(江苏专用)2020年高考数学二轮复习 专题18附加题22题学案

专题18附加题22题

回顾2020～2020年的考题，离散型随机变量的概率分布与数学期望是考查的重点，但考查难度不大，考查的重点是根据题意分析写出随机变量的分布列.求解过程往往和排列、组合和概率相结合.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在数学证明中有着广泛的应用.

[典例1]

(2020·江苏高考)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，

ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.

(1)求概率P (ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．

[解] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， 所以共有8C 2

3对相交棱． 因此P (ξ＝0)＝8C 2

3C 212＝8×366＝4

11

.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2， 其中距离为2的共有6对， 故P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝1

11

，

P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611

.

所以随机变量ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 P (ξ)

411

611

111

则其数学期望E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋2

11

.

本题考查概率分布、数学期望等基础知识．解题的关键是确定ξ的取值．

[演练1]

(2020·扬州期末)口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X .

(1)若取到红球再放回，求X 不大于2的概率； (2)若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望． 解：(1)∵P (X ＝1)＝37，P (X ＝2)＝3×472＝12

49，

∴P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝33

49

.

(2)∵X 可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝A 1

3A 17＝3

7，

P (X ＝2)＝A 14A 1

3A 27＝2

7

，

P (X ＝3)＝A 24A 1

3A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 1

3A 47＝3

35，

P (X ＝5)＝A 44A 13A 57＝1

35.

∴X 的概率分布列为：

X 1 2 3 4 5 P

37

27

635

335

135

∴E (X )＝1×37＋2×27＋3×635＋4×335＋5×1

35＝2.

即X 的数学期望是2. [典例2]

已知△ABC 的三边长为有理数． (1)求证：cos A 是有理数；

(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． [证明] (1)由AB ，BC ，AC 为有理数及余弦定理知

cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 2

2AB ·AC

是有理数．

(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·si n nA 都是有理数． ①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数， 从而有sin A ·sin A ＝1－cos 2

A 也是有理数．

②假设当n ＝k (k ≥1)时，cos kA 和sin A ·sin kA 都是有理数． 当n ＝k ＋1时，由

cos(k ＋1)A ＝cos A ·cos kA －sin A ·sin kA ，

sin A·sin(k＋1)A＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)

＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，

由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．

即当n＝k＋1时，结论成立．

综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．

本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．[演练2]

(2020·常州)已知正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝1＋

a n

1＋a n

(n∈N*)．用数学归纳法证明：a n

N*)．

证明：当n＝1时，a2＝1＋

a1

1＋a1

＝

3

2

，a1

所以n＝1时，不等式成立；

假设当n＝k(k∈N*)时，a k0. 则当n＝k＋1时，

a k＋2－a k＋1＝1＋a k＋1

1＋a k＋1－a k＋1＝1＋

a k＋1

1＋a k＋1

－

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

1＋

a k

1＋a k

＝

a k＋1－a k

1＋a k1＋a k＋1

>0，

所以n＝k＋1时，不等式成立．

综上所述，不等式a n

[典例3]

(2020·盐城二模)某班级共派出n＋1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．

(1)试求E n和F n；

(2)判断ln E n和F n的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明．

[解] (1)由题意知E n＝A n n·A n n＝(n！)2，

(2)因为ln E n＝2ln n！，F n＝n(n＋1)，所以ln E1＝0

下面用数学归纳法证明2ln n！

①当n＝1时，该不等式显然成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即2ln k！

令f(x)＝ln x－x，x∈(1，＋∞)，