关于路径依赖型期权定价模型的研究_郑小迎

收稿日期:1999209221　

基金项目:国家自然科学基金资助项目(79670076)

第一作者简介:郑小迎(1972—

),男,河北涞水人,博士研究生.主要从事金融工程学及金融衍生工具研究.

关于路径依赖型期权定价模型的研究

郑小迎,陈金贤

(西安交通大学管理学院,陕西西安　710049)

摘　要:剖析了路径依赖型期权的主要特征和价值形成机理,归纳出路径依赖型期权的主要类型.在Black 2Scholes 模型的基础上,讨论了各类期权的定价模型,并创建了包含路径因子在内的多因素定价模型.

关键词:路径依赖型期权;Black 2Scholes 模型;无套利原理;偏微分方程

中图分类号:F 83019 文献标识码:A 文章编号:10012988Ⅹ(2000)022*******

期权是20世纪70年代中期首先在美国出现的一种金融创新工具,20多年来它作为一种防范风险或投机的有效手段得到了迅猛发展.由于期权合约灵活多样、适于创造,又有一个庞大的场外交易市场,近年来,国际衍生金融市场除了交易人们广为熟悉的欧式、美式等标准期权之外,还涌现出大量由标准期权变化、组合、派生而出的新品种,即新型期权.而众多的新型期权往往又具备路径依赖的特征,即期权价格不仅取决于到期日的基础资产价格,

而且取决于基础资产价格的变化路径〔1〕.障碍期权、亚式期权、回望期权等品种都是其中

的代表,它们的定价与标准期权相比有较大差异.本文在研究标准期权定价的基础上,深入探讨各类路径依赖型期权的特征与价值形成机理,并建立针对不同种类路径依赖型期权的定价模型.鉴于我国当前金融创新的发展动向,本文仅以股票作为期权的基础资产进行研究,至于股指、商品、货币等类型的基础资产暂不作讨论.

1　路径依赖型期权及相关内容

传统的标准期权通常是按照权利的种类和行使权利的时间来划分的.根据所赋予的权利不同,期权可分为看涨期权和看跌期权:看涨期权是指期权买方拥有以执行价格向期权卖方买入或不买入一定数额标的资产的权利;看跌期权是指期权买方拥有以执行价格向期权卖方卖出或不卖出一定数额标的资产的权利.根据执行时间的不同,期权可分为欧式期权和美式期权:欧式期权只允许期权买方在到期日进行交易;而美式期权则允许买方在到期日或到期日之前的任何营业日进行交易.

路径依赖型期权与标准期权的条件和特征多有不同,许多品种都是金融机构应市场的特殊要求设计而成的,并最终延伸成为一系列有助于管理特定风险的金融产品.它们通常在场外市场交易,其收益规律也远较标准期权复杂.为了讨论方便,有必要对其进行如下分类〔1〕:

5

1　第36卷2000年第2期 西北师范大学学报(自然科学版)

　V ol 136　2000　N o 12 Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science )　

1)合同条款变化型期权.由于标准期权合同条款的某些特征发生变化而产生的期权品种,主要包括任选期权、障碍期权等.另外,由于美式期权具备提前执行的条件,使其收益与基础资产的价格变化路径有关,故也可归入此类.该类期权的定价模型大都是欧式期权定价模型的变形与延伸.

2)多因素型期权.该类期权的定价不仅要考虑标的变量的变化规律,还需度量路径因子的变化规律,其定价模型将涉及到多个变量.亚式期权、回望期权等品种都属于该类型.

由于路径依赖型期权的多样性、复杂性,我们将其定价分解为3个待解决的问题:①从欧式期权定价出发,探讨期权定价的建模思路;②建立能够反映路径依赖特征的多因素定价模型;③以上述模型为基础,详细讨论不同品种的期权定价.

2　Black 2Scholes 模型的应用

由于路径依赖型期权与欧式期权具有密切的联系,所以首先应溯根求源,在充分理解欧式期权定价的基础上,逐渐凸现出路径依赖型期权的定价原理.Black 2Scholes 定价模型(以下简称B 2S 模型)正是解决欧式期权定价最有效的手段之一.该模型由美国金融学家Black 与Scholes 于1973年首次提出〔2〕,其后,Merton 、C ox 、R oss 与Ingers oll 又对其进行了深入研

究与改进,并将其推广到股票期权、股指期权、汇率期权等众多衍生品的定价之中

〔3〕.它首先假定股票价格服从对数正态分布,然后综合运用有效市场理论、无套利原理、IT O 定

理,最终得到了基于股价的任意一种衍生品价格的偏微分方程.其推导过程如下:首先假设:①证券市场是一个弱性的有效市场;②所有投资者都处于一个风险中性的环境中,所有的证券收益率均为无风险利率;③无交易费用或税收;④随时可以按无风险利率贷入或贷出资金;⑤在衍生品有效期内不支付股利.

交易时间内的股价s 被看作是随时间t 变化的连续时间变量,并且服从对数正态分布(也称几何布朗运动):

d s =μs d t +σs d z ,(1)

其中,μ为预期收益率;σ为标准正态分布的标准差;d z 是一个Wiener 过程.则任意一种基于股价s 的衍生品价格f (s ,t )必须满足方程:

9f 9t +rs 9f 9s +12σ2s 292f 9s 2=r f ,(2)r 为无风险利率.方程(2)被称为B 2S 模型,属倒向二阶线性抛物型偏微分方程〔4,5〕.对应于不同种类的衍生品,该方程有不同的解.以欧式看涨期权C (s ,t )为例,设其到期日为T ,执行价格为E ,边界条件为:

C (0,t )=0;　C (s ,t )～s ,s →∞;　C (s ,T )=max (s -E ,0).

(3)通过适当的变量代换可将方程(2)化简为标准形式.令:

s =E e x ,t =T -2τ/σ2

,C =Ev (x ,τ

),(4)将(4)式代入方程(2),以C (s ,t )替换f (s ,t ),并令k =2r /σ2,则9v 9τ=92v 9x 2+(k -1)9v 9x -kv .(5)

利用分离变量法,设v (x ,τ)具有如下形式:61西北师范大学学报(自然科学版) 第36卷　Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science ) V ol 136