平面简谐波函数
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（３）波形传播图 求波动方程（波函数）
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A 1.0m ， 2.0s， 2.0m. 在 t 0 T 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 (1)波动方程；(2) t 1.0s波形图； 运动. 求：
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为 yO A cost
yO 表示质点O在t 时刻离开平衡位置的距离.
y
A
u
P
x
A
O
x
x P点比O点的振动落后t , P 点在 t 时刻的 u 位移是O点在t t 时刻的位移，由此得
2 1
u
10 m
C
y A (3 10 m) cos(410s )t πm
8m 5m 9m B
2
1
oA
D
x
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A (3 10 m) cos(4 π s )t
8 B C 2 π 2 π 1.6 π 10 xC xD 22 C D 2 π 2 π 4.4 π 10 xB xC
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5s 0
2
uT 10m
t x y A cos[2π ( ) ] T t x 2 y (3 10 m) cos 2π ( ) 0.5s 10 m
若已知的振动点不位于坐标原点ｏ,是距ｏ为 x0 的Q，且
y A cos[t ]
那么任一点ｐ的振动
r y p A cos [(t ) ] u 即 x x0 y A cos[ (t ) ] u
O
x0
Q
r x x0
P
x
波函数
x y A cos[ (t ) ] u
波动方程
4
10
)
o 5
0.5
4.5
x(10 2 m)
x y A cos[ (t ) ] 10 u 4 t x t x A cos[ 2 ( ) ] A cos[ 2 ( ) ] T 4 0.01 0.04 4
从实质上看：波动是振动（相位）的传播.
(t , x) t kx ( x) (0, x) kx ( x 0) (t 0, x 0)
y A cos(t kx )
y A cos[ (t t0 ) k ( x x0 ) (t0 , x0 )]
y/m
1.0
O
2.0
t 1.0 s
x/m
-1.0
时刻波形图
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y (1.0) cos[2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[(π s )t π] (m)
y
3 4 1.0
y/m
2 1
2
1
AC
]
u
C
y A (3 10 m) cos(410s )t πm
8m 5m 9m B
2
1
oA
D
x
点 D 的相位落后于点 A
AD yD (3 10 m) cos[(4 π s )t 2 π ] 9 2 1 (3 10 m ) cos[( 4 π s )t π ] 5
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
y A (3 10 m) cos(4 π s )t xB x A 5 2π B A 2π π 10
2
1
B π
t x y (3 10 m) cos[2π ( ) π ] 0.5s 10 m
y
O
则 y A cost ( x)
t
表示 x点处质点的振动方程（ y t 的关系）
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
波线上各点的简谐运动图
2 令 则
t 一定 x 变化 y A cost kx
t C（定值）
2
yB (3 10 2 m) cos[(4π s 1 )t π ]
u
8m C 5m A 9m D
oB
x
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程 点C 的相位比点A 超前
yC (3 10 m) cos[( 4 π s )t 2 π
13 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π ] 5
y A cos kx
该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y x的关系）
y
o
x
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
从形式上看：波动是波形的传播.
问题：若已知
（１）任一时刻的波形图 （２）任一点振动图
1
3 *
4 2 * 2.0 * t / s * 1.0 O O 2 * 1 -1.0*1 x 0.5 m 处质点的振动曲线
例2 一平面简谐波以速度 u 20m s -1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3 10 2 cos(4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m，s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
2 1
u
10 m
C 8m B 5m 9m
10 m
D
oA
x
例3 、已知平面简谐波的某一图形，写出 波函数
t 0 设图示为平面简谐波在 时刻的 波形图，求该波的波动方程。 已知波沿 ox 轴正方向传 1 播，且 u 4.0m s y(102 m) 解：由图上直接读出 10
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
四、
波函数的物理含义
y A cost kx
1 x一定， 变化 t 令 ( x) kx
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ x Acos t u 沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波函数.
沿 x轴方向传播的波函数
y
A
uwk.baidu.com
P x
x
A
O
x P 点振动比O点超前了 Δt u 故P点的振动方程（波函数）为：
A 0.10m
0.04m
所以
T
u
0.01s
o 5
10
0.5
4.5
x(10 m)
2
由x=0.5振动状态可得
( x 0.5)
( x) kx
得坐标原点处的振动方程
2 ( x) kx 4 2
y(10 m)
y 0.1cos(t
t x y A cos[2π ( ) ] T
t x y A cos[2π ( ) ] T
t 0 x0
π y y 0, v 0 2 t t x π y cos[2π( ) ] (m) 2.0 2.0 2
O
A
y
(2)求 t 1.0s 波形图 t x π y 1.0 cos[2π( ) ] 2.0 2.0 2 π y (1.0) cos[ π x] 2 t 1.0s sin πx (m) 波形方程
x y yo t t Acos t u
2 2π 2πν uT 和 k 利用 T 可得波函数的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T A cos(t kx )
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A 1.0m ， 2.0s， 2.0m. 在 t 0 T 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 (1)波动方程；(2) t 1.0s波形图； 运动. 求：
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图. 解 (1) 写出波动方程的标准式
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为 yO A cost
yO 表示质点O在t 时刻离开平衡位置的距离.
y
A
u
P
x
A
O
x
x P点比O点的振动落后t , P 点在 t 时刻的 u 位移是O点在t t 时刻的位移，由此得
2 1
u
10 m
C
y A (3 10 m) cos(410s )t πm
8m 5m 9m B
2
1
oA
D
x
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A (3 10 m) cos(4 π s )t
8 B C 2 π 2 π 1.6 π 10 xC xD 22 C D 2 π 2 π 4.4 π 10 xB xC
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5s 0
2
uT 10m
t x y A cos[2π ( ) ] T t x 2 y (3 10 m) cos 2π ( ) 0.5s 10 m
若已知的振动点不位于坐标原点ｏ,是距ｏ为 x0 的Q，且
y A cos[t ]
那么任一点ｐ的振动
r y p A cos [(t ) ] u 即 x x0 y A cos[ (t ) ] u
O
x0
Q
r x x0
P
x
波函数
x y A cos[ (t ) ] u
波动方程
4
10
)
o 5
0.5
4.5
x(10 2 m)
x y A cos[ (t ) ] 10 u 4 t x t x A cos[ 2 ( ) ] A cos[ 2 ( ) ] T 4 0.01 0.04 4
从实质上看：波动是振动（相位）的传播.
(t , x) t kx ( x) (0, x) kx ( x 0) (t 0, x 0)
y A cos(t kx )
y A cos[ (t t0 ) k ( x x0 ) (t0 , x0 )]
y/m
1.0
O
2.0
t 1.0 s
x/m
-1.0
时刻波形图
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y (1.0) cos[2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[(π s )t π] (m)
y
3 4 1.0
y/m
2 1
2
1
AC
]
u
C
y A (3 10 m) cos(410s )t πm
8m 5m 9m B
2
1
oA
D
x
点 D 的相位落后于点 A
AD yD (3 10 m) cos[(4 π s )t 2 π ] 9 2 1 (3 10 m ) cos[( 4 π s )t π ] 5
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
y A (3 10 m) cos(4 π s )t xB x A 5 2π B A 2π π 10
2
1
B π
t x y (3 10 m) cos[2π ( ) π ] 0.5s 10 m
y
O
则 y A cost ( x)
t
表示 x点处质点的振动方程（ y t 的关系）
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
波线上各点的简谐运动图
2 令 则
t 一定 x 变化 y A cost kx
t C（定值）
2
yB (3 10 2 m) cos[(4π s 1 )t π ]
u
8m C 5m A 9m D
oB
x
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程 点C 的相位比点A 超前
yC (3 10 m) cos[( 4 π s )t 2 π
13 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π ] 5
y A cos kx
该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y x的关系）
y
o
x
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
从形式上看：波动是波形的传播.
问题：若已知
（１）任一时刻的波形图 （２）任一点振动图
1
3 *
4 2 * 2.0 * t / s * 1.0 O O 2 * 1 -1.0*1 x 0.5 m 处质点的振动曲线
例2 一平面简谐波以速度 u 20m s -1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3 10 2 cos(4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m，s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
2 1
u
10 m
C 8m B 5m 9m
10 m
D
oA
x
例3 、已知平面简谐波的某一图形，写出 波函数
t 0 设图示为平面简谐波在 时刻的 波形图，求该波的波动方程。 已知波沿 ox 轴正方向传 1 播，且 u 4.0m s y(102 m) 解：由图上直接读出 10
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
四、
波函数的物理含义
y A cost kx
1 x一定， 变化 t 令 ( x) kx
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ x Acos t u 沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波函数.
沿 x轴方向传播的波函数
y
A
uwk.baidu.com
P x
x
A
O
x P 点振动比O点超前了 Δt u 故P点的振动方程（波函数）为：
A 0.10m
0.04m
所以
T
u
0.01s
o 5
10
0.5
4.5
x(10 m)
2
由x=0.5振动状态可得
( x 0.5)
( x) kx
得坐标原点处的振动方程
2 ( x) kx 4 2
y(10 m)
y 0.1cos(t
t x y A cos[2π ( ) ] T
t x y A cos[2π ( ) ] T
t 0 x0
π y y 0, v 0 2 t t x π y cos[2π( ) ] (m) 2.0 2.0 2
O
A
y
(2)求 t 1.0s 波形图 t x π y 1.0 cos[2π( ) ] 2.0 2.0 2 π y (1.0) cos[ π x] 2 t 1.0s sin πx (m) 波形方程
x y yo t t Acos t u
2 2π 2πν uT 和 k 利用 T 可得波函数的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T A cos(t kx )