质点系动量定理
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理论力学--动量定理
质心运动的思考与比较
F′
A F
B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上， 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不 同位置上，各作用一水平力F 同位置上，各作用一水平力 和F′，使圆盘由静止开始运动 ， ，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？ ，试问哪个圆盘的质心运动得快？ (A)．A盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (B)．B盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (C)．两盘质心的运动相同 ． (D)．无法判断 ．
1 2 h = gt 2
r P
以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理： 以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：
mv − mv0 = (P − F )t0
v 1 1 + 0 P = 1 + F = gt 0 t0 2h g
30° °
﹡ FN
P
Q
P ∗ v0 sin 30o − 0 = (FN − P −Q)t g
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
y1
ω
o2
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
y1
r vO 2 o2
y
eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
& r x m2 g
x1
x
外壳质心的速度， 轴正向: 其中 vO1 — 外壳质心的速度，沿 x 轴正向 vO2 — 转子质心的速度，且 转子质心的速度，
例：电机在水平方向的运动规律
(m v
3-7质点系的动量定理
t2 v v I 外 = ∫ F外力dt t1
当系统所受合外力为零时， 当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的 时 动量的增量为零， 动量的增量为零，即系统的总动量保持不变
v 若: F外 = 0
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量 :是矢量式 应用时写成分量式 是矢量式,应用时写成 是矢量式 应用时写成分量式
三种 情况 （1）不受外力 ）不受外力; （2）受外力 外力矢量和为零 ）受外力,外力矢量和为零 （3）内力远远大于外力 ） (打击,碰撞,爆炸等) 打击,碰撞,爆炸等)
分动量守恒: 分动量守恒
动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 但若沿某一方向合外力为零, 但若沿某一方向合外力为零,则该方向的动量守恒
r r r ∆p = 0 − m0 (v0 i + 2 gh j )
分析：这是由于外力 车厢的反作用力和重力共同作用的 分析：这是由于外力---车厢的反作用力和重力共同作用的 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 车厢反作用力为一冲力， 车厢反作用力为一冲力，与它相比重力可以忽略不计
一、关于质点系
几个相互作用的质点组成质点系 系统所受的力分为外力和内力 系统所受的力分为外力和内力
外力: 外力
系统外的物体作用于 系统内各质点的力
内力: 内力:
系统内各质点之间的 相互作用力
注:
系统的内力对于系统内的每一质点均属于外力 系统内的所有内力总是由一对对的 作用力和反作用力组成 对于系统: 对于系统
v v0
质点系动量定理
h
T
2H g
取铅垂轴y向上为正，根据动量定理有：
mv2 mv1 p
p 0。则有 由题意知， v1 0 ，经过（T+t）秒后，
p Nt Q(T t ) 0
由此得
1 T N Q( 1) Q t t 2H 1 g
1 2 1.5 16.9 KN N 300 1 0.01 9.8
e i
质点系外力： R
e
Fi
e
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互 i 作用力；用 F i 表示。
质点系内力： R
i
Fi
i
质点系内力系的主矩、主矢为：
R Fi 0
i
i
M o mo Fi i 0
i
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运 动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点， 作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。 同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外 力才能改变质心的运动。
例1、锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻 件上，如图所示，锻件发生变形，历时t=0.01s. 求锤对锻件的平均压力。 解：取锤为研究对象。作用在锤 上的力有重力Q锤与锻件接触后 锻件的反力。但锻件的反力是变 力。设平均反力为N. 锤下落高度H所需时间T为：
i i
§11－3 质心运动定理 1、质心：质点系的质量中心 质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质 量的分布情况有关。 2、质心的确定
直角坐标下的质心计算公式：
mi xi xC M
mi yi yC M
mi zi zC M
质点动量定理.pptx
1
Yc m
1 yCdm m
R
0 y边 (2x边dy边)
1 R
m
0
y边 (2
R2
y边2 dy边 )
4R 3π
dy边
yC
y边
即质心位置为
0,
4R 3π
。
8
第9页/共47页
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每
个物体的质心，再用分立质点系质心的求法，求出公 共质心。
它们置于一质量也为 m 的槽的底部。槽置于光滑的水
平面上。释放后，球最终静止于槽的底部，问此时槽移
动了多远？
解：水平方向动量守恒,质心位置不变
xC0 xC
xC 0
2m 0 3m
mR
3mx xC 3m
解得： x 1 R 0 向右移动
3 27 第28页/共47页
例4.1.2-2 一物体在光滑水平面上以 5m/s的速度沿 x
由牛顿第二定律原始表达式：
对上式积分得：
F d(mv) dt
定义：
t t
Fdt mv(t t) mv(t) t P mv 称为质点的动量
tt
I Fdt
称为力在 t 时间内的冲量
t
质点的动量定理: 外力冲量等于质点动量的改变量
16
第17页/共47页
例4.2.1-1 一质量为 0.15 千克的棒球以 v0 40m/s 的
(3)
1
yc
mA yA mB yB mD yD mA mB mD
4mD (2) 2mD (1) mD (8) 4mD 2mD mD
2
zc
mA zA mB zB mD mA mB mD
质点系动量守恒定律
6. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律，它在宏 观和微观领域、低速和高速范围均适用。
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
质点系动量定理
解：
普通物理学教案
例题2 ：
子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
再结合 式，可得结果。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
有效载荷
第三级火箭
第二级火箭
第一级火箭
制导与控制系统
动力系统
01
04
02
03
N1 = 16；vr = 2.9km/s；
N2 = 14；vr = 4km/s
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
其意为：
质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
卫星支架（卫星分配器）
长征二号E
长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。
震天雷 神火飞鸦 火龙出水 原始火箭 虎头木牌 一 窝 蜂
解：
15º
30º
A
B
v1
v2
15º
30º
作矢量图
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为： 由动量定理： 15º 30º
普通物理学教案
例题2 ：
子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为v1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
再结合 式，可得结果。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）, 所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
有效载荷
第三级火箭
第二级火箭
第一级火箭
制导与控制系统
动力系统
01
04
02
03
N1 = 16；vr = 2.9km/s；
N2 = 14；vr = 4km/s
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
其意为：
质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
卫星支架（卫星分配器）
长征二号E
长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。
震天雷 神火飞鸦 火龙出水 原始火箭 虎头木牌 一 窝 蜂
解：
15º
30º
A
B
v1
v2
15º
30º
作矢量图
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为： 由动量定理： 15º 30º
3.2质点系的动量定理
v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的 火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比 要增大v：需要提高火箭的质量比 或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象 时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利 当质点之间有相对运动时 略速度变换建立相对于同一惯性系的动量 定理。 定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 质点系的动量守恒定律是 过程的基本定律， 最普遍、 过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律 之一．在宏观和微观领域均适用。 之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以： 所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论 内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
质点系动量定理
§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理
一个由n个质点组成的质点系，对于每个质点有
n d F1 f1i m1v1 dt i 1 n d F2 f 2i m2 v2 dt i2
n d Fn f ni mn vn dt in
yc 0
下面只要求 xc 上面腰的直线方程为：
yx
在薄板上任意选择一个面积微元，微元上每一点 的水平坐标值都为x，微元的面积为：
ds 2 ydx 2 xdx
设薄板质量面密度为
，则微元质量为：
dm ds 2 xdx
整个薄板的水平质心坐标为：
xc
xdm dm
mL 。 M m
人走船动
法2：利用质心运动定理
xC
M L m
O
m
L M + mL 2 初始状态 xC = M +m
末状态
xC
M
L M( + l ) + ml 2 xC = M +m
l
x
比较得
mL l= M +m
人走船动
法3：利用动量守恒定律
v人地
m
0 m v人地 M v船地
M L m
t
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于在 该方向上质点系动量分量的增量。
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
m r m r m r 2 2 n n rC 1 1 m1 m2 mn mi ri
i 1 n n
mi
i 1
由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标：
一、质点系动量定理
一个由n个质点组成的质点系，对于每个质点有
n d F1 f1i m1v1 dt i 1 n d F2 f 2i m2 v2 dt i2
n d Fn f ni mn vn dt in
yc 0
下面只要求 xc 上面腰的直线方程为：
yx
在薄板上任意选择一个面积微元，微元上每一点 的水平坐标值都为x，微元的面积为：
ds 2 ydx 2 xdx
设薄板质量面密度为
，则微元质量为：
dm ds 2 xdx
整个薄板的水平质心坐标为：
xc
xdm dm
mL 。 M m
人走船动
法2：利用质心运动定理
xC
M L m
O
m
L M + mL 2 初始状态 xC = M +m
末状态
xC
M
L M( + l ) + ml 2 xC = M +m
l
x
比较得
mL l= M +m
人走船动
法3：利用动量守恒定律
v人地
m
0 m v人地 M v船地
M L m
t
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于在 该方向上质点系动量分量的增量。
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
m r m r m r 2 2 n n rC 1 1 m1 m2 mn mi ri
i 1 n n
mi
i 1
由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标：
质点系动量定理和质心运动定理.pptx
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1x1m2x2 m1m2
yc
m1y1m2y2 m1m2
第10页/共19页
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点距离与质点质量 成反比.
第11页/共19页
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为
m2 2单和位
m3
3，单 位置位坐标各为
求质心坐标.
m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )
m1 1单位
[解] 质心坐标
xc
m1x1m2x2m3x3 m1m2m3
d p vd tS v
由动量定理
dp vS vF
dt
F表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于
Sv 2
向上
第5页/共19页
[内例有题质2]量如为图表m0示的传煤送卸带出以，水传平送速带度顶部与将车煤厢卸底入板静v0高止度车差厢为内h。，每开单始位时时车间
第8页/共19页
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i F i d dt(
mivi)
有
i i
F i ddt22(
miri)
F i md dt22(
m iri) m
3.2质点系的动量定理动量守恒定律
t2
内力冲量之和
fidt
同样，由于每个质点的
i t1
受力时间dt 相同,
t2
t2
fidt ( fi )dt
因为内力之和为零：
i t1
t1 i
fi 0
fi
mi
质点系
Fi
i
所以有结论：
t2
fidt 0
i t1
内力的冲量 之和为零
质点系的重要结论之二
则，质点系的动量定理
t2
F外dt P P0 （积分形式）
第2步，对所有 质点求和：
i
(
t2 t1
Fidt
t2 t1
fidt)
i
(Pi Pi0 )
第3步，化简上式： 外力冲量之和 内力冲量之和
先看外力冲量之和
由于每个质点的受力
时间dt 相同,所以：
i
t2 t1
Fidt
( t2
t1
i
Fi )dt
t2 t1
F外dt
2
第三章动量与角动量
开始时，下端与地面的距离为 h , 当链
条自由下落在地面上时,
Lm
求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时，
地面所受链条的作用力。
解设
ml
l
ml L
链条在此时的速度 v 2g(l h)
h
dm dl dt
根据动量定理 fdt 0 (vdt)v
f vdt v v 2 2m(l h)g
dt
L
f'
地面受力
F
f
' ml g
m (3l L
2h)g
10
第三章动量与角动量
简述质点系的动量定理及动量守恒定律
动量是物体运动状态的一种量度，它与物体的质量和速度成正比。
质点系的动量定理和动量守恒定律是描述物体运动规律的重要定律，对于理解和研究物体的运动具有重要意义。
本文将从简述质点系的动量定理开始，逐步深入探讨动量守恒定律，希望能够为读者提供一份深入浅出的参考。
1. 质点系的动量定理质点系的动量定理是描述质点系受力情况下动量的变化规律的定理。
根据牛顿第二定律，质点系的动量定理可以表述为：当一个质点系受到合外力时，它的动量随时间的变化率等于合外力的作用，即\[ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} \]其中，\[ \vec{p} \]代表质点系的动量，\[ \vec{F} \]代表合外力的矢量。
这个定理表明了力对物体动量的影响，是经典力学中非常重要的基本定律之一。
2. 动量守恒定律当质点系受到合内力作用时，它的动量不会发生改变，这就是动量守恒定律的基本内容。
对于一个封闭系统来说，合内力为零，因此动量守恒定律可以表述为：在一个封闭系统内，当没有合外力作用时，质点系的动量保持不变，即\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{p}_1' +\vec{p}_2' + \cdots + \vec{p}_n' \]其中，\[ \vec{p}_i \]代表质点i的初始动量，\[ \vec{p}_i' \]代表质点i的最终动量。
动量守恒定律是一个非常重要的物理定律，它对于理解和分析自然界中的各种物理现象具有重要作用。
3. 个人观点和理解动量定理和动量守恒定律的提出和应用，使我们能够更深入地理解物体运动规律，并且在工程技术和自然科学研究中得到了广泛的应用。
在实际生活中，通过对动量定理和动量守恒定律的应用，我们可以更好地理解交通事故、火箭发射和碰撞实验等现象。
这些定律的深入理解和应用，有助于我们更加科学地分析和解决相关问题。
3-2 质点系动量定理和质心运动定理
解：
dm = 2xσdx
a/ 2
y a
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
xc
∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫
0
a/
0
2 a = 2 3 2σxdx
2σx dx
2
O x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11
三、质心运动定理 右边: 右边:
r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理 ∑ F = (∑m v ).
质点系动量定理：在一段时间内， 质点系动量定理：在一段时间内，作用于质点系的 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量. 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量
1
v d n v 微分形式） Fi = (∑mivi ) （微分形式） ∑ dt i=1 i=1
n
其分量式
Fixdt = ∑mi vix − ∑mi vi 0x ∫t0 ∑ t ∫t0 ∑Fiydt = ∑miviy − ∑mivi0 y t Fizdt = ∑mi viz − ∑mi vi 0z ∫t0 ∑
z
dm ( x , y , z )
体分布 面分布 线分布
dm = ρdV
r r
x o
M
dm = σdS dm = λdl
y
dm ρ= dτ dm σ= ds dm λ= dl
dm：宏观小，微观大 宏观小，
xc =
r rc =
∫ ∫
xdm M ydm M
注意： 注意：
1.质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.质量分布均匀、形状对称的实物，质 心位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。
质点系的动量定理
t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
质点和质点系的动量定理
质点和质点系的动量定理
质点和质点系的动量定理是物理学中的一个重要定理，可以用来描述质点和质点系的动量变化。
对于一个质点来说，动量定理可以表示为：质点的动量变化等于作用在质点上的力的时间积分。
具体表达式为：Δp = ∫ F dt
其中，Δp表示质点的动量变化，F表示作用在质点上的力，t 表示时间。
对于一个质点系来说，动量定理可以表示为：质点系的总动量变化等于作用在质点系上的外力的时间积分。
具体表达式为：ΔP = ∫ Fext dt
其中，ΔP表示质点系的总动量变化，Fext表示作用在质点系上的外力，t表示时间。
动量定理可以用来分析和解释质点或质点系在受到外力作用时的动量变化情况。
根据动量定理，当作用在质点或质点系上的力不为0时，质点或质点系的动量会发生变化，变化的大小与力持续的时间和力的大小有关。
质点动力学-动量及动量定理
当力连续变化时
t I t F d t
2 1
分量式：
Fx
Ix Iy Iz
t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fx dt F y dt Fz dt
t I t F d t
2 1
+
0 t1 t2 t
（注意可取 + -号）
冲量的几何意义：冲量
I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
物体状态的改变不仅与所受到的力 F 有关， 还与力作用的延续时间 t有关 冲量
（例：推车）
有关，还与 物体状态的改变不仅与速度 v
物体的质量 ｍ 有关 动量
（例：木、铁锤敲钉子） 显然，我们必须把注意力从力和运动的 瞬时关系转向力和运动的过程关系
冲量
质点动量定理 方向：速度的方向
1、动量 （描述质点运动状态，矢量）
解： 车和煤为系统,向下为Y正向， 向左为X正向，建立坐标系。 v2 tt+dt时刻，dm = dt
X
v1
Y
P (t ) ( m0 t )v 2 dt v1 P ( t d t ) ( m0 t d t ) v 2 dP P (t dt ) P (t ) (v 2 v1 )dt
P＝ m v 大小：mv
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）
I
方向：速度变化的方向
（1） 常力的冲量
I Ft
（2） 变力的冲量 F2 t 2 F1 t 1
Fi t i Fn t n
I
I F1t1 F2t2 Fntn
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
t I t F d t
2 1
分量式：
Fx
Ix Iy Iz
t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fx dt F y dt Fz dt
t I t F d t
2 1
+
0 t1 t2 t
（注意可取 + -号）
冲量的几何意义：冲量
I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
物体状态的改变不仅与所受到的力 F 有关， 还与力作用的延续时间 t有关 冲量
（例：推车）
有关，还与 物体状态的改变不仅与速度 v
物体的质量 ｍ 有关 动量
（例：木、铁锤敲钉子） 显然，我们必须把注意力从力和运动的 瞬时关系转向力和运动的过程关系
冲量
质点动量定理 方向：速度的方向
1、动量 （描述质点运动状态，矢量）
解： 车和煤为系统,向下为Y正向， 向左为X正向，建立坐标系。 v2 tt+dt时刻，dm = dt
X
v1
Y
P (t ) ( m0 t )v 2 dt v1 P ( t d t ) ( m0 t d t ) v 2 dP P (t dt ) P (t ) (v 2 v1 )dt
P＝ m v 大小：mv
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）
I
方向：速度变化的方向
（1） 常力的冲量
I Ft
（2） 变力的冲量 F2 t 2 F1 t 1
Fi t i Fn t n
I
I F1t1 F2t2 Fntn
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
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如果内力的存在使外力发生变化，或外力的产 生和变化受内力的影响、制约，这种情况下，内力 对质点系的动量、角动量的变化会产生影响。
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向 成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
0
用牛顿定律
f
mg f 0
Mg f Ma
得
a mM g
M
f
mg
Mg
y
解法二∶用质点系动量定理
r
r
F外 (m M )g
d dt
[(
r p1
r p2 ]
d [mur Mvr ]
(m
M
dt
)gr
d
(mur )
d
( Mvr
)
dt
dt
0 M dvr
dt
得
ar m M gr
M
分析∶ 猴─杆系统
)
l
d2 dt
y
2
y
d2 dt
y
2
(dy )2 v2 2gy dt
d2y g dt 2
N v2 yg 2 yg yg 3 yg
即：下落过程中链条对地面的作用力是已 经落下部分所受重力的 3 倍。
N v2 yg
如果把此题改成一股高压水柱对墙壁的冲击 可以理解
入射水流在单位时间里对墙壁传递的动量为 v2
间还有相互作用。
r
r
f12
F1
r
m1
r
F2
f21
m2
对质点1 对质点2
tr r
rr
t0 (F1 f12 )dt m1v1 m1v10
tr r
rr
t0 (F2 f21)dt m2v2 m2v20
两式相加 （由牛顿第三定律，内力等大小、反方向）
tr r
rr
r
r
t0 (F1 F2 )dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
设子弹在木块中受到恒阻力F 。求：子弹穿
过后， 两木块各以多大速度运动？
解：子弹穿过第一木块时，
两木块速度相同均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
m1 m2
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2 F t2 m2v2 m2v1
Ft1 m1 m2 v1 0
F t2 m2v2 m2v1
─此即动量守恒定律
讨论 应用动量守恒定律要注意以下几点：
我国舰艇上发射远程导弹实验
酒泉基地神舟飞船发射
3.2 质点系动量定理
（theorem of mometum of a system of particles）
一、质点系及其动量定理
质点系：由一群有一定相互关系的质点组成的系统
如果一个复杂物体的运动不能用简化的质点模 型处理，例如自转的球、流体的运动、太阳系的运 动等等。这时可以把它们视为由很多质点组成的系 统。
v2 v2
因而
F 2v2
实际的情况介于这两个极端 情况之间。工业上的水力采煤 技术就是基于这个原理。
二、动量守恒定律
由质点系的动量定理的微分形式
特别地 则 即
d dt
r pi
r
Fi
若
r F 0
pr 0
r pi
恒量
一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合 外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。
v1
F t1 m1 m2
v2
F t1 m1 m2
F t2 m2
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两 个状态。
F（t1 t2） m2v2 m1v1－0
再结合F t1 式，可得结果。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的 加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
解： 建坐标
受力分析
15º
(mvr )
30º
r mv1
由动量定理： F t (mvr )
F 3.98qt 3.98q 79.6N
(mvr ) sin 75o
t r mv2
sin
29o
r
r
I / t F
r I
pr 2
pr1
逆风行舟
rr F F
例题2 ：
普通物理学教案
一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光 滑平面上的木块，穿行时间各为 t1、 t2，
r
r
f12
F1
r
m1
r
F2
f21
m2
由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
t
r
r
r
(
t0 i
Fi )dt
i
mivi
i
mi vi 0
质点系统动量定理与单质点的动量定理有完全
相同的形式。
其意为： 质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
从这里我们看到，一般情况下，只有外力的作 用才能改变质点系的总动量。
反射水流单位时间内带走的动量为 v2
（由于速度值的变化，必定引起流体的密度变化） 因为墙壁表面没有水的质量积聚，必有
v2＝ v 2
因而墙壁表面对水柱的作用力一般为
F dp v2 v2
dt
F dp v2 v2
dt
F 为墙壁给予水柱的作用力
若水流碰到墙壁不再弹回
v 0
则
F v2
若水流完全反射
(l y)vr
地面部分的动量为 0
由动量定理
0
mgr
ห้องสมุดไป่ตู้
r N
d
[ (l
y)vr ]
dt
对坐标投影
mg N d [(l y) dy ]
dt
dt
y
mg N d [(l y) dy ]
dt
dt
所以 得
N
gl dy
d
(l
y) (l
d2 y y)
dt dt
dt 2
gl
dy dt
(
dy dt
0 f
f
mg
Mg
y
例题4 ：
普通物理学教案
一根均质链条，长 l ，质量m ，竖直提 起 ，一端刚刚触地。由静止状态释放，求其 对地面的作用力。
解：建坐标
0
取链条整体为系统
无论何时链条整体受到外力作用
r F1
mgr
rr
r
F2 N (t) N ( y)
y
任意时刻，将链条分为两部分∶
空中部分的动量为
因而在研究方法上可以先弄清楚系统中任意质 点的运动规律，再按它们的相互关系推演出系统的 整体规律。
现在，我们要考察的对象是一个系统，系统之 外可称为环境。
系统成员间的相互作用称为内力；系统与环境 间的相互作用称为外力（当然要由系统内某个或某 些质点直接承担）。
为简单计，r 考虑r 只有两个质点 m1 、m2 组成的 系统，有外力 F1、F2 分别对它们作用，同时两质点
解：作矢量图
r
mv2
v1
15º
(mvr )
30º
r mv1
30º
A
v2
15º B
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： m qt
这些矿砂的动量增量为：
r rr (mv ) mv2 mv1
(mvr ) m 42 22 2 4 cos75o
3.98 m 3.98qt(m/s)
r mv2
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向 成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
0
用牛顿定律
f
mg f 0
Mg f Ma
得
a mM g
M
f
mg
Mg
y
解法二∶用质点系动量定理
r
r
F外 (m M )g
d dt
[(
r p1
r p2 ]
d [mur Mvr ]
(m
M
dt
)gr
d
(mur )
d
( Mvr
)
dt
dt
0 M dvr
dt
得
ar m M gr
M
分析∶ 猴─杆系统
)
l
d2 dt
y
2
y
d2 dt
y
2
(dy )2 v2 2gy dt
d2y g dt 2
N v2 yg 2 yg yg 3 yg
即：下落过程中链条对地面的作用力是已 经落下部分所受重力的 3 倍。
N v2 yg
如果把此题改成一股高压水柱对墙壁的冲击 可以理解
入射水流在单位时间里对墙壁传递的动量为 v2
间还有相互作用。
r
r
f12
F1
r
m1
r
F2
f21
m2
对质点1 对质点2
tr r
rr
t0 (F1 f12 )dt m1v1 m1v10
tr r
rr
t0 (F2 f21)dt m2v2 m2v20
两式相加 （由牛顿第三定律，内力等大小、反方向）
tr r
rr
r
r
t0 (F1 F2 )dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
设子弹在木块中受到恒阻力F 。求：子弹穿
过后， 两木块各以多大速度运动？
解：子弹穿过第一木块时，
两木块速度相同均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
m1 m2
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2 F t2 m2v2 m2v1
Ft1 m1 m2 v1 0
F t2 m2v2 m2v1
─此即动量守恒定律
讨论 应用动量守恒定律要注意以下几点：
我国舰艇上发射远程导弹实验
酒泉基地神舟飞船发射
3.2 质点系动量定理
（theorem of mometum of a system of particles）
一、质点系及其动量定理
质点系：由一群有一定相互关系的质点组成的系统
如果一个复杂物体的运动不能用简化的质点模 型处理，例如自转的球、流体的运动、太阳系的运 动等等。这时可以把它们视为由很多质点组成的系 统。
v2 v2
因而
F 2v2
实际的情况介于这两个极端 情况之间。工业上的水力采煤 技术就是基于这个原理。
二、动量守恒定律
由质点系的动量定理的微分形式
特别地 则 即
d dt
r pi
r
Fi
若
r F 0
pr 0
r pi
恒量
一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合 外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。
v1
F t1 m1 m2
v2
F t1 m1 m2
F t2 m2
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两 个状态。
F（t1 t2） m2v2 m1v1－0
再结合F t1 式，可得结果。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的 加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
解： 建坐标
受力分析
15º
(mvr )
30º
r mv1
由动量定理： F t (mvr )
F 3.98qt 3.98q 79.6N
(mvr ) sin 75o
t r mv2
sin
29o
r
r
I / t F
r I
pr 2
pr1
逆风行舟
rr F F
例题2 ：
普通物理学教案
一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光 滑平面上的木块，穿行时间各为 t1、 t2，
r
r
f12
F1
r
m1
r
F2
f21
m2
由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
t
r
r
r
(
t0 i
Fi )dt
i
mivi
i
mi vi 0
质点系统动量定理与单质点的动量定理有完全
相同的形式。
其意为： 质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
从这里我们看到，一般情况下，只有外力的作 用才能改变质点系的总动量。
反射水流单位时间内带走的动量为 v2
（由于速度值的变化，必定引起流体的密度变化） 因为墙壁表面没有水的质量积聚，必有
v2＝ v 2
因而墙壁表面对水柱的作用力一般为
F dp v2 v2
dt
F dp v2 v2
dt
F 为墙壁给予水柱的作用力
若水流碰到墙壁不再弹回
v 0
则
F v2
若水流完全反射
(l y)vr
地面部分的动量为 0
由动量定理
0
mgr
ห้องสมุดไป่ตู้
r N
d
[ (l
y)vr ]
dt
对坐标投影
mg N d [(l y) dy ]
dt
dt
y
mg N d [(l y) dy ]
dt
dt
所以 得
N
gl dy
d
(l
y) (l
d2 y y)
dt dt
dt 2
gl
dy dt
(
dy dt
0 f
f
mg
Mg
y
例题4 ：
普通物理学教案
一根均质链条，长 l ，质量m ，竖直提 起 ，一端刚刚触地。由静止状态释放，求其 对地面的作用力。
解：建坐标
0
取链条整体为系统
无论何时链条整体受到外力作用
r F1
mgr
rr
r
F2 N (t) N ( y)
y
任意时刻，将链条分为两部分∶
空中部分的动量为
因而在研究方法上可以先弄清楚系统中任意质 点的运动规律，再按它们的相互关系推演出系统的 整体规律。
现在，我们要考察的对象是一个系统，系统之 外可称为环境。
系统成员间的相互作用称为内力；系统与环境 间的相互作用称为外力（当然要由系统内某个或某 些质点直接承担）。
为简单计，r 考虑r 只有两个质点 m1 、m2 组成的 系统，有外力 F1、F2 分别对它们作用，同时两质点
解：作矢量图
r
mv2
v1
15º
(mvr )
30º
r mv1
30º
A
v2
15º B
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： m qt
这些矿砂的动量增量为：
r rr (mv ) mv2 mv1
(mvr ) m 42 22 2 4 cos75o
3.98 m 3.98qt(m/s)
r mv2