向量的概念及其线性运算

向量的概念及其线性运算 This manuscript was revised on November 28, 2020
平面向量的概念及其线性运算
数学：安送杰
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法；
2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法；
3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。

二、重点与难点：
三、教学设计：
1、知识点回顾：
（1）、向量的概念及表示；
（2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模； ②、零向量； ③、单位向量；
④、平行向量（共线向量）； ⑤、相等向量和相反向量； ⑥、一个规定； （3）、向量的线性运算： ①、向量的加法运算； ②、向量的减法运算； ③、向量的数乘运算； 2、复习知识，练习巩固： （1）、向量的概念及表示：
①、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。

◎与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。

②、向量的表示方法：
A 、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度；
B 、字母表示法：手写使用→AB 或 →
→→c b a ,,，印刷使用黑体小写字母。

（2）、和向量相关的一些概念：
①、向量的模：向量→AB 的模（或长度），就是向量→
AB 的大小，记作：
→
AB ，向量的模可以比较大小；
②、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作： 0，其方向是任意的；
③、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量；
④、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量；
⑤、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量；
⑥、一个规定：零向量与任一向量平行；
习题一：
1、给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若两向量|a|＝|b|，则a＝b；
③若向量AB=DC,则A、B、C、D构成平行四边形；
④在平行四边形ABCD中，一定有向量AB=DC；
⑤若向量m=n，n=p，则m=p；
⑥若向量a//b，b//c，则a//c；
其中错误的命题为：（①②③⑥）
解析：对①而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定；
对②而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样；
对③而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行；
对⑥而言，若向量b为零向量，则不成立；
2、设a为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3）
①若b为平面内的某个向量，则b＝|b|·a；
②若b与a平行，则b＝|b|·a；
③若b与a平行且|b|＝1，则b＝a。

注意：向量的方向，两向量平行可同向也可异向。

（3）、向量的线性运算：
1、向量的加法：
①、定义：求两个向量的和的运算叫做向量的加法；
②、运算法则：三角形法则与平行四边形法则；
③、运算律：交换律与结合律
(1)、a+b=b+a;
(2)、a+b+c=a+(b+c)
2、向量的减法：
①、相反向量：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做向量a的相反向量，记作-a。

即有:
a=-(-a),a+(-a)=(-a)+a=0
②、向量的减法：我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

③、几何意义：已知向量a与向量b，则a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。

3、向量的数乘运算：
①、定义：我们规定实数λ与向量a
的积仍是向量，这种运算称为向量的
数乘运算，记作λa,它的长度与方向规定为： 长度：|λa|＝|λ||a|；
方向：当λ>0时，向量λa 的方向与的方向相同；当λ<0时，向量λa 的方向与向量a 的方向相反；当λ=0时，λa=0。

②、向量数乘的运算律：结合律与分配律；
(1)λ(μ a)＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μ a (3)λ(a ＋b)＝λa ＋λb
③、向量共线：向量a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa 。

④向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。

习题二：
1、在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设向量AB=a ，向量AC=b ，试使用a 、b 表示向量AG 。

解法一：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－λ2AB →＋λ2(AC
→－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2
b .
又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)
＝(1－m)AC
→＋m 2AB →＝m 2
a ＋(1－m)
b ，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧1－λ＝m
2，
1－m ＝λ
2
，
解得λ＝m ＝2
3，
∴ AG
→＝13a ＋13
b . 解法二：点G 为重心，所以AG=1
3
（AB+AC ）;
2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________．(用向量a 和b 表示)
答案：23a ＋1
3
b
解析：因为AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，
又AB →＝2DC →，所以AO →＝23AC →＝23⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . 3、已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．
答案：4
5
解析：由2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2PA →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，∴ 2PA →＋4PC
→＝3AP →，即4PC →＝5AP →.
∴ |AP →||PC →|＝45，S △PAB S △PBC
＝|AP →||PC →|＝4
5
.
4. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO
→； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝nb ，求证：1m ＋1
n
＝3.
(1) 解：因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.
(2) 证明：解法一：
因为OM →＝12(a ＋b )，且G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由
P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.又
PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋1
3b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13
a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13
b .
又a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪
⎧13－m ＝－13
λ，1
3＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，
消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故
1m ＋1
n
＝3.
解法二：因为P、G、Q三点共线，所以OG=tOP+(1-t)OQ，再与G为重心结合即可得到方程组，求解化简即可。