2.2指数函数的图像与性质

第一章基本初等函数2指数函数的图像及性质一、学习目标1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质．二、知识梳理1．指数函数的定义一般地，函数y＝ a x( a＞ 0，且 a≠ 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .2．指数函数的图象与性质a＞1 0＜ a＜ 1图象定义域 R，值域 (0，＋∞ )图象过定点 (0,1)，即 x＝ 0 时， y＝ 1性质当 x＞ 0 时， y＞1；当 x＞ 0 时， 0＜ y＜ 1；当 x＜0 时， 0＜y＜ 1 当 x＜ 0 时， y＞ 1在 R 上是增函数在 R 上是减函数三、典型例题知识点一指数函数的概念例 1 给出下列函数：① y＝2·3x；② y＝3x＋ 1 x 3 x.其中，指数函数的个数是( ) ；③ y＝3；④ y＝ x ；⑤ y＝(－ 2)A ． 0B ． 1 C． 2D． 4答案 B解析①中， 3x的系数是 2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋ 1的指数是 x＋ 1，不是自变量 x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中， y＝ x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜ 0，不是指数函数．规律方法1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1的常数； (2)指数位置是自变量 x； (3)a x的系数是 1.2．求指数函数的关键是求底数a，并注意 a 的限制条件．跟踪演练 1 若函数 y＝ (4－ 3a)x是指数函数，则实数a 的取值范围为________．4答案{ a|a＜3，且 a≠ 1}1 / 8解析y＝ (4－3a)x是指数函数，需满足：4－3a＞0，解得 a＜4且a≠1.4－ 3a≠ 1，3故a 的取值范围为 { a|a＜4，且a≠ 1} ． 3知识点二指数函数的图象例 2 如图是指数函数①y＝a x，② y＝ b x，③ y＝ c x，④ y＝d x的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是( )A． a＜b＜ 1＜c＜d C．1＜a ＜ b＜ c＜ d B． b＜ a＜ 1＜ d＜ c D． a＜ b＜ 1＜ d＜ c答案 B解析方法一在 y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．由指数函数图象的升降，知c＞d＞ 1， b＜ a＜ 1.∴b＜ a＜ 1＜ d＜ c.方法二作直线 x＝ 1，与四个图象分别交于A、B、 C、D 四点，由于x＝ 1 代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜ a＜ 1＜ d＜ c.故选 B.规律方法 1.无论指数函数的底数 a 如何变化，指数函数y＝ a x( a＞0，a≠ 1)的图象与直线x＝ 1 相交于点(1 ，a) ，由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点 (0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．跟踪演练 2 (1) 函数 y＝ |2x－ 2|的图象是 ( )2 / 8(2) 直线 y＝ 2a 与函数 y＝ |a x－ 1|(a＞ 0 且 a≠1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 ________．1答案(1)B (2)0 ＜a＜2解析(1)y＝ 2x－ 2 的图象是由 y＝ 2x的图象向下平移2 个单位长度得到的，故y＝ |2x－ 2|的图象是由y＝ 2x－ 2 的图象在 x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的．(2)当 a＞1 时，在同一坐标系中作出函数y＝ 2a 和 y＝ |a x－ 1|的图象 (如图 (1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜ a＜ 1，作出函数 y＝ 2a 和 y＝ |a x－ 1|的图象 (如图 (2)) ．若直线 y＝ 2a 与函数 y＝ |a x－1|(a＞ 0 且 a≠ 1)的图象有两个交点，由图象可知0＜ 2a＜1，所以 0＜ a＜1.2知识点三指数型函数的定义域、值域例 3 求下列函数的定义域和值域：11 x22x 3(1) y＝ 2 x-4； (2)y＝1－ 2x；(3)y＝.2解(1)由 x－ 4≠ 0，得 x≠ 4，1故 y＝ 2x-4的定义域为 { x|x∈ R，且 x≠ 4} ．1又1≠ 0，即 2x- 4 x－41 故 y＝ 2x-4的值域为(2)由 1－2x≥ 0，得≠1，{ y|y＞0，且 y≠ 1} ．2x≤ 1，∴ x≤ 0，∴ y＝1－2x的定义域为 (－∞， 0]．由0＜ 2x≤ 1，得－ 1≤ － 2x＜ 0，∴ 0≤1－2x＜1，∴y＝1－2x的值域为[0,1) ．3 / 81 x22x 3 的定义域为R .(3) y ＝ 2 ∵ x 2 －2x － 3＝ (x － 1)2－ 4≥－ 4，∴ 1 x 2 2x 3 ≤ 1 －4＝ 16.2 2又∵ 1 x 2 2 x 3＞ 0， 2故函数 y ＝1x 2 2 x 3 的值域为 (0,16] ．2规律方法对于 y ＝ a f( x)(a ＞ 0，且 a ≠ 1)这类函数， (1) 定义域是使 f(x)有意义的 x 的取值范围；(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出 u ＝ f(x)的值域；②利用指数函数 y ＝ a u 的单调性求得此函数的值域．跟踪演练 3(1) 函数 f( x)＝ 1－2x ＋ 1 的定义域为 ()x ＋3 A ． (－ 3,0] B ． (－3,1]C ． (－∞，－ 3)∪ (－ 3,0]D ． (－∞，－ 3)∪ (－ 3,1] 1 x(2) 函数 f(x)＝ 3 － 1， x ∈ [－ 1,2] 的值域为 ________．答案 (1)A (2)[ － 8，2] 9解析 (1)由题意，自变量x 应满足 1－ 2x ≥ 0， x ＋ 3＞0， 解得 x ≤ 0， ∴－ 3＜ x ≤0.x ＞－ 3，(2) ∵－ 1≤ x ≤ 2，∴ 1≤ 1 x≤ 3，∴－8≤1 x－ 1≤ 2，∴值域为－ 8，2 . 93 9 39四、课堂练习1．下列各函数中，是指数函数的是 ()A ． y ＝ (－3) xB ．y ＝－3x －1C ． y ＝ 3x1D ． y ＝ 3x 答案 D解析 由指数函数的定义知 a ＞0 且 a ≠ 1，故选 D. 2． y＝3 x的图象可能是 ()44 / 8答案 C解析 0＜3＜ 1 且过点 (0,1)，故选 C. 4 3． y ＝ 2x ，x ∈ [1，＋∞ )的值域是 () A ． [1，＋∞ ) B ．[2，＋∞ ) C ． [0，＋∞ ) D ．(0，＋∞ )答案 B解析 y ＝ 2x 在 R 上是增函数，且21＝ 2，故选B. x4．函数 f(x)＝ a 的图象经过点 (2,4)，则 f(－ 3)的值是 ________．答案18解析 由题意知 4＝a 2 ，所以 a ＝2，因此 f(x)＝ 2x ，故 f(－ 3)＝ 2－ 3＝1. 85．函数 y ＝1x 2－ 1 的值域是________．2答案 (0,2]解析 ∵ x 2－ 1≥ － 1，∴ y ＝ 1 x2 1 ≤ 1 －1＝ 2，又 y ＞ 0， 22∴函数值域为 (0,2] ．1.指数函数的定义域为 (－∞，＋∞ )，值域为 (0，＋∞ )，且 f(0)＝ 1. 2．当 a ＞ 1 时， a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速度越快．当 0＜a ＜ 1时， a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快． 五、巩固练习1． y ＝ 2x － 1 的定义域是 ( ) A ． (－∞，＋∞ ) B ． (1，＋∞ )C ． [1，＋∞ )D ．(0,1) ∪(1，＋∞ ) 答案 A解析 不管 x 取何值，函数式都有意义，故选A.1 x ＋ 12．已知集合 M＝ { －1,1} ，N＝ x 2＜2＜ 4，x∈Z ，则 M∩ N 等于 ()A ． { －1,1}B ．{ －1} C． {0} D． { － 1,0}答案 B1 x＋1－1x＋1 2解析∵2＜2 ＜ 4，∴ 2 ＜ 2 ＜2 ，∴－ 1＜ x＋1＜ 2，∴－ 2＜ x＜ 1.又∵ x∈ Z，∴ x＝ 0 或 x＝－ 1，即 N＝ {0 ，－ 1} ，5 / 8∴ M ∩ N ＝ { － 1} ．3．函数 y ＝ 2x ＋1 的图象是 ()答案 A解析 当 x ＝ 0 时， y ＝2，且函数单调递增，故选A.－ x －1 的值域是 () 4．当 x ∈ [ － 2,2)时， y ＝ 3A ． (－ 8，8] B ． [－8， 8]99C ． (1， 9)D ． [1， 9]99 答案 A－ x－22 8解析 y ＝ 3－ 1， x ∈[ － 2,2)上是减函数，∴ 3 － 1＜ y ≤ 3－ 1，即－ 9＜ y ≤ 8.5．指数函数 y ＝ (2－ a)x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是 ________．答案 1＜ a ＜ 2解析 由题意可知，0＜ 2－ a ＜1，即 1＜a ＜ 2. x －56．函数 y ＝ a ＋ 1(a ≠ 0)的图象必经过点________．答案 (5,2)解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即 a 0＝ 1，由此变形得 a 5－ 5＋ 1＝2，所以所求函数图象必过点 (5,2) ． x － 1 1 7．已知函数f(x)＝ a (x ≥ 0)的图象经过点(2， 2)，其中 a ＞0 且a ≠1.(1) 求 a 的值；(2) 求函数 y ＝ f(x)(x ≥ 0)的值域．1 解 (1) ∵f(x)的图象过点 (2， 2)，2－ 1 1 1 ∴ a ＝ ，则 a＝ .2 2(2) 由 (1)知， f(x)＝(12) x － 1， x ≥ 0.由 x ≥ 0，得 x － 1≥ －1，于是 0＜ (1)x－1≤ (1)－1＝ 2，2 2所以函数y＝ f(x)(x≥ 0)的值域为 (0,2] ．8．函数 y＝ 5－|x|的图象是 ( )6 / 8答案 D解析 当 x ＞ 0 时，y ＝5 － |x | －x 1 x，又原函数为偶函数，故选D. ＝ 5 ＝ ( )52 x， x ＞0， 若 f(a)＋ f(1)＝ 0，则实数 a 的值等于 ()9．已知函数 f(x)＝x ＋ 1，x ≤0. A ．－ 3 B ．－ 1 C ． 1D ． 3 答案 A解析 依题意， f(a)＝－ f(1)＝－ 21 ＝－ 2，∵ 2x ＞ 0，∴ a ≤ 0，∴ f(a)＝ a ＋ 1＝－ 2，故 a ＝－ 3，∴选 A.10．方程 |2x － 1|＝ a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是 ____________．答案 { a|a ≥ 1，或 a ＝ 0}解析 作出 y ＝ |2x － 1|的图象，如图，要使直线y ＝ a 与图象的交点只有一个，∴ a ≥ 1 或 a＝ 0.1 211．求函数 y ＝ (2)x － 2x ＋ 2(0≤ x ≤ 3)的值域．2 1 t解 令 t ＝ x － 2x ＋ 2，则 y ＝ ( ) ， 又 t ＝ x 2－ 2x ＋ 2＝ (x － 1)2＋ 1，∵ 0≤ x ≤ 3，∴当 x ＝ 1 时， tmin ＝1，当 x ＝ 3 时， tmax ＝ 5.故 1≤ t ≤ 5，∴ (1 )5≤ y ≤ (1)1，22 故所求函数的值域 [ 1 ，1 ] ．32 212．函数 f(x)＝ a x(a ＞ 0，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大a，求 a 的值． 2解 ①若 a ＞ 1，则 f(x)是增函数，∴ f(x)在 [1,2] 上的最大值为 f(2) ，最小值为f(1) ． ∴ f(2)－ f(1) ＝a ，即 a 2－ a ＝a .2 23解得 a ＝ .2②若 0＜ a ＜ 1，则 f(x)是减函数， ∴ f(x)在 [1,2] 上的最大值为 f(1) ，最小值为 f(2) ， ∴ f(1)－ f(2) ＝a ，即 a － a 2＝a ，2 21解得 a ＝7 / 813综上所述， a ＝ 2或 a ＝ 2.x 113．设 0≤x ≤ 2， y ＝42－ 3·2x ＋5，试求该函数的最值．x,解 令 t ＝ 2 0≤ x ≤ 2， ∴1≤ t ≤ 4.2x － 1 3·2 x 1 2 ＋5. 则 y ＝ 2 － ＋ 5＝ t － 3t 21 2 1 ， 又 y ＝ (t － 3) ＋ ， t ∈ [1,4]2 2∴y ＝ 12(t － 3)2＋12， t ∈ [1,3] 上是减函数； t ∈ [3,4] 上是增函数，∴当 t ＝ 3 时， y min ＝1；当 t ＝ 1 时， y max ＝ 5. 2 2 5 1故函数的最大值为 2，最小值为2.8 / 8。