1.4.2(2)正弦_余弦函数的性质(奇偶性、单调性)上课用(全)
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正弦函数余弦函数性质单调性奇偶性教案
正弦函数在每一个闭区间[ +2k , +2k ](k∈Z)上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间__________________上都是减函数，其值从____减小到_______．
类似地，我们可得到余弦函数的单调性：请同学们自主学习，并在课本P38上对应填写余弦函数的单调性有关内容
余弦在每一个闭区间___________上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减小到-1．
高一数学教案
课题：
正弦函数、余弦函数的性质（二）
课型：新授课
课时：1
学习目标：
说出正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性。
重点：
掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性。
难点：
正弦函数、余弦函数区域上的单调性．
教学过程
教学内容
设计意图
一、复习旧知：
1.偶函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有___________，那么f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于_____对称。例如：
二、探究新知：
1、正余弦函数的奇偶性
请同学们观察正弦曲线、余弦曲线．
它们的图象从对称性上有何特征？
根据它们的图正弦函数、余弦函数的单调性
观察正弦曲线可以看出：当x由- 增大到 时，曲线________，sinx的值由-1增大到1，当x由 增大到 时，曲线_________，sinx的值由1减小到-1，由正弦函数的周期性可知．
4.周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_________,那么函数f(x)就叫做周期函数，________就叫做这个函数的周期.
因为正弦函数、余弦函数为周期函数，所以只要把握了一个周期内的性质，整个定义域内的性质也就很清楚了，因此下面研究x∈[0,2 ]的性质．
类似地，我们可得到余弦函数的单调性：请同学们自主学习，并在课本P38上对应填写余弦函数的单调性有关内容
余弦在每一个闭区间___________上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减小到-1．
高一数学教案
课题：
正弦函数、余弦函数的性质（二）
课型：新授课
课时：1
学习目标：
说出正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性。
重点：
掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性。
难点：
正弦函数、余弦函数区域上的单调性．
教学过程
教学内容
设计意图
一、复习旧知：
1.偶函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有___________，那么f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于_____对称。例如：
二、探究新知：
1、正余弦函数的奇偶性
请同学们观察正弦曲线、余弦曲线．
它们的图象从对称性上有何特征？
根据它们的图正弦函数、余弦函数的单调性
观察正弦曲线可以看出：当x由- 增大到 时，曲线________，sinx的值由-1增大到1，当x由 增大到 时，曲线_________，sinx的值由1减小到-1，由正弦函数的周期性可知．
4.周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_________,那么函数f(x)就叫做周期函数，________就叫做这个函数的周期.
因为正弦函数、余弦函数为周期函数，所以只要把握了一个周期内的性质，整个定义域内的性质也就很清楚了，因此下面研究x∈[0,2 ]的性质．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于 原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x， 且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数 增函数 减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题． 解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关 于原点对称， 且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理 一、正弦函数和余弦函数的单调性
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质2(奇偶性、单调性、最值及对称性)
当x1<x2时，有＿f＿(x1＿)<＿f(x＿2)，是增函数； 当x1<x2时，有＿＿f(x＿1)＿>f＿(x2，) 是减函数。
4、单调性的几何意义：
若函数在[a,b]上是增函数，则图象＿＿＿上；升 若函数在[a,b]上是减函数，则图象＿＿下＿降。
第3页，共21页。
遥远的回忆
5、M是函数的最大值：
2
5 2
x
3
7 2
4
增区间为 22,22k，2 2k（ k 其 Z值）从-1增至1
减区间为
2
,322k，32
2k（ k
Z）其值从
1减至-1
第9页，共21页。
3.正弦、余弦函数的单调性：
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
y=cosx (xR[-π) ，π])
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
cos(-x)= cosx (xR)
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
第8页，共21页。
3.正弦、余弦函数的单调性：
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
y=ssiinnxx
((xxR)
2
),
3 2
2
x
2
…
2
sinx -1
1
…
3 2
-1
3
2
y=cosx
y
1
0
2
3 2
4、单调性的几何意义：
若函数在[a,b]上是增函数，则图象＿＿＿上；升 若函数在[a,b]上是减函数，则图象＿＿下＿降。
第3页，共21页。
遥远的回忆
5、M是函数的最大值：
2
5 2
x
3
7 2
4
增区间为 22,22k，2 2k（ k 其 Z值）从-1增至1
减区间为
2
,322k，32
2k（ k
Z）其值从
1减至-1
第9页，共21页。
3.正弦、余弦函数的单调性：
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
y=cosx (xR[-π) ，π])
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
cos(-x)= cosx (xR)
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
第8页，共21页。
3.正弦、余弦函数的单调性：
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
y=ssiinnxx
((xxR)
2
),
3 2
2
x
2
…
2
sinx -1
1
…
3 2
-1
3
2
y=cosx
y
1
0
2
3 2
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
当x取何值时，余弦函数有最值吗?
1
三、例题分析
例1、下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取
最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小
值分别是什么。
性质3：周期性
最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小
的正数，那么这个最小的正数就叫做最小正周期。
判断1.
判断2.
例3、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小
总结：
四、针对性练习
C
C C
小结
谢谢
2020/11/24
第一课时
雷锋学校高一年级数学备课组
学习目标 掌握正弦函数与余弦函数的性质：
1.定义域、值域 2.最值 3.周期性
2020/11/24
一、复习回顾
二、基础知识讲解
性质1：定义域，值域
性质2:正弦函数最大值与最小值
思考：请观察正弦函数的图象，说出当x取何值时，
正弦函数有最值?
性质2:余弦函数最大值与最小值 思考：你能通过正弦函数与余弦函数的关系，猜想出
2020/11/24
判断3. 判断4.
解答：f(3)=f(1)=0; f(7/2)=f(3/2)=1/4
练习
3 B
C
五、课时小结
第二课时
雷锋学校高一年级数学备课组
1.列表
2.描点,连线
2020/11/24
一、复习回顾
一、复习回顾 解析
3பைடு நூலகம்
B
二、基础知识讲解
性质4：奇偶性
因为sin(-x)=sinx,所以y=sinx为奇函数 cos(-x)=cosx,所以y=cosx为偶函数
正弦函数图象关于原点对称 余弦函数图象关于y轴对称
1
三、例题分析
例1、下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取
最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小
值分别是什么。
性质3：周期性
最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小
的正数，那么这个最小的正数就叫做最小正周期。
判断1.
判断2.
例3、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小
总结：
四、针对性练习
C
C C
小结
谢谢
2020/11/24
第一课时
雷锋学校高一年级数学备课组
学习目标 掌握正弦函数与余弦函数的性质：
1.定义域、值域 2.最值 3.周期性
2020/11/24
一、复习回顾
二、基础知识讲解
性质1：定义域，值域
性质2:正弦函数最大值与最小值
思考：请观察正弦函数的图象，说出当x取何值时，
正弦函数有最值?
性质2:余弦函数最大值与最小值 思考：你能通过正弦函数与余弦函数的关系，猜想出
2020/11/24
判断3. 判断4.
解答：f(3)=f(1)=0; f(7/2)=f(3/2)=1/4
练习
3 B
C
五、课时小结
第二课时
雷锋学校高一年级数学备课组
1.列表
2.描点,连线
2020/11/24
一、复习回顾
一、复习回顾 解析
3பைடு நூலகம்
B
二、基础知识讲解
性质4：奇偶性
因为sin(-x)=sinx,所以y=sinx为奇函数 cos(-x)=cosx,所以y=cosx为偶函数
正弦函数图象关于原点对称 余弦函数图象关于y轴对称
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(上课用课件)很全
∴ 由周期函数的定义知道，原函数的周期为4
x 的单调增区间。 例2、求函数y sin(1 2 3 ), x [2 ,2 ]
x 函数y sin z的单调递增区间是 解:令 z 1 2 3.
[ 2 k , 2 2 2k ]
由 2 2k
正弦函数的最值
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
2k (k z )时
2k (k z )时
y max 1
y min 1
x
2
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
sin x
cos( x) cos x
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
sinx
2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR) [ 2 k , 2k ]( k z ) 其值从-1增至1 增区间为 2 2 3 2k ]( k z ) 其值从 1减至-1 减区间为 [ 2k , 2 2
高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件
∴函数 y2sin1x(),x.正弦函数、余弦函数的性质
例1) 3y.求s下in列( x函数的)周期：
3 2) y cos 3x
3) y 3 sin ( 1 x ), x R 一般
35
结论：
函 数 yAsin(x)及 yAcos(x),xR (A,,为 常 数 ,A0,. 0)的 周 期 T2 8
.
15
结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶 函数
.
9
正弦、余弦函数的图象和性质
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
.
5 6 x
5 6 x
10
正弦、余弦函数的奇偶性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
.
6
例：求下列函数的周期 ( 1 ) y 3 cx ,o x R s( 2 ) y s2 x i ,x n R ( 3 ) y 2 s1 i x n ) 26 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
1.4.2正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性和最值 教案
2011-12-31.4.2正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性和最值教案教学目的1．能准确迅速绘出正弦曲线和余弦曲线，并会利用图象研究函数的有关性质．2．掌握y＝sin x与y＝cos x的周期、最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题．教学重点：通过正、余弦函数的图象理解正、余弦函数的性质，培养数形结合能力。
教学难点：正、余弦函数性质的掌握并灵活应用教学过程：一通过定义证明正余弦函数的奇偶性。
正弦函数是，余弦函数是。
正弦曲线关于对称,余弦曲线关于对称二对称性=对称轴对称中心是xy sin=对称轴对称中心是xy cos三单调性正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，在每一个闭区间上都是减函数，余弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是减函数.４．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，５．值域与最值正弦函数、余弦函数的值域都是其中正弦函数y=sin x,x∈R①当且仅当x＝时，取得最大值②当且仅当x＝时，取得最小值而余弦函数y＝cos x，x∈R①当且仅当x＝，k∈Z时，取得最大值②当且仅当x＝，k∈Z时，取得最小值例1 求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝－３sin2x ，x ∈R例２ 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。
（１）)10sin()18sin(ππ--与 （２）).417cos()523cos(ππ--与例３求函数y=sin(21x+3π)，x ∈［－２π，２π］的单调增区间。
练习 求下列函数的最大值和最小值。
（１）)32cos(23π++=x y ； （２）当－6π 《x 《6π时，（１）的最大和最小值。
１．)23sin(2x y -=π增区间是 )43c o s (π+=xy 减区间是２．x y 2cos =增区间是 x x y 2c o s 2s i n 3+=增区间是 ３．对)32sin(2)(π+=x x f 下列说法正确的是①)()(21x f x f =，则12x x -必是π的整数倍 ②)(x f y =可以改写成)62cos(2)(π-=x x f③)(x f y =关于⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称 ④)(x f y =关于6π-=x 对称4．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32，则α＋β与π的大小关系是________ ．5若函数y=sin(x+ϕ) (0《x 《π) 是Ｒ上的偶函数，则ϕ等于 ６．函数R x x y ∈-=,3cos2的最大值最小值７．比较sin 2500与sin 2600, 937cos817cosππ与 00530cos 515cos 与的大小８ 根据正余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的ｘ的取值集合。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质奇偶性、对称性
（（4）y sin
是增函数
探索新知3
y
1
y sin x
2
xR
2
5 2
3 5 2
2 3
2
2
O
1
3 2
3
x
观察正弦曲线，你能说出当x取哪些值时，正弦 函数取到最大值和最小值吗？ 最大值： 当 最小值： 当x
x
2
2k 时， 有最大值 y 1
(1) sin
12
与 sin
10
(2) cos(
5
)与 cos(
4
)
课堂小结
小
结
1.正弦函数、余弦函数奇偶性和单调性 2.判断三角函数的奇偶性 3.利用三角函数单调性求最值以及比较 大小
（1）思考：正弦函数余弦函数是否还有其他的 对称中心和对称轴？ （2）高效作业第8课时
你都会了吗
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数在每个闭区间[
2
2k ,
2
2k ]( k Z )
都是增函数，其值从－1增大到1；
3 而在每个闭区间[ 2k , 2k ](k Z )上都是 2 2
减函数，其值从1减小到－1。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
— 奇偶性、对称性、单调性
复习回顾
温故而知新，可以为师矣 ---孔子
函
数
y=sinx R [-1,1] 2π
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)经典课件25页PPT
复习回顾
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
二、正弦余弦函数的性质
y
-
1-
-
-
-
-
-
6
4
-
2
o
2
4
6
x
-1-
正弦函数y=sinx的图 象
每隔2 ，图象重复出现y
即 对 x ， y 任 s（ ix n 意 2 ） sixn 1-
-
4
-
6
-
4
4、正弦函数余弦函数的奇偶性
2
-
y
正弦函数y= si nx的图象
1-
o -1-
2
-
4
-
6
x
-
y
余弦函数y = c osx的图象
2
-
1-
o -1-
2
-
4
-
6
x
-
-
-
1）奇偶性 正弦函数y＝sinx：奇函数；余弦函数y＝cosx：偶函数 2）对称性： 正弦函数关于原点对称；余弦函数关于y轴对称。
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
二、正弦余弦函数的性质
y
-
1-
-
-
-
-
-
6
4
-
2
o
2
4
6
x
-1-
正弦函数y=sinx的图 象
每隔2 ，图象重复出现y
即 对 x ， y 任 s（ ix n 意 2 ） sixn 1-
-
4
-
6
-
4
4、正弦函数余弦函数的奇偶性
2
-
y
正弦函数y= si nx的图象
1-
o -1-
2
-
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-
6
x
-
y
余弦函数y = c osx的图象
2
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1-
o -1-
2
-
4
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6
x
-
-
-
1）奇偶性 正弦函数y＝sinx：奇函数；余弦函数y＝cosx：偶函数 2）对称性： 正弦函数关于原点对称；余弦函数关于y轴对称。
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
1.4.2正弦函数余弦函数的性质第二课时
y=sinx (xR)
是奇函数
cos(-x)= cosx (xR)
y=cosx (xR)
是偶函数
定义域关于原点对称
正弦函数的单调性
y=sinx (xR)
x
sinx
-1
0
1
0
-1
单调性
正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
余弦曲线关于直线x=kπ对称.
函数
的性质？
定义域
值域
周期
偶函数
奇偶性
单调性
对称性
题型一 求正、余弦函数的单调区间
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
题型二 比较三角函数值的大小
【名师点评】 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．
跟踪训练
解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，且y＝sin x在(0°，90°)上递增，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的图像和性质
是奇函数
cos(-x)= cosx (xR)
y=cosx (xR)
是偶函数
定义域关于原点对称
正弦函数的单调性
y=sinx (xR)
x
sinx
-1
0
1
0
-1
单调性
正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
余弦曲线关于直线x=kπ对称.
函数
的性质？
定义域
值域
周期
偶函数
奇偶性
单调性
对称性
题型一 求正、余弦函数的单调区间
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
题型二 比较三角函数值的大小
【名师点评】 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．
跟踪训练
解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，且y＝sin x在(0°，90°)上递增，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的图像和性质
高中数学必修4公开课课件1.4.2--正弦函数、余弦函数的性质(二)
23
2
2k,
2
2k .
由 2k 1 x 2k,
2
2 32
得 5 4k x 4k, k Z.
3
3
设 A 2, 2 ,
1
例1.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的 自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是多少.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解：这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数 y co取s得x 最1大, x值的R的集合为
x
当且仅当x=_________2__k__,时k取得Z最小值___. 2
1
x
3
7
2
4
1
三、最大值和最小值探究
y
y cos x
1
-3
5 -2
3
-
2
2
o 2 -1
2
x
3
2
2
5
2
3
7
2
4
余弦函数当且仅当x=_______2_k__时, k取得Z最大值___；
1
当且仅当x=________2_k__,时k 取 Z得最小值___.
f，(那x 么T函) 数 f (x就)叫做周期函数，非f (零x)常数
T叫做这个函数的周期.
2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？ 最小正周期是多少？
正弦函数、 余弦函数都是周期函数，
都是它的周期，最小正周期是 . 2
2k(k Z且k 0)
3.函数的周期性对于研究函数有什么意义？
对于周期函数，如果我们能把握它在一个周期内的情况， 那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的 一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数 的情况.
2
2k,
2
2k .
由 2k 1 x 2k,
2
2 32
得 5 4k x 4k, k Z.
3
3
设 A 2, 2 ,
1
例1.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的 自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是多少.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解：这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数 y co取s得x 最1大, x值的R的集合为
x
当且仅当x=_________2__k__,时k取得Z最小值___. 2
1
x
3
7
2
4
1
三、最大值和最小值探究
y
y cos x
1
-3
5 -2
3
-
2
2
o 2 -1
2
x
3
2
2
5
2
3
7
2
4
余弦函数当且仅当x=_______2_k__时, k取得Z最大值___；
1
当且仅当x=________2_k__,时k 取 Z得最小值___.
f，(那x 么T函) 数 f (x就)叫做周期函数，非f (零x)常数
T叫做这个函数的周期.
2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？ 最小正周期是多少？
正弦函数、 余弦函数都是周期函数，
都是它的周期，最小正周期是 . 2
2k(k Z且k 0)
3.函数的周期性对于研究函数有什么意义？
对于周期函数，如果我们能把握它在一个周期内的情况， 那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的 一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数 的情况.
高中数学必修4公开课课件142 正弦函数余弦函数的性质(二)
y
y sin x 1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3 7 2
4
-1
正弦函数当且仅当x=__2___2_k__,_k___Z__时取得最大值_1 _；
当且仅当x=__2___2_k__,_k___Z_时取得最小值__1_.
三、最大值和最小值探究
ycosx y
1
x
正弦函数在每一个闭区间 22k, 22k,(kZ) 上都是增函数，其值从-1增大到1； 在每一个闭区间 22k,322k,(kZ)上都是减函数， 其值从1减小到-1.
4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？
ycosx
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
3 2
2
5 2
x
3
7 2
[
2 +2k,
3
2
+2k],kZ 单调递减
2
2
[ +2k,2k],kZ 单调递增
[2k,2k+],kZ 单调递减
求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质； 2. 利用图象寻找单调区间.
霸祖孤身取二江，子孙多以百城降。豪华 尽出成功后，逸乐安知与祸双？
——王安石
y
1
y=sinx
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3 7 2
4
-1
减区间？怎样把它们整合在一起？
增区间： 52 2 , 23 k2 ,,2 2 2k,2,,k 32 Z,52 周
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关键：借助y sin z的单调性。
1 思考：函数y sin( x ), x [2 ,2 ]的 2 3 单调递减区间。
小
结：
奇偶性 [ 单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请 写出取最大值、最小值时的自变量x的集合， 并说出最大值、最小值分别是什么？
(1)y= cosx +1, x∈R
(2)y= –3sin2x, x∈R
例4 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1) sin( ) 与 sin( ) 18 10 解： 2 10 18 2 又 y=sinx 在[ , ] 上是增函数
正弦、余弦函数的奇偶性:
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y
1
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
ห้องสมุดไป่ตู้3
7 2
4
y=sinx
如果对于函数f（x）的定义域内的任意的一个x， 都有f（-x）=-f（x）（或f(-x)=f(x)）,则称f（x）为这 个定义域内的奇函数（或偶函数），奇函数的图象关 于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
2 2
sin( ) < sin( ) 10 18 23 17 (2) cos( )与 cos( ) 5 4 解： cos( 23 )=cos 23 =cos 3
5 5 5
17 cos( 17 )=cos 4 4
=cos
4
0
4
3 5
又 y=cosx 在 [0, ] 上是减函数
cos
3 5
<cos 4
23 17 cos( ) cos( ) 5 4
利用三角函数的单调性 ，比较下列各组中 两个三角函数值的大小 ： （ 1 ） sin 2500 与 sin 2600 （2） cos5150 与 cos5300
（3） cos
10
与 sin
10
1 例5 求函数y sin( x ), x [2 ,2 ]的 2 3 单调递增区间。
2
3 2
2
5 2
x
0
-1
2
3 2
2
5 2
x
定义域
值域
R [－1，1]
x 2k 时， ymax 1 2 最值 x 2k 时，ymin 1 2 x[- 2k , 2k ] 增函数 2 2 单调性 x[ 2k , 3 2k ] 减函数 2 2
正弦、余弦函数的性质（2）
（奇偶性、单调性）
X
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
定义域 R 值 域 [ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
1
y=cosx (xR)
y
-4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
p 余弦曲线关于点(k p + , 0) 2
和直线x=kπ 对称.
讲授新课 对称轴
y=sinx的对称轴为 x k
2
, k Z.
的对称中心为（kπ，0）
x k , k Z . y=cosx的对称轴为
p 的对称中心为 (k p + , 0) 2
讲授新课
练习:
(1) 写出函数y 3 sin 2 x的对称轴; ( 2) y sin( x )的对称轴是 ( ) 4 A. x轴 B . y轴 C .直线x D.直线x 4 4
奇偶性 周期 对称性 奇函数
R [－1，1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ]
思考1：根据上述结论，正、余弦函数的 值域是什么？函数y=Asinω x（Aω ≠0） 的值域是什么？ [-|A| ， |A|]
思考2：正弦曲线除了关于原点对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
对称中心
正弦曲线关于点（kπ ，0）和直线
p x = k p + (k Z ) 对称. 2 对称轴
思考 3 ：余弦曲线除了关于 y 轴对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
函数
正弦函数 奇函数
余弦函数
偶函数
[ +2k, 2k],kZ [2k, 2k + ], kZ
单调递增 单调递减
一般地，y=Asinωx是奇函数， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数
作 业： P41 5(2)、(4)；6
函数
y
1
y=sinx
y
1
y=cosx
图形
2
0
-1
2
3
4
5
6
x
ymax 1 最值： 当 x 2k 时， 2
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
当 x 2k 时，ymin 1 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
sinx
2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR)
, +2k ],kZ 其值从-1增至1 增区间为 [[ +2k ， ] 2 2 2 2 3 3 , +2k 减区间为 [[ +2k ， ] ],kZ 其值从 1减至-1 2 2 2
余弦函数的单调性
y
1 -3