行时间。对于一个问题类而言，存在一个高速并行算法的充要条件是可 以找到一个具有小的巡回数的串行算法。
问题的大小和复杂性的度量
和可计算性一样，复杂性总是对于一个特定的问题类来讨论的，它包括无穷多个个别问题，有大有小。例如， 对矩阵乘法这样一个问题类，相对地说，100阶矩阵相乘是个大问题，而二阶矩阵相乘就是个小问题。可以把矩 阵的阶 n作为衡量问题大小的尺度。又如在图论问题中，可以把图的顶点数 n作为衡量问题大小的尺度。一个个 别问题在计算之前，总要用某种方式加以编码，这个编码的长度 n就是衡量问题大小的尺度。当给定一个算法以 后，计算大小为 n。的问题所需要的时间、空间等就可以表示为 n的函数。这个函数就可作为该算法的时间或空 间复杂性的度量。严格地讲，是这个特定的问题类在某一特定计算模型中某一特定算法的复杂性之度量。当要解 决的问题越来越大时，时间、空间等资源耗费将以什么样的速率增长，即当 n趋向于无穷大时，这个函数的性状 如何，增长的阶是什么，这就是计算复杂性理论所要研究的主要问题。
资源计算时间、存储大小都称为资源。严格地讲，每一种资源的定义都依赖于特定的计算模型。对各种计算 模型，资源的定义虽不一样，但主要的可分为三类：
①串行时间（简称时间）：它是计算过程中的总运算量，即把计算分成一些原始的步骤，完成这些步骤所需 要的总时间。
②空间：它是为了保存中间结果所需要的存储器的大小。
数学的计算复杂性
数学的计算复杂性数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的科学，它作为一门基础学科，在现代社会发挥着重要的作用。
数学中的计算复杂性是指在特定的算法下解决数学问题所需的计算步骤的数量和时间的增长率。
计算复杂性理论是近代计算机科学的重要分支，它关注的是如何评估和分析算法的效率和可行性。
一、计算复杂性的概念和意义计算复杂性的研究始于20世纪上半叶，它的基本思想是通过对计算问题进行形式化建模和分析，以便对问题的解决方案的效率进行评估。
计算复杂性理论的发展具有深远的理论和实践意义。
首先，计算复杂性理论可以帮助我们理解问题的可解性。
在数学中并不是所有的问题都能找到有效的解决方案，有些问题可能是不可解的，也就是说不存在一种算法可以得出问题的解。
计算复杂性的研究可以帮助我们判断一个问题是否可解，从而提醒我们在解决问题时的合理性和可行性。
其次，计算复杂性理论可以指导我们设计高效的算法。
现实生活中，我们经常遇到需要解决大规模计算问题的情况，如图像处理、数据分析和网络优化等。
通过研究计算复杂性，我们可以找到更好的方法来设计算法，降低问题求解的计算复杂性，提高计算效率。
最后，计算复杂性理论对计算机科学的发展具有重要意义。
20世纪中叶，计算机科学经历了飞速发展，计算机的各个方面不断取得突破性的进展。
计算复杂性理论为计算机科学提供了坚实的理论基础，推动了计算机科学的研究和应用。
二、计算复杂性的分类和评估标准计算复杂性可以分为时间复杂性和空间复杂性两个方面。
1. 时间复杂性：时间复杂性是指算法所需的计算步骤的数量和时间的增长率。
它可以通过计算算法的最坏情况时间复杂性来评估。
常用的时间复杂性评估标准有“大O记法”，即用一个函数来描述算法运行时间与输入规模的关系，通常情况下我们希望算法的时间复杂度尽可能低。
2. 空间复杂性：空间复杂性是指算法所需的存储空间的数量和增长率。
它可以通过计算算法所需的最大存储空间来评估。
与时间复杂性类似，我们通常希望算法的空间复杂度尽可能低。
第一讲计算复杂性理论精品PPT课件
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
计算量的表示法: 上界值表示法
O記号：(Big O Notation)
•定義: O(f(n)) 读作order f(n), 或阶 f(n)
即： g(n)=O(f(n))
–表示对于任意定数c 和 m，以及对所有 n＞m， 有下式成立：
g(n)＜ cf(n)
计算量的表示法——例
n２+1000n→O(n２)
第一讲： 计算复杂性理论 (Complexity Theory)
计算量的概念 计算量的表示 算法与计算量 计算复杂性 影响计算复杂性的因素
优化问题及其计算的复杂性
例：
组合优化问题：
１ 3 9
2 4 0
3 5 1
4 6 2
5 7 3
組合数虽然有限，但因其数量太多，寻找最优解很难。
背包问题（knapsack problem）：
计算量的膨胀(1)
10行×10列棋盘上米粒的数量
（第1格内放1粒米，以后每格顺次增加1倍……)
格序号
米粒数
重量 (kg)
1
1
2.0×10-5
9
256
5.1×10-3
18
131072
2.6×100
27
67108864
1.3×103
36
34359738368
6.9 ×105
45
17592186044416
計算量(2)
｛a1, a2,..., an｝：n個整数
Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. n-1 steps → O(n)算法.
“管理运筹学”教学大纲
“管理运筹学”教学大纲一、课程简介“管理运筹学”是一门研究企业管理中决策与优化问题的课程。
本课程旨在让学生掌握运筹学的基本理论和方法，学会运用运筹学工具解决企业管理中的实际问题，提高决策效率和创新能力。
二、课程目标1、掌握运筹学的基本概念和原理，了解运筹学在企业管理中的应用。
2、掌握线性规划、整数规划、动态规划等常用运筹学方法，能够运用相关软件进行求解和分析。
3、理解运筹学在决策分析、资源优化配置、风险管理等方面的应用，能够运用运筹学方法解决实际问题。
4、培养学生的创新思维和综合分析能力，提高其在实际工作中运用运筹学的能力。
三、课程内容1、运筹学概述：介绍运筹学的定义、发展历程和应用领域，阐述运筹学在企业管理中的重要性。
2、线性规划：介绍线性规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解线性规划在生产计划、资源分配等问题中的应用。
3、整数规划：介绍整数规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解整数规划在排班安排、仓库管理等问题中的应用。
4、动态规划：介绍动态规划的基本概念、数学模型、求解方法和实际应用，重点讲解动态规划在最优路径选择、生产策略制定等问题中的应用。
5、决策分析：介绍决策分析的基本概念和方法，包括风险决策、不确定决策和多目标决策等，重点讲解如何运用运筹学方法进行决策分析。
6、资源优化配置：介绍资源优化配置的基本概念和方法，包括供应链优化、库存管理和排班安排等，重点讲解如何运用运筹学方法进行资源优化配置。
7、风险管理：介绍风险管理的基本概念和方法，包括风险识别、评估和控制等，重点讲解如何运用运筹学方法进行风险管理。
本课程总计36学时，分为理论授课和实践操作两个环节。
理论授课主要讲解运筹学的基本理论和常用方法，实践操作则通过案例分析和软件操作等方式加深学生对运筹学应用的理解和实践能力。
具体安排如下：1、理论授课：32学时，每周2学时，共16周。
2、实践操作：4学时，集中安排在学期末进行。
运筹学基础及应用难吗
运筹学基础及应用难吗运筹学是一门交叉学科，结合了数学、统计学和信息技术等多个领域的知识，用于解决有关决策和优化问题的学科，包括问题建模、模型求解、决策分析等内容。
运筹学基础及应用的难易程度因人而异，但总体上可以说是具有一定难度。
从基础来看，学习运筹学需要具备一定的数学基础，包括线性代数、概率论和数理统计等知识。
此外，对于一些高级领域，如整数规划、动态规划和随机规划等，还需要了解相关的数学理论和方法。
因此，对于没有接受过较为系统的数学培训或数学基础较差的人来说，运筹学基础会稍显困难。
另外，运筹学应用的难度也存在一定的挑战。
运筹学的应用场景广泛，涉及到生产调度、物流配送、资源分配、网络优化等方面，这些问题往往具有高复杂性和多变性。
在实际应用中，对问题的建模和求解往往需要综合考虑多个因素，如约束条件、目标函数、可行解空间等等，需要具备较强的逻辑思维和抽象能力。
另外一个挑战是运筹学应用中的数据处理和计算技术。
现代的数据规模庞大，传统的解析方法和算法已经无法处理了。
因此，运筹学的应用也需要掌握一些高级的数学建模技巧和计算方法，如整数规划的分支定界算法、混合整数规划的启发式算法等等。
此外，对于一些复杂的实际问题，还需要掌握一些高级的计算工具和软件，如线性规划软件和求解器等。
然而，虽然运筹学的基础和应用难度较高，但它也具有广泛的应用前景和重要的实际意义。
运筹学的方法和工具可以帮助企业和组织做出更合理、更科学的决策，优化资源和流程，降低成本，提高效率。
在现代社会中，各个行业都面临着日益复杂的经济环境和管理挑战，因此对于运筹学人才的需求也越来越高。
总结来说，运筹学基础及应用在某些程度上是具有一定难度的。
它需要具备一定的数学基础和计算能力，同时还需要具备较强的逻辑思维和抽象能力。
然而，对于有兴趣和热情的人来说，通过系统学习和实践，往往能够掌握运筹学的核心理论和方法，并在实际应用中取得良好的效果。
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ar1x1+ar2x2=br A
C p
X(i+1) Xi
l1
l B
图3 从{X（i），Ei}得到{X（i+1），Ei+1}的过程
（3）用上述办法做出来的一系列椭圆有下面的关系：
Ei+1的面积=CEi的面积，其中0〈 C〈1，且
• Хачьян算法虽然是多项式算法，为什麽解具体问 题并不十分有效？而且远不如单纯形法？
• 解决问题的途径：
A . 走 Хачьян的路，继续进行改进——试图寻找与 L无关的强多项式算法；
B . 改造单纯形法，试图使之成为好算法。
比如：设计各种行列法则，以寻求到达最优 点的最短路；
二、Karmarkar算法
4、Karmarkar算法的基本步骤
（略）
5、简单的算法分析和算法评价
计算复杂性为O(n4L2)， 若采用某些技巧则可达到O(n3.5L2)。
（1）'
为了书写简洁,总可以将(1)'写为下面的形式:
aiX≤bi i=1,2,…,m
(2)
其中,ai是系数矩阵的第i个行向量ai=(ai1,ai2,…, ain),bi是右端向量的第i个分量.
Хачьян证明了如果整系数不等式组 aiX<bi+2*2-L i=1,…,m (3)有 解,则整系数不等式组(2)也有解。其中，
这个著名的例子是：
max Z xd
x1 r1
s.t
.
x1 xj
s1 1
x j1
rj
0
x
j
x j1
sj
1
j 2,3 d
x
j
,
r j
,
s
j
0
j 1, , d
X3
图 3
三
维
立
方
体
及 其
x2
摄
动
x1
那麽，能否找到一种解LP的多项式算法？
1979年春，前苏联科学家Хачьян（ L.G.khachian）证明了：
AX≥b
X≥0
YA≤C （1）
Y≥0
CX≤Yb
若已求得（1）的一个最优解（X*，Y*），则 X*就是（L）问题的一个最优解。若（1）无解， 则问题（L）没有最优解。所以，求LP问题的最 优解可以转化为求解线性不等式组（1）。而不 等式组（1）总可以改写成如下形式：
AX≤-b -X≤0 YA≤C -Y≤0 CX-Yb≤0
L
m i 1
n
log2 (
j 1
aij
1)
m i 1
log2 (bi 1)
l og2
nm
1（4）
L大致等于把不等式组（2）的所有系数都化 为二进制数时的位数，称L为问题（2）的输入 长度，可大体上说明问题（2）的规模大小。
综上，求解LP（L）可以转化成求解不等式组：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
P 0R
①的解集合在圆 ≤X2L内的部分
P的面积至少是 2-（n+1）L。
Хачьян算法也是一种迭代算法，
在迭代过程中的每一个阶段都有一个以某一 个点Xi为中心的椭圆Ei，第一个椭圆E1就是圆
X≤2L ，它的中心X（1）是原点，迭代过程就 是从{X（1），E1}得到{X（2），E2}，…，其特 点是，事先可以肯定：最多迭代6n2L次。
(4)梯度投影
整个算法就等于对势函数f实行梯度投影法。
3、Karmarkar算法的基本思想
给定可行域（超凸多面体）P的一个内点 a=(a1,…,an)T,即a∈P,且a>0,首先通过一个投 影变换把P和a分别变成S和a‘,使a’是S的中 心,而且以a‘为中心包含S的最小球的半径与 以a’为中心包含在P‘中的最大球的半径之比 为O(n),然后在变换之后的以a’为心的球上, 求得LP的解为b’,接着利用投影变换把b'返回 到原决策空间中去.
ar1x1+ar2x2≥br ②
利用②来构造新的椭圆：
第一步，过椭圆的中心X（i）画一条直线l与直线
ar1x1+ar2x2=br平行，就把椭圆Ei分成了两个 “半椭圆”，设与Ei交于A、B两点。 第二步，再画直线l1 与l平行,且与椭圆Ei相切。要 求l1和l要在直线ar1x1+ar2x2=br的两侧，设l1 与 Ei相切于C点。 第三步，作椭圆Ei+1，满足： 经过A、B、C三个点；
2、OR对计算复杂性产生极大影响
最突出的就是80年代以来产生的哈奇 扬（Хачьян）算法和卡马卡 （Karmarkar）算法。
二、椭球算法
1、问题的提出
1947年Dantzig创立了单纯形法 1972年，V．Klee & G.Minty构 造了一个反例,它含有n个变量,m=2n 个不等式约束,若用单纯形法求解,必 须检验约束条件中不等式组所确定的 凸多面体的所有顶点,才能获得最优解, 计算次数等于2n -1,因此说明了单纯 形法不是“好算法”!
n
f(X)
f (X,c)
nlog 2
cX
l
og 2
x j
j 1
(3)投影变换
S到S的投影变换T: X'=D-1X / eTD-1X 或
x' i
xi
/
xk i
n
, i 1, , n
xj
/
xk j
j 1
1
xk 1
其中 D=
xk 2
,
xk n
xk 1
D1
1
xk 2
1
xk n
（1）n=2时，严格不等式组为
ai1x1+ai2x2〈 bi i=1，…，m 其解集合为若干个半平面的公共部分。
用 X表示原点（0，0）与点X=（x1，x2）之
间的距离，即 X=
x2 ， x而2
1
2
≤R代X表以原点
为圆心，R为半径的圆。
可以证明，如果①有解，则在圆 ≤X2L内一定有 ①的解，且①的解集合在圆≤2L内的部分P的面 积至少是 2-（n+1）L。
a21
x1
a22
x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
（*）
4、Хачьян(哈奇扬)算法的计算步骤 5、Хачьян(哈奇扬)算法的几何解释
作一个椭球，将可行域所有顶点包 住，看球心是否在可行域内部？如果不 是，用分离定理作超平面，再作一个缩 小了的椭球，把问题化为一个不等式组 是否有解的问题。
LP有一个多项式时间算法！
其结果建立在其他数学工作者关于 NLP工作的基础上,方法与以前解决LP的 途径截然不同,几乎完全不管LP的组合性 质.
2、椭球算法的思想
Хачьян首先提出了将求LP最优解归结为 解严格不等式组的问题,解不等式组的多项式 算法也是一种迭代算法,迭代的每一步都要产 生一个点X(K)和以该点为中心的一个椭球 EK=(X(K),BK),其中BK是与第K个椭球方程
专题二 《计算复杂性和运筹学》
1、OR是计算复杂性的生成基础
从计算复杂性发展历史来看：
第一阶段——从形式语言→形式语言 类的理论
第二阶段——1971年 COOK在逻辑、 递归理论的研究中发现了NP完全类， 证明了适定性问题是NP完备的。
第三阶段——从事OR研究的Karp在网络、 组合优化方面颇有建树，在研究了判断逻 辑表达式伪真的证明后，发现OR中（比 如组合优化中）就有很多NP完全类，从 而提供了计算复杂性理论的生成基础。
（L为输入长度，n为未知数个数，本例中 n=2），如果迭代了6n2L次还没有找到① 的解，就可以判定①一定没有解。
（2）从{X（i），Ei}得到{X（i+1），Ei+1}的过程：
首先将X（i）代入不等式组①中去试验，看 是否满足，是，则X（i）就是①的解，计算停 止。
若不是，将X（i）=（x1（i），x2（i））代入 ①中，至少有一个不等式不成立，不妨设为 第r个，则有
n
无效！但是人们发现，加上 logxj 函数，能 j 1
改变方向进入内部，若能克服步长太小走得太 慢的问题，把方向对准，步长加大，就有可能 得到改善。
另外, 如果约束条件很多，接近一个球，而把 初始点放在球心，则一步就可以到达最优点，因 此可以想办法把约束条件规范化。
Karmarkar的贡献
1、找到了一种将约束标准化的投影变换； 2、定义了一个势函数 –logxj ；
两者相结合生成一种新算法！
2、一些基本概念和重要结果
（1）Karmarkar 标准型 假设 ①目标函数的最小值Z*=0； ②R=Ω∩S≠Φ，单纯形S的中心
X0=（1，1，…1）T/n =e/n ∈R使得AX0=0；
③给定精度2-q，若找到了可行解X*，使得
CX*≤2 - qCX0，则停止计算，X*就是最优解。
C （e n2(为n11不) 等式组中未知数的个数）
每一个Ei都包含解集合在圆 ≤X2L的部分P。
（4）综上，可以证明这种迭代方法最多只要进 行6n2L次，其计算复杂性为O（6n2L2）。
6、对椭球算法的评价
（1）是理论上的重大突破；
解决了LP理论上一个长期悬而未决的 问题——是否存在解LP的多项式算法？ （2）由此提出了许多新的研究课题 • 单纯形法不是多项式算法，为什麽用于解具体 的LP却很有效？ Smale从概率论角度证明 了单纯形法所需的计算步数的概率平均为O(m)， 从而对算法分析产生深远影响。
1、问题的提出
有无可能从目前的初始可行解通过可行域内
部到达最优点，而不要先到边界上去？