线代第三章
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母, , , 等(或带小标).
只讨论与起点无关的向量.
当建立了平面坐标系以后，该平面内的 向量的起点可以认为均在平面坐标原点， 于是可以用该向量的终点坐标表示该向 量，见图3.1. 在空间坐标系中有类似处 理，见图3.2.
a (x, y)
a (x, y, z)
在空间向量(x, y, z)中，它是x, y, z按一定 顺序的一个排列，分别表示该向量终点 的横坐标、纵坐标和竖坐标. 实际上， 对于含n个未知量x1, x2, …, xn的n元线性 方程组, 其一个解可以按x1, x2, …, xn的 顺序依次表示出来.
,
α3
1
11
计算3α1 2α2 5α3. Solution
2 10 4
3α1
2α2
5α3
3
5 13
21150
5
1 11
6 20 20 6
15
3 9
2 1200
5 55
12
8 24
.
由于 + = + 及 + (- ) = 0，所以
(3) + 0 = . (加法单位元)
(4) + (- ) = 0 .(加法逆元)
为了方便，将 + (-) 记为 - ，称为 向量和的差(subtraction of and )，
它是向量的减法运算. 两个向量相减就 是对应的分量分别相减.
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2、向量的数乘运算
向量和数的数乘是一个向量，其大小 为| |与向量的大小乘积，其方向当 > 0 时与相同，当 < 0 时与相反，当 = 0 时是零向量，这时其方向可以是
任意的.
在空间直角坐标系下:
a1
a1
α a2 α a2
两个维数不同的向量一定不等.
2. 分量全为0的m维向量称为m维零向量 (zero vector)，记为黑体0. 当然有不同的 零向量，并注意实数0与向量0的区别.
3. 负向量
a1
a1
α
a2
α
a2
am
am
3.1.2 向量的线性运算
1、向量的加法运算
在中学里，两个向量α和β可以使用三
所谓向量空间，就是在向量之间定义了 向量的线性运算所构成的一种代数，又 称为向量代数.
3.1.1 向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量.
通常用一条有向线段表示向量，有向线 段的长度表示向量的大小，有向线段的 方向表示向量的方向. 表示向量时，用 黑体及斜体的英文字母a, b, c,或希腊字
a1n a2n
am1 am2 amn
a1
a2
a1
,
a2
,,
am
T
am
每个分量均为实数的向量称为实向量
(real vector)，每个分量均为复数的向量 称为复向量(complex vector). 所有m维实 向量组成的集合用Rm表示，其中R表示 实数集合. 在今后的讨论中，若无特别 说明，所涉及的向量为实向量.
线性方程组Ax = b的一个解，写成
x1 x2 xm
是线性方程组的一个解向量(solution vector).
先介绍三个概念.
1. 两个m维向量相等当且仅当其对应的 分量分别相等, 即
a1 b1
a2
b2
ai
bi , i
1,2,, n.
am bm
角形法则或平行四边形法则相加，这是 早在公元前350年左右Aristotle就知道了.
αβ β
α
β αβ α
当建立空间直角坐标系后，将向量α可 表示为(a1, a2, a3)T，向量β可表示为(b1, b2, b3)T时，很容易知道α+β = (a1+ b1, a2 + b2, a3 + b3) T. 一般地, 两个向量α和β之 和定义如下.
第3章 向量空间
向量也是重要的数学工具之一.(线性代 数的重点从线性方程组转移到向量.)
借助于线性方程组可以讨论向量的有关 内容，而有了向量知识后又可以更深入 地讨论线性方程组的解与解之间的关系. 实际上，向量空间的理论起源于对线性 方程组解的研究. 同时，向量与矩阵之 间有联系也有区别.
3.1 向量及其线性运算
a3
a3
Def 3.3
a1
a1
α
a2
α
a2
am
am
例如:
α 1,2 3 α 3 ,3
2 2
1 3
3
0 63
0 198
,
3 6
2
2 13
4 2 6
对于任意向量 ，有-1 = - ， 0 = 0 且对于任意, Rm, R，有
Def 3.2
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2 1 1
3 1 04 31源自7 0 3向量加法运算的性质. , , Rm:
(1) + = + . (加法交换律)
(2) ( +) + = + ( + ).(加法结合律)
(5) 1 = .
(6) () = ().
(7) ( + ) = + .
(8) ( + ) = + .
上面的向量的线性运算性质(1)—(8)是 按线性空间所满足的条件列举的，参见 3.6节定义3.13.
例3.1 设
2 10 4
α1
5 1 3
,
α2
1 150
Def 3.1 将m个数a1, a2, …, am按一定顺 序排列所得到的数列称为m维向量, 表
示为
a1, a2,, am
a1 a2 am
其中ai称为是该向量的第i个分量或坐标.
当m = 1, 2, 3时，m维向量都有较直观的 几何背景，分别表示起点在原点的数轴、 平面和空间上的向量，这是学习向量时 的一个优势. 当m≥4时，m维向量没有直 观的几何解释.
向量可称为矢量. 如果将m个任意元素， 不一定是数，按一定顺序排列所得到的 数组, 就是m元组的概念，它在计算机科 学中更是经常用到
向量与矩阵.
不过看作矩阵它们是不相同的，但作为 向量这两种表示方式是相同的.
行向量和列向量.
m×n 矩阵可以得到m个行向量和n个列
向量.
a11 a21
a12 a22
只讨论与起点无关的向量.
当建立了平面坐标系以后，该平面内的 向量的起点可以认为均在平面坐标原点， 于是可以用该向量的终点坐标表示该向 量，见图3.1. 在空间坐标系中有类似处 理，见图3.2.
a (x, y)
a (x, y, z)
在空间向量(x, y, z)中，它是x, y, z按一定 顺序的一个排列，分别表示该向量终点 的横坐标、纵坐标和竖坐标. 实际上， 对于含n个未知量x1, x2, …, xn的n元线性 方程组, 其一个解可以按x1, x2, …, xn的 顺序依次表示出来.
,
α3
1
11
计算3α1 2α2 5α3. Solution
2 10 4
3α1
2α2
5α3
3
5 13
21150
5
1 11
6 20 20 6
15
3 9
2 1200
5 55
12
8 24
.
由于 + = + 及 + (- ) = 0，所以
(3) + 0 = . (加法单位元)
(4) + (- ) = 0 .(加法逆元)
为了方便，将 + (-) 记为 - ，称为 向量和的差(subtraction of and )，
它是向量的减法运算. 两个向量相减就 是对应的分量分别相减.
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2、向量的数乘运算
向量和数的数乘是一个向量，其大小 为| |与向量的大小乘积，其方向当 > 0 时与相同，当 < 0 时与相反，当 = 0 时是零向量，这时其方向可以是
任意的.
在空间直角坐标系下:
a1
a1
α a2 α a2
两个维数不同的向量一定不等.
2. 分量全为0的m维向量称为m维零向量 (zero vector)，记为黑体0. 当然有不同的 零向量，并注意实数0与向量0的区别.
3. 负向量
a1
a1
α
a2
α
a2
am
am
3.1.2 向量的线性运算
1、向量的加法运算
在中学里，两个向量α和β可以使用三
所谓向量空间，就是在向量之间定义了 向量的线性运算所构成的一种代数，又 称为向量代数.
3.1.1 向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量.
通常用一条有向线段表示向量，有向线 段的长度表示向量的大小，有向线段的 方向表示向量的方向. 表示向量时，用 黑体及斜体的英文字母a, b, c,或希腊字
a1n a2n
am1 am2 amn
a1
a2
a1
,
a2
,,
am
T
am
每个分量均为实数的向量称为实向量
(real vector)，每个分量均为复数的向量 称为复向量(complex vector). 所有m维实 向量组成的集合用Rm表示，其中R表示 实数集合. 在今后的讨论中，若无特别 说明，所涉及的向量为实向量.
线性方程组Ax = b的一个解，写成
x1 x2 xm
是线性方程组的一个解向量(solution vector).
先介绍三个概念.
1. 两个m维向量相等当且仅当其对应的 分量分别相等, 即
a1 b1
a2
b2
ai
bi , i
1,2,, n.
am bm
角形法则或平行四边形法则相加，这是 早在公元前350年左右Aristotle就知道了.
αβ β
α
β αβ α
当建立空间直角坐标系后，将向量α可 表示为(a1, a2, a3)T，向量β可表示为(b1, b2, b3)T时，很容易知道α+β = (a1+ b1, a2 + b2, a3 + b3) T. 一般地, 两个向量α和β之 和定义如下.
第3章 向量空间
向量也是重要的数学工具之一.(线性代 数的重点从线性方程组转移到向量.)
借助于线性方程组可以讨论向量的有关 内容，而有了向量知识后又可以更深入 地讨论线性方程组的解与解之间的关系. 实际上，向量空间的理论起源于对线性 方程组解的研究. 同时，向量与矩阵之 间有联系也有区别.
3.1 向量及其线性运算
a3
a3
Def 3.3
a1
a1
α
a2
α
a2
am
am
例如:
α 1,2 3 α 3 ,3
2 2
1 3
3
0 63
0 198
,
3 6
2
2 13
4 2 6
对于任意向量 ，有-1 = - ， 0 = 0 且对于任意, Rm, R，有
Def 3.2
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2 1 1
3 1 04 31源自7 0 3向量加法运算的性质. , , Rm:
(1) + = + . (加法交换律)
(2) ( +) + = + ( + ).(加法结合律)
(5) 1 = .
(6) () = ().
(7) ( + ) = + .
(8) ( + ) = + .
上面的向量的线性运算性质(1)—(8)是 按线性空间所满足的条件列举的，参见 3.6节定义3.13.
例3.1 设
2 10 4
α1
5 1 3
,
α2
1 150
Def 3.1 将m个数a1, a2, …, am按一定顺 序排列所得到的数列称为m维向量, 表
示为
a1, a2,, am
a1 a2 am
其中ai称为是该向量的第i个分量或坐标.
当m = 1, 2, 3时，m维向量都有较直观的 几何背景，分别表示起点在原点的数轴、 平面和空间上的向量，这是学习向量时 的一个优势. 当m≥4时，m维向量没有直 观的几何解释.
向量可称为矢量. 如果将m个任意元素， 不一定是数，按一定顺序排列所得到的 数组, 就是m元组的概念，它在计算机科 学中更是经常用到
向量与矩阵.
不过看作矩阵它们是不相同的，但作为 向量这两种表示方式是相同的.
行向量和列向量.
m×n 矩阵可以得到m个行向量和n个列
向量.
a11 a21
a12 a22