椭圆型方程
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第二章 椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值 方法. 有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按 特定方式选取.
( 2 .1)
ua, ub
(2 .2 )
其中
p C [ a , b ] ,p ( x ) p m i n 0 ,r , q , f C [ a , b ] ,
, 是给定的常数.
2.1 直接差分法 (1) 取 N+1 个节点将 I =[a, b] 分成 N 个小区间:
a x 0 x 1 L x i L x N b Ii:xi 1xxi, i 1 ,2 ,L,N
差分法求解的主要步骤： (1) 对求解区域做网格剖分.
一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元. 二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，其边与 坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等. (2) 构造逼近微分方程定解问题的差分格式：三种方法 直接差分化法、积分插值法、有限体积法(或广义差分法). 差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究. (3) 差分方程的解法.
其中
||uh||c1m iaN x1|ui |,
N 1
|| uh ||02
hui2 ,
i 1ຫໍສະໝຸດ Baidu
||uh||1 2 ||uh||0 2|uh|1 2,
|
uh
|12
N i1
hui
ui1 h
2
.
定义1.1 设 U 是某一充分光滑的函数类 R h ( u ) 是由截
，
断误差定义的网格函数. 若对任何 u U , 恒有
称差分方程关于右端稳定.
定理1.1 若边值问题的解 u 充分光滑，差分方程按
| | g | | 满足相容条件，且关于右端稳定，则差分解 u h
按 | | g | | 收敛到边值问题的解 u ，且有与 || Rh(u) || R
相同的收敛阶.
§2 两点边值问题的差分格式
考虑两点边值问题
Luddxpdduxrdduxquf, axb
(d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
以 I h 表示网格内点 x1,x2,L,xN1 的集合， I h 表示网格 内点和界点 x0 a, xN b集合. 定义在 I h 或 I n 上的函数 uh(xi ) ui 称为 I n (or I n ) 上的网函数. 对 I h 上的网函数引进如下范数：
由 Taylor 展开得
u (x i 1 ) 2 u h (x i) u (x i 1 ) d d x 2 u 2 i 1 h 2 2 d d x 4 u 4 o (h 3) 其中 [ ] i 表示方括号内的函数在 x i 点取值. 于是在 x i 将方程 (1.1) 写成
u ( x i 1 ) 2 u h ( 2 x i) u ( x i 1 ) q ( x i)u ( x i) f( x i) R i( u ) , ( 1 .3 )
定义1.2 当 h 充分小时，若 (1.4) ～ (1.5) 的解 u h 存在， 且按某一范数 | | g | | 有 lhi m0||uh u||0, 称 u h 收敛到边值问题的解 u .
定义1.3 对于差分方程 L h v i fi, i 1 ,2 ,3 ,L ,N 1 ,
v0 vN 0, 如果存在与网格 I h 及右端 f h 无关的常数 数 M 和 h 0 , 使 ||v h || M ||fh ||R , 0 h h 0
其中 Ri(u)1h22d4 dux(4x)iO(h3). 舍去 R i ( u ) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
L huiui 12 h u 2iui 1qiuifi,
称 R i ( u ) 为差分方程 (1.3) 的截断误差.
形成关于 u i 的线性代数方程组
Lnui ui12 hu 2iui1qiui fi, i1,2,L,N1 (1 . 4 )
u0, uN
(1 .5 )
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？
(b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 u i
是否收敛到真解 u ( x i ) ? (c) 在何种度量下收敛？
22
2
构成 I 的一个对偶剖分.
(3) 将方程 (2.1) 在内点 x i 处离散化.
u(xi1) u(xi1) hi hi1
d du xi hi12hi ddx2u2i O(h2)
(2.3)
p(xi12)u(xi)hiu(xi1) pdduxi122hi42 pddx3u3i12O(h3)
pdduxi122hi42pddx3u3i O(h3)
hixixi 1, hm a ixhi.
于是，得到 I 的一个网格剖分. Ih表示网格内点,(不包含x0,xN)
(2) 对 I = [a, b] 进行对偶剖分
取 x i 1 , x i 的中点
1
xi1 22xi1xi ,
i1,2,L,N
称为半整数点，则
a x 0 x 1 x 3 L x N 1 x N b
§1 差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
Luddx2u2quf, axb,
u(a), u(b),
(1.1) (1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q0, ,
为给定常数.
将其分成等分，分点为
xiaih,i0 ,1 ,L,N ;hbN a 将方程 (1.1) 在节点 x i 处离散化.
lh i m 0||R h (u )|| 0 ,
(1 .6 )
称差分算子 L h 逼近微分算子 L ，并称 (1.6)
为相容条件.
注 当用 L h 逼近 L 时，选择网函数的范数不同，逼近的
阶也就不同.
| |R h ( u ) | | c O ( h 2 ) ， | |R h ( u ) | | 0 O ( h 2 ) ， | |R h ( u ) | | 1 O ( h ) .
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值 方法. 有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按 特定方式选取.
( 2 .1)
ua, ub
(2 .2 )
其中
p C [ a , b ] ,p ( x ) p m i n 0 ,r , q , f C [ a , b ] ,
, 是给定的常数.
2.1 直接差分法 (1) 取 N+1 个节点将 I =[a, b] 分成 N 个小区间:
a x 0 x 1 L x i L x N b Ii:xi 1xxi, i 1 ,2 ,L,N
差分法求解的主要步骤： (1) 对求解区域做网格剖分.
一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元. 二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，其边与 坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等. (2) 构造逼近微分方程定解问题的差分格式：三种方法 直接差分化法、积分插值法、有限体积法(或广义差分法). 差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究. (3) 差分方程的解法.
其中
||uh||c1m iaN x1|ui |,
N 1
|| uh ||02
hui2 ,
i 1ຫໍສະໝຸດ Baidu
||uh||1 2 ||uh||0 2|uh|1 2,
|
uh
|12
N i1
hui
ui1 h
2
.
定义1.1 设 U 是某一充分光滑的函数类 R h ( u ) 是由截
，
断误差定义的网格函数. 若对任何 u U , 恒有
称差分方程关于右端稳定.
定理1.1 若边值问题的解 u 充分光滑，差分方程按
| | g | | 满足相容条件，且关于右端稳定，则差分解 u h
按 | | g | | 收敛到边值问题的解 u ，且有与 || Rh(u) || R
相同的收敛阶.
§2 两点边值问题的差分格式
考虑两点边值问题
Luddxpdduxrdduxquf, axb
(d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
以 I h 表示网格内点 x1,x2,L,xN1 的集合， I h 表示网格 内点和界点 x0 a, xN b集合. 定义在 I h 或 I n 上的函数 uh(xi ) ui 称为 I n (or I n ) 上的网函数. 对 I h 上的网函数引进如下范数：
由 Taylor 展开得
u (x i 1 ) 2 u h (x i) u (x i 1 ) d d x 2 u 2 i 1 h 2 2 d d x 4 u 4 o (h 3) 其中 [ ] i 表示方括号内的函数在 x i 点取值. 于是在 x i 将方程 (1.1) 写成
u ( x i 1 ) 2 u h ( 2 x i) u ( x i 1 ) q ( x i)u ( x i) f( x i) R i( u ) , ( 1 .3 )
定义1.2 当 h 充分小时，若 (1.4) ～ (1.5) 的解 u h 存在， 且按某一范数 | | g | | 有 lhi m0||uh u||0, 称 u h 收敛到边值问题的解 u .
定义1.3 对于差分方程 L h v i fi, i 1 ,2 ,3 ,L ,N 1 ,
v0 vN 0, 如果存在与网格 I h 及右端 f h 无关的常数 数 M 和 h 0 , 使 ||v h || M ||fh ||R , 0 h h 0
其中 Ri(u)1h22d4 dux(4x)iO(h3). 舍去 R i ( u ) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
L huiui 12 h u 2iui 1qiuifi,
称 R i ( u ) 为差分方程 (1.3) 的截断误差.
形成关于 u i 的线性代数方程组
Lnui ui12 hu 2iui1qiui fi, i1,2,L,N1 (1 . 4 )
u0, uN
(1 .5 )
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？
(b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 u i
是否收敛到真解 u ( x i ) ? (c) 在何种度量下收敛？
22
2
构成 I 的一个对偶剖分.
(3) 将方程 (2.1) 在内点 x i 处离散化.
u(xi1) u(xi1) hi hi1
d du xi hi12hi ddx2u2i O(h2)
(2.3)
p(xi12)u(xi)hiu(xi1) pdduxi122hi42 pddx3u3i12O(h3)
pdduxi122hi42pddx3u3i O(h3)
hixixi 1, hm a ixhi.
于是，得到 I 的一个网格剖分. Ih表示网格内点,(不包含x0,xN)
(2) 对 I = [a, b] 进行对偶剖分
取 x i 1 , x i 的中点
1
xi1 22xi1xi ,
i1,2,L,N
称为半整数点，则
a x 0 x 1 x 3 L x N 1 x N b
§1 差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
Luddx2u2quf, axb,
u(a), u(b),
(1.1) (1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q0, ,
为给定常数.
将其分成等分，分点为
xiaih,i0 ,1 ,L,N ;hbN a 将方程 (1.1) 在节点 x i 处离散化.
lh i m 0||R h (u )|| 0 ,
(1 .6 )
称差分算子 L h 逼近微分算子 L ，并称 (1.6)
为相容条件.
注 当用 L h 逼近 L 时，选择网函数的范数不同，逼近的
阶也就不同.
| |R h ( u ) | | c O ( h 2 ) ， | |R h ( u ) | | 0 O ( h 2 ) ， | |R h ( u ) | | 1 O ( h ) .