高三一轮复习平面向量知识点及复数整理
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6、下列n的取值中，使 =1(i是虚数单位）的是（）
A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5
7、若复数 满足方程 ，则 （）
A. B. C. D.
8、在复平面内，复数6+5i, -2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）
A．4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
例如 =3＋5i与 =3－5i互为共轭复数
4、熟练记忆掌握运用以下结论：
（1）复数相等的充要条件：a+bi=c+di等价于。
（2）复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作。
5、复数运算：
（1）复数加法：(a+bi)+(c+di)=__________________
（2）复数减法：(a+bi)-(c+di)=___________________
；
当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ．
运算律： ； ； ．
坐标运算：设 ，则 ．
【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且 ，则点P的坐标为_______
（答： ）；
5、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．设 ， ，（ ） 。
【例题】 (1)若向量 ，当 ＝_____时 与 共线且方向相同
（答：2）；
（2）已知 ， ， ，且 ，则x＝______
（答：4）；
6、向量垂直： .
【例题】(1)已知 ，若 ，则
（答： ）；
（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， ，则点B的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
第五期第三周集体备课发言材料
发言人：牟京华 时间：2018年9月27日
平面向量知识点整理
1、概念
（1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
（2）单位向量：长度等于 个单位的向量．
（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
坐标运算：设 ， ，则 ．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ．
【例题】
（1）① ___；wk.baidu.com ____；
③ _____（答：① ；② ；③ ）；
（2）若正方形 的边长为1， ，则 ＝_____
（答： ）；
（3）已知作用在点 的三个力 ，则合力 的终点坐标是
（答：（9,1））
4、向量数乘运算：
实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
二，高考链接
1、复数 的实部是（）
A.-2 B.2 C.3 D.4
2、复数 等于（）.
A． B. C. D.
3、已知 （a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）
A．-1 B.1 C.2 D.3
5、已知0＜a＜2，复数 (i是虚数单位)，则|z|的取值范围是（）
A.(1, ) B. (1, ) C.(1,3) D.(1,5)
复数
一、知识梳理：
1、复数的概念:
（1）虚数单位 ，
（ 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1）
2、复数的分类( )
3、两种意义：
1与复平面上的点（a,b）一一对应
2与向量（a,b）一一对应
4、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，
通常记复数 的共轭复数为 。
则a∥b a＝λb(b≠0) x1y2＝x2y1.
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则 ；（注 ）
【例题】
（1）△ABC中， ， ， ，则 _________
（答：－9）；
（2）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于____（答：1）；
（3）已知 ，则 等于____（答： ）；
（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为____
（答：（4）（5））
2.已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 ＝_____
（答： ）；
2、向量加法运算：
三角形法则的特点：首尾相连．
平行四边形法则的特点：共起点．
三角形不等式： ．
运算性质： 交换律： ； 结合律： ；
．
坐标运算：设 ， ，则 ．
3、向量减法运算：
三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
（答： ）
（5）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______（答： 或 且 ）；
（6）已知向量 ＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝ ，求向量 、 的夹角；（答：150°）；
8、 在 上的投影：即 ，它是一个实数，但不一定大于0。
【例题】已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为______（答： )
（3）乘法：(a+bi)(c+di)=_________________
（4）除法： _________________
注意：
(1)(a+bi)(a-bi)=________________
(2)(a+bi)2= ______________
(3)(a-bi)2=____________________
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有零向量)
④三点A、B、C共线 共线
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．
（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是-a
（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是________
（答： ）
7、平面向量的数量积：
．零向量与任一向量的数量积为 ．
性质：设 和 都是非零向量，则 ． 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ． ．
运算律： ； ； ．
坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ．
设 ， ，则a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
9、已知复数满足（ ） ，则 =（）
A．-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i
10、设 ，则 （）
A. B. C. D.
11、 ( )
A. B. C. D.
（6）向量表示：几何表示法 ；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
（7）向量的模：设 ，则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： .
（ 。）
（8）零向量：长度为 的向量。a＝O ｜a｜＝O.
【例题】1.下列命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 ，则 是平行四边形。（4）若 是平行四边形，则 。（5）若 ，则 。（6）若 ，则 。其中正确的是_______
A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5
7、若复数 满足方程 ，则 （）
A. B. C. D.
8、在复平面内，复数6+5i, -2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）
A．4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
例如 =3＋5i与 =3－5i互为共轭复数
4、熟练记忆掌握运用以下结论：
（1）复数相等的充要条件：a+bi=c+di等价于。
（2）复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作。
5、复数运算：
（1）复数加法：(a+bi)+(c+di)=__________________
（2）复数减法：(a+bi)-(c+di)=___________________
；
当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ．
运算律： ； ； ．
坐标运算：设 ，则 ．
【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且 ，则点P的坐标为_______
（答： ）；
5、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．设 ， ，（ ） 。
【例题】 (1)若向量 ，当 ＝_____时 与 共线且方向相同
（答：2）；
（2）已知 ， ， ，且 ，则x＝______
（答：4）；
6、向量垂直： .
【例题】(1)已知 ，若 ，则
（答： ）；
（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， ，则点B的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
第五期第三周集体备课发言材料
发言人：牟京华 时间：2018年9月27日
平面向量知识点整理
1、概念
（1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
（2）单位向量：长度等于 个单位的向量．
（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
坐标运算：设 ， ，则 ．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ．
【例题】
（1）① ___；wk.baidu.com ____；
③ _____（答：① ；② ；③ ）；
（2）若正方形 的边长为1， ，则 ＝_____
（答： ）；
（3）已知作用在点 的三个力 ，则合力 的终点坐标是
（答：（9,1））
4、向量数乘运算：
实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
二，高考链接
1、复数 的实部是（）
A.-2 B.2 C.3 D.4
2、复数 等于（）.
A． B. C. D.
3、已知 （a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）
A．-1 B.1 C.2 D.3
5、已知0＜a＜2，复数 (i是虚数单位)，则|z|的取值范围是（）
A.(1, ) B. (1, ) C.(1,3) D.(1,5)
复数
一、知识梳理：
1、复数的概念:
（1）虚数单位 ，
（ 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1）
2、复数的分类( )
3、两种意义：
1与复平面上的点（a,b）一一对应
2与向量（a,b）一一对应
4、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，
通常记复数 的共轭复数为 。
则a∥b a＝λb(b≠0) x1y2＝x2y1.
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则 ；（注 ）
【例题】
（1）△ABC中， ， ， ，则 _________
（答：－9）；
（2）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于____（答：1）；
（3）已知 ，则 等于____（答： ）；
（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为____
（答：（4）（5））
2.已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 ＝_____
（答： ）；
2、向量加法运算：
三角形法则的特点：首尾相连．
平行四边形法则的特点：共起点．
三角形不等式： ．
运算性质： 交换律： ； 结合律： ；
．
坐标运算：设 ， ，则 ．
3、向量减法运算：
三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
（答： ）
（5）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______（答： 或 且 ）；
（6）已知向量 ＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝ ，求向量 、 的夹角；（答：150°）；
8、 在 上的投影：即 ，它是一个实数，但不一定大于0。
【例题】已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为______（答： )
（3）乘法：(a+bi)(c+di)=_________________
（4）除法： _________________
注意：
(1)(a+bi)(a-bi)=________________
(2)(a+bi)2= ______________
(3)(a-bi)2=____________________
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有零向量)
④三点A、B、C共线 共线
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．
（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是-a
（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是________
（答： ）
7、平面向量的数量积：
．零向量与任一向量的数量积为 ．
性质：设 和 都是非零向量，则 ． 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ． ．
运算律： ； ； ．
坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ．
设 ， ，则a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
9、已知复数满足（ ） ，则 =（）
A．-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i
10、设 ，则 （）
A. B. C. D.
11、 ( )
A. B. C. D.
（6）向量表示：几何表示法 ；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
（7）向量的模：设 ，则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： .
（ 。）
（8）零向量：长度为 的向量。a＝O ｜a｜＝O.
【例题】1.下列命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 ，则 是平行四边形。（4）若 是平行四边形，则 。（5）若 ，则 。（6）若 ，则 。其中正确的是_______