投资组合模型的发展与实证分析

现代商贸工业

２０１９年第８期

１１３

㊀投资组合模型的发展与实证分析

刘涵卓

(河北香河一中,河北廊坊０６５４００

)摘㊀要:中国经济在改革开放后得到飞跃发展.人们不再局限于储蓄这一单一的投资方式,转而开放思维,

向股票,基金,债券的多个领域发展.但由于知识的不足,市场变化较大,政策的修改与尝试,以及盲目跟风的思维等不利因素.致使人们对于投资有更大的担忧.通过探索不同投资比例下的风险与收益情况,分析不同相关

性的投资产品的组合种类,以及其对应的目标群体,如风险厌恶或风险偏好下的投资组合情况.

关键词:投资组合;数学模型;风险收益;厌恶系数

中图分类号:F ２３㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀d o i :１０．１９３１１/j ．c n k i ．１６７２Ｇ３１９８．２０１９．０８．０５９１㊀研究的背景与意义

投资组合是一种通过在不同的环境下对有限的资产进行合理分配,从而实现风险分散与收益最大化的运作行为.投资组合可分为两个层次:一是投资组合一般表现为理性的投资者将资产分散于不同形式的投资项目中,从而实现一种包含不同类型的投资组合;二是从心理行为的角度来看,投资组合满足了不同类型人群对于风险的不同偏好及对于收益的要求.所以,投资组合应当满足以下两个条件:(１)在风险一定的情况下,收益可达到最大化;(２)在收益期望一定的情况下,风险可最小化.不难看出,投资组合帮我们遴选出一种符合当前要求的最优选择.由于其普遍性与实用性,投资组合是现代投资决策与管理的基础.

２㊀相关文献回顾

人们对于投资风险与收益的关系早已有了一定的认知.１９５２年３月,美国经济学家M a r k o w i t z 发表了

«证券组合选择»论文,其可以看作是现代投资组合实践的开端.１９９４年S h a r p e 提出了单指数理论,即证券收益可由以单一外在指数来衡量.１９９３年,«衍生产品的实践和规则»的报告中提到用以度量市场风险的V a R 方法,陶文龙进行了延伸.稍后由J ．P ．M o r g a n 提出的用于可计算的R i s k M e t r i c s 风险控制模型更是广泛被众多金融机构采用,其已成为目前金融界测量市场风险的主流方法.

在衡量风险的过程中,方差及标准差并不能很好的描述风险.同样由于不确定性而产生的额外收益一般不被认为是风险,高于平均收益的部分可被派出在风险之外.所以在衡量收益与风险,可引入效用作为参考标准,即投资者的风险偏好程度对于投资者满足感的影响.早在１８世纪b e r n o u l l i 就已经开始对效用函数进行研究.进入２０世纪,V o n ,A r r o w ,S c h o e m a k Ｇ

e r 等人引入了参数A 作为风险厌恶指数,

使得图像反应了效用随均值方差及预期收益率的变化.S t o n e ,F i s h b u r 先后研究了用半方差来取代先有理论中的方

差来衡量风险,张杨在改进的均值半方差模型中讨论了其具有更强的实效性.以上变化都是以投资者满足

度作为目的进行风险的评估与投资项目的组合.

３㊀数据和模型介绍

３．１㊀数据介绍

我们选取了不同行业如银行㊁医药㊁快消品㊁工业㊁食品等中的十支股票的２０１８年６月２５日到２０１８年９月２１日近三个月的收盘价作为样本.收益以收益的平均变化率作为数据,以排除不同数量级的股价对于标准差的影响.选取的来源网站是:h t t p

s ://f i n a n c e ．y

a h o o ．c o m /.３．２㊀模型介绍

３．２．１㊀二元投资组合模型

在二元投资组合中,我们假设有S １㊁S ２两种证券,

投资者将持有的资金按照W １㊁W ２的比例来构建证券组合.

(１

)收益计算.每支证券的收益率以证券收盘价的变化率来衡量,记为R １㊁R ２

该证券组合的收益率R p 可以表示为:

R p ＝W １R １＋W ２R ２

其中W １＋W ２＝１,且W １㊁W ２可以为负数,这表示股票已被卖空.

(２

)风险计算.在单支证券中,我们可以通过方差或标准差来衡

量一支证券的波动性,即它的风险.

σ为该支证券的标准差.

而在两支证券组合的情况下,我们可以通过协方差来表示两支证券组合之后的风险.

σ２p ＝W ２１σ２１＋W ２２σ２２＋２W ２１W ２２C o v (R １,R ２)其中C o v (R １,R ２)是证券S １,S ２的收益率之间的协

方差,计算方法为C o v (R １,R ２)＝

ðn

i ＝１

P i

(

R １

i －E (R １))(R ２i －E (R ２)

).协方差存在以下性质:衡量两只证券收益率变动的相关性

①协方差为正数,证券S A ㊁S B 收益率之间的变化为正相关.

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２０１９年第８期１１４㊀㊀

②协方差为零,证券S A ㊁S B 收益率之间的变化不

相关.

③协方差为负数,证券S A ㊁S B 收益率之间的变化为

负相关.

(３

)相关系数.为了更好的衡量两支证券之间的相关性,我们引

入相关系数作为衡量标准.相关系数是在协方差的基础上消除了由于数据数量级不统一而造成的误差.计算公式如下:

ρ

１２＝C o v (R １,R ２)

σ１σ２

由此我们可以得出,证券组合风险可以记为:

σ２p ＝W ２１σ

２１＋W ２２σ２２＋２W ２１W ２２ρ１２σ１σ２σp ＝

㊀

W ２１σ２１＋W ２２σ２２＋２W ２１W ２

２ρ１２σ１σ２

图１㊀风险和收益关系

当相关系数为－１时,σ２

p

＝W ２１σ２

１

＋W ２２σ２２

＋

２W ２１W ２２ρ

１２σ１σ２＝(W １σ１－W ２σ２)２

,即W １σ１＝W ２σ２时,可以将风险降低为０,如上图P 点所示.当相关系数为

负数且不为－１时,可以对冲部分风险.

当相关系数为１时,σ２p ＝W ２１

σ２１＋W ２２σ２

２＋２W ２１W ２２ρ

１２σ１σ２＝(W １σ１＋W ２σ２)２

,即σp ＝W １R １＋W ２R ２,

由于R p ＝W １R １＋W ２R ２.故此情况下风险和收益是两支股票的线性叠加.

第一,以风险最小为目标进行研究.

在此组合中,我们以风险最小作为目标.此时我们有:

W １＋W ２＝１

σ２P ＝W ２１σ２１＋(１－W １)２σ２２＋２W １(１－W １)ρ１２σ１σ２我们对其进行求导,令d σ２

P d W １

＝０,

可以得到最优投资比例为W １

＝

σ２２－ρ１２σ１σ２σ２１＋σ２２－２ρ１２σ１σ２,W ２＝σ２

１－ρ１２σ１σ２σ２１＋σ２２－２ρ１２σ１σ２第二,以效用最大为目标进行研究.

效用是投资者在投资活动中获得的满足感,由此得到的效用函数是预期收益率和风险的函数.函数图像被称为无差异曲线.其中,A 为风险厌恶系数.A 的值越大,其对风险的厌恶程度越高,反之亦然.风险厌恶系数越低,其效用无差异曲线越平缓;风

险厌恶系数越高,其效用无差异曲线越陡峭.在此组合中,我们以效用最大作为目标.此时我们有:

W １＋W ２＝１

U ＝E R ()－０．５A σ

２

U ＝W １R １＋W ２R ２－０．５A (W ２１σ２１＋１－W １()２σ２

２

＋２W １(１－W １)ρ

１２σ１σ２)将U ＝f W １(),对其进行求导,令d U dW １

＝０,

可得最优投资比例为W １＝σ２２＋ρ１２σ１σ２(R １＋R ２)σ２２－σ２１＋２ρ１２σ１σ２,W ２＝σ２１＋ρ１２σ１σ２(R １＋R ２)σ２１－σ２

２＋２ρ１２σ１σ２３．２．２㊀n 元投资组合模型(n ⩾３)

(１

)收益计算.在n 支证券的组合中,n 支证券的收益率分别记为

R １㊁R ２ R n .

该证券组合的收益率R p 可以表示为:

R p ＝W １R １＋W ２R ２＋ ＋W n R n (２

)风险计算.在n 支证券的组合中,我们同样可以利用协方差

来表示证券组合的风险.σ２p ＝W ２１

σ２１＋ ＋W ２n σ２

n ＋２W １W ２ρ１２σ１σ２＋２W １W ３ρ１３σ１σ３ ＋２W n －１W n ρ

２３σ２σ３σp ＝

W ２

１σ２

１＋ ＋W ２

n σ２

n ＋２W １W ２ρ１２σ１σ２＋２W １W ３ρ１３σ１σ３ ＋２W n －１W n ρ２３σ２σ３

第一,以风险最小为目标进行研究.

在此组合中,我们以风险最小作为目标.此时我

们有:

W １＋W ２＋ W n ＝１

σ２P ＝W ２１σ２１＋ ＋W ２n σ２n ＋２W １W ２ρ１２σ１σ２＋２W １W ３ρ１３σ１σ３ ＋２W n －１W n ρ

２３σ２σ３联立可得σ２

P ＝f

(W １,W ２, W n －１)分别将σ２

P 关于W １,

W ２, W n －１求导,令d f dW １＝０,d f dW ２＝０, ,d f dW n

＝０

求解n －１个方程,即可得到σp 取值最小时的W １,W ２,

W n 投资组合比例.第二,以效用最大为目标进行研究.

W １＋W ２＋ W n ＝１

U ＝E R ()－０．５A σ

２

U ＝W １R １＋ ＋W ３R ３－０．５A (W ２１σ２

１＋ ＋W ２n σ２n ＋２W １W ２ρ１２σ１σ２＋２W １W ３ρ１３σ１σ３ ＋２W n －

１W n ρ２３σ２σ３)

联立可得U ＝U (W １,W ２,

W n －１)分别将U 关于W １,W ２,

W n －１求导,令d U dW １＝０,d U dW ２＝０, ,d U dW n ＝０

求解n －１个方程,

即可得到U 取值最大时的W １,W ２,

W n 投资组合比例.４㊀实证分析

４．１㊀数据预处理在获取数据后,我们以缺失数据时间前后两天的平均值代替缺失数据.将处理后的数据进一步计算收