高二数学组合数的两个性质

高二数学组合数的两个性质

组合数的两个性质 教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；

掌握组合数的两个性质，

并且能够运用它解决一些简单的应用

问题。

教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。 教学难点：利用组合数性质进行一些证明。 教学过程：

一、复习回顾：

1．复习排列和组合的有关内容：

强调：排列——次序性；组合——无序性．

2．练习

1：求证：1

1--=

m n m n

C m

n C

． （本式也可变形为：

11

--=m n m n nC mC ）

2：计算：① 3

10

C 和710

C ； ② 2

637

C C

-与36

C ；③

511

411

C C +

（此练习的目的为下面学习组合数

的两个性质打好基础．）

二、新授内容

：

1

m n n

m

n

C C

-=．

理解： 一般地，从n 个不同元素中取出

m 个元素后，剩下n - m 个元素．因

为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素

的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n

m

n

C C

-=．在这里，

我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 证明：∵)!

(!!

)]!([)!(!m n m n m n n m n n C

m

n n

-=

---=

-

又 )!

(!!m n m n C

m n

-=

∴m n n

m n

C C

-=

注：1︒ 我们规定 1

0=n

C

2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

3︒ 此性质作用：当2

n m >时，计算m

n

C 可变为

计算m n n

C -，能够使运算简化．

例如：20012002

C ＝200120022002

-C

＝12002

C =2002．

4︒ y n x n C C =y

x =⇒或n y x =+

2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：⑴ 56

3

8

=C

⑵ 21

27

=C

⑶ 35

37

=C

引导学生发现：=38

C

+27C 3

7

C ．为什么呢？

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

一般地，从1

2

1

,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取

出m 个元素的组合数是m n C 1

+，这些组合可以分为

两类：一类含有元素1

a ，一类不含有1

a ．含有1

a 的

组合是从1

3

2

,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元

素与1

a 组成的，共有1

-m n

C 个；不含有1

a 的组合是从

1

32,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，

共有m n

C 个．根据分类计数原理，可以得到组合

数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

3

＝m n

C +1-m n

C ．

证明： )]!

1([)!1(!

)!(!!1---+

-=

+-m n m n m n m n C C

m n m n

)!1(!!)1(!+-++-=m n m

m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m

n )!

1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1

+=

∴ m n C 1

+＝m n

C +1-m n

C ．

注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1

的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数． 2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化

运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． 4．补充例题 ⑴ 计算：6

9

58473

7

C C C C

+++

⑵ 求证：n m C 2

+＝n m

C +12-n m

C +2-n m

C

⑶ 解方程：3213

113-+=x x C C