《估计总体的数字特征》(北师大版)

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《估计总体的数字特征》示范公开课教学设计【高中数学必修3(北师大版)】

《估计总体的数字特征》教学设计教材分析教科书中介绍了简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种抽样方法，通过学习要弄清各自的特点和适用范围，然后在实践中酌情选用．对收集到的数据如何分析、估计，才能从中提取合理、有用的信息，帮助我们作出决策，要注意不应把统计处理成数字运算和画图表，重在掌握统计的思想方法．用样本估计总体是最基本的统计方法，通过学习要弄清样本平均数、方差、标准差、频率分布表、频率分布直方图、折线图等基本概念是怎样来反映统计数据的，通过解决具体问题的实践，领会如何运用这些方法去解决实际问题，要通过系统的数据处理过程，体会统计思维与确定性思维的差异．教学目标【知识与能力目标】（1）理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识.【过程与方法目标】在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.【情感与态度目标】会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，培养对生活中的问题进行用数学方法进行理性分析的意识.教学重难点【教学重点】：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差.【教学难点】：能应用相关知识解决简单的实际问题.课前准备多媒体课件教学过程一、新课引入：问题：什么是平均数，众数，中位数？它反映一组数据的什么特征？什么是标准差？它反映一组数据的什么特征？日常生活中，我们往往不需要了解总体的分布形态，而是更关心总体的某一数字特征。

例如：买节能灯时，我们希望知道节能灯的平均使用寿命，但是怎样了解节能灯的使用寿命呢？当然不可能把所有的灯进行一一测试，因为测试后灯也报废了，而且灯的数目太多。

于是需要通过随机抽样，把这批节能灯的寿命看做总体，从中随机抽出若干个个体作为样本，算出样本的数字特征，用样本的数字特征来估计总体的数字特征。

数学ⅲ北师大版1.5.2估计总体的数字特征教案

数学ⅲ北师大版1.5.2估计总体的数字特征教案5.2可能总体的数字特征一可能总体的数字特征假设随机抽样得到的样本为x x x n 12,,, ，我们把nx x x x n+++=21和nx x x x x x s s 222212)()()(-++-+-==分别称为样本均值和样本标准差，用它们来分别可能总体的均值和标准差、注意：〔1〕假如把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变；〔2〕假如把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍注意：用样本的数字特征可能总体的数字特征分两类： a) 用样本平均数可能总体平均数、样本的平均数可能总体的平均数时，样本的平均数只是总体的平均数的近似、、b) 用样本方差、标准差可能总体方差、标准差、样本容量越大，可能就越精确、用样本可能总体时，假如抽样的方法比较合理，那么样本能够反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差、在上面的活动中，尽管所有的样本都来自同一总体，从这些样本中所得到的有关总体的可能仍然可能互不相同，这一现象是由抽样的随机性引起的、假如抽样方案没有问题的话，那么这些结论之因此不同，其缘故就在于样本的随机性、在随机抽样中，这种偏差是不可幸免的、尽管我们从样本数据得到的分布、均值和标准差〔通常称之样本分布、样本均值和样本标准差〕并不是总体真正的分布、均值和标准差，而只是总体的一个可能，但这种可能是合理的，特别是当样本特别大时，它们真的反映了总体的信息、例1为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换、某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试可能这种日光灯的平均使用寿命和标准差、解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267、9≈268(天)、这些组中值的方差为1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128、60(天2)、故所求的标准差约466.2128≈〔天〕因此，可能这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天、例2甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下〔单位：t/hm 2〕，试依照这组数据可能哪一种水稻品种的产量比较稳定、解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为02.0])102.10()1010()101.10()109.9()108.9[(5122222=-+-+-+-+-⨯ 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为24.0])108.9()107.9()108.10()103.10()104.9[(5122222=-+-+-+-+-⨯ 因为0、24>0、02，因此由这组数据能够认为甲种水稻的产量比较稳定、例3下面是某校日睡眠时间的抽样频率分布表〔单位：小时〕试可能该校学生的日睡眠平均时间、解1：可先要计算总睡眠时间，然后除以总人数，得样本的平均数、因为该校这100名学生的总睡眠时间约为739275.8625.83775.73325.71775.6525.6=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯〔小时〕因此样本的平均日睡眠时间约为39.7100739=÷〔小时〕答：可能该校学生的日睡眠平均时间为39.7小时、解2：求组中值与对应频率之积的和、39.702.075.806.025.837.075.733.025.717.075.605.025.6=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯答：可能该校学生的日睡眠平均时间为39.7小时、例4为了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进行了测量结果如下〔单位：cm 〕：〔1〕列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图；〔2〕可能该中学身高大于172cm 的概率及同年龄的高度；〔3〕可能该中学那个年龄的平均身高和稳定程度、解：〔1〕样本频率分布表为：频率分布直方图如图1—6—25所示：图1—6—25〔2〕因为数据大于172cm 的频率为48.012.036.0=+ 因此能够可能数据大于172cm 的概率为0、48、〔3〕因为样本的平均数为170、1cm ，标准差为5、6cm ，因此能够可能该中学那个同年龄的高度约为170、1cm ，偏差约为5、6cm 、例5〔2006年湖南卷，文〕某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班、其中甲班有40人，乙班50人、现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，那么该校数学建模兴趣班的平均成绩是分、解：填85、练习题1、甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是〔〕A 、因为他们的平均分相等，因此他们的学习水平一样；B 、成绩尽管一样，方差较大，说明潜力大，学习态度踏实；C 、表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定；D 、平均分相等，方差不等，说明学习水平不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低、2、在方差的计算公式])20()20()20[(10121022212-++-+-=x x x s 中，数字10和20分别表示()A 、样本的容量和方差B 、平均数和样本的容量C 、样本的方差和平均数D 、样本的容量和平均数3、某市在非典期间一手抓防治非典，一手抓经济进展，下表是利群超市五月份一周的依照上述统计结果，你可能利群超市今年五月份的总利润是〔〕 A.6.51万元B.6.4万元C.1.47万元D.5.88万元4、某单位为了查找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种在五块试验田上试种，每块试验田的面积为0、7公顷，产量情况如下表，试评定哪一个品种既高产又稳定？人体产生危害、在30条鱼的样本中发明的汞含量是：〔1〕用前两位数作为茎，画出样本数据的茎叶图；〔2〕描述一下汞含量的分布特点；〔3〕从实际情况看，许多鱼的汞含量超标在于有些鱼在出售之前没有被检查过、每批这种鱼的平均汞含量都比1、00ppm 大吗？〔4〕求上述样本数据的平均数和标准差；〔5〕有多少鱼的汞含量在平均数与2倍标准差的和〔差〕的范围内？。

北师大版高中数学必修3课件1.5估计总体的数字特征课件北师大)

样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即 s＝
1 2 2 2 x － x ＋x － x ＋…＋x － x 1 2 n . n
质疑答辩，发展思维
某校开展了一次小制作评比活动，作品上交时间为5月1日至30日。评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了如图1-5-2所示的频率分布直方图。已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答有关问题： (1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多？有多少件？ (3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，则这两组哪组获奖率较高？
虽然我们从样本数据得到的分布、平均数和标准差（通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差）并不是总体真正的分布、平均数和标准差。而只是总体的一个估计, 但这种估计是合理的，特别是当样本容量很大时，它们确实反映了总体的信息。 2.样本平均数（1）当所给数据比较分散时,
1 x x1 x2 n
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和。
思考4：样本平均数和方差、标准差描述了样本数据的什么特征？
样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量，描述了样本数
据的平均水平。样本方差与标准差是刻画数据的离散程度的量，方差越大，离散程度越大。
思考5：标准差与方差哪一个更能准确刻画样本数据的特征?
(1)列出样本的频率分布表 (2)画出频率分布直方图 (3)数据落在[15.5, 24.5）的百分比是多少?
解：（1）组距为3
分组
[12.5, 15.5）［15.5, 18.5）［18.5, 21.5）［21.5, 24.5）［24.5, 27.5）［27.5, 30.5）［30.5, 33.5）

北师大版高中数学课件第六章 §4 用样本估计总体的数字特征

极端值最多,数据波动程度最大,故选B.
答案B
微思考2
平均数与方差有哪些性质?
提示若x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为s2,则:
(1)ax1,ax2,…,axn的平均数为a ,方差为a2s2;
(2)x1+b,x2+b,…,xn+b的平均数为 +b,方差为s2;
(3)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为源自 +b,方差为a2s2.
4
∑ pi=1
i=1
,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(
)
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
解析四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选项的数据中,
取6件测量,数据为:
甲:99,100,98,100,100,103;
乙:99,100,102,99,100,100.
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
解(1)甲 =
1
(99+100+98+100+100+103)=100,
6
1
6
乙 = (99+100+102+99+100+100)=100.
i=1
的平均数.
微练习
甲、乙两人进行射击比赛,甲射击6次,成绩分别为10,9,8,7,8,6;乙射击4次,
成绩分别为9,8,9,10.则甲、乙两人共射击10次的平均成绩和方差分别是多

2015高中数学 1.5.2估计总体的数字特征课件(北师大版必修3)

Байду номын сангаас

分别称为样本平均数和样本标准差.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一组数据的平均数与每个数据的大小有关. (2)一组数据的众数与中位数都是唯一的. ( ( ) ) )
(3)一组数据中有极端值时,平均数不能代表平均水平.(
【解析】 (1)正确,由平均数的计算公式知,平均数与每个数据的大小有关. (2)错误,一组数的中位数唯一,但众数不一定唯一. (3)正确,当一组数据中有极端值时,平均数会向极端值的方向偏离,从而使平均数不能很好地代表该组数据的平均水平. 答案:(1)√ (2)× (3)√
7
所以,被抽去的数是8.
2.用分层抽样抽取了容量为10的样本,其平均数为5.1,方差为 0.2,则总体的平均数与方差分别估计是 A.5.1,0.2 C.5.1,2 B.0.2,0.2 D.都不能估计 ( )
【解析】选A.由统计的基本思想知,样本的平均数为5.1,方差为0.2,从而总体的平均数也为5.1,方差为0.2.
i 1

(3)线性关系法:若x1,x2,„,xn的平均值为 x ,方差为s2,则 kx1+b,kx2+b,„,kxn+b的方差为k2s2,标准差为|ks|.
2.求样本数据x1,x2,„,xn的标准差的计算步骤 (1)求样本数据的平均数. (2)求每个样本数据与样本平均数 x 的差(xi- x ),其中i= 1,2,„,n. (3)求出(2)中(xi- x )的平方,其中i=1,2,„,n. (4)求出(3)中n个平方数的平均数,即得样本方差. (5)求样本方差的算术平方根,即得样本标准差.
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,3,2,则样本平均数为__________. (2)已知某一组数据8,9,11,12,x,若这组数据的平均数为10,则其方差为__________.

北师大版必修31.5.2估计总体的数字特征课件

小组协作:
1.请直接计算该样本的平均数、中位树、众数。 2.画出该样本的频率散布直方图，并以此估计该市居民用水量的散布。 3.根据频率散布直方图估计该市居民用水量的平均数、中位数、众数。
4.比较1、3两种方式得到的数字特征，有什么发现？有什么想法？
通过这节课，你收获了什么？
如果你是教练，你会如何评价这两位射击运动员？
例2 在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港风帆选手李丽珊，以惊人的耐力和斗志，勇夺奥运金牌，为香港体育史掀开了“突破零” 的新页.在风帆比赛中，成绩以低分为优胜.比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次.前7场比赛结束后，排名前5位的选手积分如表所示：
1.5.2 用样本估计总体的数字特征
数字特征有哪些呢？
平均数方差标准差
中位数极差
众数
例1 在伦敦奥运会射击选拔赛中，有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲: 10 8 9 9 8 8 9 10 9 10 乙: 10 10 10 9 9 9 9 9 6查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）：
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2

北师大版必修三1.5.2估计总体的数字特征课件

5.2 估计总体的数字特征
【课标要求】 1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．
2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．
3．会应用相关知识解决简单的统计实际问题．【核心扫描】
1．用样本平均数和标准差估计总体的平均数和标准差．
(重点) 2．让学生体会数字特征的随机性和对实际问题进行判断决策时的应用．(难点)
规律方法
(1)平均数与方差是重要的数字特征数，是
对总体的一种简明的描述，它们反映的情况有着重要的实际意义，从而要掌握其计算公式，为正确分析其含义打下基础．
(2)几个性质：①若 x1，x2，…，xn 的平均数是－ x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a 的平均数是 m－ x ＋a.
课前探究学习课堂讲练互动
总体的平均数和样本平均数和样本标准差可分别用来估计____________ 标准差，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映 _______ 总体的信息，从样本中所得到的有关总体的估计可能互不随机性引起的，当_______ 样本量很相同，这一现象是由抽样的_______ 大时，样本数据确实反映了总体的信息．
2
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
方差、标准差的计算与应用
【例1】某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况见下表：
统计量
组别第一组第二组
平均分数 90 80
标准差 6 4
求全班的平均成绩和标准差．
课前探究学习课堂讲练互动
解
设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1，2，…，20)，
想一想：样本平均数和方差、标准差描述了样本数据的什
么特征？提示样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计

北师大版高中数学必修第一册 6.4用样本估计总体数字特征

.+.+.+.+.
2
乙 =
=10(t/hm
).

方差:甲 = ×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]
=0.02;
乙
=

2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]=0.244.
积产量(单位:t/hm2)如下:
品种
甲
乙
第一年
9.8
9.4
第二年
9.9
10.3
第三年
10.1
10.8
第四年
10
9.7
根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广?
分析:从平均数和方差两个角度去考虑.
第五年
10.2
9.8
解:平均数:
.+.+.++.
2);
甲 =
=10(t/hm
提示:(1)∵
=7,

( +)+( +)+( +)+( +)+( +)
∴

+ + + +
=
+1

=7+1=8.
即 x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1 这 5 个数的平均数为 8.
+
(2)中位数为
=33.5,众数为

31.
2.填空:(1)平均数、中位数、众数.

高中数学北师大版必修三1.5.2【教学课件】《估计总体的数字特征》

思考2：在频率分布直方图中怎样估计众数？众数是最高矩形的中点的横坐标。思考3：在频率分布直方图中怎样估计平均数？
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和。
北京师范大学出版社 | 必修三
思考4：样本平均数和方差、标准差描述了样本数据的什么特征？
样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量，描述了样本数
北京师范大学出版社 | 必修三
【解】 (1)依题意知，第三组的频率为
4 234641
＝0.2，
又因为第三组的频数为12，故本次活动的参评作品有12
0.2 ＝60(件)
(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×
6 ＝18(件) 23 4 6 4 1
则有 n x ＝x1＋x2＋…＋xn . 设样本的元素为 x1，x2，…，xn，样本的平均数为 x ，则样本的方差
s2＝
1 2 2 2 [( x 1－ x ) ＋(x2－ x ) ＋…＋(xn－ x ) ] . n
样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即 s＝
1 2 2 2 x － x ＋x － x ＋…＋x － x 1 2 n . n
[121,123)
[123,125) [125,127) [127,129) [129,131] 合计
2
3 8 4 3 20
0.1
0.15 0.4 0.2 0.15 1.0
北京师范大学出版社 | 必修三
在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，
事实上，众数的精确值为125；图中虚线对应的数据是125＋2×＝126.25，事实

高中数学必修三北师大版估计总体的数字特征课件(18张)

排名
运动员
根据上面的比赛结果，我们如何比较各选手之间的
成绩及稳定情况呢 ? 如果此时让你预测谁将获得最
后的胜利，你会怎么看？
由上表，我们可以分别计算 5位选手前7场比赛积分
的平均数和标准差，分别作为量度各选手比赛的成
绩及稳定情况的依据，结果如表所示.
排名
运动员
平均积分
积分标准差
1
李丽珊
3.14 4.57 5.00 6.29 6.571.73来自2 3简度贺根
2.77
2.51
4
5
威尔逊
李科
3.19
3.33
从表中可以看出：李丽珊的平均积分及积分标
准差都比其他选手小，也就是说，在前7场的比赛过
程中，她的成绩最为优异，而且表现也最为稳定.
于是我们假设之后的比赛中，他们都发挥正常，夺冠希望最大的就是李丽珊.当然，事实也进一步验证了我们的预测，李丽珊正是凭着自己优异而稳定的表现，成为香港首位奥运会金牌得主的.
1.有一组数据为1,2,3,4,5,则其平均数为_____, 3
2 标准差为_____.
2.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，
统计如表，则这100人成绩的标准差为( B
分数 5 4 3 2 1
)
人数
20
10
30
30
10
A. 3
2 10 B. 5
C.3
8 D. 5
3.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩
5.甲乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 乙 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34

【北师大版】数学必修三：1.5.2《估计总体的数字特征》ppt课件

1

= (x1+x2+…+xn),则有 n=x1+x2+…+xn.
(2)样本的方差与标准差
①样本的方差
设样本数据为 x1,x2,…,xn,样本的平均数为,则样本的方差
1

s2= [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
②样本的标准差
样本方差的算术平方根即为样本的标准差,即
2
(1)求该样本数据的平均数、中位数、众数;
(2)试估计全校教师中,上学期使用多媒体教学次数在[15,25)内的人数.
探究一
探究二
探究三
解:(1)该样本数据的平均数 =
将数据代入计算即可.
2.样本的平均数和标准差是两个重要的数字特征.在应用平均数和标
准差解决实际问题时,若平均数不同,则直接应用平均数比较优劣,若平均数
相同,则要由标准差研究其与平均数的偏离程度.
探究一
探究二
探究三
【典型例题 1】甲、乙两台机床同时加工直径为 100 mm 的零件,为了
检验产品的质量,从产品中各随机抽取 6 件进行测量,测得数据如下(单
5×20=0.13,0.003×20=0.06,0.003×20=0.06,因此平均数为
10×0.25+30×0.5+50×0.13+70×0.06+90×0.06=33.6(分);
众数为频率最大的一组的组中值,即为 30 分;
设中位数为 x,则有 0.25+(x-20)×0.025=0.5,解得 x=30,
5.2
估计总体的数字特征
课程目标
1.理解样本数据的方差、标准差的

【教学设计】《估计总体的数字特征》(数学北师大必修3)

《估计总体的数字特征》教科书中介绍了简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种抽样方法，通过学习要弄清各自的特点和适用范围，然后在实践中酌情选用．对收集到的数据如何分析、估计，才能从中提取合理、有用的信息，帮助我们作出决策，要注意不应把统计处理成数字运算和画图表，重在掌握统计的思想方法．用样本估计总体是最基本的统计方法，通过学习要弄清样本平均数、方差、标准差、频率分布表、频率分布直方图、折线图等基本概念是怎样来反映统计数据的，通过解决具体问题的实践，领会如何运用这些方法去解决实际问题，要通过系统的数据处理过程，体会统计思维与确定性思维的差异．【知识与能力目标】（1）理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识.【过程与方法目标】在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.【情感与态度目标】会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，培养对生活中的问题进行用数学方法进行理性分析的意识.【教学重点】：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差.【教学难点】：◆ 教材分析◆ 教学目标◆ 教学重难点◆能应用相关知识解决简单的实际问题. 多媒体课件一、新课引入：问题：什么是平均数，众数，中位数？它反映一组数据的什么特征？什么是标准差？它反映一组数据的什么特征？日常生活中，我们往往不需要了解总体的分布形态，而是更关心总体的某一数字特征。

【测控设计】2015-2016学年高一数学北师大版必修3课件：1.5.2 估计总体的数字特征

-8-
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知识梳理
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典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1 】已知母鸡产蛋的最佳温度在 10 ℃左右,下面是在甲、乙两地六个时间测得的温度,你认为甲、乙两地哪个更适合母鸡产蛋?
时刻/时甲/℃ 乙/℃
1 6 1
4 -5 1
8 7 4
12 15 10
16 14 7
20 -4 2
5.2
估计总体的数字特征
-1-焦
典例透析
随堂演练
1 .能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. 2 .会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会数字特征的随机性.
-2-
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方差和标准差有什么区别? 剖析:方差和标准差的计算公式是: 一般地,设样本为 x1,x2,…,xn,样本的平均数为��,则
(��1 -�� )2 +( ��2 -��)2 +…+( �� -�� )2 样本方差 s = . �� (��1 - ��)2 + (��2 -�� )2 +…+ (�� - ��)2 样本标准差 s= . ��
2
由计算公式来看样本方差是样本标准差的平方,即样本标准差是样本方差的算术平方根,这是它们的最本质区别,它们表达的意义和作用完全相同 .但是由于标准差的单位与原始数据测量单位相同,在统计中,通常用标准差来刻画数据的离散程度.

高考数学一轮专项复习讲义-用样本估计总体的数字特征(北师大版)

§9.2用样本估计总体的数字特征课标要求 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的p分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．知识梳理1.百分位数一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0,1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.2．平均数、中位数和众数(1)平均数：x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．3．方差和标准差(1)方差：s2＝1n错误!(x i －x)2或1n错误!2i－x2.(2)标准差：s＝错误!.常用结论1．若x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mx n＋a的平均数为m x＋a.2．数据x1，x2，…，x n与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，x n′＝x n＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．3．若x1，x2，…，x n的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的方差为a2s2.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(×)(2)方差与标准差具有相同的单位．(×)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(√)(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值．(√)2．在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是()A ．平均数B ．众数C ．百分位数D ．标准差答案D解析标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D 正确．3．甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下，则他们中参加奥运会的最佳人选是______．甲乙丙丁平均环数8.58.88.88方差3.53.52.18.7答案丙解析由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定，是最佳人选．4．有一组数据：－1，a ，－2,3,4,2，它们的中位数是1，则这组数据的平均数是________．答案1解析数据－1，a ，－2,3,4,2，已知除a 以外的数据从小到大排序为－2，－1,2,3,4，要使得中位数为1，则a 在第3位或第4位，即2＋a2＝1，a ＝0，经检验符合题意，所以这组数据的平均数是－2－1＋0＋2＋3＋46＝1.题型一样本的数字特征的估计例1(1)(多选)(2023·荆门联考)某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了30名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下．则下列对该单位党员一周学习党史时间的叙述，正确的有()党史学习时间(小时)7891011党员人数48765A ．众数是8B ．40%分位数为8C ．平均数是9D ．中位数是9答案ACD解析由题意，随机抽取30名党员，由表可知，党史学习时间为8小时的人最多，为8人，故众数是8，故A 正确；因为30×40%＝12，40%分位数为8＋92＝8.5，故B 错误；平均数为130×(7×4＋8×8＋9×7＋10×6＋11×5)＝9，故C 正确；因为共有30名党员，故中位数为第15项和第16项的平均数，因为第15项和第16项均为9，故中位数为9，故D 正确．(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x 1，x 2，…，x 6，其中x 1是最小值，x 6是最大值，则()A ．x 2，x 3，x 4，x 5的平均数等于x 1，x 2，…，x 6的平均数B ．x 2，x 3，x 4，x 5的中位数等于x 1，x 2，…，x 6的中位数C ．x 2，x 3，x 4，x 5的标准差不小于x 1，x 2，…，x 6的标准差D ．x 2，x 3，x 4，x 5的极差不大于x 1，x 2，…，x 6的极差答案BD解析取x 1＝1，x 2＝x 3＝x 4＝x 5＝2，x 6＝9，则x 2，x 3，x 4，x 5的平均数等于2，标准差为0，x 1，x 2，…，x 6的平均数等于3，标准差为223＝663，故A ，C 均不正确；根据中位数的定义，将x 1，x 2，…，x 6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x 1是最小值，x 6是最大值，故x 2，x 3，x 4，x 5的中位数是将x 2，x 3，x 4，x 5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x 1，x 2，…，x 6的中位数相等，故B 正确；根据极差的定义，知x 2，x 3，x 4，x 5的极差不大于x 1，x 2，…，x 6的极差，故D 正确．思维升华计算一组n 个数据p 分位数的步骤跟踪训练1(1)(多选)(2023·商丘模拟)在某次演讲比赛中，由两个评委小组(分别为专业人士“小组A ”和观众代表“小组B ”)给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线统计图，则下列结论正确的是()A ．小组A 打分的分值的平均数为48B ．小组B 打分的分值的中位数为66C ．小组A 打分的分值的极差大于小组B 打分的分值的极差D ．小组A 打分的分值的方差小于小组B 打分的分值的方差答案ABD解析由图可知，小组A 打分的平均数为19×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A 正确；将小组B 打分从小到大排列为36,55,58,62,66,68,68,70,75，所以中位数为66，故B 正确；小组A 打分的分值的极差为54－43＝11，小组B 打分的分值的极差为75－36＝39，故C 错误；小组A 打分的分值相对更集中，所以小组A 打分的分值的方差小于小组B 打分的分值的方差，故D 正确．(2)某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的25%分位数是________．答案32.5解析由茎叶图知数据从小到大排列为27,28,32,33,36,36,38,40,45,52,54,58，因为12×25%＝3，所以25%分位数是32＋332＝32.5.题型二总体集中趋势的估计例22024年，安徽、甘肃、广西、贵州、黑龙江、吉林、江西七省区作为第四批实施改革的省份进入新高考.2023年10月，进入新高考的七个省份相继公布了高考选考科目的试卷结构．某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；(2)估计该校学生联考数学成绩的80%分位数；(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．解(1)由频率分布直方图的性质，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)得分在110以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130以下的学生所占比例为0.66＋0.014×20＝0.94，所以80%分位数位于[110,130)内，由110＋20×0.8－0.660.94－0.66＝120，估计80%分位数为120.(3)由图可得，众数的估计值为100.平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.思维升华频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．跟踪训练2某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数；(2)估计该市居民月均用水量的众数和中位数．解(1)由频率分布直方图，可知(0.04＋0.08×2＋0.12＋0.16＋2a＋0.42＋0.50)×0.5＝1，解得a＝0.3；月均用水量不少于3吨的人数为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5×60×104＝72000.(2)由图可估计众数为2.25；设中位数为x，因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2<x<2.5，由0.50(x－2)＝0.5－0.48，可得x＝2.04，故居民月均用水量的中位数为2.04.题型三总体离散程度的估计例3(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i，y i(i＝1,2，…，10)．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率x i545533551522575544541568596548伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i＝x i－y i(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.(1)求z，s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)．解(1)由题意得z i＝x i－y i的值分别为9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12，则z＝110×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，s2＝110×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.(2)由(1)知，z＝11,2s210＝2 6.1＝24.4，故有z≥2s2 10，所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．思维升华总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．跟踪训练3(2024·江门模拟)某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为x和y，方差分别为s21和s22.A(单位/kg)60504060708070305090B(单位/kg)40605080805060208070(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；(2)求x，y，s21，s22；(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．解(1)这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30,40,50,50,60,60,70,70,80,90，这10棵A品种桃树产量的极差为90－30＝60，中位数为60＋602＝60，这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20,40,50,50,60,60,70,80,80,80，这10棵B品种桃树产量的极差为80－20＝60，中位数为60＋602＝60.(2)x＝110×(30＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋70＋80＋90)＝60，y＝110×(20＋40＋50＋50＋60＋60＋70＋80＋80＋80)＝59，s21＝110×[(30－60)2＋(40－60)2＋(50－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(70－60)2＋(70－60)2＋(80－60)2＋(90－60)2]＝300，s22＝12＋(40－59)2＋(50－59)2＋(50－59)2＋(60－59)2＋(60－59)2＋(70－59)2＋10×[(20－59)(80－59)2＋(80－59)2＋(80－59)2]＝349.(3)由(1)可知这两个品种极差和中位数都相等，由(2)可知x>y，s21<s22，则A品种桃树平均产量高，波动小，所以应该选种A品种桃树．课时精练一、单项选择题1．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如表：鞋号3435363738394041日销量/双259169532如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是()A．平均数B．众数C．中位数D．极差答案B解析鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数．2．(2023·唐山模拟)某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的80%分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为()A．220B．240C．250D．300答案B解析由1200×80%＝960(人)，所以小于103分的学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有1200－960＝240(人)．3．(2024·南通模拟)为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式服役，增强学生的国防意识，某校组织1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，从中随机抽取20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的60%分位数为75C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为150答案D解析由频率分布直方图可得10×(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )＝1，解得a ＝0.005，故A 错误；前三个矩形面积为(2a ＋3a ＋7a )×10＝0.6，即60%分位数为80，故B 错误；估计这二十人的众数为70＋802＝75，故C 错误；总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为3a ×10×1000＝150，故D 正确．4．(2023·长沙模拟)为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用分层随机抽样的方法，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间的平均数为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间的平均数为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为()A ．0.94B ．0.96C ．0.75D ．0.78答案A解析该地区中学生每天睡眠时间的平均数为8001200＋800×9＋12001200＋800×8＝8.4(小时)，该地区中学生每天睡眠时间的方差为8001200＋800×[1＋(9－8.4)2]＋12001200＋800×[0.5＋(8－8.4)2]＝0.94.5．(2023·南昌模拟)在统计中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是2022年1月至2022年12月我国居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是()A ．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的中位数为2.1%B ．在这12个月中，月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3C ．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的平均数为1.85%D ．在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.0%答案C解析在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据由小到大依次为0.9%,0.9%,1.5%,1.6%,1.8%,2.1%,2.1%,2.1%,2.5%,2.5%,2.7%,2.8%，中位数为2.1%＋2.1%2＝2.1%，平均数为112×(0.9%＋0.9%＋1.5%＋1.6%＋1.8%＋2.1%＋2.1%＋2.1%＋2.5%＋2.5%＋2.7%＋2.8%)≈1.958%，由数据可知我国居民消费价格月度环比的数据中，有6个月的数据为正数，3个月的数据为0.0%,3个月的数据为负数，所以月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3，且0.0%出现次数最多，故众数为0.0%，故A ，B ，D 正确，C 错误．6．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子向上的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是()A ．平均数为2，方差为2.4B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为2答案A解析A 选项，若5次结果中有6，因为平均数为2，则方差s 2>15×(2－6)2＝3.2，因为3.2>2.4，则当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，故A 正确；B 选项，若5个点数为3,3,3,5,6，则此时满足中位数为3，平均数为4，则方差s 2＝15×[(3－4)2×3＋(5－4)2＋(6－4)2]＝1.6，故B 错误；C选项，取5个点数为2,2,3,5,6，满足中位数为3，众数为2，故C错误；D选项，取5个点数为1,1,2,5,6，满足中位数为2，平均数为3，故D错误．二、多项选择题7．(2023·潮州模拟)根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬．现将连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有()A．平均数小于4B．平均数小于4且极差小于或等于3C．平均数小于4且标准差小于或等于4D．众数等于5且极差小于或等于4答案BD解析举反例，如0,0,0,0,15，平均数为3小于4，但不符合入冬标准，故A错误；假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3知，此组数据最小值大于或等于7，与平均值小于4矛盾，故假设不成立，故B正确；举反例，如1,1,1,1,11，平均数为3，且标准差为4，但不符合入冬标准，故C错误；众数等于5且极差小于或等于4时，最大数不超过9，故D正确．8．已知数据x1，x2，…，x9成公差大于0的等差数列，若去掉数据x5，则()A．极差不变B．25%分位数变大C．平均数不变D．方差变小答案AC解析选项A，根据极差的定义，原数据的极差为x9－x1，去掉x5后的极差为x9－x1，即极差不变，故A正确；选项B，原数据的25%分位数为x3，去掉x5后的25%分位数为12(x2＋x3)<x3，即25%分位数变小，故B错误；选项C，原数据的平均数为x＝x5，去掉x5后的平均数为x′＝18x1＋...＋x4＋x6＋ (x9)＝18×8(x1＋x9)2＝x5＝x，即平均数不变，故C正确；选项D，原数据的方差为s2＝19[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，去掉x5后的方差为s′2＝18[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x4－x5)2＋(x6－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，故s2<s′2，即方差变大，故D错误．三、填空题9．(2023·惠州模拟)数据68,70,80,88,89,90,96,98的75%分位数为________．答案93解析因为8×75%＝6，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的75%分位数为第6个数和第7个数的平均数为90＋962＝93.10．(2023·黔西模拟)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为3，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．答案6解析因为样本数据x1，x2，…，x10的标准差为3，故样本数据x1，x2，…，x10的方差为9，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22×9＝36，故数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为6.11．(2023·济南模拟)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成一组数据，这组数据的中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为________．答案7.8解析依题意，这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列，8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6,7,8,9,9，所以平均数为6＋7＋8＋9＋95＝7.8.12．(2024·杭州模拟)已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为________．答案19.8解析设增加的数为k，原来的9个数分别为a1，a2，…，a9，则a1＋a2＋…＋a9＝72，a1＋a2＋…＋a9＋k＝90，所以k＝18，又因为19错误!(a i－8)2＝12，即错误!(a i－8)2＝108，所以110[错误!(a i－9)2＋(k－9)2]＝110[错误!(a i－8)2－2错误!(a i－8)＋9＋81]＝19.8.四、解答题13．(2023·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．解(1)x 甲＝18×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，x 乙＝18×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，s 2甲＝18×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5，s 2乙＝18×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41.(2)由(1)知x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适．14．(2024·凉山统考)某校为了提高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取了100名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100](单位：分)，得到如下的频率分布直方图．(1)求图中m 的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．(以每组中点值作为该组数据的代表)解(1)由频率分布直方图知，(m ＋0.03＋0.04＋0.02)×10＝1，解得m ＝0.01，设此次竞赛活动学生得分的中位数为x 0，由数据落在[60,80)内的频率为0.4，落在[60,90)内的频率为0.8，可得80<x 0<90，由(x 0－80)×0.04＝0.1，解得x 0＝82.5，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5.(2)由频率分布直方图及(1)知，数据落在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2，x＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为0.2＋90－8210×0.4＝0.52，则1000×0.52＝520，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖．。

北师大版高中数学必修3课件1.5估计总体的数字特征课件(数学北师大必修3)

答案：800 20%
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【小结】
1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征； 2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平； 3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
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3．用样本标准差估计总体标准差
方法1
甲的平均环数为：7。乙的平均环数为：7。但这两个人射击的平均成绩是一样的.那么，是否两个人就没有水平差距呢？我们来观察他们成绩的频率分布直方
图:
分析：甲的成绩较为分散，乙的成绩较为集中。
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2．用样本的平均数、众数、中位数估计总体的数字特征乙公司： 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 必修3
第一章 · 统计
§5.2估计总体的数字特征
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众数:一组数据中出现次数最多的那个数,一组数据中可以有多个众数.
中位数:一组数据有奇数个数时,中位数就是中间的那个数,有偶数个数时,中
位数是中间两个数的平均数. 平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数即算术平均数. 我们如何从频率分布直方图中得到样本的众数、中位数、平均数呢?
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2．用样本的平均数、众数、中位数估计总体的数字特征探究：从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：甲公司：

高中数学第一章统计 1.5.2 估计总体的数字特征教案北师大版必修3

5．2 估计总体的数字特征整体设计教学分析教科书通过现实生活中的例子，引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征．通过对如何描述数据离散程度的探索，使学生体验创造性思维的过程．三维目标1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．2．在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识与现实世界的联系．重点难点教学重点：根据实际问题从样本数据中提取基本的数字特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性．教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.平均数为我们提供了样本数据的重要信息，但是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断．如某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为176 cm，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高．但是，假如这个平均数是从50万名中学生中抽出的50名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质．因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态，于是我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差．(教师板书课题)思路2.在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7,8,6,8,6,5,9,10,7,4；乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.我们不难求得，x甲＝7，x乙＝7，两个人射击的平均成绩是一样的，那么，是否两个人就没有水平差距呢？图1从图1直观上看，还是有差异的．很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此这节课我们从另外的角度来考察这两组数据，引入课题：标准差．推进新课新知探究提出问题1．如何通过频率分布直方图估计数字特征(中位数、众数、平均数)?2．有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本(如下表)检查它们的抗拉强度(单位：23．某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种，对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验，年亩产量分别如下(单位：千克)：甲： 600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)；乙： 800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)．请你用所学统计学的知识，说明选择哪种品种推广更好？4．全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心，某市按当地物价水平计算，人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平．民政局对该市100户家庭进行调查统计，它们的人均收入达到了1.6万元，民政局即宣布该市市民生活水平已达到小康水平，你认为这样的结论是否符合实际？5．如何考查样本数据的离散程度的大小呢？把数据在坐标系中刻画出来，是否能直观地判断数据的离散程度？讨论结果：1．利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字(最高矩形的中点)．估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2.图2由图2可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差(range)．由上图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差较小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论了．3．选择的依据应该是，产量高且稳产的品种，所以选择乙更为合理．4．不符合实际．原因是样本太小，没有代表性．在统计学里，对统计数据的分析，需要结合实际，侧重于考察总体的相关数据特征．比如，市民平均收入问题，都是考察数据的离散程度．5．把问题3中的数据在坐标系中刻画出来．我们可以很直观地知道，乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近，即乙的离散程度小，如何用数字去刻画这种离散程度呢？考察样本数据的离散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差．标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：假设样本数据是x1，x2，…，x n，x表示这组数据的平均数．x i到x的距离是|x i－x|(i＝1,2，…，n)．于是，样本数据x1，x2，…，x n到x的“平均距离”是s ＝|x 1－x |＋|x 2－x |＋…＋|x n －x |n. 由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差：s ＝1nx 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]. 意义：标准差用来表示数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定；标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定．从标准差的定义可以看出，标准差s ≥0，当s ＝0时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数．标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释．例如，在关于居民月均用水量的例子中，平均数x ＝1.973，标准差s ＝0.868，所以x ＋s ＝2.841，x ＋2s ＝3.709；x －s ＝1.105，x －2s ＝0.237.这100个数据中，在区间[x －2s ，x ＋2s ]＝[0.237,3.709]外的只有4个，也就是说，[x －2s ，x ＋2s ]几乎包含了所有样本数据．从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据离散程度的工具，其中s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的．但在解决实际问题时，一般多采用标准差．需要指出的是，现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的．如何求得总体的平均数和标准差呢？通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小，现实中应用比较广泛的是标准差．应用示例思路11画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点．(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先画出数据的条形图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差．解：四组样本数据的条形图如图3：图3四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数，但它们有不同的标准差，说明数据的离散程度是不一样的．例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．46 25.32 25.45 25.39 25.3625．34 25.42 25.45 25.38 25.4225．39 25.43 25.39 25.40 25.4425．40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25．40 25.43 25.44 25.48 25.4825．47 25.49 25.49 25.36 25.3425．33 25.43 25.43 25.32 25.4725．31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？分析：每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体．由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm)，生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量．总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm的差异大时质量低，差异小时质量高；当总体的平均数与标准尺寸很接近时，总体的标准差小的时候质量高，标准差大的时候质量低．这样，比较两人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可．但是，这两个总体的平均数与标准差都是不知道的，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本的平均数、标准差，以此作为两个总体之间差异的估计值．解：用计算器计算可得x甲≈25.401，x乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm)，但是差异很小；从样本标准差看，由于s甲<s乙，因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．点评：从上述例子我们可以看到，对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断，与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关．显然，我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本．这样，尽管总体是同一个，但由于样本不同，相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变，这就会影响到我们对总体情况的估计．如果样本的代表性差，那么对总体所作出的估计就会产生偏差；样本没有代表性时，对总体作出错误估计的可能性就非常大．这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由．在实际操作中，为了减少错误的发生，条件许可时，通常采取适当增加样本容量的方法．当然，关键还是要改进抽样方法，提高样本的代表性.变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试，为了估计学生的成绩，从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人．请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率(60或60分以上均属合格)．解：因为运用计算器计算可得100×12＋90×30＋80×18＋70×24＋60×12＋50×4＝79.40，100(12＋30＋18＋24＋12)÷100＝96%，所以样本的平均分是79.40分，合格率是96%，由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分，合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2 ＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.24.因为0.24＞0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准解：各组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．这些组中值的方差为1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60(天2)．故所求的标准差约为 2 128.60≈46(天)．答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天．知能训练(1)在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________． (2)若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，则ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为________．(3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度(单答案：(1)9.5,0.016 (2)a 2s 2(3)由x 甲＝33，x 乙＝33，s 2甲＝473＞s 2乙＝373，可知乙的成绩比甲稳定，应选乙参加比赛更合适．拓展提升某养鱼专业户在一个鱼塘内放入一批鱼苗，一年以后准备出售，为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入，这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元，请问，这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案．解：这个专业户应了解鱼的总质量，可以先捕出一些鱼(设有x 条)，做上标记后放回鱼塘，过一段时间再捕出一些鱼(设有a 条)，观察其中带有标记的鱼的条数，作为一个样本来估计总体，则a 条鱼中带有标记的条数a ＝鱼塘中所有带有标记的鱼的条数x 鱼塘中鱼的总条数. 这样就可以求得鱼塘中鱼的总条数，同时把第二次捕出的鱼的平均质量求出来，就可以估计鱼塘中鱼的平均质量，进而估计全部鱼的质量，最后估计出收入．课堂小结1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数，平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平．用样本标准差估计总体标准差．样本容量越大，估计就越精确，标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．2．用样本估计总体的两个手段(用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征)，需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本容量越大，估计的结果也就越精确．作业习题1—5 3.设计感想统计学科，最大的特点就是与现实生活的密切联系，也是新教科书的亮点．仅仅想借助“死记硬背一些概念及公式，简单模仿课本例题”来学习，是绝对不行的．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，其原因在于样本的随机性．这种偏差是不可避免的．虽然我们从样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差，而只是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本的容量很大时，它们确实反映了总体的信息．教师建议：亲身经历“提出问题，收集数据，分析数据，并作出合理决策”的过程，在此过程中不仅可以加深对概念等知识的深刻理解，更重要的是发展了思维，培养了分析及解决问题能力，同时在情感、意志等领域也得到了协调发展，这才是学校学习的科学而全面的目标，习题设置有层次，尽量源于教科书，又高于教科书，这也是高考命题原则．备课资料备选习题1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )．A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a答案：D2．下列说法错误的是( )．A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大答案：B3．下列说法中，正确的是( )．A．数据5,4,4,3,5,2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数答案：C4．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为s21＝ 13.2，s22＝26.26，则( )．A．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度答案：A5．下列说法正确的是( )．A．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关B．方差和标准差具有相同的单位C．从总体中可以抽取不同的几个样本D．如果容量相同的两个样本的方差满足s21<s22，那么推得总体也满足s21<s22是错的答案：C。

北师大版高中数学必修三课件§55.2估计总体的数字特征

5.2估计总体的数字特征
1、会用频率分布直方图和频率分布折线图估计总体的分布
概率.
2、会用平均值和标准差估计总体的数字特征. 3、会通过对总体的估计，进行决策.
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：
众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩形的中点的横坐标. 中位数在样本数据的频率分布直方图中,就是把频率分布
6.29 6.57
3.19 3.33
李丽珊的平均积分和标准差都比其他选手小，也就表明，在前7场的比赛过程中，她的成绩最优秀且最稳定. 于是我们假设之后的比赛中，他们都发挥正常，夺冠希望最大就是李丽珊.
甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
假设样本数据是
x1 , x2 ,... xn ,
xi x (i 1,2, , n).
x 表示这组数据的平均数.
xi 到x的距离是
“平均距离” 于是,样本数据 x1 , x2 ,... xn到x的
是 S
x1 x x2 x n xn x .
由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差．
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?如果这是
一次选拔性考核,你应当如何作出选择?
如果看两人本次射击的平均成绩,由于 x甲 7, x乙 7 两人射击的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3 0.2 0.1 4 5 (甲 ) 6 7 8
频率
0.4 0.3 0.2
25.33,25.43,25.43,25.32,25.47 25.31,25.32,25.32,25.32,25.48