线代第三章
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线性代数第三章总结
第三章 几何空间一、 向量的运算1. 向量的数量积（1） 在仿射坐标系123{;,,}O e e e 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则112323(,,)y x x x A y y αβ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，其中111213212223313233e e e e e e A e e e e e e e e e e e e ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭. （2） 在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则131233213(,,)i i i y x x x I y x y y αβ=⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭∑ ∙ =0αβαβ⊥⇔⋅2. 向量的向量积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则123123i jk x x x y y y αβ⨯=. ∙ //=0αβαβ⇔⨯3. 向量的混合积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，123(,,)z z z γ=则123123123(,,)x x x y y y z z z αβγ=. ∙ (,,)0αβγαβγ⇔=，，共面例：（1）设=αβγδ⨯⨯， =αγβδ⨯⨯，证明αδ-，βγ-共线.（2）设0αββγγα⨯+⨯+⨯=，证明αβγ，，共面.（3）证明()()βγααγβγ⋅-⋅⊥.证明：（1）因为()()αδβγ-⨯-=αβαγδβδγ⨯-⨯-⨯+⨯=αβγδαγ⨯-⨯-⨯+0βδ⨯=，所以αδ-，βγ-共线.(2)因为()αβγ=，，()αβγ⨯⋅=()βγγ-⨯⋅()γαγ-⨯⋅=()βγγ-，，()γαγ-，，0=，所以αβγ，，共面.（3） 因为(()βγα⋅())αγβγ-⋅⋅=()βγ⋅()αγ⋅()αγ-⋅()βγ⋅0=，所以()βγα⋅()αγβ-⋅γ⊥.二、 位置关系的判断1. 两个向量的共线；三个向量的共面.2. 两条直线异面，共面（相交、平行、重合）3. 两个平面相交、平行、重合4. 直线与平面相交、平行、直线在平面上.三、距离和垂线（在右手直角坐标系中讨论）1. 点到直线的距离，垂线方程垂线方程：设直线过已知点0000,,)P x y z （方向向量为0()X Y Z υ=，，，求过111(,,)P x y z 点直线的垂线方程。
线性代数讲义(第三章)
成行阶梯形矩阵, 可同时看出矩阵（ 1， 2， 3） 及（ 1， 2）的秩，利用定理2即可得出结论.
1 0 2 ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 4 1 5 7
r2 r1
r3 r1
~
1 1 0 0 1 0
2 2 2 2 5 7 5 5 0 0 2 2
第三章 n维向量空间
• • • • • • n维向量的定义 n维向量的线性运算 向量组的线性相关性 向量组的极大线性无关组 向量空间 习题课
第一节 n维向量的定义
一、 n维向量的概念 二、 n维向量的表示方法 三、 向量空间
一、n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
（2）设
a1 j a1 j a2 j a2 j j , b j , ( j 1,2, , m ), arj a rj a r 1, j
即 j 添上一个分量后得向量b j .若向量组 A： 1 , 2 , , m 线性无关, 则向量组B：1 , b2 , , bm 也线性无 b 关 .反言之，若向量组B线性相关, 则向量组A也线 性相关 .
a T ( a 1 , a 2 , , a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如： a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量；
1 0 2 ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 4 1 5 7
r2 r1
r3 r1
~
1 1 0 0 1 0
2 2 2 2 5 7 5 5 0 0 2 2
第三章 n维向量空间
• • • • • • n维向量的定义 n维向量的线性运算 向量组的线性相关性 向量组的极大线性无关组 向量空间 习题课
第一节 n维向量的定义
一、 n维向量的概念 二、 n维向量的表示方法 三、 向量空间
一、n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
（2）设
a1 j a1 j a2 j a2 j j , b j , ( j 1,2, , m ), arj a rj a r 1, j
即 j 添上一个分量后得向量b j .若向量组 A： 1 , 2 , , m 线性无关, 则向量组B：1 , b2 , , bm 也线性无 b 关 .反言之，若向量组B线性相关, 则向量组A也线 性相关 .
a T ( a 1 , a 2 , , a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如： a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量；
线代第三章
n 阶行列式. 阶行列式.
定义
对(3-1) 的 n 阶矩阵 A，把删去第 i (3-
行及第 j 列后所得的 ( n – 1 ) 阶子矩阵称为对应 于元 aij 的余子矩阵， 并以 Sij 记之. 记之.
定义
一阶矩阵 [aij ]的行列式之值定义为数a11 的行列式之值定义为数a det [ a11 ] def a11
定理 数α乘行列式 detA，等于用α乘它的某 detA 等于用α
一列(或行)的所有元： 一列(或行)的所有元：
α det[a1 Lai Lan ] = det[a1 Lαai Lan ]
上式同时指出行列式某列(行 元的公因子可提出 上式同时指出行列式某列 行)元的公因子可提出
定理
对换两列 ( 或行 )的位置，行列式值反号: 的位置，行列式值反号:
（3 - 5 ）
阶行列式值的计算公式. 并可以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
— —
—
+
+
+
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号, 其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号 每一 条虚线上的三个元素的乘积带负号, 条虚线上的三个元素的乘积带负号 所得六项的代 数和就是三阶行列式的展开式. 数和就是三阶行列式的展开式.
值为零. 值为零.
推论 定理
对 n 阶 矩阵 A 有 detαA = (α )n det A 若将 detA的某一列 (或行) ai 写成两个向 detA 或行)
detA等于两个行列式之和， 量之和，ai = ci + di , 则 detA等于两个行列式之和， 量之和， 这两个行列式分别是在detA 这两个行列式分别是在detA中用 ci 及 di 代替ai的 代替a 结果， 结果，
线代第三章
方程组向量形式 x11+x22+…+xnn =0 令 Amn =(1,2,…,n) ，x=(x1,x2,…,xn)T
方程组矩阵形式 Amn x = 0
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… amn
a1n a2n
=0
(2)
(3)
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
一. 齐次线性方程组有非零解的条件
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
小练习 设A为sn矩阵,则齐次线性方程组Ax = 0有非
零解的充分必要条件是
(
D
)
(A) A的行向量组线性无关;(B) A的列向量组线性无关; (C) A的行向量组线性相关;(D) A的列向量组线性相关; 齐次线性方程组Amn x = 0有非零解的判定过程 行 初等 阶 A 行变换 梯 形
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第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
思考本节开始时提出的第二个问题
若齐次方程组有解, 则解是否唯一？ 分析：若Ax = 0有非零解, 则对任意数k, k 都是 Ax = 0的解, 即此时方程组的解是不唯一的. 若Ax = 0的解是唯一的, 则此时方程组只有零解.
非齐次线性方程组(nonhomogeneous ~) 解(to solve, solution) 解集(solution set),
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解向量(solution vector), 相容(consistent)
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a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 设A = … … … … , x = am1 am2 … amn
线性代数 第三章
( b1 , b2 ,, bm 为不全为零的常数) （3-1-1）
在上一章知道，它的矩阵表达式为 常数项与未知阵。
a11 a 21 A , B 将系数矩阵与常数项矩阵放在一起构成的矩阵 ~ 称为方程组（3-1-1）的增广矩阵（也可记作 A ）。 a m1
第三章 向量组与线性方程组
• 3.1 线性方程组及其矩阵表示
设非齐次线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
Ax B与 Sx T 同解。（证）
证明 由于对矩阵作一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵，因此存在初等矩 阵 P 记 Pk Pk 1 P1 P 显然 P 可逆。 1, P 2 ,, P k 使得 P kP k 1 P 1 ( A, B) ( S , T )
x x1 为 Ax B 的解，即 Ax1 B Sx1 T 于是 x x1 为 Sx T 的解。
21 1
22
2
2n
n
x1 2 x 2 2 x3 x 4 1 【例1】把线性方程组 2 x1 x 2 2 x 2 5 x 4 2 表示为矩阵方程的形式。 x 3 x 7 x 4 x 0 2 3 4 1 x1 1 2 2 1 1 解 设 A x2 B 2 1 2 5 2 则原方程组可表示为 Ax B x 1 3 7 4 0 x3 x 4
Ax B 其中 A, B, x 分别是系数阵、
线性代数_第三章
lts ks 0
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.
推论1 两个等价的且线性无关的向量组，含有相 同个数的向量。
推论2 等价的向量组有相同的秩。
推论3 向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且
组(I)可由组(II)线性表出，则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1
显然第三行是前两行的代数和； 也就是说，第三个方程能由前两 个方程“表示”；
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n，则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是，其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证：必要性. 因为Q可逆，必有l1,l2,…,lm不全为零， 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此，R(A)=m。
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.
推论1 两个等价的且线性无关的向量组，含有相 同个数的向量。
推论2 等价的向量组有相同的秩。
推论3 向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且
组(I)可由组(II)线性表出，则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1
显然第三行是前两行的代数和； 也就是说，第三个方程能由前两 个方程“表示”；
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n，则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是，其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证：必要性. 因为Q可逆，必有l1,l2,…,lm不全为零， 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此，R(A)=m。
线性代数 第3章 主要学习内容
求解线性方程组 首先要判断线性 方程组是否有解
若无解则结束
若有解则利用高斯消 元法化简方程组并求 得全体未知数的取值
实际上，高斯消元法通过对线性方程 组进行行变换，将其转化为三角形方 程组，然后再通过回代法求解出未知 数的值，由以下例题加以说明。
3.1 高斯消元法求解线性方程组
例1.《九章算术》第八章中介绍“方程术”的案例为：
方程组（3-11）的解为：
3.3 高斯消元法求逆矩阵
思考：可逆矩阵的乘积矩阵是否可逆？
3.3 高斯消元法求逆矩阵
解：由题意 根据例8的结果知
3.3 高斯消元法求逆矩阵
3.3 高斯消元法求逆矩阵
3.3 高斯消元法求逆矩阵
回顾与小结
1.逆矩阵的定义； 2.用逆矩阵的定义求方阵的逆矩阵； 3.用高斯消元法求方阵的逆矩阵。
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何?”
将其翻译过来就是：现有上等谷子3捆，中等谷子2捆，下等谷子1捆，果实共计39斗； 上等谷子2捆，中等谷子3捆，下等谷子1捆，果实共计34斗；上等谷子1捆，中等谷子2捆， 下等谷子3捆，果实共计26斗，问上等、中等、下等谷子1捆分别是几斗？
3.1 高斯消元法求解线性方程组
解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：
求解线性方程组首先要 判断线性方程组是否有 解，若无解则结束；若 有解，则利用高斯消元 法化简方程组并求得全 体未知数的取值
3.1 高斯消元法求解线性方程组
例3 求解线性方程组
3.1 高斯消元法求解线性方程组
解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：
线性代数第三章
例4 向量组 α1 , α 2 ,⋯ , α s 中的 任意一个向量 α j ( j = 1, 2,⋯ , s ) 都可 由该向量线性表示， 由该向量线性表示，因为 α j = 0α1 + ⋯+ 1α j + ⋯+ 0αs
例题4 例题 详见教材85页 详见教材 页
（例5 + 例6） ）
定义3.3.2给定向量组 给定向量组 定义
例6
设有线性方程组
x1 + x2 − 2 x3 + 3x4 = 0 2 x + x − 6 x + 4 x = −1 1 2 3 4 3x1 + 2 x2 + ax3 + 7 x4 = −1 x1 − x2 − 6 x3 − x4 = b
讨论当 a , b 为何值时， 为何值时， 方程组有解？（ ？（2 无解？ （1） 方程组有解？（2）无解？ （3）当有解时，试求出其解。 当有解时，试求出其解。
0 = (0, 0,⋯ , 0)
n维向量 α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 的各分量都取相反数组成的向 维向量 量称为的负向量， 量称为的负向量，记作
−α = (−a1 , −a2 ,⋯ , −an )
α 定义3.2.3 如果 维向量 = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 如果n维向量 定义
3、仅含有两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的 、 对应分量成比
定理3.3.1 向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 线性相关当且仅当以 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) 定理 为系数矩阵的齐次线性方程组 AX
=0
有非零解。 有非零解。
推论3.3.1向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α n 线性相关当且仅当矩阵 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) 向量组 推论 的行列式值为零。 的行列式值为零。 定理3.3.2向量组 A : α1 , α2 ,⋯, αm (m ≥ 2) 线性相关的充要条件是向量组A: α1,α2 ,⋯,αm 向量组 定理 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
线性代数第三章课件
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m ( n ) 1 , 2 ,, m 分别是 A 的 是 A 的个彼此不同的特征值，
属于1 , 2 ,, m 的特征向量， 则 1 , 2 ,, m 线性无关。 定理3.5 设 A 是 n 阶方阵, 1 , 2 ,, m 是 A 的 i1 , i 2 ,, isi 是 A 的 m( n) 个彼此不同的特征值， 属于 i (i 1,2,, m) 的线性无关的特征向量组， 则
A E 称为 A 的特征矩阵.
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说明 (1) 求特征值 ，就是求特征方程 A E 0 的根； (2) A E 0 有 n 个根 (其中有些根可能相同)， 其中的 k 重根也称为 k 重特征值. （3）A 的属于特征值 0 的全体特征向量是： ( A 0 E ) x O 的解集中除零向量外的全体解向量. (4) 特征方程可能有复数根，相应的，特征向量也 可能是复向量.
解 A 的特征多项式为
1 A E 4 1 1 3 0 0 0 2 (2 )(1 )2
令 A E 0 ，得 A 的 3 个特征值： 1 2 (单重特征值)
2 3 1 (二重特征值)
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将特征值分别代入 ( A E ) x O ，求出特征向量：
第一节 矩阵的特征值和特征向量
一、特征值和特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质
1
一、特征值和特征向量的概念
定义 1 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数 和非零向量 x, 使得 Ax x
则称： 是矩阵 A 的特征值；
x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A 的对应于(或属于)特征值 的特征向量.
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
线代第三章
例1：3维向量的全体 R3 是一个向量空间。 n维向量的全体 Rn ，也是一个向量空间。
6
例2: 判别下列集合是否为向量空间.
(1)V1 x 0, x2, , xn T x2, , xn R
(2)V2 x 1, x2, , xn T x2, , xn R
解： (1) 0,a2, ,an T , 0,b2, ,bn T V1 有 0,a2 b2 , ,an bn T V1 R,有 0,a2, ,an T V1.
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
2
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
a2
an
称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。
分量全为零的向量 0,0, ,0 称为零向量。
所以V是一个向量空间。 （这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间）
一般地，由向量组 a1,a2 , ,am所生成的向量空间为
V x 1a1 2a2 mam 1 ,2 ,,m R
8
1.线性组合与线性表示
二. 线性相关性 1. 线性组合与线性表示
定义1：给定向量组 A :1,2 ,
2.向量组等价 3.线性相关、无关 4.判断线性相关性的定理
所以，V1 是向量空间。
(2) V2 不是向量空间。
因为若 1,a2 ,,an T V2 ,
则2 2,2a2 ,,2an T V2 . 7
例3：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合
V x a b , R 是否为向量空间.
解： x1 1a 1b, x2 2a 2b V 有x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V , k R,有kx1 (k1 )a (k1 )b V .
6
例2: 判别下列集合是否为向量空间.
(1)V1 x 0, x2, , xn T x2, , xn R
(2)V2 x 1, x2, , xn T x2, , xn R
解： (1) 0,a2, ,an T , 0,b2, ,bn T V1 有 0,a2 b2 , ,an bn T V1 R,有 0,a2, ,an T V1.
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
2
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
a2
an
称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。
分量全为零的向量 0,0, ,0 称为零向量。
所以V是一个向量空间。 （这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间）
一般地，由向量组 a1,a2 , ,am所生成的向量空间为
V x 1a1 2a2 mam 1 ,2 ,,m R
8
1.线性组合与线性表示
二. 线性相关性 1. 线性组合与线性表示
定义1：给定向量组 A :1,2 ,
2.向量组等价 3.线性相关、无关 4.判断线性相关性的定理
所以，V1 是向量空间。
(2) V2 不是向量空间。
因为若 1,a2 ,,an T V2 ,
则2 2,2a2 ,,2an T V2 . 7
例3：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合
V x a b , R 是否为向量空间.
解： x1 1a 1b, x2 2a 2b V 有x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V , k R,有kx1 (k1 )a (k1 )b V .
线代第三章教材
（I）
x1
6x1
− −
8
x2 x2
+ +
3x3 20x3
= 3, = 12,
③
②
5x1 −
x2
+
6 x3
= 2.
①
1 −1 3 3
= A1
6
−8
20
12
；
5 −1 6 2
显然，交换方程①与方程③的位置 ⇔ 交换 A 的第 1、3 行.
99
（2）在方程组（I）中，方程②两端乘以
பைடு நூலகம்1 2
.
am1 am2 amn
xn
bm
显然，线性方程组的解由其系数矩阵 A 及常数项矩阵 b 唯一确定.
令
a11 a12 a1n b1
=A
(= A b)
a21
a22
a2n
b2
，
am1 am2 amn bm
A 称为线性方程组（3.1）的增广矩阵.
（3.1）
对于方程组（3.1），若以 n 个数组成的有序数组 k1, k2 ,, kn 替代未知量 x1, x2 ,, xn 使方程
此外，若将方程组中的某两个方程交换位置，也不会改变方程组的同解性. 因此以下三 种变换统称为线性方程组的同解变换：
（1）交换某两个方程的位置 （2）方程组两端同乘以某一非零数； （3）将某一方程两端乘以非零数，再加到另一方程上去.
3.1.3 线性方程组的同解变换与其增广矩阵变化的对应关系
对线性方程组实施同解变换，方程组的增广矩阵将发生相应的改变.
；
（3）在方程组（II）中，方程③两端乘以 (−3) ，再加到方程④上，得方程组（III）.方程
《线性代数》课件第3章
2.加法交换律 : A + B = B + A; 3. A + 0m×n = A; 4. A + (−A) = 0m×n; 5. a(A + B) = aA + bB; 6. (a + b)A = aA + bA; 7. (ab)A = a(bA).
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
线性代数第三章
一、 引例ຫໍສະໝຸດ 例 求解线性方程组 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2 , x + x − 2x + x = 4 , 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9.
解
(1) ①↔② ③÷2
1 2 1 0 0 0 − 1 3 0 0 0 5
1 3 0 − 2 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 3 0 0 1 3 0 1 0 0 0
2. 重要结论 定理 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵. 变换化为行阶梯形矩阵.
二、 初等变换的定义
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 初等行变换:
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri ↔ rj ); 对调两行( 两行, (ii) 以数 k ≠ 0 乘以某一行中的所有元素 (第 i 行乘以 k , 记作 ri × k ); (iii) 把某一行所有元素的 k倍加到另一行对应 的元素上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri +krj). 行上,
五、行最简形矩阵和标准形矩阵
定义 一个行阶梯矩阵若满足
(1) 每个非零行的第一个非零元素为 1 ; (2) 每个非零行的第一个非零元素所在列 的其它元素全为零, 的其它元素全为零, 则称之为行最简形矩阵.
定义 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵, 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵,
其它位置的元素都为零, 其它位置的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形
如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B , 就称
线性代数第三章
及特征向量不仅对矩阵理论的发展起很大作用，值及特征向量不仅对矩阵理论的发展起很大作用，而且在其它数学分支（如微分方程和几何学等）、物理学、力学、动力学等学科中具有广泛的应用.、力学、动力学等学科中具有广泛的应用.特征值的理论内容非常丰富，在此仅介绍基，在此仅介绍基础知识.本章主要介绍方阵的特征值、特征向量的基本概念与计算；方阵的对角化条件；实对；方阵的对角化条件；实对称阵的对角化；对称正（负）定阵的性质及判别..第二节方阵可对角化的条件第三节实对称阵的对角化第四节对称正定阵第六节二次曲面的分类第七节空间曲线及其方程第一节方阵的特征值及特征向量在实际计算中，我们发现：，我们发现：λ⎡⎤1n λ⎡⎤112,P AP λ−⎢⎥=⎢⎥12n n n A P P λ−⎢⎥=⎢⎥λ⎢⎥⎣⎦3λ⎢⎥⎣⎦λ=其中列.即i 注意到此时是可逆阵P 的第i p 是()0i E A x λ−=的非零解.因此，我们先研究矩阵的特征值及特征.因此，我们先研究矩阵的特征值及特征向量的性质.特征方程*⎡*a ⎤⎡⎤122−−⎡⎤331−−−特征值及特征向量的性质例4设三阶方阵相似，求2.A E −与作业P159-1（1）2（1）6，11思考题P159第二节方阵可对角化的条件定义1若方阵1与对角阵相似，即可用相似变换把化为对角阵，则称不可A AA 可对角化，否则称A 对角化.，不是每个方阵都可对角化，例如11⎡⎤01A =⎢⎥⎣⎦，因此我们要讨论方阵可对角化的条件.可对角化的条件可对角化的条件可对角化的条件⎡⎤122−−令231,0,x x ==则11,x =令0111(1,1,0),Tp =T=230,1,x x ==则11,x =2(1,0,1),p 022⎡⎤110−⎡⎤220⎢⎥=−⎢⎥−3E A λ−011⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦令21,x =000⎢⎥⎣⎦则131,1,x x ==−3(1,1,1),Tp =−令123[,,],P p p p =则1diag(1,1,1).P BP −=−−0k⎡10010k B P P −−⎤⎢⎥=−⎢⎥⎥是偶数；是奇数.,E B ⎧=⎨k ⎢⎣⎦,⎩k若方阵可对角化，则在与说明A A 相似的方阵中，最简单的方阵是以A 的特征值为对角元的对相似的对角阵叫做角阵，这个与A 的相似标准型.A ，相似标准型不唯一.思考题P164作业P164-1，2（1），3，6P164P 165-4，5，7，8，9，但实对称阵不仅可以对角化，而且可以通过正交相似变换对角.为了证明这个结论，我们先来讨论实对阵阵化.为了证明这个结论，我们先来讨论实对阵阵的特征值及特征向量的性质.矩阵的共轭运算定理2实对称阵的不同特征值对应的特征向量正交.μ是λ证明设A 是实对称阵，A 对应的特征向量分别为,,p q 的不同特征值，.ApAq q λ==则下证0.Tp q =注意到,p p q μA Tp A =T Tp Aq p qλ=()0,Tp q λ−=T p q μ=μ因为，λ≠所以，0,T =q p ，,μ,p q 即与正交.2⎡30⎤⎡120−−⎤100⎡⎤Gram-Schimidt正交化Gram-Schimidt正交化1⎡⎤01T定理5对于n 1−="A 阶实对称阵存在n 阶正交阵Q12diag(,,,).n Q AQ λλλ实对称阵的每个特征值所对应的线性无关使得可对角化的条件定理5对于n 1−="A 阶实对称阵存在n 阶正交阵Q12diag(,,,).n Q AQ λλλ实对称阵的每个特征值所对应的线性无关特征向量的个数恰好等于其重数.使得.推论7两个同阶的实对称阵相似的充分必要条件7是它们有相同的特征值.1112diag().AQ λλλ−="1diag().BQλλλ−="⇒显然.反之，g(,,,)n Q Q 2212g(,,,)n Q Q 1112111diag(,,,)n A Q Q λλλ−="1221Q Q BQ Q−−=定理8对于n A 阶实对称阵存在可逆矩阵pP 及数使得EO O ⎡⎤⎢⎥=−和,q P AP O E O O O O ⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征值,1,2,,,j j n λ="满足0;0;0.λλλλλλ><="""111,,;,,;,,p p p q p q n ++++使得Q λλλ−="令相合标准形推论10对于任意一个n =p 元单位实向量必存在1.Qe p Q 使得0Tp x =的解空间为.S 在Sdim 1,S n =−正交矩阵中存在标准正交基底2,,,n p p "显然，2,,,n p p "="推论11若p 都正交，且2[,,,]n Q p p p 是正交矩阵,1.Qe p =使得阶实可逆阵，则存在正交阵Q 和对推论11 若n 是R 使得A QR =角元都大于零的上三角阵Q（称为的QR 分解）."证明a,a,,a则思考题P174作业P174-1，3（1)(4)，11P174P 174-4，5，6,7，8，9第四节对称正定阵A n 是阶实对称阵，若A 的特征值全是正数,A 是正定阵；若A 的特征值全是负数，A 是负定阵.则称则称A 是正定阵A ⇔−是负定阵.−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦的特征值为3,1,因此，A 是正定阵；21B −⎡⎤=；12⎢⎥−⎣⎦是负定阵.。
《线性代数》课件第3章
(1) α1能由α2，α3 (2) α4不能由α1，α2，α3
定理3.2.4 设
αj
a1 j
a2
j
arj
, β j
a1 j
a2 j
arj ar 1,
j
( j 1,2,, m)
证 此定理的两个部分互为逆否命题，故只证明前一部
分。设
a11x1 a12 x2 a1m xm 0
3.1.2
n维向量可如同矩阵一样进行运算。 设λ是实数，α，β是n维向量
a1
α
a2
,
an
b1
β
b2
bn
则
α
β
a1 a2
b1 b2
,
α
a1 a2
an bn
an
分别是向量α与β的和以及数λ与向量α的乘积.向量加法以
及向量的数乘两种运算统称为向量的线性运算。
解 A的二阶子式为
2 3
D
30 0
2 12
A的三阶子式共有4个，且都等于零，可见二阶子式D是A的 最高阶非零子式，R(A)=2.由定理3.3.2 知，A的列向量组的秩 为2
2 3 α1 2,α2 12 1 3
例3.3.5 求向量组
α4 2
称-α
a1 a2
为α的负向量。
an
例3.1.2 已知β=(1，0，1)T，γ=(3，2，-1) T，且
2x+3β=γ+4x，求x
解
x
1 2
(3β
γ)
1 2
1 3 0 1
0 1 2
3.1.3
定义3.1.2 给定向量组A: α1，α2，…，αm，向量k1α1+k2α2+…+kmαm称为向量组A 的一个线性组合，k1，k2，…，km称为这个线性组合的系数。 如果向量β
定理3.2.4 设
αj
a1 j
a2
j
arj
, β j
a1 j
a2 j
arj ar 1,
j
( j 1,2,, m)
证 此定理的两个部分互为逆否命题，故只证明前一部
分。设
a11x1 a12 x2 a1m xm 0
3.1.2
n维向量可如同矩阵一样进行运算。 设λ是实数，α，β是n维向量
a1
α
a2
,
an
b1
β
b2
bn
则
α
β
a1 a2
b1 b2
,
α
a1 a2
an bn
an
分别是向量α与β的和以及数λ与向量α的乘积.向量加法以
及向量的数乘两种运算统称为向量的线性运算。
解 A的二阶子式为
2 3
D
30 0
2 12
A的三阶子式共有4个，且都等于零，可见二阶子式D是A的 最高阶非零子式，R(A)=2.由定理3.3.2 知，A的列向量组的秩 为2
2 3 α1 2,α2 12 1 3
例3.3.5 求向量组
α4 2
称-α
a1 a2
为α的负向量。
an
例3.1.2 已知β=(1，0，1)T，γ=(3，2，-1) T，且
2x+3β=γ+4x，求x
解
x
1 2
(3β
γ)
1 2
1 3 0 1
0 1 2
3.1.3
定义3.1.2 给定向量组A: α1，α2，…，αm，向量k1α1+k2α2+…+kmαm称为向量组A 的一个线性组合，k1，k2，…，km称为这个线性组合的系数。 如果向量β
线性代数第3章习题答案PPT课件
3在全为零的数使成立c2设其中则有a向量组是任意实数总线性相关b向量组总线性相关c向量组总线性无关d向量组总线性无关c四若已知向量组证明线性无关线性相关由于向量组证1线性无关则线性无关2线性无关1四若已知向量组证明线性无关线性无关由于向量组证1线性无关线性相关2线性相关2令3已知向量组问线性无关是否线性无关解向量组考察向量方程3已知向量组问线性无关是否线性无关当m为偶数时方程组有非零解则向量组线性相关解向量组当m为奇数时方程组有零解则向量组线性无
k11 k22 knn .
成立.
(2) 设 1 = (1, 0, 0, 1),2 = (1, 2, 0, 2 ),3 (1,2,3,3),
4 (2,1,5,4 ),其中 1, 2 , 3, 4是任意实数, 则有( C ).
(A) 向量组 1,2,3 总线性相关; (B) 向量组 1,2,3,4 总线性相关; (C) 向量组 1,2,3 总线性无关;
问:向量 可以由向量 1,2,3 线性表示?若可以，
写出其表达式.
解： 设 k11 k22 k33, 则有:
8,3,1 k1 1,2,3 k2 3,1,0 k3 1,1,1
即 k1 3k2 k3 8 2k1 k2 k3 3 3k1 k3 1
1 3 1 D 2 1 1 1 0
,r线性表示.选项(A)正确. 此外,显然 1可由1,2 , ,r线性表示, 选项(C)正确. n可由r1 ,r2 , ,n线性表示.选项(D)也正确.
由排除法知选项(B)错误. 故应选(B).
2、 若向量组1,2, ,s 的秩r s ，则 （ B ） A 向量组 1,2, ,s 线性无关；
B 向量组 1,2, ,s 线性相关； C 存在一个向量i 1 i r 可以由其余向量 线性表示； D 任一向量都不能由其余向量线性
k11 k22 knn .
成立.
(2) 设 1 = (1, 0, 0, 1),2 = (1, 2, 0, 2 ),3 (1,2,3,3),
4 (2,1,5,4 ),其中 1, 2 , 3, 4是任意实数, 则有( C ).
(A) 向量组 1,2,3 总线性相关; (B) 向量组 1,2,3,4 总线性相关; (C) 向量组 1,2,3 总线性无关;
问:向量 可以由向量 1,2,3 线性表示?若可以，
写出其表达式.
解： 设 k11 k22 k33, 则有:
8,3,1 k1 1,2,3 k2 3,1,0 k3 1,1,1
即 k1 3k2 k3 8 2k1 k2 k3 3 3k1 k3 1
1 3 1 D 2 1 1 1 0
,r线性表示.选项(A)正确. 此外,显然 1可由1,2 , ,r线性表示, 选项(C)正确. n可由r1 ,r2 , ,n线性表示.选项(D)也正确.
由排除法知选项(B)错误. 故应选(B).
2、 若向量组1,2, ,s 的秩r s ，则 （ B ） A 向量组 1,2, ,s 线性无关；
B 向量组 1,2, ,s 线性相关； C 存在一个向量i 1 i r 可以由其余向量 线性表示； D 任一向量都不能由其余向量线性
线性代数第3章
第三章 n维向量
与线性方程组解的结构
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
n维向量及其线性运算 向量组的线性相关性和线性无关性 向量组的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
第一节 n维向量及其线性运算
线性代数
第三章 n维向量与线性方程组解的结构
第1节 n维向量
定义1 设 a1,a2 ,,an 为数域F中的n个数，则由这
因此结论成立. 此例的结果表明了向量的线性表出关系具有传递性.
线性代数 第三章 n维向量与线性方程组解的结构 第2节 向量组线性关系
定义2 一个向量组 α1,α2 ,,αs (s ≥ 1)，如果存在
一组不全为零的常数 k1, k2 ,, ks，使得
k1α1 + k2α2 + + ksαs = 0，就称向量组 α1,α2 ,,αs 线性相关. 若 α1,α2 ,,αs 不线性相关，就称 α1,α2 ,,αs 线性无关.
n个数组成的有序数组 (a1,a2 ,,an ) 称为n维向量，
数 a1,a2 ,,an 为该向量的分量，
记作α
(= a1,a2 ,,an )行向量，或α
a1
a2
列向量
an
注(1):分量均为0的n维向量称为n维零向量， 记作 0n = (0,0,,0) T.
线性代数
第三章 n维向量与线性方程组解的结构
线性表出？ = 设 αi
a1i = a2i ， (i
ani
1,= , s) β
b1
b2
bn
线性代数 第三章 n维向量与线性方程组解的结构 第2节 向量组线性关系
b1 = b2
bn
a11 a12
ans
与线性方程组解的结构
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
n维向量及其线性运算 向量组的线性相关性和线性无关性 向量组的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
第一节 n维向量及其线性运算
线性代数
第三章 n维向量与线性方程组解的结构
第1节 n维向量
定义1 设 a1,a2 ,,an 为数域F中的n个数，则由这
因此结论成立. 此例的结果表明了向量的线性表出关系具有传递性.
线性代数 第三章 n维向量与线性方程组解的结构 第2节 向量组线性关系
定义2 一个向量组 α1,α2 ,,αs (s ≥ 1)，如果存在
一组不全为零的常数 k1, k2 ,, ks，使得
k1α1 + k2α2 + + ksαs = 0，就称向量组 α1,α2 ,,αs 线性相关. 若 α1,α2 ,,αs 不线性相关，就称 α1,α2 ,,αs 线性无关.
n个数组成的有序数组 (a1,a2 ,,an ) 称为n维向量，
数 a1,a2 ,,an 为该向量的分量，
记作α
(= a1,a2 ,,an )行向量，或α
a1
a2
列向量
an
注(1):分量均为0的n维向量称为n维零向量， 记作 0n = (0,0,,0) T.
线性代数
第三章 n维向量与线性方程组解的结构
线性表出？ = 设 αi
a1i = a2i ， (i
ani
1,= , s) β
b1
b2
bn
线性代数 第三章 n维向量与线性方程组解的结构 第2节 向量组线性关系
b1 = b2
bn
a11 a12
ans
第三章线性代数ppt课件
二. Gauss消元法 • 阶梯形线性方程组的有三中基本类型 2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 无解 0=1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 有唯一解
有无穷多解
第三章 ·线性方程组
§3.1线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§3.3 非齐次线性方程组
§3.3 非齐次线性方程组
一. 非齐次线性方程组的相容性
定理3.4. 设ARmn, bRm, 则
(1) Ax = b有解秩([A, b]) = 秩(A);
(2) 当秩([A, b])=秩(A)=n时, Ax = b有 唯一解; (3) 当秩([A, b])=秩(A)<n时, Ax = b有 无穷多解, 且通解中含有n秩(A) 个自由未知量.
第三章线性代 数
第三章 ·线性方程组
§3.1线性方程组和Gauss消元法
Ax = b 齐次线性方程组( b = 0)
线性方程组的分类 非齐次线性方程组 (b 0)
线性方程组的解
无解 (不相容) 有解 (相容)
唯一解 无穷多解 (通解)
表示全部解的表达式
第三章 ·线性方程组
§3.1线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
§3.2 齐次线性方程组 齐次线性方程组 a11x1+a12x2+…+a1nxn = 0 a21x1+a22x2+… a2nxn = 0 … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = 0 零/平凡解, 非零/平凡解
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母, , , 等(或带小标).
只讨论与起点无关的向量.
当建立了平面坐标系以后，该平面内的 向量的起点可以认为均在平面坐标原点， 于是可以用该向量的终点坐标表示该向 量，见图3.1. 在空间坐标系中有类似处 理，见图3.2.
a (x, y)
a (x, y, z)
在空间向量(x, y, z)中，它是x, y, z按一定 顺序的一个排列，分别表示该向量终点 的横坐标、纵坐标和竖坐标. 实际上， 对于含n个未知量x1, x2, …, xn的n元线性 方程组, 其一个解可以按x1, x2, …, xn的 顺序依次表示出来.
,
α3
1
11
计算3α1 2α2 5α3. Solution
2 10 4
3α1
2α2
5α3
3
5 13
21150
5
1 11
6 20 20 6
15
3 9
2 1200
5 55
12
8 24
.
由于 + = + 及 + (- ) = 0，所以
(3) + 0 = . (加法单位元)
(4) + (- ) = 0 .(加法逆元)
为了方便，将 + (-) 记为 - ，称为 向量和的差(subtraction of and )，
它是向量的减法运算. 两个向量相减就 是对应的分量分别相减.
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2、向量的数乘运算
向量和数的数乘是一个向量，其大小 为| |与向量的大小乘积，其方向当 > 0 时与相同，当 < 0 时与相反，当 = 0 时是零向量，这时其方向可以是
任意的.
在空间直角坐标系下:
a1
a1
α a2 α a2
两个维数不同的向量一定不等.
2. 分量全为0的m维向量称为m维零向量 (zero vector)，记为黑体0. 当然有不同的 零向量，并注意实数0与向量0的区别.
3. 负向量
a1
a1
α
a2
α
a2
am
am
3.1.2 向量的线性运算
1、向量的加法运算
在中学里，两个向量α和β可以使用三
所谓向量空间，就是在向量之间定义了 向量的线性运算所构成的一种代数，又 称为向量代数.
3.1.1 向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量.
通常用一条有向线段表示向量，有向线 段的长度表示向量的大小，有向线段的 方向表示向量的方向. 表示向量时，用 黑体及斜体的英文字母a, b, c,或希腊字
a1n a2n
am1 am2 amn
a1
a2
a1
,
a2
,,
am
T
am
每个分量均为实数的向量称为实向量
(real vector)，每个分量均为复数的向量 称为复向量(complex vector). 所有m维实 向量组成的集合用Rm表示，其中R表示 实数集合. 在今后的讨论中，若无特别 说明，所涉及的向量为实向量.
线性方程组Ax = b的一个解，写成
x1 x2 xm
是线性方程组的一个解向量(solution vector).
先介绍三个概念.
1. 两个m维向量相等当且仅当其对应的 分量分别相等, 即
a1 b1
a2
b2
ai
bi , i
1,2,, n.
am bm
角形法则或平行四边形法则相加，这是 早在公元前350年左右Aristotle就知道了.
αβ β
α
β αβ α
当建立空间直角坐标系后，将向量α可 表示为(a1, a2, a3)T，向量β可表示为(b1, b2, b3)T时，很容易知道α+β = (a1+ b1, a2 + b2, a3 + b3) T. 一般地, 两个向量α和β之 和定义如下.
第3章 向量空间
向量也是重要的数学工具之一.(线性代 数的重点从线性方程组转移到向量.)
借助于线性方程组可以讨论向量的有关 内容，而有了向量知识后又可以更深入 地讨论线性方程组的解与解之间的关系. 实际上，向量空间的理论起源于对线性 方程组解的研究. 同时，向量与矩阵之 间有联系也有区别.
3.1 向量及其线性运算
a3
a3
Def 3.3
a1
a1
α
a2
α
a2
am
am
例如:
α 1,2 3 α 3 ,3
2 2
1 3
3
0 63
0 198
,
3 6
2
2 13
4 2 6
对于任意向量 ，有-1 = - ， 0 = 0 且对于任意, Rm, R，有
Def 3.2
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2 1 1
3 1 04 31源自7 0 3向量加法运算的性质. , , Rm:
(1) + = + . (加法交换律)
(2) ( +) + = + ( + ).(加法结合律)
(5) 1 = .
(6) () = ().
(7) ( + ) = + .
(8) ( + ) = + .
上面的向量的线性运算性质(1)—(8)是 按线性空间所满足的条件列举的，参见 3.6节定义3.13.
例3.1 设
2 10 4
α1
5 1 3
,
α2
1 150
Def 3.1 将m个数a1, a2, …, am按一定顺 序排列所得到的数列称为m维向量, 表
示为
a1, a2,, am
a1 a2 am
其中ai称为是该向量的第i个分量或坐标.
当m = 1, 2, 3时，m维向量都有较直观的 几何背景，分别表示起点在原点的数轴、 平面和空间上的向量，这是学习向量时 的一个优势. 当m≥4时，m维向量没有直 观的几何解释.
向量可称为矢量. 如果将m个任意元素， 不一定是数，按一定顺序排列所得到的 数组, 就是m元组的概念，它在计算机科 学中更是经常用到
向量与矩阵.
不过看作矩阵它们是不相同的，但作为 向量这两种表示方式是相同的.
行向量和列向量.
m×n 矩阵可以得到m个行向量和n个列
向量.
a11 a21
a12 a22
只讨论与起点无关的向量.
当建立了平面坐标系以后，该平面内的 向量的起点可以认为均在平面坐标原点， 于是可以用该向量的终点坐标表示该向 量，见图3.1. 在空间坐标系中有类似处 理，见图3.2.
a (x, y)
a (x, y, z)
在空间向量(x, y, z)中，它是x, y, z按一定 顺序的一个排列，分别表示该向量终点 的横坐标、纵坐标和竖坐标. 实际上， 对于含n个未知量x1, x2, …, xn的n元线性 方程组, 其一个解可以按x1, x2, …, xn的 顺序依次表示出来.
,
α3
1
11
计算3α1 2α2 5α3. Solution
2 10 4
3α1
2α2
5α3
3
5 13
21150
5
1 11
6 20 20 6
15
3 9
2 1200
5 55
12
8 24
.
由于 + = + 及 + (- ) = 0，所以
(3) + 0 = . (加法单位元)
(4) + (- ) = 0 .(加法逆元)
为了方便，将 + (-) 记为 - ，称为 向量和的差(subtraction of and )，
它是向量的减法运算. 两个向量相减就 是对应的分量分别相减.
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2、向量的数乘运算
向量和数的数乘是一个向量，其大小 为| |与向量的大小乘积，其方向当 > 0 时与相同，当 < 0 时与相反，当 = 0 时是零向量，这时其方向可以是
任意的.
在空间直角坐标系下:
a1
a1
α a2 α a2
两个维数不同的向量一定不等.
2. 分量全为0的m维向量称为m维零向量 (zero vector)，记为黑体0. 当然有不同的 零向量，并注意实数0与向量0的区别.
3. 负向量
a1
a1
α
a2
α
a2
am
am
3.1.2 向量的线性运算
1、向量的加法运算
在中学里，两个向量α和β可以使用三
所谓向量空间，就是在向量之间定义了 向量的线性运算所构成的一种代数，又 称为向量代数.
3.1.1 向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量.
通常用一条有向线段表示向量，有向线 段的长度表示向量的大小，有向线段的 方向表示向量的方向. 表示向量时，用 黑体及斜体的英文字母a, b, c,或希腊字
a1n a2n
am1 am2 amn
a1
a2
a1
,
a2
,,
am
T
am
每个分量均为实数的向量称为实向量
(real vector)，每个分量均为复数的向量 称为复向量(complex vector). 所有m维实 向量组成的集合用Rm表示，其中R表示 实数集合. 在今后的讨论中，若无特别 说明，所涉及的向量为实向量.
线性方程组Ax = b的一个解，写成
x1 x2 xm
是线性方程组的一个解向量(solution vector).
先介绍三个概念.
1. 两个m维向量相等当且仅当其对应的 分量分别相等, 即
a1 b1
a2
b2
ai
bi , i
1,2,, n.
am bm
角形法则或平行四边形法则相加，这是 早在公元前350年左右Aristotle就知道了.
αβ β
α
β αβ α
当建立空间直角坐标系后，将向量α可 表示为(a1, a2, a3)T，向量β可表示为(b1, b2, b3)T时，很容易知道α+β = (a1+ b1, a2 + b2, a3 + b3) T. 一般地, 两个向量α和β之 和定义如下.
第3章 向量空间
向量也是重要的数学工具之一.(线性代 数的重点从线性方程组转移到向量.)
借助于线性方程组可以讨论向量的有关 内容，而有了向量知识后又可以更深入 地讨论线性方程组的解与解之间的关系. 实际上，向量空间的理论起源于对线性 方程组解的研究. 同时，向量与矩阵之 间有联系也有区别.
3.1 向量及其线性运算
a3
a3
Def 3.3
a1
a1
α
a2
α
a2
am
am
例如:
α 1,2 3 α 3 ,3
2 2
1 3
3
0 63
0 198
,
3 6
2
2 13
4 2 6
对于任意向量 ，有-1 = - ， 0 = 0 且对于任意, Rm, R，有
Def 3.2
a1 b1
a1 b1
α
a2
,
β
b2
α
β
a2
b2
am
bm
am bm
2 1 1
3 1 04 31源自7 0 3向量加法运算的性质. , , Rm:
(1) + = + . (加法交换律)
(2) ( +) + = + ( + ).(加法结合律)
(5) 1 = .
(6) () = ().
(7) ( + ) = + .
(8) ( + ) = + .
上面的向量的线性运算性质(1)—(8)是 按线性空间所满足的条件列举的，参见 3.6节定义3.13.
例3.1 设
2 10 4
α1
5 1 3
,
α2
1 150
Def 3.1 将m个数a1, a2, …, am按一定顺 序排列所得到的数列称为m维向量, 表
示为
a1, a2,, am
a1 a2 am
其中ai称为是该向量的第i个分量或坐标.
当m = 1, 2, 3时，m维向量都有较直观的 几何背景，分别表示起点在原点的数轴、 平面和空间上的向量，这是学习向量时 的一个优势. 当m≥4时，m维向量没有直 观的几何解释.
向量可称为矢量. 如果将m个任意元素， 不一定是数，按一定顺序排列所得到的 数组, 就是m元组的概念，它在计算机科 学中更是经常用到
向量与矩阵.
不过看作矩阵它们是不相同的，但作为 向量这两种表示方式是相同的.
行向量和列向量.
m×n 矩阵可以得到m个行向量和n个列
向量.
a11 a21
a12 a22