材料力学 第四章 本构关系
本构关系
④其它力学理论类模型。 (非弹性模型) 各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异，表达形式多样， 简繁相差悬殊，适用范围和计算结果的差别大。很难确认一个 通用的混凝土本构模型，只能根据结构的特点、应力范围和精 度要求等加以适当选择。至今，实际工程中应用最明和使用方便的非线弹性 类本构模型。
1、各向同性本构模型
结构中的任何一点，共有6个独立的应力分量： 即正应力σ11、 σ22 、 σ33 剪应力τ12=τ21、 τ23=τ32 、 τ31=τ13 。 相应地也有6个应变分量： 为正应变ε11、 ε22 、 ε33 剪应变γ12=γ21、 γ23=γ32 、 γ31=γ13 假设材料的各方向同性、有相等的弹性常数，即可建立正应 力-正应变和剪应力-剪应变之间的关系如下：
所以，钢筋混凝土非线性本构关系的内容非常丰富，试验和 理论研究也有一定难度。经过各国研究人员的多年努力，本构 关系的研究已在宽广的领域内取得了大量成果，其中比较重要 和常用的本构关系有： ◆混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系；
◆混凝土的多轴强度（破坏准则）和应力-应变关系；
◆多种环境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括受压 卸载和再加载，压拉反复加卸载，多次重复荷载（疲劳）， 快速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（＞l00oC）和低温 ＜0oC）状况下的加卸载，……；
4.8.2非线性分析中的各种本构关系
结构分析时，无论采用解析法和有限元法都要将整体结构离 散化、分解成各种计算单元。例如二、三维结构的解析法取为 二维或三维应力状态的点（微体），有限元法取为形状和尺寸 不同的块体；杆系结构可取为各杆件的截面、或其一段、或全 长；结构整体分析可取其局部，如高层建筑的一层作为基本计 算单元。因此，本构关系可建立在结构的不同层次和分析尺度 上．当然最基本的是材料一点的应力-应变关系，由此决定或推 导其他各种本构关系。 各种计算单元的本构关系一般是以标准条件下，即常温下短 时一次加载试验的测定值为基础确定的。当结构的环境和受力 条件有变化时，如反复加卸载、动载、荷载长期作用或高速冲 击作用、高温或低温状况、……等，混凝土的性能和本构关系随 之有不同程度的变化、必须进行相应修正，甚至重新建立专门 的本构关系。
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
第四章 塑性本构关系
一 、理想材料的加卸载准则 理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。 由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。 d 加载 f ( ij ) 0, 弹性状态
d
n
f ( ij ) 0, f df d ij 0 ij
（4-1）
其中 张量写法：
G E / 2(1 )
ij 3 ij m ij 2G E
1 m kk 为平均正应力。 3
（4-2）
其中
本构关系
将三个正应变相加，得：
kk
3 1 2 m kk kk 2G E E
kk
(5 37)
对理想塑性材料，比例系数d要联系屈服条件来确定。 1 dw sij ( dsij d sij ) 2G 1 dJ 2 2 J 2 d dWe dW p 2G
进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。
e d ij d ij d ijp
（4-30） （4-31） （4-32）
由Hooke定律， d
e ij
d ij 2G
3 d m ij E
由Drucker公设，d d ij
p ij
其中为加载函数。塑性加载 d 0，中性变载或卸载时 0 时 d
e
注意到（5 - 5）式，We可表示为：
1 1 1 1 1 2 2 W J 2 G 2G 2 2 2 6G
e
本构关系
§4.2 Drucker公设
两类力学量 外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。 内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。 内变量只能根据一定的假设计算出来。 关于塑性应变和塑性功的假设： 1、材料的塑性行为与时间，温度无关。
4-本构关系
弹性对称面
O
y′
在新坐标下，由于弹性对称， 在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变 {σ ′} = [C ]{ε ′} 但P点坐标和应力应变分量发生变化 点坐标和应力应变分量发生变化
x′ y′ 0 1 0
T
z′ 0 0 -1
两坐标系三轴的方向余弦为
广义胡克（ 二. 广义胡克（Hooke）定律 定律
受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关 胡克定律）的启发， 系（胡克定律）的启发，线弹性材料在复杂应力状态下其应力 张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式 张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式 σ x = c11ε x + c12ε y + c13ε z + c14γ xy + c15γ yz + c16γ zx
正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅 正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9 材料 弹性常数为 产生正应力，切应变仅产生切应力。 产生正应力，切应变仅产生切应力。 工程上一般用三个弹性模量（ ），三个泊松 工程上一般用三个弹性模量（Ex、 Ey 、 Ez ），三个泊松 和三个切变模量（ 比（Poisson）（µxy、 µ yz、µ zx）和三个切变模量（Gxy、 Gyz、 （ Gzx）表示。 表示。 煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹 木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹 正交各向异性 性体。 性体。
弹性对称
弹性 有 个对 向， 称 向， 对称 向上弹性 性 ， 力 关系 。 称为弹性对称 弹性对称。 称为弹性对称。
弹性
弹性对称
向
相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向 弹性对称面。 弹性对称方向和 相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴 弹性主轴。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。
弹塑性力学本构关系1资料.
在
平面上任取一点，坐标为 (1, 2 , 3 )
它代表一个应力状态，对应的应力张量分量为 ij
相应的平均应力为 m 易见有
m
1 2
3
3
0
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，即
ij m ij sij sij
上式表明，与此应力状态相应的应力球张量为零，应力张量
等于应力偏张量。 平面上每一点对应的应力张量是应力偏张量。
• Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.
0 d p 0
ij
0 ij
d
p ij
0
d d p 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
d
ij
d
p ij
0
Drucker公设在塑性力学中有
重要意义.
屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性
•我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.
在应力空间中代表一曲面，此曲面称为屈服曲面。
屈服曲面内的点满足不等式
f (1, 2,3) c 时，代表弹性状态。 屈服曲面上及屈服曲面外的点满足 f (1, 2,3) c
时，代表塑性状态。因此，屈服曲面是弹、塑性状态的分界面。
4．2．3 等倾线与 平面
1.等倾线 在应力空间中，过坐标原点与三个坐标轴成相同倾角的直线 叫等倾线。
PR线上每一点都代表一个应力状态。 PR线上的点有相同的应力偏张量和不同的应力球张量。
因为应力球张量不影响屈服，所以如果P点在屈服曲面上， 那么PR线上所有点都应该在屈服面上。因此屈服曲面实际上 是一个柱面，并且柱面的母线平行于等倾线OL
P
从力学角度本构关系
从力学角度本构关系
从力学角度来看，材料的本构关系是描述材料力学性能的物理方程或规律。
本构关系可以分为线性本构关系和非线性本构关系。
线性本构关系是指材料的应力与应变之间呈线性关系，即符合胡克定律。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以用弹性模量或切变模量来描述，这些模量是材料特性的重要参数。
常见的线性本构关系包括弹性模型、弹塑性模型等。
非线性本构关系是指材料的应力与应变之间呈非线性关系，即在外力作用下，材料的变形不再是正比于应力。
非线性本构关系可以更准确地描述材料的行为，如塑性、黏弹性等。
常见的非线性本构关系包括塑性本构关系、粘弹性本构关系等。
无论是线性本构关系还是非线性本构关系，在力学角度上都可以通过实验或理论推导得到。
根据不同材料的力学性质，可以选择不同的本构关系模型来描述材料的行为，在工程应用中起到指导设计和预测材料性能的作用。
材料力学中的本构关系
材料力学中的本构关系材料力学是研究材料在力学作用下的力学性质和变形规律的学科。
而本构关系则是研究材料在某种载荷作用下的应力与应变的数学关系，它是捕捉材料本质的重要数学模型。
本构关系的重要性在材料力学研究中，本构关系是一种重要的数学工具。
一个成功的材料力学模型必须明确材料的本构关系，也就是应力与应变的关系。
要发展一个有效的模型，我们必须首先理解材料的组成及其物理属性。
许多材料，如塑料和金属，都有一系列复杂的物理特性，这些特性与其结构和化学成分有关。
在许多情况下，物理特性取决于样品所受的应力和应变的类型和大小。
根据不同的载荷类型，我们可以将本构关系分为静态本构和动态本构。
静态本构是指材料在恒定应力下的应变性质；而动态本构是指在变形下材料的响应性能，包括位移速度和波的传播速度等。
不同的本构关系类型它有多种类型的本构关系，包括线性弹性、非线性弹性、弹塑性和粘弹性等。
这些模型的选择取决于不同的载荷类型、材料类型和实验数据的可用性。
在接下来的几个小节中，将讨论其中的一些本构关系。
1. 线性弹性本构关系线性弹性本构关系是一种最常见的本构关系。
在这种情况下，应力和应变之间存在线性关系。
这种关系使得当应力和应变从负向正变化时，材料的应力和应变表现出可逆性。
当材料受到小的形变时，只存在弹性响应，而不会引起材料的破坏或变形。
这种响应成为胡克定律。
2. 非线性本构关系另外一类本构关系称为非线性本构关系。
这种模型是线性模型的推广。
在非线性模型中，应力和应变不再呈线性关系。
应力-应变关系的非线性性质可以由多种因素引起，包括组织的变化和材料的损伤。
3. 弹塑性本构关系弹塑性本构关系可以用于描述强塑性金属和一些聚合物的材料行为。
在这种材料中，弹性行为用胡克定律描述，而塑性加载则由塑性本构关系描述。
这些模型通常包括一个塑性应变区域，其中材料将始终保持塑性形变中。
4. 粘弹性本构关系最后一种本构关系是粘弹性本构关系。
这种模型适用于材料在较长时间尺度下的响应行为。
材料本构关系
材料本构关系材料本构关系是材料力学学科中的一个重要概念，它是指材料的力学性质与内部结构、组成成分之间的关系。
在工程实践中，科学理解材料本构关系是保证制造出高品质产品的关键。
本文将分步骤讨论材料本构关系的概念、特征以及其在工程应用中的重要性。
一、材料本构关系概念材料的力学性质与其内部结构、组成有着密切的关系。
材料本构关系是描述这种关系的方式，它揭示了材料的强度、刚度、形变行为、破坏形式以及耐久性等力学性质与温度、时间、载荷等物理或机械刺激之间的关系。
二、材料本构关系特征材料本构关系的特征有以下几点：1.材料本构关系是用数学公式和方程描述的。
这些方程通常是由实验和理论模型得出的统计关系式，由试验数据以及其它参数估计得出。
2.材料本构关系通常是非线性的。
在强行施加一定的约束条件下，材料本构关系通常会表现出非线性的特点。
这种情况下，即使在小应变范围内，材料也会表现出剪切硬度、屈服强度等的变形行为。
而通常情况下，弹性模量只是应力和应变之间的线性关系。
3.材料本构关系具有依赖性。
材料的本构关系通常依赖于很多因素，如材料成分、化学结构、加工工艺、温度和时间等。
因此，要精确描述材料的本构关系，需要综合考虑这些因素。
三、材料本构关系在工程应用中的重要性材料本构关系在工程应用中有着重要的作用，如下所述：1.材料本构关系可以提供预测材料力学行为所需的数据。
工程师可以根据材料本构关系的公式，预测材料在不同温度、载荷和时间条件下的性能表现。
在实际工程应用中，这些数据可以帮助工程师选择最合适的材料和加工方法，设计出最优化的产品。
2.材料本构关系可以帮助工程师设计新材料。
在材料制造业中，设计新材料的过程中，需要确定该材料的本构关系，以便进一步优化材料成分和加工工艺。
有了材料本构关系，工程师可以通过计算和模拟，预测新材料的性能，并且在实际生产中对其进行验证，确保新材料符合设计要求。
3.材料本构关系可以帮助工程师优化现有材料。
在工程实践中，工程师在求解材料本构关系时，可以确定材料的弱点和优点，进而引导设计出合理的加工工艺和产品结构，以提高其性能。
第4章 弹塑性本构方程
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
本构关系
1.弹性体应变能学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
学习要点：1. 应变能；2. 格林公式；3. 应变能原理。
弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。
本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。
根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。
设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则d W=d W1+d W2其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。
变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律,d W1+d W2=d E - d Q因为将上式代入功能关系公式，则如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换，称为绝热过程。
绝热过程中，d Q=0，故有d W1+d W2=d E对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，设U0为弹性体单位体积的应变能，则由上述公式，可得即设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分对上式积分，可得U0=U0（ ij），它是由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，通常称为应变能函数或变形比能。
在绝热条件下，它恒等于物体的内能。
比较上述公式，可得以上公式称为格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
力学中的材料本构关系
力学中的材料本构关系力学是一门研究物体运动和相互作用的基础科学。
其中，材料本构关系是力学领域中关键的概念之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨材料本构关系的相关知识。
什么是材料本构关系？材料本构关系是材料力学分支中一个非常重要的概念。
它描述了材料受力时内部的应变与应力之间的关系。
简而言之，材料本构关系是描述材料物理性质的一种模型。
材料本构关系的具体表达方式有多种，其中最为广泛应用的是拉伸-压缩本构关系。
通过对拉伸和压缩的试验获得的应变与应力数据，可以建立材料本构关系模型，并据此预测材料在受力时的表现。
为什么要研究材料本构关系？材料本构关系的研究对于工程应用和科学研究都具有重要意义。
在工程应用中，材料本构关系是设计产品和结构的关键因素之一。
例如，建筑师在设计桥梁或者大楼时需要考虑材料受力的情况，设计出合适的结构，在确保安全的前提下，使用尽可能少的材料。
在科学研究中，材料本构关系与材料微观结构之间的关系被广泛研究。
其关系不仅有助于深入理解材料的力学性质，还有助于提高材料结构设计的可行性。
材料本构关系的测量方法为了确定一个材料的本构关系，需要进行一系列实验。
目前，常用的测量方法主要分为两种：静态加载试验和动态加载试验。
静态加载试验可以测出材料的应力-应变曲线。
在这种试验中，常见的应力测量方法有万能试验机、杠杆式传感器等。
而应变的测量方法，则通常采用应变片或者测微计之类的工具。
动态加载试验主要适用于热力学和声学领域的研究。
与静态加载试验不同，它需要在振动状态下对材料进行测量。
目前，数据采集系统和光学测量设备等技术手段已经成为了动态加载试验的标配。
材料本构关系的分类材料本构关系可以大致分为两类：线性本构关系和非线性本构关系。
其中，线性本构关系的情况较为简单，可以通过弹性模量E和泊松比v进行描述。
而对于非线性本构关系，则需要使用更加复杂的数学模型。
在非线性本构中，又可根据材料受力的方式，将本构关系分为塑性本构关系和粘弹性本构关系两种类型。
第4章 塑性本构关系
m
1 ij 2G
1 2 m E
广义虎克定律的张量表达式：
1 1 2 ij ij m ij 2G E
广义虎克定律其他形式 1、比例形式：
xy yz 1 xz yz xz 2G x y z xy x y z
x x
2 xy 2 yz 2 2 xy 2 2 yz 2 2 6 xz 4G 2 xz ×6
y
2
4G 4G
2
y
2
等式左边为：
x
2 2 2 y y z z x 6 xy yz xz 2 2 2
等式左边与右边关系为： σ=Eε 结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成 正比，比例系数为E
弹性变形应力应变关系
应力应变完全成线性关系，应力主轴与应 变主轴重合。 弹性变形可逆，应力应变之间为单值关系， 加载与卸载规律相同。 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化，泊松比ν<0.5。
x y y z z x xy yz xz x y y z z x xy yz xz
上式两边平方后整理后得：
d
2
d
2 y
x
y
z
2 2 2
x
y
y
z
2
6d
2
2 xy 2 yz 2 xz
6 6 6
2 xy 2 yz 2 xz
2
6d
2
d
2 z
x
第四章本构关系
ij = Cijkl kl
ij = Cijkl kl
Cijkl共有81个元素（四阶张量常数）
1、弹性常数张量 1）由于 ij = ji kl = lk
2)
Cijkl
ij
v1 ij
Cijkl= Cjikl 弹性常数81-27=54 Cijkl= Cijlk 弹性常数54-18=36
C14 C15 C24 C25 C34 C35 C46 C56 0
1 C11 C12 C22 2 3 4 5 6
独立常数共13个
C13 C23 C33
根据对称性，弹性常数只有21个是独立的
对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也 产生剪应力（耦合现象）。
c
例： 三斜晶体
a
b
注： 1） dv1 ij d ij Cijkl kl d ij
1 1 1 1 v1 Cijkl ij kl ij ij i i Cij i j 2 2 2 2
应力、应变只有一个下标时，其取值范围为1到6
m = Cmn kn
独立的弹性常数由81个降为36个
x c11 x c12 y c13 z c14 yz c15 zx c16 xy y c21 x c22 y c23 z c24 yz c25 zx c26 xy z c31 x c32 y c33 z c34 yz c35 zx c36 xy yz c41 x c42 y c43 z c44 yz c45 zx c46 xy zx c51 x c52 y c53 z c54 yz c55 zx c56 xy xy c61 x c62 y c63 z c64 yz c65 zx c66 xy
04 第四章 本构关系(应力-应变关系)
y
z
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy， 而不引起 xz、yz，于是可得
xy
同理
xy
G
yz zx
yz
G
zx
G
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
1 e x x ν y z E 1 e y y ν x z E 1 e z z ν x y E
•
弹性张量的Voigt对称性
Cijkl C jikl Cijlk CklC jikle kl e kl
C ijkl C jikl
e kl e lk
Cijkle kl Cijlk e lk Cijlk e kl e kl
E G 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 0 0.5 的范 围内。
广义胡克定律
常用弹性常数换算关系
广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Ge ij e kk ij
E E e ij e kk ij 1 1 1 2
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引 起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变， 它们是互不耦合的。
第四章 本构关系 Constitutive Relations
本构关系 （应力应变关系）
引言
单向拉伸应力应变曲线
广义胡克定律
应变能和应变余能
应变能的正定性
引 言
应力张量
应力平衡方程： 位移矢量 u 应变张量 e 几何方程： （应变协调方：
ji , j fi 0
e ij (ui , j ui , j ) / 2
弹性力学第四章本构关系
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。 • 弹性张量的Voigt对称性
C ijkl C jikl C ijlkC klij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
的范围内。
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Gij kkij
1Eij 1E12kkij
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引
起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，
它们是互不耦合的。
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G= E 2(1 + ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
相应的剪切模量为
GE 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 00.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念0K ij 2G ij第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变 ij 是由应力偏量 ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
y νx
04本构关系
exy =
1 τ xy 2G 1 τ t yz 2 2G 1 τ zx 2G
偏量形式的广义虎克定律
eij = 1 sij 2G
e yz =
ezx =
γ γ ex e y ez γ 1 = = = xy = yz = zx = s x s y s z 2 τ xy 2 τ yz 2 τ zx 2G
s ij
σ1
s1 , s2 , s3
σ2 , σ2 σ3 , σ3 σ1
1 , 2 , 3
?
全量理论
2. 已知应力分量求应变分量：
σ ij
σ1 , σ 2 , σ 3
ε ij =
m
3ε sij 2σ
s1 , s2 , s3 s ij
ε1 , ε 2 , ε 3
ij
例1：已知一应力状态： σ =10, σ = 2, σ = 5. σ =86.5ε 1 2 3
（可用平衡微分方程和几何方程）
Pn = tPn0
t >0
ν=1 2
σ = Aε
m
二、单一曲线假设
在简单加载或偏离简单加载不太大的条件下，应力强度与 应变强度具有确定的关系，而且可以用单向拉伸曲线表示， 与应力状态无关。 σ = (ε) σ = (ε )
全量理论
三、伊留申(Ильюшин )理论
应力圆与应变圆成比例
ε1 σ1
ε2 ε2 = σ2 σ2
ε3 ε3 = σ3 σ3 ε1 σ1
ε1 1 = σ1 2G
ε1 +ε 3 σ1 +σ 3
2ε 2 ε = 3 2σ 2 σ 3
2ε 2 ε1 ε 3 2σ 2 σ1 σ 3 = ε1 ε 3 σ1 σ 3
材料成形原理-第4章 本构关系
实验结果表明，按不同应力组合得到的等效应
力——等效应变曲线基本相同
通常可以假设，对于同一种材料，在变形条件
相同的条件下，等效应力与等效应变曲线是单
一的，称为单一曲线假设
可以采用最简单的实验方法来确定材料的等效 应力——等效应变曲线
材料塑性本构关系
常用实验方法有三种
P P
P
P
P
P
单向拉伸实验 单向压缩实验
整理后可得
3G
E 3G
利用
E
材料全量塑性本构关系
全量形变理论可以表示为
1 1 x E [ x 2 ( y z )]; 1 1 y [ y ( z x )]; E 2 1 [ 1 ( )]; z z x y E 2
材料塑性本构关系
材料塑性应力与应变关系称为材料塑性本构关 系，其数学表达式称为本构方程，也称为物理 方程 材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与 材料变形历史、组织结构等因素有关 材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结 为等效应力与等效应变之间的关系
f ( )
材料塑性本构关系
增量本构理论又称为流动理论来自 材料增量塑性本构关系
Levy—Mises理论
材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为 零，塑性应变增量就是总应变增量； 材料服从Mises屈服准则，即 s ； 塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是 应变增量偏张量；
在以上假设基础上可假设应变增量与应力偏张 量成正比
1 xy xy 2G 1 yz yz 2G 1 zx zx 2G
材料力学和本构关系的研究
材料力学和本构关系的研究材料力学和本构关系研究是材料科学中非常重要的研究方向，它关注材料的力学行为及其与材料微结构、组成、制备和应用之间的关系。
在多种工程和科学领域中，材料的力学性质是非常重要的。
各种机械、建筑和化学应用都需要材料力学行为的准确描述。
本构关系被用来描述材料的响应和反应，用于确定物质如何对外界力量产生反应。
材料力学和本构关系的研究对于实现可靠的多种精细化技术具有极为重要的意义。
1.材料力学的概述材料力学是研究材料的静态、动态力学行为及其与材料微结构、组成、制备和应用之间的关系的学科。
材料力学的目的是通过对材料的形变和断裂行为进行建模，寻找材料的力学特性，从而提供重要的工程指导，同时揭示材料的内在现象，如塑性、蠕变和疲劳等。
材料力学研究的重点包括各种形变行为、永久变形和断裂行为。
力学行为的可靠性和精度随着试验条件和方法的不同而取决于材料、结构和应用目的。
大多数材料应用都是基于这些特性的混合使用，它们对材料力学行为的共同作用和影响需要详细解释。
2.本构关系及其在材料力学中的应用本构理论是用数学和物理的方法来描述材料力学行为的理论体系。
本构关系代表着材料力学行为与外部应力的函数关系，是实验和理论分析的结果。
通过建立材料的本构模型，可以完成材料力学行为的数学建模和仿真。
本构关系是材料力学研究的重点之一，是实现准确建模和预测材料力学行为的核心。
本构关系的质量，对于实现材料当中的可靠的力学行为预测特别重要。
在材料力学分析中，通常会考虑材料的本构关系，这样可以精确地描述材料在变形中的行为。
材料的本构关系可以用数学模型来描述，这些模型仅仅是一种简单的描述方法，它们可以有效地预测材料的基本力学特性，如弹性和塑性等。
利用数学模型能够更好地控制材料的力学性质，从而提供更加可靠的条件用于工程和科学应用。
3.材料力学和本构关系的研究现状目前，材料力学和本构关系的研究已经成为材料科学中的重要方向。
材料力学分析和本构关系的研究在工程和科学应用中具有广泛的应用。
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由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
u z '
w x
u z
zx
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（一）具有一个弹性对称面
W
1 2
ij
ij
即与z方向有关的剪应变分量变号，其余分量不变，其中
z'
z
w z
w ' z '
考虑到 W 的展开式（15） ，坐标变换并不改变W的值。因
此必须使含 yz 和 zx 的一次项的刚度系数等于0，含 yz
U
v
Udv
uiuidv
v
(3)
由热力学第一定律可知材料的内能U和动能K的变化率
等于外力功的变化率
dK dU dA
(4)
dt dt dt
§4-1 热力学定律与应变能
dA dt
v
f
Udv F
s
Uds
v
fiuidv Xiuids
s
dA1 dA2 dt dt
(1)
设物体的应变能密度为W，则
张量，独立的弹性系数也是21个。其满足对称性条件
Eijkl E jikl Eijlk Eiklj
应变能密度W可写成
W
1 2
Eijkl kl ij
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（一）具有一个弹性对称面
设物体内每点都有这样一个弹性对称面，并且这些弹性对 称面是互相平行的。取Oxy平面为弹性对称面，Oz轴与此 对称面垂直，因此Oz轴为材料的主轴。
§4-1 热力学定律与应变能
设在直角坐标系中Ox1x2x3中，位移矢量U u1i1 u2i2 u3i3 uiii 因而速度和加速度分别为 U uiii , U uiii 。 并设体积力密度和作用在s上的表面力密度分别为
，
f fiii
F Xiii
ii 为坐标轴Oxi的单位矢量。
考察作用在微元体上的体积力 ，
（三）各向同性面与横观各向同性弹性材料
其次，将Oxyz绕Oz轴旋转45°，则有 C66 C11 C12
于是，具有一个各向同性面的弹性材料有如下的应力-
应变关系：
x C11 x C12 y C13 z
y C12 x C11 y C13 z
z C13 x C13 y C33 z yz C44 yz
xy C44 xy yz C55 yz zx C66 zx
z C13 y C23 x C33 z yz C55 yz
(18)
zx C44 zx
xy C66 xy
将此式与（17）式比较得
C11 C22 , C44 C55 , C13 C23
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
U Wdv
(5)
v
由（1）式、力的边界条件及奥高公式可得面力的功率为
dA2
dt
s
X iuids
s
ijn juids
v
ijui
dv
,j
ij, jui ijui, j dv
v
ij, jui ijij dv
v
§4-1 热力学定律与应变能
dA1
dt
v
fiuidv
式中 nj cos(n, x j ) 为表面s的外法线 n 对于坐标
独立的弹性系数 只有2个
ij kkij 2ij
C12 , C11 C12 2
xx 2 xx , xy 2 xy yy 2 yy , yz 2 yz zz 2 zz , zx 2 zx 各向同性线性弹性材料的应力-应变关系
（20）
xx yy zz
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x C11 x C12 y C13 z
（三）各向同性面与横观各向同性弹性材料 y C12x C22 y C23z
z C13 x C23 y C33 z
将其代入（17）式得
x C22 x C12 y C23 z
y C11 y C12 x C13 z
(19)
zx C44 zx
xy C11 C12 xy
具有这种应力应变关系的材料称为横观各向同性弹性材料，
这种材料的独立弹性系数只有5个。
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
现设物体内通过某点任意平面都是弹性对称面，因而，
过该点的任何一个方向都是材料的主方向。称这种材料
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
dA
dt v
ij, j fi uidv ijijdv
v
(6)
§4-1 热力学定律与应变能
dK dt
U
v
Udv
uiuidv
v
dK dU dA dt dt dt
由（3）、（4）和（6）式
由（5）式可得
dU
dt
ijijdv
v
(7)
dU dt
v
W t
dv
ijijdv
v
(8)
2W
W
ij
ij
ijij
W
1 2
ij
ij
(15)
在这种情况下还可以得到（11）式的对偶形式
§4-2 各向异性材料的本构关系
ij
W
ij
卡斯提亚诺（Castigliano） 公式
注：该式只在线弹性应力-应变关系条件下才成立。 本构关系写成张量形式
ij Eijkl kl
式中 Eijkl为四阶张量，称为弹性系数张量或简称弹性
y C12 x C22 y C23 z C26 xy
z C13 x C23 y C33 z C36 xy yz C44 yz C45 zx
(16)
zx C45 yz C55 zx
xy C16 x C26 y C36 z C66 xy
独立的弹性系数只有13个。
（四）完全弹性对称与各向同性材料
xx C11xx C12 yy C12zz yy C12 xx C11 yy C12 zz zz C12 xx C12 yy C11zz xy (C11 C12 )xy , yz (C11 C12 ) yz , zx (C11 C12 )zx
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
和 zx 的乘积项因不变号而不受限制，这样可得
C14 C15 C24 C25 C34 C35 C46 C56 0
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（一）具有一个弹性对称面
因此在材料具有一个弹性对称面的情况下有如下应力-应变
关系
x C11 x C12 y C13 z C16 xy
线弹性材料的最一般的本构关系（非张量形式）为：
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 zx C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 zx C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 zx C46 xy zx C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 zx C56 xy xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 zx C66 xy
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
ij Cim mj
(12)
§4-2 各向异性材料的本构关系
W ij
ij
式中 Cmn为弹性系数，它们必须通过实验才能确定，当它
们明显的依赖于点的坐标时，材料是非均匀的。当只考虑
均匀弹性介质时 Cmn 是常数。
注意到应变能密度W是状态函数，dW ijdij 是全微分, 其有二阶连续偏导数，从而
（三）各向同性面与横观各向同性弹性材料
若过物体内每一点都有一个平面，在这平面内的各个方向 上弹性性质是相同的，则此平面是各向同性面。取Oz轴垂 直于各向同性面，同时Ox轴和Oy轴位于此平面内，并使Ox， Oy，Oz轴组成右手系。 首先将坐标系Oxyz绕Oz轴旋转90°，得到新坐标系Ox ' y ' z '
2W
2W
ijkl klij
(13)
（广义格林公式）
所以这些弹性常数之间满足对称性条件
(14)