圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

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圆锥曲线的极坐标方程

极坐标处理二次曲线问题教案

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．？

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．？ 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：θ

ρcos 1e ep

-=.

其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；？

当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

引论（1）若 1+cos ep

e ρθ

=

则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2 ）若1-sin ep

e ρθ

=

当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep

e ρθ

=

当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

例1.确定方程10

53cos ρθ

=

-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：31025333

1cos 1cos 55

ρθθ⨯

==-- 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，

右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。

点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有

力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，

1、椭圆中，c

b c c a p 2

2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.

2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。） 若M 、N 在双曲线同一支上，

θ

θπθ2

22

2

cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222

cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.

3、抛物线中，θ

θπθ2

sin 2)cos(1cos 1p

p p MN =--+-=

例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3

π

的直线，交双曲线与A 、B 两

点，求AB ｜｜

解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以

又由 得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。

点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都是 ;对于两个

端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值, 所以弦长也是 ;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 - 或

为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用

5

23cos ρθ

=-12(,),(,)33

A B ππ

ρρπ+12||

AB ρρ=+5580||7

23cos 23cos()33

πππ=+=--+12ρρ+12ρρ+()

12-ρρ+12

ρρ+

变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6

π

的直线，交双曲线于A,B 两点，求AB 求AB ｜｜ 解： 附录直角坐标系中的焦半径公式 设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，

1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；

2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，

当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2

p

x PF +=. 利用弦长求面积

高考题（08年海南卷）过椭圆2

2

154

x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与

椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积． 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式22

2||1cos ep

AB e θ

=-求弦长，然后利用公式B 1

|B |||sin 2

AO S A OF AFO ∆=

∠直接得出答案。 变式(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2

212

x y +=的左焦点.过点F 的直线1

l 与椭圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.

解析以点F

为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2

ρ=

ρ=

4

=