圆心角,弦,弧的关系课件(PPT 16页)
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沪科版九年级下册数学 课时3 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 教学PPT课件
AB与弦CD，弦心距OE与OF有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，⌒AB=⌒CD，弦AB=弦CD，OE=OF
C
E
B
D
F
·
O
A
新课讲解
2.在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你 发现的等量关系是否依然成立？为什么？
C
F
B
E
D
新课导入
情境导入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
新课导入
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
·
新课讲解
典例分析
例 1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E，则 BD 的度数为________． 解：连接CD，∵∠C＝90°，
O·
A
O·'
新课讲解
圆心角、弧、弦与弦心距的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
这个条件能去掉吗？ 为什么？
①∠AOB=∠COD
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD ④OE=OF
CB
DE
F
O
A
新课讲解
圆心角、弧、弦与Βιβλιοθήκη 心距间关系定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角
所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相
等，那么其余各组量都分别相等．
圆心角 相等
弦 相等
弧 相等
弦心距 相等
新课讲解
典例分析
例 2 已知：如图,点O是∠ A平分线上的一点， ⊙O分别 交∠ A
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，⌒AB=⌒CD，弦AB=弦CD，OE=OF
C
E
B
D
F
·
O
A
新课讲解
2.在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你 发现的等量关系是否依然成立？为什么？
C
F
B
E
D
新课导入
情境导入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
新课导入
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
·
新课讲解
典例分析
例 1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E，则 BD 的度数为________． 解：连接CD，∵∠C＝90°，
O·
A
O·'
新课讲解
圆心角、弧、弦与弦心距的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
这个条件能去掉吗？ 为什么？
①∠AOB=∠COD
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD ④OE=OF
CB
DE
F
O
A
新课讲解
圆心角、弧、弦与Βιβλιοθήκη 心距间关系定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角
所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相
等，那么其余各组量都分别相等．
圆心角 相等
弦 相等
弧 相等
弦心距 相等
新课讲解
典例分析
例 2 已知：如图,点O是∠ A平分线上的一点， ⊙O分别 交∠ A
《圆心角、弧、弦之间的关系》课件
得∠AOB=∠A′OB′,=''.
相等.
探究点一
圆心角、弧、弦之间的关系
[例 1]如图所示,在☉O 中,=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠AOC=∠BOC.
[导学探究]
1.由=,可得 AB=AC
,即△ABC 是 等腰 三角形.
2.由∠ACB=60°,可得△ABC 是 等边 三角形,易得∠AOB=∠AOC=∠BOC.
2.圆的对称性
第1课时
圆心角、弧、弦之间的关系
一、圆的对称性
1.圆是旋转对称图形,无论绕
是 圆心 .
圆心
旋转多少度,都能与自身重合,对称中心
2.圆是轴对称图形,任意一条 直径 所在的直线都是它的对称轴.
二、圆心角、弧、弦之间的关系
1.在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的 弧 相等,所对的 弦 相等.
.
证明:如图所示,连结 OC,
因为 C 为的中点,
所以=.
所以∠MOC=∠NOC.
又因为 M,N 分别是 OA,OB 的中点,
所以 OM= OA,ON= OB.
因为 OA=OB,所以 OM=ON.
= ,
在△OMC 和△ONC 中, ∠ = ∠,
= ,
所以△OMC≌△ONC.所以 MC=NC.
圆心角、弧、弦三者之间的关系可以理解为:在同圆或等圆中,(1)圆心角相等;
(2)两条劣弧(或优弧)相等;(3)两条弦相等,三项“知一推二”,即一项相等,
其余两项皆相等.
证明:因为=,所以 AB=AC,
即△ABC 是等腰三角形.
又∠ACB=60°,
所以△ABC 是等边三角形.
所以 AB=BC=CA.
相等.
探究点一
圆心角、弧、弦之间的关系
[例 1]如图所示,在☉O 中,=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠AOC=∠BOC.
[导学探究]
1.由=,可得 AB=AC
,即△ABC 是 等腰 三角形.
2.由∠ACB=60°,可得△ABC 是 等边 三角形,易得∠AOB=∠AOC=∠BOC.
2.圆的对称性
第1课时
圆心角、弧、弦之间的关系
一、圆的对称性
1.圆是旋转对称图形,无论绕
是 圆心 .
圆心
旋转多少度,都能与自身重合,对称中心
2.圆是轴对称图形,任意一条 直径 所在的直线都是它的对称轴.
二、圆心角、弧、弦之间的关系
1.在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的 弧 相等,所对的 弦 相等.
.
证明:如图所示,连结 OC,
因为 C 为的中点,
所以=.
所以∠MOC=∠NOC.
又因为 M,N 分别是 OA,OB 的中点,
所以 OM= OA,ON= OB.
因为 OA=OB,所以 OM=ON.
= ,
在△OMC 和△ONC 中, ∠ = ∠,
= ,
所以△OMC≌△ONC.所以 MC=NC.
圆心角、弧、弦三者之间的关系可以理解为:在同圆或等圆中,(1)圆心角相等;
(2)两条劣弧(或优弧)相等;(3)两条弦相等,三项“知一推二”,即一项相等,
其余两项皆相等.
证明:因为=,所以 AB=AC,
即△ABC 是等腰三角形.
又∠ACB=60°,
所以△ABC 是等边三角形.
所以 AB=BC=CA.
圆心角弧弦之间的关系课件
圆心角弧弦之间的关系 ppt课件
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的 关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系2圆心角等于对来自弧所包含的弧度数的两倍。
3
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都 与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点 角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中 点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心 角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆 心角度数的一半。
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角 圆心角 弦角 弦弧中点角
弧长/圆半径 弧对应的弧度数 圆心角的一半 圆心角/2
实际问题的应用
建筑设计
在建筑设计中，圆心角和弦的 关系可用于计算建筑物的弧线 结构。
车辆转弯
在车辆转弯的计算中，圆心角 和弦的关系可用于确定转弯半 径和最佳转弯角度。
天文学
在天文学中，圆心角和弧的关 系可用于计算星体之间的距离 和角度。
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的 关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系2圆心角等于对来自弧所包含的弧度数的两倍。
3
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都 与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点 角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中 点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心 角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆 心角度数的一半。
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角 圆心角 弦角 弦弧中点角
弧长/圆半径 弧对应的弧度数 圆心角的一半 圆心角/2
实际问题的应用
建筑设计
在建筑设计中，圆心角和弦的 关系可用于计算建筑物的弧线 结构。
车辆转弯
在车辆转弯的计算中，圆心角 和弦的关系可用于确定转弯半 径和最佳转弯角度。
天文学
在天文学中，圆心角和弧的关 系可用于计算星体之间的距离 和角度。
弧、弦、圆心角的关系
圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D． （1）求证：AB=CD； （2）若角的顶点P在圆上或在圆内，（1）的结 论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立， 请加以证明．
M
N
今天作业 课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性） 。
Ａ 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝
M
N
今天作业 课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性） 。
Ａ 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝
2.1 圆(圆的弦、弧、圆心角) 苏科版数学九年级上册课件
·D
O
·
A·
·C ·B
练一练
问题一 请写出图中所有的弦； 问题二 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；
A
B
O
C
D
与圆有关的概念-圆心角
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
注意：判断是否圆心角时需观察顶点是否在圆心。
ＡＣ
问题一 找出⊙Ｏ中的圆心角？
∠AOC、 ∠BOC
Ｏ·
问题二：∠ABC是不是圆心角？并说明原因？
与圆有关的概念-弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
⌒
以A、B为端点的弧记作AB ，
读作“圆弧AB”或“弧AB”。
C
O·
⌒
小于半圆的弧（如图中的AB）叫做劣弧；
A
B
⌒
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ACB）叫做优弧.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆。
观察与思考
C
PADຫໍສະໝຸດ ●OB练一练
如图，⊙O中，PB经过圆心O，交⊙O于A、B，PD交⊙O于C、D， 且PC=OA=OB，∠BOD=60°。试求∠P的度数。
【提示】已知圆上的点时，可考虑作半径来帮助解题。
C
P
A
D
●
O
B
达标检测 1、判断题：
（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （
）
（2）半径相等的两个半圆是等弧；
弧与半圆的区别和联系?
C
半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半圆既不是劣弧，也不是优弧。
【注意】
O·
A
B
1）弧分为是优弧、劣弧、半圆。
2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论。
弧、弦、圆心角课件(1课时28张)
为E，F，OE与OF 相等吗？为什么？
练习
2．如图，AB 是圆O 的直径， ∠AOE 的度数.
，∠COD=35°. 求
练习——易错点
下面的说法正确吗?为什么? 如图，因为∠AOB =∠A’OB ’, 所以
不正确，在同圆或等圆中，才有相等的圆心角所对弧相等.
练习——计算 如图，在圆O 中， 答案：70° .
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
练习
如图，在圆O 中，
, ∠ACB =60° . 求证：
∠AOB =∠BOC =∠AOC .
证明： ∴ AB =AC，△ABC 是等腰三角形 又 ∠ACB =60° ∴ △ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ∴ ∠AOB =∠BOC =∠AOC
圆心角
如图，BC 是圆O 的直径，则图中所有的圆心角分别 是∠A_O__C__，__∠_A__O__B___.（填小于180°的角）
探究
下面我们一起来研究在同一圆中，圆心角与它所对的弦、弧 有什么关系？
如图，在圆O 中，当圆心角∠AOB =∠A’OB ’时，
它们所对的弧
相等吗 相等
？它们所对的弦AB 和A’B ’相等 相等
弧的度数
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，同时整个 圆也被分成了 360 份.则每一份这样的弧叫做 1°的弧.
1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°的圆心角. n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角.
弧的度数
1°的弧
1° n°
n°的弧 性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
∠AOB =∠A’OB ’
九下数学(华东师大)课件-圆心角、弧、弦之间的关系
自我诊断 2. 如图，在⊙O 中，若点 C 是 的中点，∠A＝50°，则∠BOC 等于( A )
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
易错点： 圆心角、弧、弦之间的关系前提条件是：同圆或等圆中．
1．如图，AB 是⊙O 的直径，C∠COE 是( C )
11．如图，AB 是⊙O 的直径，点 E、F 分别是 OA、OB 的中点，且 EC⊥ AB，FD⊥AB，垂足分别为 E、F，EC、FD 交⊙O 于 C、D 两点．
证明：连接 OC、OD，∵E、F 分别为 OA、OB 的中点，又∵OA＝OB，∴ OE＝OF，又∵CE⊥AB，FD⊥AB，CO＝DO，∴△CEO≌△DFO，∴∠
⊥OB，CD＝CE，则
的弧长的大小关系是
.
9．如图，AB、CD 是⊙O 的直径，弦 DE∥AB，则 AC 与 AE 的大小关系 是 AC＝AE .
10．如图，点 B、C、D 是⊙A 的三等分点． (1)求∠BAC、∠CAD、∠DAB 的度数； (2)判断△BCD 的形状．
解：(1)∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝120°； (2)△BCD 是等边三角形．
A．40° C．80°
B．60° D．120°
2.如图，AB 是⊙O 的直径，BC、CD、DA 是⊙O 的弦，且 BC＝CD＝DA， 则∠BCD 等于( C )
A．100° C．120°
B．110° D．135°
3．下列命题是真命题的是( C ) A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等 C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等
；
(2)解：在 Rt△DOE 中，DE＝ OE2－OD2＝ 23R，连接 OF.∵OC⊥AB， EF∥AB，∴OC⊥EF 于 D，由等腰三角形性质得 EF＝2ED＝ 3R.
人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件
的顺 的位序位置排置列关顺 关过，系序系点若，排，O列并并A作D，说说=O若明明BEC理理A，D由由=根A..BB据C于题，点意根E补据，全题交图意形补DC，全于探图点究形，AFB探, ，究 AB ，
C（D2的）位当置A关B 、系，CD并位说于明圆理心由O. 的异侧时，
连C交接D 的AOB位A于，置点关OB系G，，，并OC说，明理OD由..
D
F
C
∵ AD=BC ，
12
O
A
E
B
∴ 1 2 .
G
∴ 1 2，
解： AB交交∥∵AACBBDA于于D. =点点BGGC ，，，
证明：∵∵∵ ∴连OAA接E1DD==OBBAACC2B，，，，，OB ， OC ， OD ，
过点 O∴∴∴ ∵作O11E3OEA224BA，，，B，于点 E ，交交DDCC于于点点FF，, 交 AB 于点 G .
12
3 O4 E
G
B
∴
∴∴ ∴3DDDFFF4OOO，≌≌ CCCFFFOOO
， ， 90
，
已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
例3 已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
顺同 顺序侧序排的排两列同 列个，侧，点若的若，两AADD且个==点ABBCC，，，，且B根根，A据据，C题题，B意意，D作作四C图图，点，，在D探探圆四究究上点按在AABB逆圆，，时上CC针按DD逆时针
的顺 的CD位序位的置排置位列关顺 关C置D，系序系D关的若，排，3 系位列并并A，置D，说说4 =并关C若明明B说系C理理A明，，D由由=理根并..B由据说C∴∵题 .明，A意理根1B+补由据为全题 .2+图意O形∴ ∵ ∴补C的O，全直D探图113径+++究形1, 8，224A0++B探.，究CC3OOADDB，41,18800，,
初中数学人教版九年级上册《2.弧、弦、圆心角》课件
A
O C
新知导入
弧、弦、圆心角之间的关系
练一练：在同圆中，下列四个命题：
①圆心角是顶点在圆心的角；
②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；
③两条弦相等，它们所对的弧也相等；
④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ B ）
A.①②③④
B.①②④
C.②③④
D.②④
随堂练习
1.如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，且∠AOD=100°， 若点C为BD的中点，则∠COB的度数为（ A ） A.40° B.60° C.80° D.120°
圆是中心对称图形，圆心就是它
A
B 的对称中心.
1 圆心角
旋转90°
旋转270°
旋转300°
归纳：把圆绕圆心旋转任何一个角度，所得的图形都 与原图形重合.
新知导入
圆心角
O r
A B
定义：顶点在圆心的角,叫圆心角， 如∠AOB .
圆பைடு நூலகம்角 ∠AOB 所对的弧为___A__B___. 圆心角 ∠AOB所对的弦为____A_B___.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对应的圆心角相等，所 对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等, 那么它们所对应的圆心角相等，所 对的优弧和劣弧分别相等．
24.1.3
谢谢大家
人教版 九年级数学上
24.1.3
弧、弦、圆心角
人教版 九年级数学上
知识要点
1.圆心角 2.弧、弦、圆心角之间的关系
新知导入
看一看：视察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
新知导入
看一看：视察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
新知导入
圆心角
2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系PPT课件
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
解 （2：）（∵1）∠AOB=∠AOC=∠BOC， ∵ AB∠、AAOCB、+B∠CA分O别C+是∠∠BAOOCB=、36∠0°A，OC、 ∠ABOBC=所∠对A的O弦C=，120° ∴弦∠ABBO、CA=C36、0°BC-1的20弦°心-12距0°相=等12。0° 得 ∵∠BCA的O弦B=心∠距A为OC3厘=∠米B，OC ∴AB、=AACC=的BC弦心距为3厘米。
圆心角：以圆心为顶点，以两条半径为边所 组成的夹角。
圆弧：圆上任意两点之间的部分。
圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧， 每条弧都叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧。
劣弧：小于半圆的弧。 弦：联结圆上任意两点的线段。
过圆心的弦就是直径。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
下面我们一起来视察一下：在⊙O中有哪些圆心角？
半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相 等的两个圆称为等圆。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等。
AB=CD吗？
弧AB与弧CD呢?
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D
下面我们一起来视察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
解 （2：）（∵1）∠AOB=∠AOC=∠BOC， ∵ AB∠、AAOCB、+B∠CA分O别C+是∠∠BAOOCB=、36∠0°A，OC、 ∠ABOBC=所∠对A的O弦C=，120° ∴弦∠ABBO、CA=C36、0°BC-1的20弦°心-12距0°相=等12。0° 得 ∵∠BCA的O弦B=心∠距A为OC3厘=∠米B，OC ∴AB、=AACC=的BC弦心距为3厘米。
圆心角：以圆心为顶点，以两条半径为边所 组成的夹角。
圆弧：圆上任意两点之间的部分。
圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧， 每条弧都叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧。
劣弧：小于半圆的弧。 弦：联结圆上任意两点的线段。
过圆心的弦就是直径。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
下面我们一起来视察一下：在⊙O中有哪些圆心角？
半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相 等的两个圆称为等圆。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等。
AB=CD吗？
弧AB与弧CD呢?
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
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,求AOE的度数。
拓展延伸：
利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条 件的图案:
(1)是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)即是轴对称图形又是中心对称图形.
3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称 性有关,试举几例.
课堂练习：
1、如图，在两同心圆中，∠AOB=∠COD，则（ ）
A．AB = CD
（3）如果∠AOB=∠CO⌒D，那⌒么 ______A__B_=_C_D__,_A_B_=_CD _____。
（4）如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗？为什么？
• 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是⌒AB的
中2.在点⊙,试Ｏ确中定，四⌒AB边＝形⌒AOＣA，CB∠的A形C状B=,并60说°明,求理证由. 3.如∠图AO，BA=B∠是B⊙OCO=的∠直A径OC，⌒B.C ＝⌒CD ＝⌒DE,∠COD=35°
6、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧
相等。
A
C
（× ）
•O
D B
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，根据本节定理及推论填空：
（_∠1_）_A_如O_果B__A=_B∠_=_CC_OD_，D_,那__么A_⌒_B_=_C⌒_D_____。 （2）如果A⌒B=C⌒D 那么 __∠__A_O__B_=_∠__C_O_D_,__A_B_=_C__D_____。
可推出
A′
B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,② 两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么 它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
A
B
●O
B
●O
●O′
A′
B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
A′
B′
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′
定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等、所对的弦相等。
O
C
E
A
D F
B
4．如图，AB是⊙O直径，AC 、AD 是弦，且AB平分 ∠ＣＡＤ. 求证：ＡＣ＝ＡＤ．
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
弧、弦、圆心角之间的关 系
实验初中
圆的对称性
圆的轴对称性（圆是轴对称图形）
垂径定理 及其推论
圆的中心对称性？
对称中心在哪？？？
（一）、圆的中心对称性 （1）若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°， 你能发现什么？
圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形相重合。 因此， 圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量都分别相等
判断：
1、等弦所对的弧相等。 （× ）
2、等弧所对的弦相等。 （√ ）
3、圆心角相等，所对的弦相等。( ）
× 4、弦相等，所对的圆心角相等。（ ）
５×、圆心角与它所对的弧相等。 （ ） ×
AAΒιβλιοθήκη B●OB●O
●O′
A′
B′
⌒ ⌒A′
B′
由条件:
可推出 ②AB=A′B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面三组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,你能得出
什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
A
A
B
●O
B
●O
●O′
A′
B′
⌒⌒
如由条件: ②AB=A′B′
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则 旋转过后的图形能与原图形重合吗？
圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的图形重合。
这是圆特有的一个性质:圆的旋转 不变性
B
Oα
A
(二)、弧、弦、圆心角之间的关系
（1）相关概念
圆心角：顶点在圆心的角(如∠AOB). 1º的圆心角对着1º的 弧，反之也成立。nº的圆心角对着nº的弧，反之也成立。即圆心角 的度数与它所对的弧的度数相等。
B．AB的长度=CD的长度
C．AB的度数=CD的度数 D．AB < CD
2、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90º，∠B=25º，以C为圆心， CA长为半径的圆交AB于D，则AD的度数是________。
. O
A
B
C
D
B D
CA
3.如图，以O为圆的两个同心圆中，大圆的弦CD交 小圆于点E、F，OE、OF的延长线交大圆于A、B。 求证：AC=BD。
圆心角所对的弧
圆心角所对的弦
• 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和
∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使得OA和
O′AA′重合.
B
A′
B
●O
D′
A
B′
●O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等.
拓展延伸：
利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列条 件的图案:
(1)是轴对称图形但不是中心对称图形;
(2)即是轴对称图形又是中心对称图形.
3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称 性有关,试举几例.
课堂练习：
1、如图，在两同心圆中，∠AOB=∠COD，则（ ）
A．AB = CD
（3）如果∠AOB=∠CO⌒D，那⌒么 ______A__B_=_C_D__,_A_B_=_CD _____。
（4）如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗？为什么？
• 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是⌒AB的
中2.在点⊙,试Ｏ确中定，四⌒AB边＝形⌒AOＣA，CB∠的A形C状B=,并60说°明,求理证由. 3.如∠图AO，BA=B∠是B⊙OCO=的∠直A径OC，⌒B.C ＝⌒CD ＝⌒DE,∠COD=35°
6、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧
相等。
A
C
（× ）
•O
D B
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，根据本节定理及推论填空：
（_∠1_）_A_如O_果B__A=_B∠_=_CC_OD_，D_,那__么A_⌒_B_=_C⌒_D_____。 （2）如果A⌒B=C⌒D 那么 __∠__A_O__B_=_∠__C_O_D_,__A_B_=_C__D_____。
可推出
A′
B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,② 两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么 它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
A
B
●O
B
●O
●O′
A′
B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
A′
B′
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′
定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等、所对的弦相等。
O
C
E
A
D F
B
4．如图，AB是⊙O直径，AC 、AD 是弦，且AB平分 ∠ＣＡＤ. 求证：ＡＣ＝ＡＤ．
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
弧、弦、圆心角之间的关 系
实验初中
圆的对称性
圆的轴对称性（圆是轴对称图形）
垂径定理 及其推论
圆的中心对称性？
对称中心在哪？？？
（一）、圆的中心对称性 （1）若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°， 你能发现什么？
圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形相重合。 因此， 圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量都分别相等
判断：
1、等弦所对的弧相等。 （× ）
2、等弧所对的弦相等。 （√ ）
3、圆心角相等，所对的弦相等。( ）
× 4、弦相等，所对的圆心角相等。（ ）
５×、圆心角与它所对的弧相等。 （ ） ×
AAΒιβλιοθήκη B●OB●O
●O′
A′
B′
⌒ ⌒A′
B′
由条件:
可推出 ②AB=A′B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面三组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,你能得出
什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
A
A
B
●O
B
●O
●O′
A′
B′
⌒⌒
如由条件: ②AB=A′B′
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则 旋转过后的图形能与原图形重合吗？
圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的图形重合。
这是圆特有的一个性质:圆的旋转 不变性
B
Oα
A
(二)、弧、弦、圆心角之间的关系
（1）相关概念
圆心角：顶点在圆心的角(如∠AOB). 1º的圆心角对着1º的 弧，反之也成立。nº的圆心角对着nº的弧，反之也成立。即圆心角 的度数与它所对的弧的度数相等。
B．AB的长度=CD的长度
C．AB的度数=CD的度数 D．AB < CD
2、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90º，∠B=25º，以C为圆心， CA长为半径的圆交AB于D，则AD的度数是________。
. O
A
B
C
D
B D
CA
3.如图，以O为圆的两个同心圆中，大圆的弦CD交 小圆于点E、F，OE、OF的延长线交大圆于A、B。 求证：AC=BD。
圆心角所对的弧
圆心角所对的弦
• 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和
∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使得OA和
O′AA′重合.
B
A′
B
●O
D′
A
B′
●O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等.