历届全国大学生数学竞赛预赛试题

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）

1

．计算()ln(1)

d y

x y x y ++=⎰⎰____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设)(x f 是连续函数，且满足2

20()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =____________.

3．曲面2

222

x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，

则=22d d x

y

________________. 二、（5分）求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x

x f x =→)

(lim 0，A 为常数，

求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）⎰⎰-=---L

x y L

x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 25

d d π⎰≥--L

y y x ye y xe .

五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已

知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3

1

.试确定c b a ,,，使此图形绕x

轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.

七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n

n u x u x x e n -'=+=，且n e

u n =)1(，求函数项级数∑∞

=1)(n n x u 之和.

八、（10分）求-

→1x 时，与∑∞

=0

2

n n x 等价的无穷大量.

2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)

(1)n

n x a a a =+++，其中||1,a <求lim .

n n x →∞

（2）求2

1lim 1x x x e x -→∞

⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

.

（3）设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞

-==⎰.

（4）设函数()f t

有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，求2222g g x y ∂∂+∂∂.

（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213

:421x y z l ---==

--的距离. 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，

lim ()0x f x α→+∞

'=>，

lim ()0x f x β→-∞

'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <.证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰

有两个实根.

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩

所确定，且22d 3

d 4(1)y x t =+，

其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2

2

1

3

2t u y e du e

-=+

⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.

四、（15分）设10,n

n n k k a S a =>=∑，证明：

（1）当1α>时，级数1n

n n

a S α

+∞

=∑

收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n

n n

a S α+∞

=∑

发散. 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球

222

2221x y z a b c

++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.

六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分

422d ()d 0L xy x x y

x y ϕ+=+⎰的值为常数.

（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x y

x y ϕ+=+⎰；

（2）求函数()x ϕ；

（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

422d ()d C xy x x y x y ϕ++⎰.

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）求11cos 0

sin lim x

x x x -→⎛⎫

⎪⎝⎭

；

（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫

+++

⎪+++⎝

⎭； （3）已知()2ln 1arctan t

t x e y t e

⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d y x .

二、（本题10分）求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.

三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且

()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得

()()()()

1232

0230lim

0h k f h k f h k f h f h →++-=.

四、（本题17分）设222

1222:1x y z a b c

∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1

∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.

五、（本题16分）已知S 是空间曲线2231

0x y z ⎧+=⎨=⎩

绕y 轴旋转形成的椭球面的上半

部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦.计算：