质点系动量定理

v1
F t1 m1 m2
v2
F t1 m1 m2
F t2 m2
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两 个状态。
F（t1 t2） m2v2 m1v1－0
再结合F t1 式，可得结果。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的 加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?
解： 建坐标
受力分析
v2 v2
因而
F 2v2
实际的情况介于这两个极端 情况之间。工业上的水力采煤 技术就是基于这个原理。
二、动量守恒定律
由质点系的动量定理的微分形式
特别地 则 即
d dt
r pi
r
Fi
若
r F 0
pr 0
r pi
恒量
一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合 外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。
间还有相互作用。
r
r
f12
F1
r
m1
rBaidu Nhomakorabea
F2
f21
m2
对质点1 对质点2
tr r
rr
t0 (F1 f12 )dt m1v1 m1v10
tr r
rr
t0 (F2 f21)dt m2v2 m2v20
两式相加 （由牛顿第三定律，内力等大小、反方向）
tr r
rr
r
r
t0 (F1 F2 )dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
解：作矢量图
r
mv2
v1
15º
(mvr )
30º
r mv1
30º
A
v2
15º B
在Δt 内落在传送带B上的矿砂质量为： m qt
这些矿砂的动量增量为：
r rr (mv ) mv2 mv1
(mvr ) m 42 22 2 4 cos75o
3.98 m 3.98qt(m/s)
r mv2
因而在研究方法上可以先弄清楚系统中任意质 点的运动规律，再按它们的相互关系推演出系统的 整体规律。
现在，我们要考察的对象是一个系统，系统之 外可称为环境。
系统成员间的相互作用称为内力；系统与环境 间的相互作用称为外力（当然要由系统内某个或某 些质点直接承担）。
为简单计，r 考虑r 只有两个质点 m1 、m2 组成的 系统，有外力 F1、F2 分别对它们作用，同时两质点
如果内力的存在使外力发生变化，或外力的产 生和变化受内力的影响、制约，这种情况下，内力 对质点系的动量、角动量的变化会产生影响。
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入B ，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向 成15º角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。
我国舰艇上发射远程导弹实验
酒泉基地神舟飞船发射
3.2 质点系动量定理
（theorem of mometum of a system of particles）
一、质点系及其动量定理
质点系：由一群有一定相互关系的质点组成的系统
如果一个复杂物体的运动不能用简化的质点模 型处理，例如自转的球、流体的运动、太阳系的运 动等等。这时可以把它们视为由很多质点组成的系 统。
r
r
f12
F1
r
m1
r
F2
f21
m2
由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
t
r
r
r
(
t0 i
Fi )dt
i
mivi
i
mi vi 0
质点系统动量定理与单质点的动量定理有完全
相同的形式。
其意为： 质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的冲量
从这里我们看到，一般情况下，只有外力的作 用才能改变质点系的总动量。
0 f
f
mg
Mg
y
例题4 ：
普通物理学教案
一根均质链条，长 l ，质量m ，竖直提 起 ，一端刚刚触地。由静止状态释放，求其 对地面的作用力。
解：建坐标
0
取链条整体为系统
无论何时链条整体受到外力作用
r F1
mgr
rr
r
F2 N (t) N ( y)
y
任意时刻，将链条分为两部分∶
空中部分的动量为
(l y)vr
地面部分的动量为 0
由动量定理
0
mgr
r N
d
[ (l
y)vr ]
dt
对坐标投影
mg N d [(l y) dy ]
dt
dt
y
mg N d [(l y) dy ]
dt
dt
所以 得
N
gl dy
d
(l
y) (l
d2 y y)
dt dt
dt 2
gl
dy dt
(
dy dt
0
用牛顿定律
f
mg f 0
Mg f Ma
得
a mM g
M
f
mg
Mg
y
解法二∶用质点系动量定理
r
r
F外 (m M )g
d dt
[(
r p1
r p2 ]
d [mur Mvr ]
(m
M
dt
)gr
d
(mur )
d
( Mvr
)
dt
dt
0 M dvr
dt
得
ar m M gr
M
分析∶ 猴─杆系统
─此即动量守恒定律
讨论 应用动量守恒定律要注意以下几点：
设子弹在木块中受到恒阻力F 。求：子弹穿
过后， 两木块各以多大速度运动？
解：子弹穿过第一木块时，
两木块速度相同均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
m1 m2
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2 F t2 m2v2 m2v1
Ft1 m1 m2 v1 0
F t2 m2v2 m2v1
)
l
d2 dt
y
2
y
d2 dt
y
2
(dy )2 v2 2gy dt
d2y g dt 2
N v2 yg 2 yg yg 3 yg
即：下落过程中链条对地面的作用力是已 经落下部分所受重力的 3 倍。
N v2 yg
如果把此题改成一股高压水柱对墙壁的冲击 可以理解
入射水流在单位时间里对墙壁传递的动量为 v2
反射水流单位时间内带走的动量为 v2
（由于速度值的变化，必定引起流体的密度变化） 因为墙壁表面没有水的质量积聚，必有
v2＝ v 2
因而墙壁表面对水柱的作用力一般为
F dp v2 v2
dt
F dp v2 v2
dt
F 为墙壁给予水柱的作用力
若水流碰到墙壁不再弹回
v 0
则
F v2
若水流完全反射
15º
(mvr )
30º
r mv1
由动量定理： F t (mvr )
F 3.98qt 3.98q 79.6N
(mvr ) sin 75o
t r mv2
sin
29o
r
r
I / t F
r I
pr 2
pr1
逆风行舟
rr F F
例题2 ：
普通物理学教案
一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光 滑平面上的木块，穿行时间各为 t1、 t2，