浅谈简易方程的几种解法

浅谈简易方程的几种解法

教师：曾伟

摘要：数学课程改革推进到小学高年级之后，部分教师特别是一些农村老教师，就教材中依据等式基本性质解方程的意义不很理解，对由此生成的一些问题感到困惑，总觉得还是原来依据四则运算关系解方程，便于教、便于学。新课程的出炉，是不是就意味着教师只能照本宣科呢？是不是等式的基本性质比四则运算法则和移项法更适合解简易方程呢？本文仅就与此相关的一些问题，谈谈个人的有关认识与体会，供大家参考。

一、为什么要用等式基本性质解方程

顺应着基础教育的这一发展，新一轮课程改革中推出的各学科课程标准，都将小学、初中视为一个整体，予以通盘考虑，这是一大进步。数学学科当然也不例外。可以说，义务教育数学课程标准的研制、颁布为我们研究和践行中小学数学教学的衔接，提供了教学内容、教学要求等多方面的支撑和保障。我们应该基于这样的背景，展开有关的讨论。

其实，解方程的依据，严格说来，应该是方程的同解定理。但由于中小学数学的理论要求不高，再说在陈述等式的第一条性质时，只要指出等式两边都乘或除以，加上或减去同一个不等于零的数，就可以作为同解定理来使用。所以，多年以来，即使是中学数学教材，也大多采用等式的基本性质作为解方程的依据。这样处理可以避开“同解方程”等概念，减少教学的麻烦。

过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和－另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”等等。由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时，早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。

但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。当然，负迁移的程度也取决于初中数学教师的教学策略与教学艺术，但在整体上存在负迁移是一个不争的事实。

既然如此，那是不是意味着四则运算法则就到了穷途末路的境地呢？其实不然，下面我们来综合比较一下等式的基本性质、四则运算法则和移项法这三种简易方程解法的优劣。

二、移项法PK等式的基本性质

例如方程5x+2=7x－8，为了使方程化为ax=b的形式，我们就要把同类项合并，但它们又不在等号的同侧，如何合并？不妨我们利用等式的基本性质，在方程的两边都减去2，然后在方程的两边都减去7x，这样就得到：5x－7x=－8－2，然后再合并同类项就可以了.这里的2就改变符号移到了方程的右边，7x就改变符号移到了方程的左边，这种变形相当于把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．

方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边。也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边。移项中常犯的错误是忘记变号，还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不

变号，因为改变某一项在多项式中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一边移到另一边时，这些项都要变号。例如5x=4x+8，如果用等式的基本性质来解，学生只知道等式两边加上或减去同一个数，等式不变，学生就会认为只能加已知数，很难想到两边可以同时减去4x，给教学带来了一定的麻烦。但如果移项的话就容易理解了，4x左移加号变减号，5x－4x=8，解方程就很容易了。这种情况下，移项法占一定优势。又例如20－8=4x，如果采用移项法把未知数左移变成－4x=－20+8，反而把简易方程复杂化了。但如果采用等式的基本性质，根据天平平衡原理，左右交换变成4x= 20－8就容易多了。这种情况下，等式的基本性质占优势，综合比较，各占千秋。

三、四则运算法则PK等式的基本性质

新课标人教版教材五年级数学上册“简易方程”教学内容由原教材用加减乘除四则运算之间的关系解方程改成天平平衡原理（等式的基本性质）解方程。然而，在学生的学习中，都用这种方法解决的话，有些方程不太容易解，大部分学生老是学不会。怎么办呢？

回顾学生学过的四则运算之间的关系，实质是由等式的基本性质得到的，是否可以教用学生已经熟悉的四则运算之间的关系来解方程呢？于是我就尝试让学生回忆加、减之间的关系和乘、除法之间的关系，弄清楚它们之间的关系后，我让学生试着用“一个加数等于和减去另一个加数”“被减数等于差加减数”“减数等于被减数减差”“一个因数等于积除以另一个因数”“被除数等于商乘除数”“除数等于被除数除以商”这六句话来解方程，没想到学生尝试后都觉得好用，大部分学生都学会了用这种方法来解方程。

考虑到在小学阶段依据等式基本性质解形如a－x=b与a÷x=b的方程不那么方便，因此目前多数教材采取了不出这两种类型方程的处理策略。这也是一些教师感到疑惑的问题。历史地看，在小学数学中引进方程由来已久。最初的目的：一是针对应用题教学的难点，旨在化难为易，提高学生分析问题、解决问题的能力；二是加强中小学数学教学的衔接，为中学较系统地学习方程的知识作铺垫。应该说，两方面的目的，至今仍未过时。然而，在以往的教学实践中，由于种种主客观的原因．常常异化为一招一式的解题教学。虽说教师也会对算术解法与方程解法的特点加以对比；引导学生根据应用题的特点选择适当的解题方法，但大家更多关注的还是方程的类型、列方程解的应用题的类型。换句话说，以往我们更为关注的是知识点。

对于两种版本教材讲授的解方程所依据的原理，我认为，利用等式的基本性质来解方程，没有脱离方程的意义，学生容易理解，但书写过程比较繁琐，尤其是解答未知数的整体作为减数和除数这两种形式的方程更麻烦，利用四则运算各部分间的关系来解方程，书写更简便。两条策略，是选用其一，还是综合运用?一句话，“你的课堂你做主”。教师可以根据本班实际情况，灵活处理。

尽管新课程要我们学会采用等式的基本性质来教学解简易方程，但并不意味着四则运算法则和移项法就从此谢绝门外，它们各有特点，各有优点，教师在教学中只有本着“百花争放，百鸟争鸣”的态度，集众者之长才能收到可喜的惊人收获。尽信书不如无书，教条主义，本本主义要不得，灵活运用，结合实际才是永恒不变的真理。