第二型曲面积分的计算方法

第二型曲面积分的计算方法

作者：周三章赵大方

来源：《科教导刊》2014年第24期

摘要本文从化归的角度，介绍利用高斯公式和合一投影法简化第二型曲面积分的计算，并结合实例予以说明。

关键词第二型曲面积分高斯公式合一投影法

中图分类号：O172.2 文献标识码：A

Methods of Computing the Second Surface Integral

ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2]

（[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University，Huangshi， Hubei 435002；

[2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002）

Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical example.

Key words the second surface integral； Gauss formula； projection

高等数学的学习中，第二型曲面积分的计算是一个难点。计算第二型曲面积分方法比较多，计算的难易程度也不同。如果运用化归的思想，通常可以达到事半功倍的效果。化归的思想具体表现在运用合一投影法，高斯公式简化求解过程。本文以几例具体来说明以上两种计算方法。

1 利用高斯公式转化为三重积分计算

引理[1]：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数（），（），（）在具有一定阶连续偏导数，则有

（ + + ） = + + ，

或

这里的是的整个边界曲面的外侧，、、是在点（）的法向量的方向余弦。

2 合一投影法计算（即把不同面的投影通过关系式转化到同一个面上计算）

引理：以平面向平面转化为例：

由曲面积分的基本关系可得：

（） = []，

（） = []，

。

由以上基本关系可得：

= ，

所以， = （）. = （）。

由以上推论可以得出[2]：若光滑的曲面表示为 = （），（（）），其中是在平面上投影区域，（）在上有连续偏导数，又（），（），（）均在上连续。则

+ + = €？（（）） + （（）） + （）。

其中取上侧时取“+”号，当取下侧时取“”号。其他的结论可以仿照以上推理过程得出。

3 举例

例1： = + + ，其中为锥面 = + 介于 = 0和 = 两平面间部分取外侧。

解：方法1：合一投影法

由的方程 = （0≤≤），投影到面上计算比较方便。投影区域是：：≤。这里取下侧。于是= [ （）+ （）+ ]。由的方程，可得：

= ， = 。

= [ （）+ （）+ ]

注：由此可知参考文献[2]中的解答有误。

方法2：运用高斯公式

分析：由于所给的曲面不是封闭曲面，故不能直接运用高斯公式。需要进行“加盖”处理。

若设锥面被截的部分为，为 = 的上侧，则由高斯公式可得：

+ + = 3 = 。

由于为 = ，所以

+ + = = ，

因此

= + +

= + + + +

= = 0。

例2：计算曲面积分 = + + ，其中是曲面 = （>0）的上侧。

解：方法1：运用高斯公式

因曲面不是封闭曲面，故不能直接利用高斯公式。设为 = 0方向朝下，则与一起构成一个封闭曲面。由高斯公式可得：

= + +

= （2· + 2· + 3·）

= 6（ + + ）

= 6·（ + ） = 2

由于为 = 0，所以

= + +

= 3·（） = 。

因此

= + + = + + + + = 。

方法2：合一投影法

设曲面在平面上的投影区域：+ ≤1。

由 = ，可得： = ， = 。

= [（）+ （）+]

= （ + + ）

= [ + + 6（ + ）]。

由轮转对称性可得： = ，即

= 14 + 6 6（ + ） = + = 。

例3： = + ，其中为上半球面 + + = （≥0）的上侧。

解：显然运用合一投影法求解比较简便。曲面在平面上的投影区域：+ ≤，由 + + = 可得= 。从而 = [（） + ] = （ + ）。

因为关于轴对称，且被积函数是关于的奇函数，所以 = 。设 = ， = ，可得： = = 。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学（下册）（6版）[M].北京：高等教育出版社，2007：220-229.

[2] 李正元.高等数学辅导（上下册合订本）[M].北京：国家行政学院出版社，2012：471-476.

[3] 许洪范.考研微积分500例[M].北京：国防工业出版社，2009：260-261.