6、排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)

6、排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)

排列组合问题之分组分配问题

（一）（五个方面）

一、非均匀分组（分步组合法）

“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？

①分成3组，分别为1人、2人、4人；

②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。解：①先选出1人，有17C种，再由剩下的6人选出2人，有2

6

C种，最后由剩下的4人为一组，有44C种。由分

步计数原理得分组方法共有124

764105

C C C=（种）。

②可选分同步。先从7人中选出2人，有2

7

C种，再由剩下的5人中选出3人，有3

5

C种，分组方法共

有23

75210

C C=（种）。也可先选后分。先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有

523 753210

C C C=（种）。

二、均匀分组（去除重复法）

“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）

例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？

解：可选分同步。先选3人为一组，有37C种；再选3人

为另一组，有3

4

C种。又有2组都是3人，每22A种分

法只能算一种，所以不同的分法共有3374

2

270

C C

A

=（种）。

也可先选后分。不同的分法共有33

663

72

270

C C

C

A

⋅=（种）。㈡部分均匀分组（去除重复法）

例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？

解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C、28C、

2

6

C、44C种，又有3堆都是2个元素，每33A种分法只能

算一种，所以不同的分组方法共有2224

1086

4

3

33150

C C C

C

A

⋅=（种）。

【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素

是均匀的，都有m

m

A种顺序不同的分法只能算一种分法。】

三、编号分组

㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）

例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？

解：分组方法共有232

752420

C C A=（种）。

㈡部分均匀编号分组（分组法）

例5、5本不同的书全部分给3人，每人至少1本，有多少种不同的分法？

解：分两类。①一类为一人3本；剩两人各1本。将5本书分成3本、1本、1本三组，再分给3人，有

1133215

32260

C C C A A ⋅⋅=种分法。②另一类为一人1本，剩两人

各2本。将书分成2本、2本、1本三组，

再分给3人，有21233

15

3

22

90C C C A A ⋅⋅=种分法。共有6090150+=种分法。

例6、

已知集合A 含有4个元素，集合B 含有3个元素。现建立从A 到B 的映射:f A B →，使B 中的每个元素在A 中都有原象的映射有多少个？ 解：先把A 中的4个元素分成3组，即2个、1个、1个，有212

2

14

22

C C C A ⋅种分组方法，再把B 中的3个元素全排列，

共有

2123214

32236

C C C A A ⋅⋅=种分组方法。因此，使B 中的元素

都有原象的映射有36个。

（二）（五个方面）

一、平均分堆问题倍缩法

（或缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）

1、 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组3人，有多少种不同的分法？ 答案：3

37

422

70C C A =（种）或3366

37

22

70C C C A ⋅=（种）。

2、6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

答案：2

226

42

33

15C C C

A

=（种）。 附：6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学教师任教，每人教两个班，有多少种不同的分

派方法？

答案：2

226

4

2

90C C C =（种）。

3、6本书分三份，2份1本，1份4本，有多少种不同分法？

答案：11465

4

22

15C C C A ⋅=（种）。

二、有序分配问题逐分法（或分步法）

4、①有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A 、1260种

B 、2025种

C 、2520种

D 、5040种

答案：2

1110

8

7

2520C C C =（种）。选C 。

②12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）种。

A 、4441284C C C 种

B 、44412843

C C C 种 C 、4431283

C C C 种

D 、44412

84

33

C C C

A

种 答案： 选A 。

三、全员分配问题先组后排法

5、 ①4名优秀学生全部保送到3所学校，每所学校至少去1名，不同的保送方案有多少种？ 答案：2

34

3

36C A ⋅=（种）。

②5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数为（ ）。