地球椭球及其数学计算
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过P点作子午椭圆的切线TP，切线的斜率为 tan(900 B)
x2 a2
y2 b2
1
dy b2 x tan(90 B) cotB
dx
aΒιβλιοθήκη Baidu y
y x(1 e2 ) tan B
x2 a2
1
e2 sin2 cos2 B
B
1
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
导航学
第四章 地球椭球及其数学计算
张小红 武汉大学测绘学院
第四章 地球椭球及其数学计算
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系 4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系 4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 4.4 地球椭球上的曲率半径 4.5 椭球面上的弧长计算 4.6 法截线与大地线 4.7 大地主题解算 4.8 导航中大地线长度的计算方法 4.9 把地面观测值归算至椭球面
Z
N (1 e2 ) H
sin B
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
大地坐标系到空间直角坐标系的转换推导思路
建立空间直角坐标系 建立子午面直角坐标系（中间过渡） 推导子午面直角坐标和大地纬度与椭球有关参数之间的关系 找到空间直角坐标和子午面直角坐标之间的相互关系 建立空间直角坐标和大地坐标之间的关系
子午面直角坐标系
引入辅助参数
x a cos B W
y x(1 e2 ) tan B
代入x
a(1 e2 )
y
sin B
W
令：N a W
则：x N cos B
x N cos B
y
N (1
e2
) sin
B
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
大地坐标转空间直角坐标
在椭球面上的点
X x cos L Y x sin L Z y
X N cos B cos L Y N cos B sin L
Z N (1 e2 ) sin B
不在椭球面上的点（推导）
X Y
N H cos B cos L N H cos B sin L
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
空间直角坐标转大地坐标
迭代公式
tan
B
z
Ne2
sin B
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
子午面直角坐标系（大地坐标与空间直角坐标系转换所需的中间坐标系）
P点为空间某点P′ 沿法线方向在地球椭球上的投影点，以过P点的子午 椭圆中心为原点，建立一个平面直角坐标系，x轴与子午椭圆的长轴重 合，y 轴与椭圆的短轴重合。
在该坐标系中，P点的位置用( x, y)表示
e2 0.0066944 e8 2109
e10 1.31011
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球几何参数间的相互关系
ab
a
b a 1
a2 b2 e
a
b a 1 e2
a2 b2 e'
b
e2 1 1 1 e '2
e '2 1 1 1 e2
空间直角坐标系是大地测量与导航计算常用的坐标系 空间直角坐标系定义
坐标原点O：位于总地球椭球(或参考椭球)中心 Z轴：与地球平均自转轴相重合，指向某段时间的平均北极点； X轴：指向由平均格林尼治天文台和平均自转轴所确定的子午面
与赤道面的交点Ge； Y轴：垂直于X轴和Z轴构成右手系
第四章 地球椭球及其数学计算 第四讲
第四章 地球椭球及其数学计算
第一节 地球椭球的几何参数 及其相互关系
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球上的点和线
地球椭球是一个具有合适的形状和大小的椭圆绕短轴旋转一周 后所形成的一个旋转椭球
• 北极N和南极S • 椭球中心O • 赤道平面（赤道圈） • 子午面（子午圈） • 平行圈或纬圈
上一堂课内容回顾
地球形状
大地水准面与地球椭球
大地水准面（一次逼近） 地球椭球（二次逼近） 参考椭球
地球重力场
地球引力（位） 离心力（位） 重力（位） 垂线偏差
地球磁场
地磁七要素
上一堂课内容回顾
重力场与地磁场的异同
相同点： 均为人为不可控天然稳定场（对导航有利） 均随空间位置变化，具有一定的空间分布规律 都随时间发生微小变化 不同点： 重力场和地磁场成因不同、性质不同； 重力场为单极场，地磁场近似为偶极场； 重力场为强场，地磁场为弱场； 地磁场为强时变，重力场弱时变；
a b 1 e '2
1 1 e2 e2 2 2
1 e2 1 e '2 1
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
辅助参数（为简化后续公式推导）
极点处的子午曲率半径
第四章 地球椭球及其数学计算
第二节 大地坐标系、空间直角坐标系 及其相互关系
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
大地坐标系
大地坐标系是大地测量学与导航学中常用的一种坐标系，亦称 地理坐标系或椭球坐标系
它是以经过椭球定位后的地球椭球上所定义的点线面为参考的 一种坐标系。
地面一点的大地坐标（B，L，H)
• 大地纬度B (N/S 0~90°) • 大地经度L (E/W 0~180°) • 大地高H
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
ab
a
a2 b2 e
a
a2 b2 e'
b
其中a，b称为长度元素，扁率反映了椭球体的扁平程度。
偏心率是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们 也反映椭球的扁平程度，偏心率愈越大，椭球越扁
上述5个参数中任选两个参数就能表示椭球的形状和大小，但其
中至少有一个长度参数 ，通常选 a 和 e
旋转椭球体的特点
• 对称性 • 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 • 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆
子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球的基本几何参数
椭球长半径
a
椭球短半径
b
椭球的扁率
椭球的第一偏心率e
椭球的第二偏心率 e'
x2 a2
y2 b2
1
dy b2 x tan(90 B) cotB
dx
aΒιβλιοθήκη Baidu y
y x(1 e2 ) tan B
x2 a2
1
e2 sin2 cos2 B
B
1
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
导航学
第四章 地球椭球及其数学计算
张小红 武汉大学测绘学院
第四章 地球椭球及其数学计算
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系 4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系 4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 4.4 地球椭球上的曲率半径 4.5 椭球面上的弧长计算 4.6 法截线与大地线 4.7 大地主题解算 4.8 导航中大地线长度的计算方法 4.9 把地面观测值归算至椭球面
Z
N (1 e2 ) H
sin B
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
大地坐标系到空间直角坐标系的转换推导思路
建立空间直角坐标系 建立子午面直角坐标系（中间过渡） 推导子午面直角坐标和大地纬度与椭球有关参数之间的关系 找到空间直角坐标和子午面直角坐标之间的相互关系 建立空间直角坐标和大地坐标之间的关系
子午面直角坐标系
引入辅助参数
x a cos B W
y x(1 e2 ) tan B
代入x
a(1 e2 )
y
sin B
W
令：N a W
则：x N cos B
x N cos B
y
N (1
e2
) sin
B
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
大地坐标转空间直角坐标
在椭球面上的点
X x cos L Y x sin L Z y
X N cos B cos L Y N cos B sin L
Z N (1 e2 ) sin B
不在椭球面上的点（推导）
X Y
N H cos B cos L N H cos B sin L
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
空间直角坐标转大地坐标
迭代公式
tan
B
z
Ne2
sin B
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
子午面直角坐标系（大地坐标与空间直角坐标系转换所需的中间坐标系）
P点为空间某点P′ 沿法线方向在地球椭球上的投影点，以过P点的子午 椭圆中心为原点，建立一个平面直角坐标系，x轴与子午椭圆的长轴重 合，y 轴与椭圆的短轴重合。
在该坐标系中，P点的位置用( x, y)表示
e2 0.0066944 e8 2109
e10 1.31011
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球几何参数间的相互关系
ab
a
b a 1
a2 b2 e
a
b a 1 e2
a2 b2 e'
b
e2 1 1 1 e '2
e '2 1 1 1 e2
空间直角坐标系是大地测量与导航计算常用的坐标系 空间直角坐标系定义
坐标原点O：位于总地球椭球(或参考椭球)中心 Z轴：与地球平均自转轴相重合，指向某段时间的平均北极点； X轴：指向由平均格林尼治天文台和平均自转轴所确定的子午面
与赤道面的交点Ge； Y轴：垂直于X轴和Z轴构成右手系
第四章 地球椭球及其数学计算 第四讲
第四章 地球椭球及其数学计算
第一节 地球椭球的几何参数 及其相互关系
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球上的点和线
地球椭球是一个具有合适的形状和大小的椭圆绕短轴旋转一周 后所形成的一个旋转椭球
• 北极N和南极S • 椭球中心O • 赤道平面（赤道圈） • 子午面（子午圈） • 平行圈或纬圈
上一堂课内容回顾
地球形状
大地水准面与地球椭球
大地水准面（一次逼近） 地球椭球（二次逼近） 参考椭球
地球重力场
地球引力（位） 离心力（位） 重力（位） 垂线偏差
地球磁场
地磁七要素
上一堂课内容回顾
重力场与地磁场的异同
相同点： 均为人为不可控天然稳定场（对导航有利） 均随空间位置变化，具有一定的空间分布规律 都随时间发生微小变化 不同点： 重力场和地磁场成因不同、性质不同； 重力场为单极场，地磁场近似为偶极场； 重力场为强场，地磁场为弱场； 地磁场为强时变，重力场弱时变；
a b 1 e '2
1 1 e2 e2 2 2
1 e2 1 e '2 1
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
辅助参数（为简化后续公式推导）
极点处的子午曲率半径
第四章 地球椭球及其数学计算
第二节 大地坐标系、空间直角坐标系 及其相互关系
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
大地坐标系
大地坐标系是大地测量学与导航学中常用的一种坐标系，亦称 地理坐标系或椭球坐标系
它是以经过椭球定位后的地球椭球上所定义的点线面为参考的 一种坐标系。
地面一点的大地坐标（B，L，H)
• 大地纬度B (N/S 0~90°) • 大地经度L (E/W 0~180°) • 大地高H
4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系
ab
a
a2 b2 e
a
a2 b2 e'
b
其中a，b称为长度元素，扁率反映了椭球体的扁平程度。
偏心率是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们 也反映椭球的扁平程度，偏心率愈越大，椭球越扁
上述5个参数中任选两个参数就能表示椭球的形状和大小，但其
中至少有一个长度参数 ，通常选 a 和 e
旋转椭球体的特点
• 对称性 • 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 • 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆
子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球的基本几何参数
椭球长半径
a
椭球短半径
b
椭球的扁率
椭球的第一偏心率e
椭球的第二偏心率 e'