解直角三角形中考题

〔2011•德州市〕20． (本题满分10分)

某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．

20．(本题满分10分)

解：设建筑物CD 与EF 的延长线交于点G ，DG =x 米． …………1分 在Rt △DGF 中,tan DG GF α=

，即tan x

GF α=． …………2分 在Rt △DGE 中，tan DG GE β=

，即tan x

GE

β=． …………3分 ∴tan x

GF α

=

，tan x GE β=．

∴tan x EF β=

tan x

α

-

． ………5分 ∴4 1.2 1.6

x x

=

-

． ………6分 解方程得：x =19.2． ………8分 ∴ 19.2 1.220.4CD DG GC =+=+=． 答：建筑物高为20.4米． ………10分

〔2011•大理〕20．（7分）小杨同学为了测量一铁塔的高度CD ，如图，他先在A 处测得塔顶C 的仰角为︒30，再向塔的方向直行40米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为︒60，请你帮助小杨计算出这座铁塔的高度．（小杨的身高忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：

732.13,414.12≈≈） C

︒30

︒60 A B D

A C

D

B E

F β

α

G A

C

D

B

E F β α

G

20．解：在△ABC 中，∠CAB=∠ACB ＝30°

∴AB=CB=40m

在Rt △BDC 中， DC ＝BC·sin60° ∴DC ＝6.34320≈（米） 答：这座铁塔的高度约为34.6米。

（2011•连云港）24．（本题满分10分）如图，自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于南偏东24.5°方向，前行1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°方向，B 位于南偏西41°方向． （1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由； （2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75） 【答案】解：（1）相等

由图易知，∠QPB ＝65.5°，∠PQB ＝49°，∠AQP ＝41°，

∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ ＝∠BPQ ． ∴BQ ＝PQ

（2）由（1）得，BQ ＝PQ ＝1200 m ．

在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ＝1200

0.75 ＝1600（m ）．

又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°，

∴Rt △AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2 ＝16002＋12002 ＝2000（m ）．

答：A ，B 间的距离是2000 m ．

【考点】等腰三角形的判定，用三角函数解直角三角形，勾股定理。

【分析】（1）由已知的角度值可求出∠PBQ ＝∠BPQ ，从而根据等腰三角形等角对等边的判 定，得到BQ ＝PQ 。

（2）要求A ，B 间的距离，就要把AB 放到一个直角三角形里，由已知可求∠AQB 为直角。BQ 易证等于PQ ＝1200 m （已知）。AQ 可由解直角三角形求得。从而应用勾股定理可求AB.

（2011•无锡市）24．(本题满分9分)如图，一架飞机由A 向B 沿水平直线方向飞行，在航线AB 的正下方有两个山头C 、D ．飞机在A 处时，测得山头C 、D 在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B 处时，往后测得山头C 的俯角为30°，而山头D 恰好在飞机的正下方．求山头C 、D 之间的距离． 【答案】解: 过C 作AD CE ⊥于E .

C

︒30

︒60 第20题

A B D

A B

C

A B

C

在ABD ∆中,000

90,30, 6 43cos30AB

ABD BAD AB AD ∠=∠==∴=

=

在ABC ∆中,0

60,30, 6 90,sin 303BAC ABC AB ACB AC AB ∠=∠==∴∠==⋅= 在ACE ∆中,0

90,603030, 3 AEC ACE AC ∠=∠=-== ∴0033sin30, AE =AC cos30322

CE AC =⋅=⋅=

在CDE ∆中,033590,,4 3 -33222

ACED CE ED AD AE ∠===-== 根据勾股定理有,2

2

22

3584321224CD CE ED ⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

∴山头C 、D 之间的距离是21千米

【考点】解直角三角形,特殊角的三角函数,勾股定理,辅助线作法。

【分析】要求CD 的值就要把它放到－个直角三角形中,考虑作AD CE ⊥.只要求出CE,ED

即可.而CE 可由t R ACE ∆求得，t t R ACE R ABC ∆∆中AC 又可由求得;而ED 可由AD-AE 求得,AE 同样可由t R ACE ∆求得，AD t R ABD ∆求得.

22．（2011·漳州）（满分8分）某校“我爱学数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校

旗杆的高度”．以下是该课题小组研究报告的部分记录内容：

课题

测量学校旗杆的高度

图示

发言记录

小红：我站在远处看旗杆顶端，测得仰角为30°

小亮：我从小红的位置向旗杆方向前进12 m 看旗杆顶端，测得仰角为60°

小红：我和小亮的目高都是1.6 m

请你根据表格中记录的信息，计算旗杆AG 的高度．（3取1.7，结果保留两个有效数字）

A

B

G

D F

C

E

小红 1.6 m 小亮 12 m 30°

60°