实验题目用正交多项式做小二乘曲线拟合
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实验题目：用正交多项式做小二乘曲线拟合
实验题目： 用正交多项式做最小二乘的曲线拟合 学生组号： 6 完成日期： 2011/11/27 1 实验目的
针对给定数据的煤自燃监测数据中煤温与N
O 2
2
,之间的非线性关系，用正交多项式
做最小二乘曲线拟合。
2 实验步骤
2.1 算法原理
设给定n+1个数据点：（
y
x k
k
,），k=0,1,···,n ，则根据这些节点作一个m 次的最
小二乘拟合多项式
p
m
（x ）=
a
+x a x a a m
m x +++ (2)
21=x a j
m
j j ∑=0
①
其中，m ≤n,一般远小于n.。
若要构造一组次数不超过ｍ的在给定点上正交的多项式函数系｛)(x Q
j
（ｊ＝０，
１，．．．，ｍ）｝，则可以首先利用｛)(x Q
j
（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）｝作为基函数作最小二乘
曲线的拟合，即
p
m
（x ）＝
)(...)()(1
1
x x x Q
q Q q Q q m
m
+++ ②
根据②式，其中的系数
q
j
（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）为
∑∑===
n
k k
j
n
k k
j
k
j
x Q x Q y q
2
)
()
(，ｊ＝０，１，．．．，ｍ ③
将④代入③后展开就成一般的多项式。
构造给定点上的正交多项式
)(x Q
j
（ｊ＝０，１，．．．，ｍ）的递推公式如下：
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧-=--=-==-+1
,...,2,1),()()()()()(1)(1
1010m j x x x x x x x Q
Q Q Q Q j j
j j j βαα ④
其中
αj
＝
d
x x j
k j
=0
，ｊ＝０，１，．．．，ｍ－１ ⑤
β
j
＝
d
d j j
1
-，ｊ＝１，２，．．．，ｍ－１ ⑥
∑==n
k k j
j
x Q d
2)(，ｊ＝０，１，．．．，ｍ－１ ⑦
则实际计算过程中，根据⑤式逐步求出个正交多项式)(x Q
j
，并用公式④计算出q j
，并将
每次计算展开后累加到拟合多项式①中。
2.2 算法步骤
用三个向量Ｂ,Ｔ,Ｓ,存放多项式)(1
x Q
j -，)(x Q j
，)(1
x Q
j +的系数。
（１） 构造)(0
x Q ，设)(0
x Q ＝b
，根据④式，得
b
＝１。再根据⑦③⑤式，计算：
d
＝ｎ＋１
d
y q n
k k
000
∑==
d
x n
k k
00
∑==α
最后将
)(0
x Q q 项展开后累加到拟合多项式中，则q 0
b 0＝a
（２）构造
)(1
x Q ，设)(1
x Q ＝t
＋
t
1
x ，根据递推公式④，则可知，t 0＝－α0
，t 1
＝
１。由公式⑦③⑤⑥求得，
∑==n
k k x Q d 0
2
1
1)(
d
x Q y q n
k k
k
1
1
1
)
(∑==
d
x x k k
k
1
1
1
∑==
α d
d
11
=β
最后将
)(1
1
x Q q 展开累加到拟合多项式①中，有
a
t q a t q a 1
1
10
10
⇒⇒+
(3)对于j=2,3,……,m,逐步递推Q
j
（x ）
根据递推公式④有
Q
j
（x ）=（x-
α
1
-j ）
Q j 1
-（x ）-
β1
-j Q
j 2
-（x ）
=（x-α
1
-j ）(t
j 1
-x
j 1
-+….+
t t x 01+)-
β
1
-j (
b j 2
-x
j 2
-+….+
b b x 0
1
+)
假设
Q
j
（x ）=
x s j
j
+
x
s j j 1
1
--+…..+
x s 1
+s
则可以得到计算
s
k
（k=0,1,…,j ）的公式：
t
s j j
1
-=
t t s
j j j j 2111
----+-=α
,1
11b t t s k j k k j k
βα----+-= k=j-2,….,2,1
,0
1
1010
b t t s
j k j β
α----+-=
然后分别根据 ⑦式③式⑤式与⑥式计算下列量：
)(02
x Q d
k n
k j
j
∑==
)(0
x Q y q k
J
n
k k
j
∑==/d
j
)()(2
x Q x x k j
k n
k k j
∑==α
/d j