2018年高考数学破解命题陷阱专题27快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧
2018年高考数学圆锥曲线的综合问题
y y2 x x 2x 1 =-9· 1 2 =-9· M =(-9)· ,kl· kOM=-9(常数). 2 yM x1 x2 y1 y2 kOM
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),
(去伪存真).
2.(2015课标Ⅱ,20,12分,0.145)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与
C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; (2)若l过点 , m ,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜 率;若不能,说明理由.
因为直线l过点 , m ,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.
由(1)得OM的方程为y=- x. 设点P的横坐标为xP.
9 km k 2 m2 y x, 2 x 由 得 = ,即xP= 2 . k P 2 9 k 81 2 2 2 3 k 9 9 x y m m(3 k ) m 的坐标代入l的方程得b= 将点 , ,m 3 3 k ( k 3)m . 因此xM= 3(k 2 9)
m 3
解析 (1)解法一:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故
x x2 kb 9b = ,yM=kxM+b= . 2 2 k 9 k 9 2 yM 9 于是直线OM的斜率kOM= =- ,即kOM· k=-9. xM k
2018版高考数学一轮总复习高考大题冲关系列5圆锥曲线的综合问题课件文
y0－1 直线 PB 的方程为 y＝ x＋1. x0
x0 令 y＝0，得 xN＝－ ， y0－1
x0 从而|AN|＝|2－xN|＝2＋y －1 . 0 x 2y 0 0 2 ＋ 1 ＋ 所以|AN|· |BM|＝ · y0－1 x0－2 2 2 x ＋ 4y 0＋4x0 y0－4x0－8y0＋4 0 ＝ x0y0－x0－2y0＋2
解得 a＝2，b＝1.
x2 所以椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1. 4
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
2 设 P(x0，y0)，则 x2 0＋4y0＝4.
y0 当 x0≠0 时，直线 PA 的方程为 y＝ (x－2)． x0－2 2y0 令 x＝0，得 yM＝－ ， x0－2
2y 0 从而|BM|＝|1－yM|＝ 1＋ . x － 2 0
1 直线 OM 的方程为 y＝－ x， 2
2 x ＋y2＝1， 4 由方程组 1 y＝－ x， 2
得
C －
2 2 ， D 2， 2 ，－ . 2 2
5 5 5 所以|MC|· |MD|＝ (－m＋ 2)· ( 2＋m)＝ (2－m2)． 2 2 4 1 1 5 2 2 2 又 |MA|· |MB| ＝ |AB| ＝ [(x1 － x2) ＋ (y1 － y2) ] ＝ [(x1 ＋ 4 4 16 5 5 2 2 x2) －4x1x2]＝ [4m －4(2m －2)]＝ (2－m2)， 所以|MA|· |MB| 16 4
题型 1 例 1
直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 [2016· 四川高考]已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的 a b
2018届高三理科数学解析几何解答题解题方法规律技巧详细总结版
2018届高三理科数学解析几何解题方法规律技巧详细总结版【简介】圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现. 【3年高考试题比较】通过比较近三年的高考题，不难发现，集中考察的是抛物线和椭圆，椭圆出现的较多，均主要考察的是直线与椭圆或抛物线的位置关系，近几年也出现了与圆的综合问题，难度没有特别大的跳跃，比较平稳，都是以运算为主要考察对象.从考查形式上分析，主要是求解圆锥曲线方程，轨迹问题（也涉及到挖点），定点问题，范围问题等.【必备基础知识融合】一、椭圆1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质二、双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质曲线的虚轴，它的长三、抛物线1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质3. 的焦点的直线与抛物线交于1122(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p. 四、曲线与方程 1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解满足如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y ). (3)列式——列出动点P 所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点，将其转化为x ，y 的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解. 若此方程组无解，则两曲线无交点. 五、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|【解题方法规律技巧】典例1：已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 典例2：已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点.(2)证明由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1，0). 【规律方法】利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简. (2)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.典例3：已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.【规律方法】(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.典例4：如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D四点.点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点.求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.【规律方法】“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）；(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程. 典例5：已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.【规律方法】（1）求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.(2)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.(3)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.典例6：已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积.【规律方法】(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.典例7：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.① 方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).【规律方法】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.典例8：设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围.又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜334，且m ≠0. 【规律方法】处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.典例9：已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点.典例10：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝⎛⎭⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)＞0，x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9， QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)，QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k 2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0， ∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0，1).【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.典例11：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. ∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.【规律方法】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.典例12：设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k . 因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k . 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）. 在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1， 解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64或⎣⎡⎭⎫64，＋∞. 典例13：已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A ，B 两点.记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程；(2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围.由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ，则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23. 即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎡⎦⎤64，23. 【规律方法】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.典例14：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋(y －b )2＝a 2相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线l 1，l 2分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.②m ＝±1时，l MN ：x ＝－65，过点⎝⎛⎭⎫－65，0.∴l MN 恒过定点⎝⎛⎭⎫－65，0.(3)由(2)知S △AMN ＝12×45|y M －y N |＝25⎪⎪⎪⎪4m m 2＋4＋4m 4m 2＋1＝8⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 3＋m4m 4＋17m 2＋4＝8⎪⎪⎪⎪m ＋1m 4⎝⎛⎭⎫m ＋1m 2＋9＝84⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＋9⎪⎪⎪⎪m ＋1m . 令t ＝⎪⎪⎪⎪m ＋1m ≥2，当且仅当m ＝±1时取等号， ∴S △AMN ≤1625，且当m ＝±1时取等号. ∴(S △AMN )max ＝1625. 【规律方法】处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【归纳常用万能模板】1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.7分故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1.10分 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ， 即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.12分❶列出方程组，解出a 2，b 2得4分.❷设出直线l 的方程后与椭圆方程联立消去y 得到关于x 的方程准确者得4分.❸求出点M 的坐标得1分，再得到直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值得2分. ❹结论得1分.解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值. 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.2. (本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPN Q 面积的取值范围.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，所以|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).4分得分点②(2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 6分得分点③高考状元满分心得1.正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义.2.注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分.3.写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚.解题程序第一步：利用条件与几何性质，求|EA|＋|EB|＝4.第二步：由定义，求点E的轨迹方程x24＋y23＝1(y≠0).第三步：联立方程，用斜率k表示|MN|.第四步：用k表示出|PQ|，并得出四边形的面积.第五步：结合函数性质，求出当斜率存在时S 的取值范围.第六步：求出斜率不存在时面积S 的值，正确得出结论.【易错易混温馨提醒】一、忽视椭圆的焦点轴导致方程出错.易错1：已知椭圆2222:1(0)y x W a b a b +=>>的焦距与椭圆22:14x y Ω+=的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA （O 为坐标原点）垂直，且l 与W 交于,M N 两点．（1）求W 的方程；（2）求MON ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143y x +=（2联立223{ 143y x my x =-++=得2231183120x mx m -+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，分别计算MN 和O 到直线l 的距离为d 得MON ∆的面积)221312S d MN m m =≤+-=进而得解.二、多解问题的取舍.易错2：已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，B为椭圆的上顶点，12BF F∆为A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，.解得： 12m k =-， 227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾； 当227k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，.三、巧用均值不等式求最值，避免大量运算.易错3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =左、右焦点分别为12,F F ，且2F 与抛物线24y x =的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求AC BD +的最小值.【答案】（1）椭圆的标准方程为22132x y +=；（2）AC BD +的最小值为5.解析：（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0，所以1c =，又因为1c e a a ===a = 所以22b =，所以椭圆的标准方程为22132x y +=. （2）（i ）当直线BD 的斜率k 存在且0k ≠时，直线BD 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=， 并化简得()2222326360k x k x k +++-=. 设()11,B x y ， ()22,D x y ，则2122632k x x k +=-+， 21223632k x x k -=+，四、多元的最值问题.易错4：平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.五、不能完全用韦达定理代换的坐标的处理..易错5：已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b-=>>的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F,2F为顶点的三角形的周长为)41.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设该椭圆C与y轴的交点为M,N (点M位于点N的上方),直线y=kx+4与椭圆C相交于不同的两点,A B ,求证:直线MB与直线NA的交点D在定直线上.【答案】(1)22184x y+= (2)见解析直线NA的方程62AAkxy xx+=-②联立①②，得()233A B A B B Akx x x x y x x ++==- 222241622212116421B B k k x k k K x K -⎛⎫++ ⎪++⎝⎭--+ 82221116421B B k x k k x k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，即1cy =∴直线MB 与直线NA 的交点D 在定直线1y =上 六、求曲线方程时的挖点问题易错6：已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，若直线AP 与AQ 斜率之积为118-，求证：直线l 过定点，并求定点坐标.【答案】（1）曲线C 的方程为2219x y += ()3x ≠±；（2）直线l 过定点，定点坐标为()1,0.故曲线C 的方程为2219x y += ()3x ≠±. （Ⅱ）由已知直线l 斜率为0时，显然不满足条件。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 含参数的导数问题解题方法
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 含参数的导数问题解题方法一、陷阱类型 1.导数与不等式证明 2.极值点偏移问题 3.导函数为0的替换作用 4.导数与数列不等式的证明 5.变形后求导 6.讨论参数求参数7.与三角函数有关的含参数的求导问题 8.构造函数问题 9.恒成立求参数二、陷阱类型分析及练习 1.导数与不等式证明例1. 已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．（1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明()324f x a≤--．（2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在12x a=-取得最大值，最大值为 111()ln()1224f a a a-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设g （x ）=ln x -x +1，则’11g x x =-.当x ∈（0,1）时， ()0g x '>；当x ∈（1，+∞）时， ()0g x '<.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时， 11ln 1022a a -++≤，即324fx a≤--. 【放陷阱措施】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.练习1设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求,a b (2)证明: ()1f x > 【答案】（I ）1,2a b ==；（II ）详见解析.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()112'ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--=+-+.由题意可得()12f =， ()'1f e =.故1a =， 2b =. （2）证明：由（1）知， ()12ln x x f x e x e x-=+， 从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-. 设函数()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+. 所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()'0g x <；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x >.故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,+∞上的最小值为11g e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设函数()2x h x xe e-=-，则()()'1xh x e x -=-. 所以当()0,1x ∈时， ()'0h x >；当()1,x ∈+∞时， ()'0h x <.故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()11h e=-. 综上，当0x >时， ()()g x h x >，即()1f x >. 2.极值点偏移问题例2. ．函数()()2ln 1f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()21122ln2f x x x >-+ . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(2)由题意结合函数的性质可知： 12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，结合所给的不等式构造对称差函数()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式. 试题解析：函数()f x 的定义域为()()2221,,1x x mf x x++-+∞'=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上， 12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11022g m ⎛⎫-=-+≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时， ()0g x ≥，即()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，②当102m <<时，由()222g x x x m =++，得1211,2222x x =--=-+，因为()10g m -=>，所以111122x -<<-<-，当12x x x <<时， ()0g x <，即()0f x '<，（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在()11,x -和()2,x +∞上递增， 则()()200f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根， 所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证()21122ln2f x x x >-+又()()()222222122222ln 124ln 1f x x m x x x x x =++=++()()()()()222222222241ln 1121ln2121ln2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()()()4412ln 1ln x x x eϕ=-++-' 当102x -<<时， ()4120,ln 10,ln 0x x e +>+，故()0x ϕ'>，所以()x ϕ在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，故()()1111124ln 12ln2024222x ϕϕ⎛⎫>=⨯-⨯⨯--=⎪⎝⎭， 所以()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->， 所以()21122ln2f x x x >-+.【防陷阱措施】：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 练习1. 已知函数()bf x ax x=+（其中,a b R ∈）在点()()1,1f 处的切线斜率为1. （1）用a 表示b ；（2）设()()ln g x f x x =-，若()1g x ≥对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的前提下，如果()()12g x g x =，证明： 122x x +≥. 【答案】（1）1b a =-；（2）[)1,+∞；（III ）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意()11f a b '=-=即得； （2）()()1ln ln 1a g x f x x ax x x-=-=+-≥在定义域()0,+∞上恒成立，即()min 1g x ≥，由()1g x ≥恒成立，得1a ≥，再证当1a ≥时， ()()min 1g x g =即可；（3）由（2）知1a ≥，且()g x 在()0,1单调递减；在()1,+∞单调递增，当()()12g x g x =时，不妨设1201x x <≤≤，要证明122x x +≥，等价于2121x x ≥-≥，需要证明()()()1212g x g x g x -≤=，令()()()(]2,0,1G x g x g x x =--∈，可证得()G x 在(]0,1上单调递增， ()()10G x G ≤=即可证得.试题解析：（1）()2bf x a x-'=，由题意()111f a b b a =-=⇒=-' （2）()()1ln ln 1a g x f x x ax x x-=-=+-≥在定义域()0,+∞上恒成立，即()min 1g x ≥。
专题26 快速解决圆锥曲线的方程与性质-决胜2018年高考
一．命题陷阱： 1.圆锥曲线定义陷阱 ；2.焦点位置不同，造成的标准方程不同；3.圆锥曲线性质的应用陷阱；4.在求距离、弦长时繁杂的运算陷阱；5．在圆锥曲线中与三角形面积有关的运算技巧陷阱. 二．知识点回顾1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a +=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =. (4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆． (5) ,,a b c 的关系：222c a b =-.4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0,0)x y a b b a -=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=> (5) 渐近线方程by x a=±.7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线.8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =. 三．例题分析 1、圆锥曲线定义陷阱例1. 设椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ， P 是C 上任意一点，则12PF F ∆的周长为 A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】D【解析】由题意12PF F ∆的周长为: 121210818PF PF F F ++=+=,故选D 防陷阱措施：在有关焦点三角形中注意运用圆锥曲线的定义.练习1.椭圆221925x y +=上的点A 到一个焦点F 的距离为2， B 是AF 的中点，则点B 到椭圆中心O 的距离为（ ）．A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】B练习2. 设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，l 在y 轴上的截距为1，若113AF F B =，且2AF x ⊥轴，则此椭圆的长轴长为（ ）【答案】D【解析】2AF x ⊥轴， l 在y 轴上的截距为1，则(),2A c ， 113AF F B =，则52,33B c ⎛⎫--⎪⎝⎭， 22241c a b +=， 222254199c a b += ， 2225441199b b⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ， 26b =， 22b a = ， 232b a ==， 26a =.选D .例2. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若12PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A. (1，＋∞) B. (1,2] C. (1，【答案】D防陷阱措施：在有关问题中注意运用圆锥曲线的定义和平面几何性质.练习1. 已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点， P 是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M （O 为坐标原点）.若点,,P M F 三点共线，且MFO ∆的面积是PMO ∆的面积的3倍，则双曲线C 的离心率为（ ）2 【答案】D【解析】由题意可得， ,:1:3OM PF PM MF ⊥=, 2211,,,,,33OF c OM a MF b MP b a b =====即223,2b e a ===，选D.练习2. 设1F 、2F 分别为双曲线2221x y a b -=（0a >， 0b >）的左、右焦点， P 为双曲线右支上任一点．若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．A. ()0,2B. (]1,3C. [)2,3D. []3,+∞ 【答案】B又双曲线的离心率1e >,](1,3 e ∴∈故答案选B例3. 已知抛物线22(0)y px p =>，过点()4,0C -作抛物线的两条切线,CA CB ， ,A B 为切点，若直线AB 经过抛物线22y px =的焦点， CAB ∆的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线标准方程是（ ） A. 24y x = B. 24y x =- C. 28y x = D. 28y x =- 【答案】D防陷阱措施：在有关问题中注意运用圆锥曲线的定义和平面几何性质.练习1. 设F 为抛物线24y x =的焦点， A B C 、、为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，那么FA FB FC ++= ( )A. 9B. 6C. 4D. 3【答案】B【解析】设()()()(),,,,,,1,0A A B B C C A x y B x y C x y F ，则由0FA FB FC ++=可得1110A B C x x x -+-+-=，即3A B C x x x ++=，所以由抛物线的定义可得111336A B C FA FB FC x x x ++=+++++=+=，应选答案B 。
2018年浙江高考：圆锥曲线综合问题(共18张PPT)
令 x＝0，得 yM＝－x02－y02，从而|BM|＝1－yM＝1＋x02－y02.
直线 PB 的方程为 y＝y0x－0 1x＋1.
3分 5分 6分
9分
例题解析：
令 y＝0，得 xN＝－y0x－0 1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0x－0 1. ∴四边形 ABNM 的面积 S＝12|AN|·|BM|
难度 较难 正常 较难 正常 较难
备注
提1+压1椭最 基2+压1椭最
基1+提1+压1 椭范 基1+压1抛最 基1+压2抛范
二、考点解析：
比较5年来的圆锥曲线的题型和分值，浙江高考 的圆锥曲线主要有以下的特点及趋势：1、在高考提 高题与压轴题中一直占有重要的比例；2、计算等级 要求很高、整体换元等需巧妙运算；3、椭圆、抛物 线在综合应用部分出现频率很高，最值问题、求范围 问题出现频率很高。
复习专题 圆锥曲线综合
⊙积极进取
v ⊙勇攀高分
汤家桥 陈建才
一：最近5年浙江高考圆锥曲线综合应用的分析：
2014 2015 2016 2017 2018
圆锥曲线 T16,T21等 T5,T9,T19等 T7,T9,T19等 T2,T21等 T2,T17,T21等
分值 约19分 约25分 约25分 约19分 约23分
2、着重提高分析问题与运算能力。圆锥曲线训练综合题时， 一般鼓励学生“敢算、会算、巧算”！
3、重点关注最值类、取值范围类问题,平时训练注重同类型 方法的演变，不同方法间的总结。
t2＋1·
－2t2t＋4＋122t2＋32，
且 O 到直线 AB 的距离为 d＝ t2＋12 . t2＋1
10 分
设△AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)＝12|AB|·d＝12 －2t2－122＋2≤ 22，
【高考冲刺】2018高考数学专题 突破点13 圆锥曲线中的综合问题 Word版含答案
突破点13 圆锥曲线中的综合问题(对应学生用书第47页)[核心知识提炼]提炼1 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关． (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.提炼2 用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手(1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围．(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解．(3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围． (4)利用基本不等式求最值与范围． (5)利用函数值域的方法求最值与范围． 提炼3 与圆锥曲线有关的探索性问题(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在．[高考真题回访]回访 直线与圆锥曲线的综合问题1．(2017·浙江高考)如图131，已知抛物线x 2＝y ，点A －12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .图131(1)求直线AP 斜率的取值范围．(2)求|PA |·|PQ |的最大值．[解](1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1). 6分(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋3k 2＋. 9分因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－k －k ＋2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3.12分 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.15分2．(2016·浙江高考)如图132，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．图132(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． [解] (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，3分故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k2.因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. 5分(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.7分记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 9分所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. 由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得 1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)．①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1， 所以a > 2.13分因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所求离心率的取值范围为0<e ≤22.15分3．(2015·浙江高考)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．图133[解] (1)由题意知m ≠0， 可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .3分由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.5分因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m <－63或m >63.7分(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 10分设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.15分4．(2014·浙江高考)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．图134[解] (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.2分设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)． 由PF →＝3FM →得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23. 6分(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y得x 2－4kx －4m ＝0.8分于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )． 由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0，得k 2＝－15m ＋415.10分由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43.又因为|AB |＝41＋k 2·k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2，所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＜m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.12分可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243 ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.15分(对应学生用书第49页) 热点题型1 圆锥曲线中的定值问题题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量.【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(均不在坐标轴上)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，若△AOB 的面积为3，试判断直线OA 与OB 的斜率之积是否为定值？ [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，3分∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，5分由Δ＝(8km )2－16(4k 2＋3)(m 2－3)＞0，得m 2＜4k 2＋3. 6分∵x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，∴S △OAB ＝12|m ||x 1－x 2|＝12|m |·434k 2＋3－m24k 2＋3＝3， 8分 化简得4k 2＋3－2m 2＝0，满足Δ＞0，从而有4k 2－m 2＝m 2－3(*)，9分∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝kx 1＋m kx 2＋m x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝－12k 2＋3m 24m 2－12＝－34·4k 2－m 2m 2－3，由(*)式，得4k 2－m2m 2－3＝1， 12分 ∴k OA ·k OB ＝－34，即直线OA 与OB 的斜率之积为定值－34.15分[方法指津]求解定值问题的两大途径1.由特例得出一个值此值一般就是定值→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关2．先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．[变式训练1] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值． [解] (1)由题意得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.3分 又c ＝a 2－b 2＝3，∴离心率e ＝c a ＝32. 5分(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 6分又A (2,0)，B (0,1)，∴直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 9分直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 12分∴四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值.15分热点题型2 圆锥曲线中的最值、范围问题题型分析：圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法.【例2】 设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．[解] (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.2分由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).4分(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，6分所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3. 8分可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83).12分 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83). 15分[方法指津]与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解． 2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． 3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．[变式训练2] (名师押题)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且|MN |＝16. (1)求抛物线C 的方程；(2)已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点D (0,4)，若动圆P 与x 轴交于A ，B 两点，求|DA ||DB |＋|DB ||DA |的最大值. 【导学号：68334132】 [解] (1)设抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则直线l ：y ＝x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＋x 2＝2p ，∴y 1＋y 2＝3p ， ∴|MN |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ＝16，∴p ＝4， ∴抛物线C 的方程为x 2＝8y .4分(2)设动圆圆心P (x 0，y 0)，A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 20＝8y 0，且圆P ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－4)2， 令y ＝0，整理得x 2－2x 0x ＋x 20－16＝0， 解得x 1＝x 0－4，x 2＝x 0＋4，6分设t ＝|DA ||DB |＝x 0－2＋16x 0＋2＋16＝x 20－8x 0＋32x 20＋8x 0＋32＝1－16x 0x 20＋8x 0＋32，当x 0＝0时，t ＝1， ①7分当x 0≠0时，t ＝1－16x 0＋8＋32x 0.∵x 0＞0，∴x 0＋32x 0≥82，∴t ≥1－168＋82＝3－22＝2－1，且t ＜1， ② 综上①②知2－1≤t ≤1.11分∵f (t )＝t ＋1t在[2－1,1]上单调递减，∴|DA ||DB |＋|DB ||DA |＝t ＋1t ≤2－1＋12－1＝22， 当且仅当t ＝2－1，即x 0＝42时等号成立． ∴|DA ||DB |＋|DB ||DA |的最大值为2 2.15分热点题型3 圆锥曲线中的探索性问题题型分析：探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【例3】 如图135，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，D (1,0)为线段OF 2的中点，且AF 2→＋5BF 2→＝0.图135(1)求椭圆E 的方程；(2)若M 为椭圆E 上的动点(异于点A ，B )，连接MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连接PQ ，设直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为k 1，k 2.试问是否存在常数λ，使得k 1＋λk 2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．[解题指导] (1)D 为OF 2的中点→求c →＝0→a 与c 的关系→椭圆方程(2)假设存在常数λ→设点M ，N ，P ，Q 的坐标→直线MD 的方程与椭圆方程联立→用点M 的坐标表示点P ，Q 的坐标→点M ，F 1，N 共线→得到点M ，N 坐标的关系→求k 2→得到k 1与k 2的关系[解] (1)∵AF 2→＋5BF 2→＝0，∴AF 2→＝5F 2B →，∵a ＋c ＝5(a －c )，化简得2a ＝3c ，又点D (1,0)为线段OF 2的中点，∴c ＝2，从而a ＝3，b ＝5，左焦点F 1(－2,0)，故椭圆E 的方程为x 29＋y 25＝1.4分(2)假设存在满足条件的常数λ，使得k 1＋λk 2＝0恒成立， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则直线MD 的方程为x ＝x 1－1y 1y ＋1，代入椭圆方程x 29＋y 25＝1，整理得，5－x 1y 21y 2＋x 1－1y 1y －4＝0，6分∵y 1＋y 3＝y 1x 1－x 1－5，∴y 3＝4y 1x 1－5，从而x 3＝5x 1－9x 1－5，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 1－9x 1－5，4y 1x 1－5，同理，点Q ⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－9x 2－5，4y 2x 2－5.10分∵三点M ，F 1，N 共线，∴y 1x 1＋2＝y 2x 2＋2， 从而x 1y 2－x 2y 1＝2(y 1－y 2)，从而k 2＝y 3－y 4x 3－x 4＝4y 1x 1－5－4y 2x 2－55x 1－9x 1－5－5x 2－9x 2－5＝x 1y 2－x 2y 1＋y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝7k 14，故k 1－4k 27＝0，从而存在满足条件的常数λ，λ＝－47.15分[方法指津]探索性问题求解的思路及策略1．思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． 2．策略：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[变式训练3] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，点P在椭圆C 上，满足|PF 1|＝7|PF 2|，tan ∠F 1PF 2＝4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点A (1,0)，试探究是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于D ，E 两点，且使得|AD |＝|AE |？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【导学号：68334133】[解] (1)由|PF 1|＝7|PF 2|，PF 1＋PF 2＝2a 得PF 1＝7a 4，PF 2＝a4.2分由余弦定理得cos ∠F 1PF ＝17＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42－322×7a 4×a 4，∴a ＝2，∴所求C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)假设存在直线l 满足题设，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝－16(m 2－4k 2－1)＞0，得4k 2＋1＞m 2.① 6分又x 1＋x 2＝－8km1＋4k2.设D ，E 中点为M (x 0，y 0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，k AMk ＝－1，得m ＝－1＋4k 23k ，②将②代入①得4k 2＋1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k 23k 2，化简得20k 4＋k 2－1＞0⇒(4k 2＋1)(5k 2－1)＞0，解得k ＞55或k ＜－55，所以存在直线l ，使得|AD |＝|AE |，此时k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－55∪⎝ ⎛⎭⎪⎫55，＋∞.15分。
2018年高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题七解析几何7.2直线圆圆锥曲线小综合题专项练课件文
������ 0 ������ ������ 2
+
=1; − =1(a>0,b>0)上一点 M(x 0,y 0)的切线方程为 −
������0 ������ ������ 2
(4)过双曲线 =1;
(5)设点 P(x 0,y 0)是圆锥曲线 C:Ax 2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 上的任 意一点,则过点 P 的切线方程为 ������ ������ +������������0 ������ +������ ������ +������ Ax0x+B 0 +Cy0y+D 0 +E 0 +F=0.
7.2 直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练
-2-
1.直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系判定: ①几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定. ������������ + ������������ + ������ = 0, ②代数法:解方程组 2 2 2 利用方程组解的个数判定. (������-������ ) + (������-������ ) = ������ ,
A.y=± x C.y=±
3 21 7
3
B.y=± 3x D.y=±
21 3
x
x
解析:∵F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,设F1(-c,0),F2(c,0),则
|F1P|= ������ 2 + 4������ 2 ,∴ ������ 2 + 4������ 2 =2c,
∴c2+4b2=4c2, ∴c2+4(c2-a2)=4c2,
18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十四大题冲关——圆锥曲线的综合问题试题文
重组十四 大题冲关——圆锥曲线的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2017·江西临川统测](本小题满分15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1 F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值． 解 (1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.(3分) 结合a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝16. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(6分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0.(8分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b2b 2＋18a2，(10分)由AB ，F 1F 2互相平分且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，得AF 2⊥BF 2. ∵F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0，即x 1x 2＝－8，∴－a 2b 2b 2＋18a2＝－8，(13分)结合b 2＋9＝a 2，得a 2＝12，∴离心率e ＝32.(15分) 2．[2017·东北三省四市统考](本小题满分15分)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1,0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)．解 (1)由题意得2a ＝4，∴a ＝2.(1分)∵c a ＝12，∴c ＝1，(3分) ∴b ＝3，(4分)∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(7分) 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，(8分)∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋3＋4k2.(10分)∵圆心(0,0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1， 又|CD |24＋d 2＝4，∴|CD |＝24k 2＋3k 2＋1，(12分) ∵AB ⊥CD ，∴S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3，(13分) 由12k 2＋14k 2＋3＝12147， 解得k ＝1或k ＝－1，(14分) 由k >0，得k ＝1.(15分)3．[2016·合肥质检](本小题满分20分)设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λPA →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解 (1)由题知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 的坐标为(x P ，y P )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，(5分)即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.(7分)联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝－2，y P ＝－12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.(10分)(2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1.由PM →＝λPA →＋μPB →，得⎝⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32，(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝y 0＋29，μ＝y 0－29，(18分)则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.(20分)4．[2017·成都月考](本小题满分20分)已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的中垂线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l 经过F 2，与抛物线y 2＝4x 交于A 1，A 2两点，与C 交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|.解 (1)由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其中长轴长2a ＝4，得到a ＝2，焦距2c ＝2，则短半轴长b ＝3，则轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)当直线l 与x 轴垂直时，可取B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1,0)，此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件．(8分)当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(10分)因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点． 设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，(12分)因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0，又F 1(－1,0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，解得k 2＝97，(15分)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，(17分)因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k ≠0.设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 3x 4＝1，(19分)所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋p ＝2＋4k 2＋2＝649.(20分)5．[2016·全国卷Ⅰ](本小题满分20分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC .(2分) 所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.(4分)又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.(6分) 由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(8分)(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(10分)则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.(12分)过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.(14分) 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3.(15分) 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．(17分) 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.(19分)综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．(20分)6．[2017·广州统测](本小题满分20分)已知动圆P 的圆心为点P ，圆P 过点F (1,0)且与直线l：x＝－1相切．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若圆P与圆F：(x－1)2＋y2＝1相交于M，N两点，求|MN|的取值范围．解(1)依题意，点P到点F(1,0)的距离等于点P到直线l的距离，(2分) ∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，(4分) ∴曲线C的方程为y2＝4x.(6分)(2)设点P(x0，y0)，则圆P的半径r＝|x0＋1|.(7分)∴圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2.①(8分)圆F：(x－1)2＋y2＝1，②①－②得直线MN的方程为2(1－x0)x－2y0y＋y20－2x0－1＝0.(10分)∵点P(x0，y0)在曲线C：y2＝4x上，∴y20＝4x0，且x0≥0.∴点F到直线MN的距离d＝－x0＋y20－2x0－1|－x02＋4y20＝1－x02＋4y20.(12分)∴圆F：(x－1)2＋y2＝1的半径为1，∴|MN|＝21－d2＝21－1－x02＋4y20(13分)＝21－1－x02＋16x0＝21－1x0＋2.(14分)∵x0≥0，∴(x0＋1)2≥1，∴0<1x0＋2≤14，(16分)∴34≤1－1x0＋2<1，(18分)∴3≤|MN|<2，∴|MN|的取值范围为[3，2)．(20分)7．[2016·吉林三调测试](本小题满分20分)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，点R(1,2)在抛物线C上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点Q (1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B .若直线AR ，BR 分别交直线l ：y ＝2x ＋2于M ，N 两点，求|MN |最小时直线AB 的方程．解 (1)将R (1,2)代入抛物线中，可得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(6分) (2)设AB 所在直线方程为x ＝m (y －1)＋1(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)与抛物线联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －m ＋1，得y 2－4my ＋4(m －1)＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4(m －1)．(10分) 设AR ：y ＝k 1(x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －＋2，y ＝2x ＋2，得x M ＝k 1k 1－2，而k 1＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 可得x M ＝－2y 1，同理x N ＝－2y 2，(14分)所以|MN |＝5|x M －x N |＝2 5 m 2－m ＋1|m －1|.令m －1＝t (t ≠0)，则m ＝t ＋1， 所以|MN |＝5|x M －x N | ＝2 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋34≥15， 此时m ＝－1，AB 所在直线方程为x ＋y －2＝0.(20分)8．[2016·贵阳适应性月考](本小题满分20分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点是抛物线y 2＝4x 的焦点，以原点O 为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x ＋y －22＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且△POQ 的面积为定值3，试判断直线OP 与OQ 的斜率之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由．解 (1)由题意知c ＝1，a ＝221＋1＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0， x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k2，(11分) y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 23＋4k2. |PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2k 2－m 2＋3＋4k2， O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，S △POQ ＝3＝12|PQ |·d＝121＋k 2 k 2－m 2＋3＋4k 2·|m |1＋k2，可得2m 2－4k 2＝3.(16分)k OP ·k OQ ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－4k 2m 2－＝－34， ∴k OP ·k OQ 为定值－34.(20分)。
2018年高考“圆锥曲线与方程”专题解题分析
二、解法分析
1. 强调数学运算，利用“直译法”进行求解 近几年的高考数学试卷，对本专题的考查中，重
点考查学生的运算能力. 尤其是考查学生对含字母的 代数式的化简变形的能力，在2018年的高考数学试卷 中得到了很好的体现.
“直译法”就是在解决圆锥曲线试题的过程中，利
用数学运算程序，将条件中的文字描述都转化为数学
-
3 2
ö2 ø
+
æ ç è
3+
3 2
ö2 ÷ ø
关键词：圆锥曲线；几何特征；平面向量；试题综合；复习建议
2018年高考数学试卷中，圆锥曲线试题位置前移 是数学试卷结构上的重大调整，这种调整，在适当降 低圆锥曲线试题难度的同时仍然保证了对圆锥曲线主 干知识的考查，在强调通性、通法的基础上重视对数 学学科思想与核心素养的考查，重视对圆锥曲线核心 思想的考查.
8
=
0. 解得
y1
=
2，y2=
4
.
不妨令 M(1，2)，N(4，4)，所
以 FM = (0，2) ， FN = (3，4) . 所以 FM · FN = 8 . 故
答案选D.
【评析】 该题直接求出点 M，N 的坐标，然后利用
向量的基本概念及其运算进行求解.
得 yN =
y1 + y2 2
=1.
故k=
y1 - y2 x1 - x2
=
4 y1 + y2
=2.
y
A1
A
M
N
O
x
B1
B
图1
【评析】 该题主要考查圆锥曲线与平面几何图形的
联系. 数形结合，利用直角三角形的几何性质，问题
专题27+快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧-决胜高考数学之破解高考命题陷阱+Word版含解析
一．命题陷阱1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱2.范围不完备陷阱3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱4．不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱二、知识回顾1.椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中22c a b =-(2) 22221,(0)x y a b b a+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中22c a b =-2.双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中22c a b +．(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中22c a b +3．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. 三．典例分析1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱例1. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=.（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD△的面积为6，故221626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326||20m m -+=，解得6||3m =，所以63m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=. 【陷阱防范】：分析题目条件与所求关系，恰当选取是否使用韦达定理练习1. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为21+，最小距离为21.（1）求椭圆的方程；（2）过点10,3S⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线l交椭圆C于,A B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q?若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆方程为2212xy+=;(2) 以线段AB为直径的圆恒过点()0,1Q.下面证明()0,1Q为所求：若直线l的斜率不存在，上述己经证明.若直线l的斜率存在，设直线1:3l y kx=-，()()1122,,,A x yB x y，由221{3220y kxx y=-+-=得()2291812160k x kx+--=，()22144649180k k∆=++>，1212221216,189189kx x x xk k-+==++，()()1122,1,,1QA x y QB x y=-=-，()()121211QA QB x x y y⋅=+--()()21212416139kk x x x x=+-++()22216412161091839189k kkk k-=+⋅-⋅+=++.∴QA QB⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点()0,1Q.练习2.设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)y px p=>的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为6，求直线AP 的方程. 【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. 【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.练习3. 已知椭圆1C ： 2214x y +=，曲线2C 上的动点(),M x y 满足： ()()2222232316x y x y +++-=.（1）求曲线2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，第一象限的点,A B 分别在1C 和2C 上， 2OB OA =，求线段AB 的长.【答案】(1) 221164y x +=2105【解析】（1）由已知，动点M 到点()0,23P-， ()0,23Q 的距离之和为8，且8PQ <，所以动点M 的轨迹为椭圆，而4a =， 23c =，所以2b =，故椭圆2C 的方程为221164y x +=. （2）,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，由2OB OA =及（1）知， ,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中，得()22144k x +=，所以22414A x k =+， 将y kx =代入221164y x +=中，得()22416k x +=，所以22164B x k =+， 又由2OB OA =，得224B A x x =，即22164414k k=++， 解得222441,5,5,5,55555k A B ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易得， 故224242255551055555AB ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.范围不完备陷阱例2. 已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为43.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y+=；（Ⅱ）6.【解析】（Ⅰ）由题设知，2,243a c ab==，又222a b c=+，解得2,3,1a b c===，故椭圆C的方程为22143x y+=.故四边形APBQ的面积为1•22P Q P QS AB y y y y=-=-=221862273t tt t⎛⎫+⎪++⎝⎭()()()()()22222222248948948912273912)9t t t tt tt t t tt t++===+++++++.由于296ttλ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥，从而，有48612Sλλ=≤+.当且仅当6λ=，即3t=，也就是点M的坐标为()4,3时，四边形APBQ的面积取最大值6.【陷阱防范】：涉及含参数问题，求最值或范围时要注意运用均值不等式还是运用函数的单调性.练习1.设点10,4F⎛⎫⎪⎝⎭，动圆A经过点F且和直线14y=-相切，记动圆的圆心A的轨迹为曲线C.（2）设曲线C上一点P的横坐标为(0)t t>，过P的直线交C于一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值.【答案】（1）2x y=（2）min23t=【解析】(1)过点A作直线AN垂直于直线14y=-于点N，由题意得AF AN=，所以动点A的轨迹是以F为焦点，直线14y=-为准线的抛物线.所以抛物线C得方程为2x y=.()()()()210,10kx x k t k k t kx k k t x k t⎡⎤⎡⎤⎡⎤+---+=+-+--=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得()1k k txk-+=-，或x k t=-.()()()()()()2222222221111,,11MNk k tk ktk k tk k t kN kk k tk k t kt k t kk k⎡⎤-+⎣⎦⎛⎫-+⎡⎤-+-+⎣⎦⎪∴-∴==-+⎪-+----⎝⎭.而抛物线在点N的切线斜率，'|k y=()()122k k t k k txk k-+---=-=，MN是抛物线的切线，()()()22221221k kt k k tkk t k-+---∴=--，整理得()2222120,4120k kt t t t++-=∴∆=--≥，解得23t≤-（舍去），或min22,33t t≥∴=.练习2. 已知双曲线22221x yCa b-=：33，0)是双曲线的一个顶点。
2018年高考数学二轮复习 第二部分 高考22题各个击破 专题七 解析几何 7.3.1 直线与圆及圆锥曲线讲义 文
,过椭圆及双曲线焦点
的弦中通径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最
短.椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c.
7.弦AB的中点与直线AB斜率的关系
(1)已知
AB
是椭圆������ 2
������ 2
+
������ ������
2
2=1(a>b>0)的一条弦,其中点
M
的坐标为
圆、斜率,点到直线 的距离,向量的数量 圆 积
椭圆、直线,斜率, 一元二次方程
椭圆
方程思想 方程思想
年份
卷 别
设问特点
涉及知识点
曲线模 解题思想 型 方法
全 求线段长度之比, 直线,抛物线,一元
国 探索直线与曲线 二次方程及根的判 抛物线 方程思想
Ⅰ 是否有公共点 别
全 求三角形面积,证 椭圆、直线,三角形
难点突破 (1)利用AC是直径,所以BA⊥BC,或C,B均在坐标原点, 由此求点C轨迹E的方程;
������ = ������������ + 2, (2)设直线AC的方程为y=kx+2,由 ������2 = 8������, 得x2-8kx-16=0,利
用根与系数的关系及导数的几何意义,证明QC⊥PQ,即可证明结论.
1,
������ 2
+
������12������-2������22=0,
∴(������1 +������2 )(������1 -������2 )
������ 2
+
(������1 +������2 )(������1 -������2 ������ 2
2018年高考数学破解命题陷阱专题26快速解决圆锥曲线的方程与性质
专题26 快速解决圆锥曲线的方程与性质一．命题陷阱： 1.圆锥曲线定义陷阱 ；2.焦点位置不同，造成的标准方程不同；3.圆锥曲线性质的应用陷阱；4.在求距离、弦长时繁杂的运算陷阱；5．在圆锥曲线中与三角形面积有关的运算技巧陷阱. 二．知识点回顾1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中22c a b =-．(2) 22221,(0)x y a b b a +=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中22c a b =-3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =. (4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆． (5) ,,a b c 的关系：222c a b =-.4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c ．(2) 22221,(0,0)x y a b b a -=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=> (5) 渐近线方程by x a=±.7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线.8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =. 三．例题分析 1、圆锥曲线定义陷阱例1. 设椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ， P 是C 上任意一点，则12PF F ∆的周长为 A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】D【解析】由题意12PF F ∆的周长为: 121210818PF PF F F ++=+=,故选D防陷阱措施：在有关焦点三角形中注意运用圆锥曲线的定义.练习1.椭圆221925x y +=上的点A 到一个焦点F 的距离为2， B 是AF 的中点，则点B 到椭圆中心O 的距离为（ ）．A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】B练习2. 设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点， l在y 轴上的截距为1，若113AF F B =，且2AF x ⊥轴，则此椭圆的长轴长为（ ）36 D. 6 【答案】D【解析】2AF x ⊥轴， l 在y 轴上的截距为1，则(),2A c ， 113AF F B =，则52,33B c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，22241ca b+=，222254199ca b+=，2225441199b b⎛⎫-+=⎪⎝⎭，26b=，22ba=Q，232ba==，26a=.选D .例2. 已知12,F F分别为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若12PFPF 的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )A. (1，＋∞)B. (1,2]C. (1，3]D. (1,3]【答案】D防陷阱措施：在有关问题中注意运用圆锥曲线的定义和平面几何性质.练习1. 已知F是双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点，P是y轴正半轴上一点，以OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M（O为坐标原点）.若点,,P M F三点共线，且MFO∆的面积是PMO∆的面积的3倍，则双曲线C的离心率为（）A. 6B. 5C. 3D. 2【答案】D【解析】由题意可得，,:1:3OM PF PM MF⊥=, 2211,,,,,33OF c OM a MF b MP b a b=====即2223,12b bea a⎛⎫==+=⎪⎝⎭，选D.练习2. 设1F、2F分别为双曲线2221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点．若212PFPF的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是（）．A. ()0,2 B. (]1,3 C. [)2,3 D. []3,+∞【答案】B又双曲线的离心率1e>,](1,3e∴∈故答案选B例3. 已知抛物线22(0)y px p=>，过点()4,0C-作抛物线的两条切线,CA CB，,A B为切点，若直线AB经过抛物线22y px=的焦点，CAB∆的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是（）A. 24y x= B. 24y x=- C. 28y x= D. 28y x=-【答案】D防陷阱措施：在有关问题中注意运用圆锥曲线的定义和平面几何性质.练习1. 设F为抛物线24y x=的焦点，A B C、、为该抛物线上三点，若0FA FB FC++=u u u r u u u r u u u r r，那么FA FB FC++=u u u r u u u r u u u r( )A. 9B. 6C. 4D. 3【答案】B【解析】设()()()(),,,,,,1,0A A B B C C A x y B x y C x y F ，则由0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r可得1110A B C x x x -+-+-=，即3A B C x x x ++=，所以由抛物线的定义可得111336A B C FA FB FC x x x ++=+++++=+=u u u r u u u r u u u r，应选答案B 。
高考命题热点名师解密专题：快速解决直线与圆锥曲线综合问题(理).doc
专题 28快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
一．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于F1, F2之间的距离 )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 F1 , F2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．2．椭圆的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中3．椭圆的几何性质以为例(1) 范围：．(2)对称性：对称轴： x 轴，y轴；对称中心：O(0,0)(3) 顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长| A1A2|2a ，短轴长| B1 B2 | 2b ，焦距 | F1F2 |2c .(4) 离心率越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆．(5) a, b, c的关系：c2 a2 b2 .4．双曲线的定义：平面内与两个定点F1, F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1, F2之间的距离 )的点的轨迹叫做双曲线，这两5．双曲线的标准方程(1)，焦点，其中．(2)，焦点，其中6．双曲线的几何性质以为例(1) 范围：．(2)对称性：对称轴： x 轴，y轴；对称中心：O(0,0)(3) 顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长| A1A2|2a ，虚轴长| B1 B2 | 2b ，焦距 | F1F2 |2c .(4) 离心率e c ,e 1a(5) 渐近线方程y b x .a7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线.8．抛物线的标准方程(1)．对应的焦点分别为：.(2)离心率e 1 .三．【典例分析及训练】（一）圆锥曲线定义的灵活应用例 1．已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于点，，直线交抛物线于另一点，直线交抛物线于另一点，若，则__________ ．【答案】练习 1．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上两点，为坐标原点，若，则____．【答案】 8【解析】，则，，,为公共点，则三点共线，由题可得，则,故答案为练习 2.已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于 __________.【答案】 6【解析】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知，得到，所以，而，所以，所以最小值为 6.练习 3．有公共焦点 F 1， F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠ F 1AF 2＝ 90°，则的值为_______．故答案为：.（五）圆锥曲线的方程的灵活应用例 5．已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点.下表给出坐标的五个点中，有两个点在上，另有两个点在上.则椭圆的方程为_____，的左焦点到的准线之间的距离为_______.【答案】【解析】注意到在椭圆上，故，根据椭圆的范围可知，横坐标为的点不在椭圆上.设抛物线方程为，在抛物线上，即，即，且在抛物线的图像上，抛物线准线为.设椭圆的方程为，将代入，求得，不符合题意.将点代入，求得，符合题意，故椭圆方程为.故左焦点为.所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为.练习 1．给出下列命题，其中所有正确命题的序号是__________ ．①抛物线的准线方程为；②过点作与抛物线只有一个公共点的直线仅有1条；③是抛物线上一动点，以为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点.④抛物线上到直线距离最短的点的坐标为.【答案】③④【解析】①抛物线的标准方程为不是；故错误②过点作与抛物线只有一个公共点的直线有两条，一条是过点与抛物线相切的③设,则以 P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆的方程为,化简可得,当时恒成立，故此圆一定过定点，故正确④设抛物线上到直线距离最短的点的坐标为则当时，取最小值则抛物线上到直线距离最短的点的坐标为，故正确综上其中所有正确命题的序号为③④练习 2．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点．若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_____【答案】【解析】∵点 F1、 F 2分别是椭圆1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点，过 F1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A、B 两点，∴ F 1（﹣c， 0）， F 2（ c，0）， A（c，），B（c，），∵ △是锐角三角形，∴∠ AF 1 F 2＜ 45°，∴ tan∠AF 1 F2＜1，∴1，整理，得 b2＜2ac，∴ a2﹣c2＜ 2ac，两边同时除以 a2，并整理，得e2+2e﹣1＞ 0，解得 e 1，或 e 1，（舍），∴ 0＜ e＜1，∴椭圆的离心率 e 的取值范围是（1， 1）．故答案为：（1，1）．（六）定点问题例 6.已知椭圆C：的离心率为，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点，当l的斜率为 2 时，坐标原点O 到 l 的距离为．求 a、b 的值；上是否存在点P，使得当l 绕 F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点P 的坐标【答案】（ 1），；（2）见解析【解析】设，直线l的方程为，坐标原点O 到 l 的距离为，，，，，，即；由知椭圆的方程为，即，假设存在满足题设条件的直线，由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为l ：，设、，把l：代入椭圆方程，整理得，显然．由韦达定理有：，，，在椭圆上，代入椭圆方程整理得，解得无解，故不存在这样的点P，使得当l 绕 F 转到某一位置时，有成立．练习 1．已知椭圆的离心率为，短轴长为 4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为 4 时，直线恒过定点，求出定点的坐标.【答案】（ 1）（2）见解析【解析】（Ⅰ）由题意知：，，.解得，，，所以椭圆方程为.（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，.由，得，联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根，代入得，整理得.∵，∴，∴，，所以直线恒过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，∴.由，得，∴.∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点.练习 2.已知椭圆：过点，且离心率为.（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）设过点为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】（ 1）(2) 见证明【解析】（ 1）由题意知，，解得，则椭圆的方程是.（ 2）设，，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为：，由，得，所以，，直线的方程为：，所以，令，则，所以直线与轴交于定点.练习 3.已知点和直线，为曲线上一点，为点到直线的距离且满足. （ 1）求曲线的轨迹方程；（ 2）过点作曲线的两条动弦，若直线斜率之积为，试问直线是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（ 1）（2）见解析【解析】（ 1）设点为曲线上任一点，则依题意得：，化简得：曲线的轨迹方程为：.（ 2）一定经过一定点.设，当直线的斜率不存在时，设的方程为，则：，，不合题意.故直线的斜率存在，设直线的方程为，并代入椭圆方程，整理得：，①由，得：.②设，则是方程①的两根，由根与系数的关系得：，，由得：，即，整理得：，又因为，所以，此时直线的方程为.所以直线恒过一定点.练习 4.已知椭圆的离心率为，短轴长为 4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】 (1)(2) 见解析【解析】（Ⅰ）由题意知：，，.解得，，，所以椭圆方程为.∵，∴，∴，即.所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中.∴，由，得，∴.∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点.（七）定值问题例 7.已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.【答案】（ 1）；（2）.【解析】（ 1）依题意有，而，故，，从而椭圆：.（ 2）设，则，因双曲线的顶点恰为椭圆的焦点，而因而直线与的斜率都存在，分别设为，则由于，设直线的斜率为，则，代入椭圆方程并化简得设，则从而.同理有，从而有从而为定值.（ 1）求椭圆的方程；（ 2）过椭圆的右焦点作直线（轴除外）与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由.【答案】 (1)(2) 见解析【解析】（ 1）由得：所以椭圆方程为（ 2）由于直线l 过右焦点F（ 1， 0），可设直线 l 方程为： x=my+1, 代入椭圆方程并整理得：（4+3m 2)x2-8x+4-12m 2=0( 或（ 4+3m 2)y2+6my-9=0)△=64- （ 4+3m 2) (4-12m 2)>0设 A(x 1 ,y1 ),B(x 2 ,y2),则 x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得： x1+x2 = , x1 x2= ， y1+y 2= ,y1y2假设在 x 轴上存在定点P(x0 ,0)，使为定值，则：(x1-x0)(x2-x0)+y 1y2=x 1x2+y 1y2 -x0(x1+x 2)+ x02=+-+x 02=由题意，上式为定值，所以应有：即： 12x02-48=-15-24x 0+12x02解得： x0= ,此时练习 2．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的中垂线与交于点 .（Ⅰ）求点的轨迹的方程 .（Ⅱ）斜率不为 0 的动直线过点且与轨迹交于，两点，为坐标原点 .是否存在常数，使得为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由，得，所以，半径为 4.因为线段的中垂线与交于点，所以，所以.所以点的轨迹是以，为焦点，且长轴长为的椭圆，所以.所以点的轨迹的方程为.（Ⅱ）设直线，，.联立化简整理得，所以，.因为，，所以.当，即时，取定值 .练习 3.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.（ 1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，证明为定值 .【答案】（ 1）（ 2）详见解析【解析】（ 1）由可得，所以，即，从而椭圆．当轴时，，由，不妨取，，代入椭圆，得，故椭圆．（ 2）依题意，．当的斜率存在时，设，，，将代入的方程，得，当时，，．，因为，，所以．由（ 1）得，当的斜率不存在时，，，所以．综上，．（八）定点定值综合例 8.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.（ 1）求椭圆的方程；（ 2）轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（ 1）（2）答案见解析.（ 2）假设存在满足题设．当的斜率存在时，设，，，将代入的方程，得，当时，，．，因为，，所以．所以当时，．由（ 1）得，当的斜率不存在时，，，所以．综上，存在定点，使得．练习 1. 已知圆，圆过点且与圆相切，设圆心的轨迹为曲线．（ 1）求曲线的方程；（ 2）点，为曲线上的两点（不与点重合），记直线的斜率分别为，若，请判断直线是否过定点 . 若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（ 1）(2) 见解析【解析】（ 1）设圆 C 的半径为 r ，依题意， |CB|＝ r，|CD|＝4－ r ，进而有 |CB|＋ |CD|＝ 4，所以圆心 C 的轨迹是以 D ，B 为焦点的椭圆，所以圆心 C 的轨迹方程为．（ 2）设点的坐标分别为，设直线的方程为（直线的斜率存在），可得，整理为：，联立，消去得：，由，有，有，，，可得，整理得：，解得：或，当时直线的方程为，即，过定点不合题意，当时直线的方程为，即，过定点．练习 2．椭圆的右焦点为，为圆与椭圆的一个公共点，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）如图，过作直线与椭圆交于，两点，点为点关于轴的对称点.（ 1）求证：；（ 2）试问过，的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ 1）见解析；（2）见解析【解析】（Ⅰ）解：设是椭圆的左焦点，连接，，.∵，∴.∴.∴.∴.又∵，，∴.∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）（1）证明：①当直线斜率为0时，的方程为，∴，等式显然成立；②当直线斜率不为0 时，由题意，设的方程为.∵，，点为点关于轴的对称点，则.，，.∴.∴等式成立 .（ 2）解：过，的直线过定点.①当直线斜率不为0 时，∵，∴直线的方程为，即，即.由（ 1）可知，，∴.∴.∴过，的直线过定点；②当直线斜率为0时，的方程为，直线也过定点.综上可知，过，的直线过定点.（九）范围问题例 1．已知椭圆的焦距为，离心率为，其右焦点为，过点作直线交椭圆于另一点.（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ） 3 或 1（Ⅱ）或.①当的坐标为时，，，且，∴；②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，，，∴综上可知：或 1.（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在 .设，，，由得：由得：，∵，∴即∴，结合得：∵，∴从而，，∵点在椭圆上，∴，整理得：练习 1．已知椭圆直线，若椭圆上存在两个不同的点，关于对称，设的中点为 .（ 1）证明：点在某定直线上；（2）求实数的取值范围 .【答案】 (1) 见证明； (2) 或.【解析】（ 1）当时，显然不符合题意，舍；当时，设直线方程为，，，则由相减，整理得，，即，.又，.，即..故点在定直线上.（ 2）由（ 1）易得点，由题意知，点必在椭圆内部，，解得或.练习 2．已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足．（ i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ ii ）求面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）y2＝ 1；（Ⅱ）（i ）见解析；（ ii ）（ 0，1） .【解析】（Ⅰ）由题设条件，设c k，a＝ 2k，则 b＝ k，∴椭圆方程为1，把点（，）代入，得k2＝1，∴椭圆方程为y2＝1．（Ⅱ）（i ）当 k 变化时， m2是定值．证明如下：由，得（ 1+4k2） x2+8kmx+4（m2﹣1）＝ 0，设∴，．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，∴ 4k＝ k1+k2，∴ 2kx1x2＝ m（ x1+x2），由此解得，验证△＞0成立．∴当k 变化时，是定值．② S△OPQ|x1﹣x2|?|m| ，令t＞ 1，得 S△OPQ 1，∴△ OPQ 面积的取值范围S△OPQ∈（ 0， 1）．练习 3．已知椭圆 C ：的左右顶点为 A 、 B ，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、 Q 为椭圆 C 上异于 A、B 的两点，点R 为 PQ 的中点求椭圆 C 的标准方程；直线 PB 交直线于点M，记直线PA 的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；若，求直线AR 的斜率的取值范围．【答案】（ 1）（2）见解析（3）【解析】椭圆的一条准线方程是，可得，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，解得，，，即有椭圆方程为；证明：由，，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，可得，解得或，即有，，，则，即为定值；由，可得，即，设 AP 的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有，将t换为可得，则 R 的坐标为，即有直线AR 的斜率，可令，则，则，当时，，当且仅当时上式取得等号，同样当时，，时，，，则AR的斜率范围为。
考点26 圆锥曲线的综合应用-2018届高考数学文30个黄金考点精析精训 含解析 精品
2018届高三30个黄金考点精析精训考点25 圆锥曲线的综合应用【考点剖析】1.最新考试说明：（1）了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 .（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 .（3）了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质 .（4）理解数形结合的思想 .（5）了解圆锥曲线的简单应用 .2.命题方向预测：直线与圆锥曲线的综合考查，主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力．同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.预测本节内容仍是2018年高考的热点之一，题型仍以解答题为主，难度可能会偏难．内容会围绕直线与圆锥曲线的位置关系，展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查．设计出探究性、存在性问题也属正常．分值12～16分．会更加注重知识间的联系与综合，更加注重对综合应用知识解决问题的能力的考查，更加注重对数学思想方法尤其是函数思想、数形结合思想及分类讨论思想的考查.3.名师二级结论：一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．直线与椭圆的相交弦长问题：弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点错误！未找到引用源。
则弦长公式为错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
． 直线与抛物线的相交弦长问题：已知过抛物线错误！未找到引用源。
最新-广东省珠海市金海岸中学2018届高三数学 考前专题
广东省珠海市金海岸中学2018届高三考前专题讲座：直线与圆锥曲线问题的处理方法二高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解例1如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件 |F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标； (3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围命题意图本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强知识依托椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法错解分析第三问在表达出“k =3625y 0”时，忽略了“k =0”时的情况，理不清题目中变量间的关系技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m 表示出弦AC 的中点P 的纵坐标y 0,利用y 0的范围求m 的范围解 (1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3故椭圆方程为92522y x +=1 (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B 9因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)， 由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出 x 1+x 2=8 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4(3)解法一 由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上得22112222925925 925925 x y x y ⎧+=⨯ ⎪⎨+=⨯⎪⎩①②①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0) 即k =3625y 0(当k =0时也成立) 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516解法二 因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0 (当k =0时也成立)(以下同解法一)例2若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a 的范围解法一 （对称曲线相交法）曲线21y ax =-关于直线0x y +=对称的曲线方程为21x ay -=-如果抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，则两曲线21y ax =-与21x ay -=-必有不在直线0x y +=上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由2211y ax x ay ⎧=-⎨-=-⎩22()y x a x y ⇒+=- ∵ 0,x y +≠ ∴ 1y x a=-代入21y ax =-得 2110ax x a-+-=有两个不同的解， ∴ 213(1)4(1)04a a a ∆=--->⇒>解法二 （对称点法）设抛物线21y ax =-上存在异于于直线0x y +=的交点的点00(,)A x y ，且00(,)A x y 关于直线0x y +=的对称点00(,)A y x '--也在抛物线21y ax =-上则200200(1)1(2)()1y ax x a y ⎧=-⎨-=--⎩ 必有两组解 (1)-(2)得220000()y x a x y +=- 必有两个不同解∵000y x +≠， ∴00()1a x y -=有解从而有 200[(1)]1a x ax --=有两个不等的实数解即 220010a x ax a --+=有两个不等的实数解∴ 22()4(1)a a a ∆=---+>∵ 0a ≠， ∴ 4a >解法二 （点差法）设抛物线21y ax =-上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线0x y +=对称，且以00(,)M x y 为中点是抛物线21y ax =-（即21(1)x y a=+）内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由211222(1)1(2)1y ax y ax ⎧=-⎨=-⎩ (1)-(2)得 221212()y y a x x -=- ∴ 1212012()2AA y y k a x x ax x x '-==+=-由0001111121,(,)2222AA k ax x y M a a a a'=⇒=⇒==-⇒- 从而有 21113()(1)224a a a a <-+⇒> 例3 试确定m 的取值范围，使得椭圆22143x y +=上有不同两点关于直线4y x m =+对称解 设椭圆22143x y +=上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线4y x m =+对称，且以00(,)M x y 为中点是椭圆22143x y +=内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由22112222(1)3412(2)3412x y x y ⎧+=⎨+=⎩ (1)-(2)得 222212124()3()y y x x -=-- ∴ 012121212033()4()4AA x y y x x k x x y y y '-+==-=--+由00003113444AA x k y x y '=-⇒-=-⇒= 由00(,)M x y 在直线4y x m =+上00,3(,3)x m y m M m m ⇒=-=-⇒--从而有222()(3)41(4313m m m m --+<⇒<⇒∈ 例4 已知直线l 过定点A(4,0)且与抛物线2:2(0)C y px p = >交于P 、Q 两点，若以PQ 为直径的圆恒过原点O ，求p 的值解 可设直线l 的方程为4x my =+代入22y px =得 2280y pmy p --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则222121212122()8,16224y y y y y y p x x p p p =-===由题意知，OP ⊥OQ ，则0OP OQ = 即 12121680x x y y p +=-= ∴2p =此时，抛物线的方程为24y x =学生巩固练习1 在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________2 已知两点M (1，45)、N (－4，－45)，给出下列曲线方程 ①4x +2y －1=0, ②x 2+y 2=3, ③22x +y 2=1, ④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________3 已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A (2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称(1)求双曲线C 的方程(2)设直线l 过点A ，斜率为k ,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标参考答案:1 解析 设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得，(y 1+y 2）(y 1－y 2)=16(x 1－x 2)即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8故所求直线方程为y =8x －15答案x －y －15=18 解析 点P 在线段MN 的垂直平分线上，判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点 答案②③④3 解 (1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0，2)∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2(2)设直线l y =k (x －2)(0＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l 设直线l ′ y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2②把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0,由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2－2)=0可得m 2+2k 2=2 ③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解得m =510,k =552,此时x =2212=--k mk,y =10 故B (22,10)课前后备注。
圆锥曲线大题计算的小技巧
圆锥曲线大题计算的小技巧圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，对于许多学生来说，计算圆锥曲线的题目可能是比较困难的。
然而，通过一些小技巧，我们可以更容易地解决这些问题。
在本文中，我将介绍一些超适用的小技巧，帮助大家更好地计算圆锥曲线的题目。
一、直线和圆锥曲线的关系在计算圆锥曲线的问题中，经常会遇到直线和圆锥曲线的相交问题。
对于这类题目，我们可以通过将直线方程代入圆锥曲线方程，得到一个关于未知数的方程，从而解出未知数的值。
具体步骤如下：1. 设直线的方程为y = kx + c，其中k和c为常数。
2. 将直线方程代入圆锥曲线的方程中，得到关于未知数的方程。
例如，如果圆锥曲线的方程为ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0，代入直线方程后得到关于x的二次方程（其中k和c是已知数）。
3.解方程，得到未知数的值。
根据解的个数，可以确定直线和圆锥曲线的相交情况。
这种方法可以帮助我们更快地确定直线和圆锥曲线的交点的位置，从而更好地解决问题。
二、使用平移变换简化计算在计算圆锥曲线的问题中，有时可以通过平移变换简化计算。
具体步骤如下：1.设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0。
2.假设平移向量为(a,b)，将平移之后的曲线方程设为f(x-a,y-b)=0。
3.将f(x-a,y-b)展开，得到新的方程。
4.移项合并同类项，简化方程。
通过平移变换，我们可以改变方程的形式，使得计算更为简单。
这种方法对于计算特定的圆锥曲线问题非常有效。
三、标准方程的使用在计算圆锥曲线的问题中，标准方程是一种非常有用的工具。
不同类型的圆锥曲线有不同的标准方程，例如：1.椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
2.双曲线的标准方程是(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标。
3. 抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
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专题27 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧一．命题陷阱1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱2.范围不完备陷阱3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱4．不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱 二、知识回顾 1.椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =2.双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c ．(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c3．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. 三．典例分析1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱例1. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=.（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD △的面积为62，故221626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326||20m m -+=，解得6||3m =，所以63m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=. 【陷阱防范】：分析题目条件与所求关系，恰当选取是否使用韦达定理练习1. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为21+，最小距离为21-.（1）求椭圆的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1)椭圆方程为2212x y +=;(2) 以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .下面证明()0,1Q 为所求：若直线l 的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线1:3l y kx =-， ()()1122,,,A x y B x y ， 由221{ 3220y kx x y =-+-=得()2291812160k x kx +--=，()22144649180k k ∆=++>，1212221216,189189k x x x x k k -+==++， ()()1122,1,,1QA x y QB x y =-=-u u u v u u u v ， ()()121211QA QB x x y y ⋅=+--u u u v u u u v()()21212416139k k x x x x =+-++ ()22216412161091839189k k k k k -=+⋅-⋅+=++. ∴QA QB ⊥u u u v u u u v，即以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .练习2.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. 【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.练习3. 已知椭圆1C ： 2214x y +=，曲线2C 上的动点(),M x y 满足： ()()2222232316x y x y +++-=.（1）求曲线2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，第一象限的点,A B 分别在1C 和2C 上， 2OB OA =u u u r u u u r，求线段AB 的长.【答案】(1) 221164y x +=2105【解析】（1）由已知，动点M 到点()0,23P-， ()0,23Q 的距离之和为8，且8PQ <，所以动点M 的轨迹为椭圆，而4a =， 23c =，所以2b =，故椭圆2C 的方程为221164y x +=. （2）,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，由2OB OA =u u u r u u u r及（1）知， ,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中，得()22144k x +=，所以22414A x k =+， 将y kx =代入221164y x +=中，得()22416k x +=，所以22164B x k=+， 又由2OB OA =u u u r u u u r ，得224B A x x =，即22164414k k =++， 解得222441,5,5,5,55555k A B ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易得， 故224242255551055555AB ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.范围不完备陷阱例2. 已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为43.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ） 6.【解析】（Ⅰ）由题设知， 2,243ac ab ==， 又222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=. 故四边形APBQ 的面积为1•22P Q P Q S AB y y y y =-=-= 221862273tt tt ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭ ()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t tt tt t t t ++===+++++++.由于296t t λ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥， 从而，有48612S λλ=≤+. 当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6. 【陷阱防范】：涉及含参数问题，求最值或范围时要注意运用均值不等式还是运用函数的单调性. 练习1.设点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动圆A 经过点F 且和直线14y =-相切，记动圆的圆心A 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值. 【答案】（1）2x y =（2）min 23t =【解析】(1)过点A 作直线AN 垂直于直线14y =-于点N ，由题意得AF AN =，所以动点A 的轨迹是以F 为焦点，直线14y =-为准线的抛物线.所以抛物线C 得方程为2x y =. ()()()()210,10kx x k t k k t kx k k t x k t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+---+=+-+--=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得()1k k t x k-+=-，或x k t =-.()()()()()()2222222221111,,11MN k k t k kt k k t k k t k N k k k t k k t kt k t k k k⎡⎤-+⎣⎦⎛⎫-+⎡⎤-+-+⎣⎦ ⎪∴-∴==-+ ⎪-+----⎝⎭. 而抛物线在点N 的切线斜率， '|k y = ()()122k k t k k t x kk-+---=-=， MN 是抛物线的切线，()()()22221221k kt k k t kk t k -+---∴=--，整理得()2222120,4120k kt t t t ++-=∴∆=--≥，解得23t ≤-（舍去），或min 22,33t t ≥∴=. 练习2. 已知双曲线22221x y C a b-=：33，0)是双曲线的一个顶点。
(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30︒的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的,A B 两点，求AB 的长。