算法与计算复杂性理论复习提要
复习提纲：算法与数据结构
1、算法的概念是为了解决某类问题而规定的一个有限长的操作序列。
特性：①有穷性②确定性③可行性④输入⑤输出评价标准：①正确性②可读性③健壮性④高效性2、算法的复杂度: 算法计算量所需资源的大小时间复杂度：T(n)=O(f(n)),他表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的时间复杂度空间复杂度：S（n）=O（f（n）），算法所需空间的度量。
3、数据结构中的逻辑结构分为：线性和非线性结构4、线性表的两种存储方式：顺序存储和链式存储的特点及比较。
顺序存储：指用一组地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素链式存储：用一组任意的存储单元存储线性表的数据元素。
5、线性表的特点①存在唯一的一个被称作“第一个”的数据元素②存在唯一的一个被称作“最后一个”的数据元素③除第一个之外，结构中的每一个数据元素均只有一个前驱④除最后一个之外，结构中的每一个数据元素均只有一个后继6、在长度为n的顺序表中的第i个位置处插入一个元素，需要移动多少个元素？n-i+17、理解算法：线性表La和Lb，将两个表合并成一个新的线性表并存于La中。
8、带头结点的单链表和不带头结点的单链表为空的条件分别是？带头结点的循环单链表为空的条件是？带头结点的单链表为空的条件：没有下一个节点L->next=NULL不带头结点的单链表为空的条件：L=NULL循环单链表为空的条件：head->next=head带头结点的循环单链表为空的条件是9、在单链表中插入结点的算法中，指针如何修改。
P3410、理解单链表中插入新结点的算法p3411、理解双向链表中插入新结点的算法p4012、理解栈和队列的操作特点：先进后出，先进先出。
已知进栈顺序，求可能的出栈顺序。
链栈相对于顺序栈的优点是什么?链栈在入栈前不需要判断栈是否为满，只需要为入栈元素动态分配一个节点空间13、理解算法：执行进栈操作，则先要判断栈S是否为满，若不满再将记录栈顶的下标变量top加1，再将进栈元素放进栈顶位置上。
最新计算机算法设计与分析期末复习资料
一填空题（20x1=20分）1.当设定的问题有多种算法去解决时，其选择算法的主要原则是选择其中复杂性最低者。
2.用函数自身给出定义的函数是一种递归函数。
3.动态规划算法适用于解最优化问题。
4.贪心算法的两个基本要素是最优子结构性质、贪心选择性质。
5.回溯法在搜索解空间树的时候，为了避免无效搜索，通常使用深度优先手段来提高搜索效率。
6.依据求解目标的不同，分支界限法和回溯法分别用广度优先遍历或者最小耗费优先、深度优先的方式搜索解空间树。
7.分支界限法和回溯法主要区别在于求解目标和搜索方式不同。
8.在分支界限法实现的时候，通常采用方式来实现最大优先队列。
9.依据求解所花费的时间和所得到的结果不同，随机化算法大致分为数值随机化算法、蒙特卡罗算法、拉斯维加斯算法和舍伍德算法四类。
10.产生伪随机数最常用的方法是线性同余法。
11.线性规划算法中转轴变化的目的是将入基变量与离基变量互调位置。
12.最大网络流问题中可增广路是残留网络中一条容量大于0的路。
13.待解决问题适用于动态规划法的两个基本要素是。
14.算法必须满足的四个特征是输入、输出、确定性、有限性。
15.算法复杂性依赖于、、三个方面的复杂因素。
16.实现递归调用的关键是17.动态规划算法求解问题的重要线索是问题的性质。
18.最优子结构性质是贪心算法求解问题的关键特征。
19.分支界限法的求解目标是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
20.问题的解空间树常见的有子集树、排列树两种类型。
21.分支界限算法依据其从和节点表中选择获得下一扩展节点的不同方式被分为22.对于任何约束标准型线性规划问题，只要将所用分基本变量都设置为0，就可以获得一个解。
二判断题（20x1=20分）1.算法的描述方式有自然语言、程序语言，或者两者相结合的形式。
（）2.算法满足的特性有哪些，程序有什么特征，而这有什么关系。
3.算法复杂度越高或者越低与占用计算机资源的关系是什么。
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O(1)Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。
算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。
如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。
此类算法的时间复杂度是O(1)。
O(n^2)2.1. 交换i和j的内容sum=0；（一次）for(i=1;i<=n;i++) （n次）for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）sum++；（n^2次）解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)2.2.for (i=1;i<n;i++){y=y+1; ①for (j=0;j<=(2*n);j++)x++; ②}解：语句1的频度是n-1语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2). O(n)2.3.a=0;b=1; ①for (i=1;i<=n;i++) ②{s=a+b;③b=a;④a=s;⑤}解：语句1的频度：2,语句2的频度：n,语句3的频度：n-1,语句4的频度：n-1,语句5的频度：n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).O(log2n )2.4.i=1; ①while (i<=n)i=i*2; ②解：语句1的频度是1,设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n取最大值f(n)= log2n,T(n)=O(log2n )O(n^3)2.5.for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<i;j++){for(k=0;k<j;k++)x=x+2;}}解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。
第5章 算法与复杂性
5.7 可计算性理论基础
研究计算的可行性和函数算法的理论，又称算法 理论，是算法设计与分析的基础，也是计算机科 学的理论基础。可计算性是函数的一个特性。
5.8 NP问题
NP(Non-deterministic Polynomial)问题是非确定性多 项式问题，是指算法无法直接计算出结果，只能通过进 行一些有选择的“猜算”来得到结果。 NP问题的研究结果有两种可能： 一种是找到了求解问题的算法； 另一种就是求解问题的算法是不存在的，那么就要从数
钥，通常有两个密钥，称为“公钥”和“私钥”，它 们两个必须配对使用，否则不能打开加密文件。
5.10 加密算法
常见加密算法有如下： (1)DES(Data Encryption Standard)：数据加密标准，速 度较快，适用于加密大量数据的场合。 (2)3DES(Triple DES)：是基于DES，对一块数据用3个不 同的密钥进行3次加密，强度更高； (3)RC2和RC4：用变长密钥对大量数据进行加密，比DES 快。 (4)IDEA(International Data Encryption Algorithm)国 际数据加密算法，使用128位密钥提供非常强的安全性。 (5)RSA：由RSA公司发明，是一个支持变长密钥的公共密 钥算法，需要加密的文件块的长度也是可变的。 (6)DSA(Digital Signature Algorithm)：数字签名算法， 是一种标准的DSS(数字签名标准)。
第一讲：计算复杂性理论
大多数研究者认可 的包容关系
L m
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型2
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型3。
计算复杂度的影响因素
建模假设 例：高空抛球的运动轨迹。 ----抛物线模型 假设1.没有空气阻力； 假设2.地面是平面。 ----椭圆模型
计算复杂度的影响因素
探索空间1 探索空间1---解的近似度、满意度
例：0—10之间的整数解：1-9共9个可行解（一维） 0—10之间的实数解：精确到小数点后6位 共有107个可行解（一维）； 107n个可行解（n维）
n! 10141世紀 → 10120世紀 102551世紀 → 102530世紀
问题与算法
每个問題都可能有多个算法存在． 每个算法的计算量（速度）都不同。 例： 赝品金币問題： 问题：9個外观完全一样的金币.，有一个是假的 （重量轻）． 提问：用天秤来鉴别真伪，天秤需要使用几次？
贋品金币問題算法 問題算法
优化技术与方法
計算量(1) 計算量
＋,－,×,÷ 比較：≠，≤，≥，＜，＞ 5种基本演算都是用1step 可以实现. 実際上,×比＋多占用時間. 「四舍五入」不算基本演算.
計算量(2) 計算量
｛a1, a2,..., an｝：n個整数 Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. 1 + +a n-1 steps → O(n)算法. Q2. 求和（2）： (1) 2×a1+･･･+ 2×an , 2n-1 steps→ O(n)算法. (2) 2×(a1+･･･+an) , n steps→ O(n)算法.
尚未确信能否用多項式時間算法求解的问题的 集合称为NP （non-deterministic polynomial）问题 某一个问题不属于NP问题的証明 如能够找到一个多項式時間算法 （簡単） 某一个问题属于NP问题的証明 可以归结为某一类既知的NP类问题（现阶段7类））
计算理论复杂性理论基础知识
计算理论复杂性理论基础知识计算理论复杂性是计算机科学中一项重要的研究领域，旨在研究计算问题的解决难度和算法的效率。
本文将介绍计算理论复杂性的基础知识，包括问题的分类、计算模型和基本概念。
一、问题的分类在计算理论复杂性中，问题可以分为两类：P类问题和NP类问题。
P类问题是可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是可以在多项式时间内验证解的问题。
P类问题是计算理论中研究的主要对象，它代表了计算机科学界能够有效解决的问题。
例如，求两个数的和、排序问题等都属于P类问题。
NP类问题则代表了计算机科学界尚未找到高效解决方法的问题，它所包含的解的搜索空间非常大。
例如，旅行推销员问题、图着色问题等都属于NP类问题。
虽然目前还没有找到多项式时间内解决NP类问题的方法，但可以通过验证一个解是否正确来验证解的正确性。
二、计算模型计算理论复杂性研究中使用的计算模型主要有图灵机、非确定有限自动机和布尔电路模型。
图灵机是计算理论中最经典的计算模型之一，它由带有读写头的无限长纸带和一系列状态转移规则构成，可以模拟所有现代计算机的功能。
非确定有限自动机是另一种计算模型，它是图灵机的一种简化形式，特点是能够在某个状态下拥有多个可能的转移选项。
布尔电路模型是计算理论复杂性研究中较为特殊的一种计算模型，它通过使用与门、或门和非门等基本逻辑门来构建复杂的逻辑电路，从而解决特定的计算问题。
三、基本概念在计算理论复杂性研究中，有一些基本概念是必须了解的，包括计算问题的规模、算法的时间复杂度和空间复杂度等。
计算问题的规模指的是问题输入的大小。
例如，排序问题的规模可以是待排序数组的长度。
算法的时间复杂度是衡量算法执行所需时间的度量，通常用大O符号表示。
时间复杂度越低，表示算法的效率越高。
算法的空间复杂度是衡量算法所需内存空间的度量，也用大O符号表示。
空间复杂度越低，表示算法的内存利用率越高。
此外，还有一些复杂性理论中的重要问题，如P=NP问题、NP完全问题等，这些问题都是该领域中的研究热点。
计算机科学中的计算复杂性理论
计算机科学中的计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中的一个重要分支，研究的是计算问题的算法复杂性和计算机问题的可解性。
它帮助我们理解计算问题是否有高效的解决方法，为设计和分析算法提供了基础。
一、引言计算复杂性理论涉及到算法的效率和计算问题的可解性，对计算机科学和信息技术具有重要意义。
本文将首先介绍计算复杂性理论的起源和发展，然后重点讨论几个计算复杂性理论中的重要概念和问题。
二、计算复杂性理论的起源和发展计算复杂性理论起源于20世纪60年代，由对计算问题的可解性进行研究逐渐演化而来。
该理论的研究者，如图灵奖得主阿隆佐·邱奇、史蒂芬·库克等，提出了多个理论模型和概念，奠定了计算复杂性理论的基础。
三、计算复杂性理论的重要概念1. P问题和NP问题在计算复杂性理论中，P问题指的是可以在多项式时间内解决的问题，而NP问题则是指可以在多项式时间内验证给定解是否正确的问题。
其中，P问题是NP问题的一个子集，即P⊆NP。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个重要概念。
一个问题是NP完全的，意味着它是NP问题中最难的一类。
如果我们能够找到一个多项式时间内解决NP完全问题的算法，那么可以得出P = NP的结论，这是计算机科学中的一个重大问题。
3. 计算复杂性度量计算复杂性理论通过引入时间复杂性和空间复杂性度量来衡量算法的效率。
其中，时间复杂性度量算法执行所需的时间步数，空间复杂性度量算法所需的存储空间。
这些度量帮助我们选择具有高效率的算法，提高计算问题的解决速度。
四、计算复杂性问题的研究方法计算复杂性理论研究问题的方法主要有两种：证明方法和求解方法。
证明方法通过证明某个问题是NP完全的来研究问题难度；而求解方法则是通过设计高效的算法来解决问题。
1. 证明方法证明方法是计算复杂性理论中常用的方法之一，它使用约简技术将一个已知的NP完全问题转化为待研究问题，从而证明待研究问题也是NP完全的。
算法分析与复杂性理论
算法分析与复杂性理论算法是计算机科学中的重要概念，它是解决问题的一系列步骤或指令。
但是，并不是所有的算法都一样效率高，因此我们需要进行算法分析来评估算法的性能。
同时，复杂性理论则是用来研究算法在不同规模下的复杂性和可解性。
本文将深入探讨算法分析与复杂性理论的相关概念和方法。
一、算法分析算法分析是评估算法性能的过程，我们通常关注算法的时间复杂度和空间复杂度。
1. 时间复杂度时间复杂度表示算法解决问题所需的时间资源。
在进行时间复杂度分析时，一般会考虑最坏情况下的所需时间。
常见的时间复杂度有常数时间O(1)，线性时间O(n)，对数时间O(log n)，平方时间O(n^2)等。
2. 空间复杂度空间复杂度表示算法解决问题所需的空间资源。
与时间复杂度类似，我们通常考虑最坏情况下的所需空间。
常见的空间复杂度有常数空间O(1)，线性空间O(n)，对数空间O(log n)，平方空间O(n^2)等。
二、复杂性理论复杂性理论是研究算法在不同规模下的复杂性和可解性的学科领域。
1. NP问题NP（Nondeterministic Polynomial）问题是指可以在多项式时间内验证解答是否正确的问题。
这意味着如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们也可以在多项式时间内验证该解答是否正确。
然而，尚未找到高效的算法来解决NP问题。
2. P问题P（Polynomial）问题是指可以在多项式时间内解决的问题。
也就是说，存在一个算法可以在多项式时间内找到问题的解答。
3. NP完全问题NP完全问题是指既属于NP问题，又属于最难的NP问题。
如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们可以在多项式时间内解决所有的NP问题。
目前，还没有找到高效的算法来解决NP完全问题。
三、算法优化为了提高算法的效率，我们可以进行算法优化。
常用的算法优化方法包括贪心算法、动态规划、分治法等。
1. 贪心算法贪心算法是一种每次都选择当前最优解的策略。
计算复杂性理论总结报告
人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心 1计算复杂性理论总结报告一、 图灵机(1) 图灵机基本模型图灵机是山图灵(Alan Mathisom Turing)在1936年提出的，它是一个通用的计算 模型。
通过图灵机，来研究递归可枚举集和部分递归函数，对算法和可计算性进行研究 提供了形式化描述工具。
图灵机的基本模型包括一个有穷控制器，一条含有无数个带方格的输入带和一个读 写头。
其直观物理模型如下图1所示。
基本图灵动作有以下三种：(1) 改写被扫描带方格内容，控制器转化为下一状态。
(2) 读写头向左移一个带方格，控制器转化为下一状态。
(3) 读写头向左移一个带方格，控制器转化为下一状态。
图1图灵机(2) 图灵机形式化定义，图灵机演算过程及语言描述定义：一个基本图灵机定义为一个七元组TM={Q,C,6,A.B,ql,F)o 其中Q 是状态集合，(图灵机所有的状态)非空有限集；C 是带符号表，(放在带方格中的符号集合)非空集；6是控制函数或过程转换函数(定义控制器)6： QxCTQxCU (R.L)； A 是输入字母表，ACC ；B 是空白符，BGC ：ql 是初始状态，qlSQ ；F 是终态集，F £ Q.TM 的扫描符号串主要山6来确定：(1)5 (q, s)二(q‘，s'); (2)8 (q, s) =(q* , R); (3)8 (q, s) =(q* , L); (4) 6 (q, s)无效，对应无定义时图灵机终止。
TM 的工作用“格局”的转换来描述。
格局：6 ala2a3...aj-lqajaj+l...其中 qWQ, aiGC ；帯(1)若8 (q, ai)无定义，称o为停机格局；(2)若qEF,称o为接受格局；人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心__(3) 若q为初始状态，称o为初始格局;格局O到格局T的转换a 卜mt 若成立go 1 |~mlo2 卜m2。
计算理论计算复杂性ppt课件
3cnf: 每个子句文字数不大于3, 2cnf: 每个子句文字数不大于2
可满足问题SAT
• 可满足性问题: SAT = { <> | 是可满足的布尔公式 }
• 思想: 将字符串对应到布尔公式 利用接受的形式定义.
• 过程: 任取ANP, 设N是A的nk时间NTM. w(|w|=n), N接受w
N有长度小于nk的接受格局序列 能填好N在w上的画面(一个nknk表格) f(w)可满足 • 结论: SAT是NP完全的
N接受w能填好N在w上的画面
# q0 w0 w1 … wn #
2)若0,1都在带上,重复以下步骤. O(n)
3) 检查带上0,1总数的奇偶性,
若是奇数,就拒绝.
O(n) log n
4) 再次扫描带,
第1个0开始,隔1个0删除1个0; O(n)
第1个1开始,隔1个1删除1个1.
总时间:
5)若带上同时没有0和1,则接受. O(n) O(nlogn)
否则拒绝.”
{0k1k|k0}TIME(nlogn)
快速验证
HP = {<G,s,t>|G是包含从s到t的 哈密顿路径的有向图}
CLIQUE={<G,k>|G是有k团的无向图} 目前没有快速算法,但其成员是可以快速验证的. 注意:HP的补可能不是可以快速验证的. 快速验证的特点: 1. 只需要对语言中的串能快速验证. 2. 验证需要借助额外的信息:证书,身份证.
• 二元可满足性问题: 2SAT = { <> | 是可满足的2cnf }
算法设计与分析复习题整理（1）
算法设计与分析复习题整理（1）一、基本题：算法：1、程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
2、算法就是一组有穷的序列(规则) ，它们规定了解决某一特定类型问题的一系列运算。
3、算法的复杂性是算法效率的度量，是评价算法优劣的重要依据。
4、算法的“确定性”指的是组成算法的每条指令是清晰的，无歧义的。
5、算法满足的性质：输入、输出、确定性、有限性。
6、衡量一个算法好坏的标准是时间复杂度低。
7、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂性和空间复杂性。
8、任何可用计算机求解的问题所需的时间都与其规模有关。
递归与分治：9、递归与分治算法应满足条件：最优子结构性质与子问题独立。
10、分治法的基本思想是首先将待求解问题分解成若干子问题。
11、边界条件与递归方程是递归函数的两个要素。
12、从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的程序一般是递归算法。
13、将一个难以直接解决的大问题，分解成一些规模较小的相同问题，以便各个击破。
这属于分治法的解决方法。
14、Strassen矩阵乘法是利用分治策略实现的算法。
15、大整数乘积算法是用分治法来设计的。
16、二分搜索算法是利用分治策略实现的算法。
动态规划：17、动态规划算法的两个基本要素是最优子结构性质和重叠子问题性质。
18、下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是动态规划法。
19、备忘录方法是动态规划算法的变形。
20、最优子结构性质是贪心算法与动态规划算法的共同点。
21、解决0/1背包问题可以使用动态规划、回溯法，其中不需要排序的是动态规划，需要排序的是回溯法。
贪心算法：22、贪心算法总是做出在当前看来最好的选择。
也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解。
23、最优子结构性质是贪心算法与动态规划算法的共同点。
24、背包问题的贪心算法所需的计算时间为 O(nlogn) 。
回溯法：25、回溯法中的解空间树结构通常有两种，分别是子集树和排列树。
计算机算法复杂性理论
计算机算法复杂性理论计算机算法复杂性理论是计算机科学的重要分支之一，着重研究算法在解决问题时所需的计算资源的使用情况。
通过对算法的复杂性进行分析，可以评估算法解决实际问题的效率和可行性，并提供指导原则来选择合适的算法。
一、算法复杂性的定义和表达方式算法复杂性理论主要关注算法在最坏情况下的行为，而不是其平均行为。
为了研究算法的复杂性，一般采用大O表示法来表示算法的运行时间或空间消耗。
大O表示法给出了算法运行时间或空间消耗与问题规模的增长趋势。
例如，如果一个算法的运行时间为O(n)，表示算法的运行时间随问题规模的增加而线性增长。
二、算法复杂性的分类常见的算法复杂性分类包括时间复杂性和空间复杂性。
1. 时间复杂性时间复杂性是衡量算法运行时间消耗的指标。
常见的时间复杂性包括：- O(1)：常数时间复杂性，表示算法的运行时间不随问题规模的增加而增加。
- O(log n)：对数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加而增加，但增长速度相对较慢。
- O(n)：线性时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成线性增长。
- O(nlog n)：线性对数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成线性对数增长。
- O(n^k)：多项式时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成多项式增长。
- O(2^n)：指数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成指数增长。
2. 空间复杂性空间复杂性是衡量算法空间资源消耗的指标。
常见的空间复杂性与时间复杂性类似，也使用大O表示法来表示。
三、算法复杂性的分析方法算法的复杂性分析可以通过以下几种方法进行。
1. 渐进分析渐进分析是最常用的算法复杂性分析方法，通过关注算法在问题规模无限增长时的行为来评估其复杂性。
渐进分析的关键是确定算法运行时间或空间消耗的增长趋势。
2. 最坏情况分析最坏情况分析是一种悲观的算法复杂性评估方法，认为算法在最坏情况下的表现是最能代表其复杂性的。
如何进行算法分析和复杂性分析
如何进行算法分析和复杂性分析算法分析和复杂性分析是计算机科学中非常重要的一部分，它们帮助我们评估和理解算法的效率和性能。
本文将介绍算法分析和复杂性分析的概念、方法和常见的计算复杂性类别。
一、算法分析算法分析是对算法性能的评估和比较。
它提供了对算法资源使用情况的度量，例如时间复杂性和空间复杂性。
1.时间复杂性：时间复杂性是算法运行时间相对于输入规模的度量。
我们通常关注最坏情况下的运行时间，即最长时间。
常用的表示方式有大O表示法。
例如，如果一个算法的时间复杂度是O(n)，表示算法的运行时间与输入规模n成正比。
当n变大时，运行时间也会相应增长，但增长的速度是线性的。
2.空间复杂性：空间复杂性是算法运行时所需的额外内存的度量。
同样，通常关注最坏情况下的额外内存使用。
也可以使用大O表示法表示空间复杂性。
算法分析的目标是找到高效的算法来解决问题。
通过对不同算法的复杂性进行度量和比较，我们可以选择最适合特定问题的算法，或者优化现有算法以获得更好的性能。
二、复杂性分析复杂性分析是一种对问题复杂性进行分类和比较的方法。
它研究了问题的难度和所需的计算资源。
根据问题的性质和计算资源的限制，我们可以将问题分为不同的复杂性类别。
1. P类问题（多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内解决，即随着输入规模的增加，算法的运行时间以多项式速度增长。
最常见的例子是排序和搜索问题。
2. NP类问题（非确定性多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内验证解的正确性。
虽然我们目前无法在多项式时间内找到解，但一旦解被提供进来，我们可以在多项式时间内验证它们的正确性。
最著名的例子是旅行商问题和背包问题。
3. NP-完全问题（非确定性多项式完全问题）：这是一类特殊的NP问题，它被认为是NP问题中最困难的一类。
这些问题在NP类中是最难解决的，目前还没有发现多项式时间内的解决方法。
代表性的例子有布尔可满足性问题和子集和问题。
通过对问题的复杂性进行分析，我们可以确定是否存在有效的算法来解决问题，或者将问题归类为NP完全问题。
算法复习1(最新整理)
重要概念关于算法与复杂度1.算法就是一组有穷的 规则 ，它们规定了解决某一特定类型问题的 一系列运算 。
算法是解决某类问题的一系列运算的集合，算法是指解决问题的一种方法或一种过程。
程序是算法用程序设计语言的具体实现。
2.算法重要特性是什么？确定性、可行性、输入、输出、有穷性（输入、输出、确定性、有限性）3.算法分析的目的是什么？分析算法占用计算机资源的情况，对算法做出比较和评价，设计出更好的算法。
4.算法的复杂性是 算法效率 的度量，是评价算法优劣的重要依据。
算法的时间复杂性指算法中 元数据 的执行次数。
通常可以通过计算循环次数、基本操作频率、计算步。
5.计算机的资源最重要的是 时间 和 空间 资源。
因而，算法的复杂性有 时间复杂度和 空间复杂度 之分。
6.设D n 表示大小为n 的输入集合，t(I)表示输入为I 时算法的运算时间, p(I)表示输入I出现的概率，则算法的平均情况下时间复杂性A(n)=∑∈n D I I t I p )()( 。
7.分治算法的时间复杂性常常满足如下形式的递归方程： ⎩⎨⎧>+===00n n ,g(n)af(n/c)f(n)n n ,d )n (f 其中，g(n)表示将规模为n 的问题分解为子问题以及组合相应的子问题的解所需的时间 。
7、算法的时间复杂性与问题的什么因素相关？算法的时间复杂性与问题的规模相关，是问题大小n 的函数。
8、算法的渐进时间复杂性的含义？当问题的规模n 趋向无穷大时，影响算法效率的重要因素是T(n)的数量级，而其他因素仅是使时间复杂度相差常数倍，因此可以用T(n)的数量级(阶)评价算法。
时间复杂度T(n)的数量级(阶)称为渐进时间复杂性。
9、最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性有什么不同？最坏情况下的时间复杂性和平均时间复杂性考察的是n 固定时，不同输入实例下的算法所耗时间。
最坏情况下的时间复杂性取的输入实例中最大的时间复杂度：W(n) = max{ T(n ，I) } , I ∈Dn平均时间复杂性是所有输入实例的处理时间与各自概率的乘积和：A(n) =∑P(I)T(n ，I) I ∈Dn10、记号O 表示（渐进上界）， 记号表示（渐进下界）， 记号表示（紧渐进界）ΩΘ记号O 的定义正确的是O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c 和n0使得对所有n n 0有：0 f(n) cg(n) }；≥≤≤记号的定义正确的是Ω (g(n)) = { f(n) | 存在正常数c 和n0使得对所有n n 0有：0 cg(n) f(n) }；Ω≥≤≤a) 以下关于渐进记号的性质是正确的有：（A ）A.f (n)(g(n)),g(n)(h(n))f (n)(h(n))=Θ=Θ⇒=ΘB. f (n)O(g(n)),g(n)O(h(n))h(n)O(f (n))==⇒=C. O(f(n))+O(g(n)) = O(min{f(n),g(n)})D. f (n)O(g(n))g(n)O(f (n))=⇔=b)对于下列各组函数f(n)和g(n)，确定f(n)=O(g(n))或或))(()(n g n f Ω=，并简述理由。
算法复习资料
算法复习资料第一章1.可计算性理论描述那些在算法上可解的问题的特征。
定义：一个问题是算法上可解的，如果能够设计出一个计算机程序，对于该问题的任何一个输入都可以给出正确的答案。
假设所需要的计算资源（时间和存储空间）是充分大的。
2.著名的不可解例子Does the following program stop for any n? While (n > 1)If (odd(n))N = 3*n + 1 ;ElseN = n / 2;End (while)3.丘奇图灵论点：凡是可计算的函数都是一般递归函数（或都是图灵机可计算的，或都是λ演算可计算的，或都是波斯特系统可计算的）。
4.算法（非正式定义）是以一步接一步的方式来详细地描述计算机如何将输入转化为所要求的输出的过程，算法是在计算机上执行的计算过程的具体描述。
算法性质：正确性。
对于任意的一组输入，包括合理的输入与不合理的输入，总能得到预期的输出具体性。
由一系列的具体步骤所组成，每一步都能够被计算机所理解和执行，而不是抽象和模糊的概念。
确定性。
每个步骤都有确定的执行顺序，即上一步在哪里、下一步是什么，都必须明确，无二义性。
有限性。
在任何情况下，算法都不能陷入无限循环中。
5.问题定义：可计算问题（或算法可解问题）是一个需要计算执行或实现的任务。
问题的三种类型：判定性问题：这类问题的输出是给出一个是与否的判断。
例如连通性问题、回路问题、查找与排序问题以及字符串匹配等。
最优值或最优化问题：这类问题是在所有可能的解中求出最优解。
例如求函数的最大值、最短路径问题以及最小生成树问题等。
数值计算问题：这类问题是在一定的约束条件（如精度范围）下求近似解。
例如解方程组和矩阵运算等。
6.算法设计方法：分治法（Divide and Conquer）贪心法（Greedy Method）回溯法（Back Tracking）分支限界法（Branch Band）动态规划（Dynamic Programming）7.算法设计的任务有两个：第一是设计容易理解、容易编程实现且容易调试的算法；第二是使算法能够有效地使用计算机资源，减少计算机的工作量，即节省时间、空间和计算机硬件资源。
算法与程序设计复习知识点
算法与程序设计复习知识点算法与程序设计复习知识点一、算法基础1.1 算法的定义与特点1.2 算法的描述方式：伪代码、流程图1.3 算法的复杂度分析：时间复杂度、空间复杂度1.4 常见的算法设计策略：分治法、动态规划、贪心法、回溯法、分支限界法二、基本数据结构2.1 线性表：数组、链表、栈、队列2.2 树与二叉树：二叉树的遍历、线索二叉树2.3 图：图的存储方式、图的遍历算法、最短路径算法、最小树算法三、排序算法3.1 插入排序：直接插入排序、希尔排序3.2 交换排序：冒泡排序、快速排序3.3 选择排序：简单选择排序、堆排序3.4 归并排序3.5 基数排序四、查找算法4.1 顺序查找4.2 折半查找4.3 哈希查找五、字符串匹配算法5.1 朴素的模式匹配算法5.2 KMP算法5.3 Boyer-Moore算法5.4 Rabin-Karp算法六、动态规划6.1 背包问题：0-1背包、完全背包6.2 最长公共子序列问题6.3 最短路径问题七、图算法7.1 深度优先搜索（DFS）7.2 广度优先搜索（BFS）7.3 最小树算法：Prim算法、Kruskal算法7.4 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd算法7.5 拓扑排序算法附件：附件一：算法复杂度分析表附件二：常用数据结构图示法律名词及注释：1.算法：根据一定规则解决特定问题的步骤和方法。
2.伪代码：一种介于自然语言和编程语言之间的描述方式，用于表示算法的思路和流程。
3.流程图：用图形化的方式表示算法的执行流程和控制结构。
4.复杂度分析：对算法运行时间和所需空间的量化评估。
5.时间复杂度：表示算法运行时间与输入规模之间的关系。
6.空间复杂度：表示算法所需内存空间与输入规模之间的关系。
7.分治法：将原问题划分为多个相互独立且具有相同结构的子问题来求解的方法。
8.动态规划：将一个复杂问题分解为多个简单的子问题来求解，并将结果保存以供重复使用的方法。
算法设计与分析中的复杂性理论研究
算法设计与分析中的复杂性理论研究一、引言算法设计与分析中的复杂性理论研究是计算机科学领域中的一个重要分支。
它主要研究如何对不同类型的算法进行分类和评估，以便选择最优算法来解决特定的计算问题。
在计算机科学的应用领域中，对于一些需要处理大数据量或者实时响应的问题，算法设计与分析中的复杂性理论研究显得尤为重要。
二、算法复杂性的形式化定义算法复杂性是对算法计算耗时和空间占用的度量。
一个好的算法需要在最短的时间内提供最优的解决方案。
在算法复杂度的分析过程中，主要采用渐进记号法，其中O符号表示算法的上界，即最坏情况下所需的比较次数或移动次数的最大值；Ω符号表示下界，即最好情况下所需的比较次数或移动次数的最小值；θ符号表示上下界相等的情况。
三、算法时间复杂性分析算法时间复杂性分析是算法设计与分析中的重要内容，它主要关注的是算法在解决问题时所需要的时间开销。
常见的时间复杂度分类有：常数复杂度O(1)、线性复杂度O(n)、对数复杂度O(log n)、指数复杂度O(k^n)等等。
举个例子，对于搜索算法，假设需要搜索n个元素，其中一个算法的时间复杂度为O(n)，另一个算法的时间复杂度为O(log n)。
显然，后者的时间复杂度更低，因此更适合用来解决大规模搜索问题。
四、算法空间复杂性分析算法空间复杂性分析主要关注的是算法在执行过程中所需的存储空间，常见的空间复杂度分类有：常数空间复杂度O(1)、线性空间复杂度O(n)、对数空间复杂度O(log n)等等。
通常来说，一个算法的空间复杂度越低，所用内存越少，效率越高。
当然，在实际的应用中，还需要考虑计算机的硬件性能、数据存储方式、算法实现方式等因素，从而确定最优的算法和运行环境。
五、NP完全性理论在算法设计与分析中，存在一类特殊的问题，即NP完全问题。
这类问题的特点是：其解法实现很难，而验证其解答的正确性却相对较易。
NP完全问题包括：旅行商问题、背包问题、子集和问题等等。
针对NP完全问题的求解，目前并无完美的解决方案。
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2013-12-21
一、基本概念
1、说明语言类P、NP、NP-hard、NP-complete 的含义。假定P≠NP，画图表示其包含关 系。 P：指的是多项式时间可解的算法问题集合。即，P类中的每一个问题都有最坏不超过多项式 运行时间的算法。 NP： 指的是多项式时间可验证的问题类。 等价于非确定型图灵机上具有多项式运行时间的算 法问题集合。 NP-hard：指的是这样一个计算问题集合，其中的每一个问题的计算难度至少要与NP中最难 问题一样难。NP-hard问题类中的问题可以不属于NP类。 NP-complete：指的是即属于NP问题类别又是NP-hard的那些问题集合。换句话说，即是NP 中最难得那些问题组成的问题集合。 依照P=？NP，其关系图大致如下：
难的。是否由此得出任务安排问题是NP 难的? 解答： 不能得出此任务安排问题是NP难的。 此问题可多项式时间规约到图的着色问题只能证明 此问题的难度小于等于图的着色问题。除非能证明此任务安排问题不是P问题，否则不能得 出此任务安排问题是NP难的结论。
3、下面证明中所用的归约是图灵归约还是多项式归约？
2）算法中调用解决问题B算法的次数限定为多项式q(n)； 3）每一次调用解决问题B算法时，调用时的输入长度都限定为多项式r(n)。 多项式规约： 假设有两个判定问题A和B， A可多项式规约到B， 指的是存在着一个多项式计算时间的可计算 函数f，这个函数f可把问题A中的每一个实例x都转换成问题B的实例f(x)，并且满足对于任 意x， 如果x可被判定问题A对应的语言LA接受当前仅当f(x)可被判定问题B对应的语言LB接受。 联系和区别： 多项式规约是图灵规约的特殊形式。 如果将图灵规约中的两个问题限定为判定问题， 并规定 原问题算法必须调用目标问题算法一次且只调用一次，而且回答一致，即为多项式规约。他 们的一个区别是， 判定问题A可图灵规约到A的语言补， 但判定问题A不一定可多项式规约到A 的语言补。
co-RP：判定问题集合类，此判定问题存在最坏多项式运行时间的随机算法，且此随机算法 对每一个输入该接受时见上题） 关系图：（参考书上p40） BPP
NP
RP
co-RP
EP=ZPP P
3、说明语言类C-hard, C-complete, C-equivalence 的含义，并说明其关系。 C-hard，指的是至少要与C中最难问题一样难的问题类。C-hard中的问题可以不属于C。 C-complete，指的是即属于C问题类别又是C -hard的那些问题集合。换句话说，即是C中最 难得那些问题组成的问题集合。 C-equivalence，指的是与C中所有问题难度都相当的问题集合。可以属于C也可以不属于C。 4、说明问题类APX, PTAS, FPTAS 的含义，并画图表示其关系。 APX：包含所有具有常数近似比的多项式时间算法的近似问题。 PTAS： 包含所有具有多项式时间近似方案的优化问题。 这里的多项式时间近似方案指的是近 似问题的算法，它的输入是该问题的一个实例I和任意常数ε>0，使得对任意固定的ε，算 法在多项式时间（关于I的大小）内产生实例I的近似解，且最坏近似度不超过1+ε。 FPTAS：包含所有具有完全多项式时间近似方案的优化问题。 P⊆FPTAS ⊆PTAS ⊆APX APX PTAS FPTAS 5、说明非确定性图灵机与随机算法的关系。 非确定性图灵机是一种数学概念，随机化算法是可实际应用。它们计算树相同。 6、什么是图灵归约？什么是多项式归约？ 它们有何联系和区别？ 图灵规约： 问题A可多项式时间图灵规约到问题B， 指的是存在着一个算法， 这个算法可以利用解决问题 B的算法来解决问题A。并且这个算法具有如下属性： 假设解决问题A算法的输入规模为n， 1）不计调用解决问题B算法的次数，整个算法限定为多项式的运行时间p(n)；
二、概念理解和辨析
1、指出下面关于P≠NP 错误证明的错处，并说明你认为它是错误的理由。 证明：考虑SAT 的一个算法：“在输入 上，尝试变量的所有可能的赋值，若有满足 的就接受”。该算法显然需要指数时间。所以SAT 有指数时间复杂度，因此SAT 不属于P。 因为SAT 属于NP，所以，P 不等于NP。 解答： “该算法显然需要指数时间。所以SAT 有指数时间复杂度，因此SAT 不属于P。”这里 证明出错。 该证明混淆了算法复杂度和问题复杂度的概念。 一个问题的某一个算法复杂度不 一定就是这个问题的复杂度。 问题的复杂度是由其最好的算法时间复杂度决定的， 而不是随 意一个算法决定。 2、[任务安排问题] n 件任务都需要在机器上被处理，每件任务有一个处理时间段，如何安 排使得用最少的机器能处理所有的任务。 （注: 一旦机器上处理某个任务则不允许间断，必 需连续处理直到该任务被处理结束）。 容易看出，任务安排问题可多项式时间归约到图的着色问题。然而，图着色问题是NP
HC：给定无向图G，判断图G 中是否存在哈密尔顿回路。 HP：给定无向图G，判断图G 中是否存在哈密尔顿路径。 HP s,t：给定无向图G，判断图G 中是否存在从s 到t 的哈密尔顿路径（s≠t）。 (1) HP≤T HP s,t : 考虑所有可能的s,t 点对的哈密尔顿路径来回答图G是否有哈密尔顿路径。 (2)HC≤T HP s,t : 考虑所有可能的s=1,t 点对执行如下操作： 将HC 的图G 中如果有s=1,t 间有边，则去掉边(s,t)得到新图G*,否则新图G*=G。对新 图判断是否在s,t 间存在哈密尔顿路径。 一旦得到一次肯定回答则返回yes；否则返回no。 (3)HP s,t≤T HP : 将HP s,t 的图G 中删除s 的某些边和t 的某些边使得s 和t 的度均为1， 得 到图G*。对图G*判断是否有哈密尔顿路——如果有则一定是从s 到t 的哈密尔顿路经。 对所有可能的G*进行上述操作。一旦得到一次肯定回答则返回yes；否则返回no。 (4)HP s,t≤T HC : 将HP s,t 的图G 中如果没有边(s,t)，__________则加上边(s,t)得到新图 G*，否则新图 G*=G。G*中删除s 的边和t 的边（边(s,t)不可删除）使得s 和t 的度均为2，得到图G**。 对图G**判断是否有哈密尔圈——如果有则G 中一定是从s 到t 的哈密尔顿路。 对所有可能的G**进行上述操作。一旦得到一次肯定回答则返回yes；否则返回no。 解答： 以上规约全部是图灵规约。 显然， 以上每一个从原问题到目标问题的规约中都调用了目 标问题的算法好多次。
可将此问题规约到2-DM问题，而已知2-DM问题是P问题，故此问题属于P。 证明过程如下： 假设此带权有向图有n个顶点（u1，u2，...，un）， 现建立新图，新图中有2n个顶点， 将此2n个顶点左边n个顶点排一列（u1，u2，...，un），右边n个顶点排一列(v1，v2，...， vn)，并且如果原图有从ui到uj的带权边，则在新图中添加ui到vj的带权边，依此最终得到 一个二部图。在二部图中寻找权最小的n匹配即可。 证明问题属于NP-hard 的方法——将一个NP-hard 问题归约当前问题即可。 [例] 已知无向图哈密尔顿路径问题是NP 难的。利用这一结论用归约法证明LPATH 问题是 NP 难的。 [LPATH 问题] 给定无向图G，G 中任意两顶点a, b 及一个正整数k，问G 中是否存在 有从a 到b、长度至少为k 的基本路径。 [无向图哈密尔顿路径问题] 给定无向图G，G 中任意两顶点a, b，问G 中是否存在有 从a 到b 的哈密尔顿路径。 解答： 易知可将哈密尔顿路径问题规约到LPATH 问题。 规约过程： 构造一个哈密尔顿路径问题 新算法，新算法中调用LPATH 问题的算法一次且仅一次，并且令调用参数k=n-1，LPATH 问 题的算法的输出作为新算法的输出。 设计和分析近似算法的方法 [例] [多机调度问题] 设有n 个独立的任务J1，J2，…，Jn，需要尽快加工完成。现只有p 台完全相同的机器可以同时使用，当然，任何一个任务可在任一台机器上加工。问如何调度 才能使得整个加工工作及早结束？设任务Ji 需要ti 个机时 （i=1,2,…,n） 。 该问题是NP 难 的，请通过设计该问题的一个多项式近似方案来证明它属于PTAS。 解答： 参考书上105页 或者 课件第八章P25-26 [例] 考虑下求解0/1 背包问题的贪心算法： 先按物品的单位价值由大到小排序， 然后依次 确定每件物品是否放入背包 （如果放得下则放入背包， 否则不放入背包， 继续考虑下一物品） ， 直到所有物品都处理完为止。 设自然数k 满足在上述贪心法中前k-1个物品可全装入了背包，而再放第k 件物品时则背包 装不下。由此可得如下算法：将上述贪心算法的结果与vk（第k 物品的价值）比较，最 终谁大就输出谁。 证明：所得算法是2-近似算法。 解答： 假设O(I)为最优值， A(I)为此算法近似值,Vi为第i件物品的价值。 因为此算法是按照单 位价值来由大到小来排列。 显然O(I)<=V1+V2+…+Vk-1+Vk， 且A(I)=max{ V1+V2+…+Vk-1, Vk}。 因此O(I)<=2A(I)，即近似比O(I)/A(I)<=2。 [例] [最大割问题] 考虑下求解最大割问题的贪心算法： Step 1. 初始化：点集V 的两部V1=V，V2=Ф，及当前割Cut=Ф。 Step 2. 重复下列操作直到Cut 不能改进为止：将某点从一部移动到另一部来改进Cut。 试证该算法是2-近似算法。 解答：
7、什么是NP 难度的问题？证明一个问题是NP 难度有哪些方法？ 若某一个算问题，其难度不低于任何一个NP问题，则这个问题是NP难度的问题。 证明方法：将已知的一个NP-hard问题规约到这个新问题。 8、如何对付NP 难度的问题？ 对于NP难度问题，有时无需求最优解而只求近似最优解，或者集中研究某些NP-hard问 题的好算法，或者可借鉴人类社会的丰富经验和大自然中的一些现象。 典型求解技术： 1） 精确求解技术，使用分治法、动态规划、分支限界、回溯法等各种搜索算法。 2） 近似求解技术，采用组合方法、随机方法、松弛方法等。 3） 启发式求解技术，采用贪心、拟人拟物等面向问题的启发式算法或者演化、遗模拟 退火、禁忌搜索等通用启发式算法。