2018年高考数学破解命题陷阱专题27快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧

专题27 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧

一．命题陷阱

1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱

2.范围不完备陷阱

3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱

4．不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）

5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱

6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱 二、知识回顾 1.椭圆的标准方程

(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =

(2) 22221,(0)x y a b b a

+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =2.双曲线的标准方程

(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c ．

(2) 22221,(0,0)x y a b b a

-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c

3．抛物线的标准方程

(1) 2

2

2

2

2,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：

(,0),(,0),(0,),(0,)2222

p p p p F F F F --. 三．典例分析

1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱

例1. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12

.已知A 是抛物线22(0)

y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1

2

. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .

若APD △的面积为

6

2

，求直线AP 的方程. 【答案】 （1）2

2

413

y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=.

（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --

，故2

(1,)Q m

-.将1x my =+与22

413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634m

y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222

346(,)3434m m B m m -+-++.由2

(1,)Q m

-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得2

22332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD △的面积为62，故22

1626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326||20m m -+=，解得6||3m =

，所以6

3

m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=. 【陷阱防范】：分析题目条件与所求关系，恰当选取是否使用韦达定理

练习1. 已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为21+，最小距离为

21-.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点10,3S ⎛

⎫- ⎪⎝⎭

的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

椭圆方程为2

212

x y +=;(2) 以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .

下面证明()0,1Q 为所求：若直线l 的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线1

:3

l y kx =-

， ()()1122,,,A x y B x y ， 由221

{ 3220

y kx x y =-

+-=得()2291812160k x kx +--=，

()

22144649180k k ∆=++>，1212

221216

,189189

k x x x x k k -+=

=++， ()()1122,1,,1QA x y QB x y =-=-u u u v u u u v ， ()()121211QA QB x x y y ⋅=+--u u u v u u u v

()

()21212416139k k x x x x =+-

++ ()

222

1641216

1091839189

k k k k k -=+⋅-⋅+=++. ∴QA QB ⊥u u u v u u u v

，即以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .

练习2.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为1

2.已知A 是抛物线

22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为

1

2

. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .

若APD △的面积为

6

2

，求直线AP 的方程.