苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 2.3 数学归纳法 导学案(2)
高二数学 教案 2.3 数学归纳法_苏教版_选修2-2 (2)
§2.3 数学归纳法（2）编写：黄爱华 审核：赵太田一、知识要点1.不完全归纳法得出的结论是否正确需要用数学归纳法加以证明；2.对于与自然数有关的问题，关键通常归结为探寻递推关系. 二、典型例题例1.设n N ，1()5231n n f n .⑴当1,2,3,4n 时，计算()f n 的值；⑵你对()f n 有何猜想？用数学归纳法，证明你的猜想？例2.在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少个部分？三、巩固练习n提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想1～3：先计算1,2,3,4n n的和.1.求135(1)(21)n n n N能被哪些自然数整除？2.25()3.求凸n边形对角线的条数.四、课堂小结与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列以及几何问题，都可以考虑用数学归纳法。
五、课后反思六、课后作业1.根据条件，猜想结论：⑴数列n a 中，11a ，且11,,2n n S S S 成等差数列，则1234,,,S S S S 分别为 ，猜想n S = . ⑵112(),1,()(2)2n n x f x x x f x n x ≥，则234,,x x x 分别为 ，猜想n x = . 2.探寻递推关系： ⑴凸n 棱锥有()f n 个对角面，则(1)()f n f n ； ⑵平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任三条不过同一点，该n 条直线把平面分成()f n 个区域，则(1)()f n f n .⑶平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任三个圆不相交于同一点，则n 个圆分平面区域数为()f n ，则(1)()f n f n .3.设nN ，求证：22()389n f n n 是64的倍数.4.平面内有(2)n n ≥条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，证明：它们的交点数(1)()2n n f n5.对于给定的前4个等式：11,14(12),149123,14916(1 234)，由此猜想第n 个等式，并给出证明.6.已知数列n a 满足：11a ，且11429()n n n n a a a a n N .⑴求234,,a a a ；⑵由⑴猜想n a 的通项公式n a ；⑶用数学归纳法证明⑵的结果.思考题：课本P 91第7题，第9题订正栏：。
江苏省镇江市丹徒镇高中数学2.3数学归纳法(2)导学案(无答案)苏教版选修2-2
数学归纳法（2）（一） 复习回顾一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)（归纳奠基）__________________________________________; (2)（归纳递推)_______________________________________________________________．这种方法就是__________________．（二） 例题剖析例1、用数学归纳法证明：3n 5()n n N ++∈能被6整除．数学归纳法（2）导学案（无答案）苏教版选修2-2的全部内容。
使用人使用日期或周次本课时学习目标或学习任务1.了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力;2.了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤； 3。
抽象思维和概括能力进一步得到提高． 本课时重点难点或学习建议 借助具体实例了解数学归纳的基本思想，进一步掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题． 本课时教学资源的使用导学案 学 习 过 程特别提示：数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中，归纳推理一定要起到条件的作用，即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.例2、已知数列1111,,,,,1×44×77×10(3n-2)(3n+1)计算1234S,S,S,S，根据计算的结果,猜想nS的表达式，并用数学归纳法进行证明。
例3、是否存在常数a b、，使得等式222212n1335(2n-1)(21)2an nn bn++++=⋅⋅⋅++对一切正整数n都成立，并证明你的结论。
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数，然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立。
例4、比较 2n与 n2(n∈N*）的大小。
（三）课堂练习1。
用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n—1=2n—1 (n∈N＊)．2。
苏教版选修(2-2)2.3《数学归纳法义》word学案
2.3数学归纳法导学案一、课标要求了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、知识清单1、证明与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立。
这种证明方法叫做数学归纳法。
可记为“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。
2、数学归纳法证明命题的类型 与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
三、问题探究1、数学归纳法的归纳奠基中n 0一定等于1吗？2、为什么可以先假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢？四、思维误区1、证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k 时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从n=k+1的式子中分离出n=k 时的式子，或将n=k+1的情况用n=k 的情况表示。
2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定n=1时及n=k 变化到n=k+1“和”或“积”的情况。
五、典例分析题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n 2（n ＋1）2题型二、用数学归纳法证明不等式 例2、归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109 （n ＞1，且N ∈n ）．题型三、用数学归纳法证明几何问题例3．平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n ＋2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．题型五 归纳、猜想、证明 例5．是否存在常数a ，b ，c 使等式()()()122334111222222···…++++=+++n n n n anbn c 对一切自然数n 都成立，并证明你的结论。
苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 2.3 数学归纳法
§2.3 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.掌握数学归纳法的实质及与归纳，猜想的关系.4.能运用数学归纳法解决实际问题．1．数学归纳法公理对于某些________________的数学命题，可以用数学归纳法证明． 2．证明步骤对于某些与正整数有关的数学命题，如果(1)当n ____________________________结论正确．(2)假设当__________________时结论正确，证明当__________时结论也正确． 那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．一、填空题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等号左边的项是__________．2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取______．3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多了____项．4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝______________.5．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“n ＝k 到n ＝k＋1”左端需增乘的代数式为__________．6．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．7．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1 (n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________________________．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．二、解答题9．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)．(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升11．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N *都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答 案知识梳理1．与正整数有关2．(1)取第一个值n 0(例如n 0＝1,2等)时 (2)n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0) n ＝k ＋1 作业设计 1．1＋a ＋a 2解析 当n ＝1时，a n ＋1＝a 2. ∴等号左边的项是1＋a ＋a 2. 2．5解析 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.3．2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4.12n ＋1－12n ＋25．2(2k ＋1)6．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)27．没有用到归纳假设，不是数学归纳法8．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.9．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9， 当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2 (n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立． 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． ②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立， 即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k 2－2≥(k ＋1)2， 即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *,2n ＋2>n 2.10．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n ，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝12(k ＋1). 也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.11．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36， f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N *，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36. 12．(1)解 由题意：S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立， ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1) >k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立， 故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．。
苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法 教案
第1课时数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果①当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．(2)数学归纳法的框图表示类型一从n＝k到n＝k＋1左边增加的项例1 用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 反思与感悟 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项，除此之外，多了哪些项都要分析清楚．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)解析 当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 类型二 用数学归纳法证明恒等式例2 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12. 左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *等式成立．反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1时命题成立”，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k ＋1)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1 ＝2k 2－2k ＋1＋(2k －1)＋(2k ＋1)＝2k 2＋2k ＋1＝2(k ＋1)2－2(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②知，对任意n ∈N *，等式都成立．1．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_______________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为________．答案 1＋a ＋a 2＋a 3解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，且4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9，那么可以通过求a 2，a 3，a 4的值猜想出a n ＝________.答案 6n －52n －14．请观察以下三个式子：(1)1×3＝1×2×96； (2)1×3＋2×4＝2×3×116； (3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136， 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6. 证明：①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6， 则当n ＝k ＋1时，1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6＋(k ＋1)(k ＋3) ＝k ＋16(2k 2＋7k ＋6k ＋18) ＝k ＋16(2k 2＋13k ＋18) ＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)6 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]6， 所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．应用数学归纳法证题时的注意点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．课时作业一、填空题1．设n ∈N *，用数学归纳法证明2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n 时，第一步应证明：左边＝________. 答案 22．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，n 所取的第一个值n 0为________．答案 3解析 由题意知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．3．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证________．①n ＝k ＋1时等式成立②n ＝k ＋2时等式成立③n ＝2k ＋2时等式成立④n ＝2(k ＋2)时等式成立答案 ②解析 因为n 为正偶数，n ＝k 时等式成立，即n 为第k 个偶数时命题成立，所以需假设n 为下一个偶数，即n ＝k ＋2时等式成立．4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (2)的表达式为________． 答案 f (2)＝12＋13＋14解析 代入表达式可得．5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳得出a n 的通项表达式为________．答案 26n －5解析 由a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5.6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1； ③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任意的n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤错误的是________．(填序号)答案 ③解析 ③中没有用到归纳假设．7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是________．答案 1－12＝128．用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_________________________________________． 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)29．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案 12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 10．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，则当n ＝k ＋1时，2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为____________________．答案 缺少步骤归纳奠基二、解答题11．用数学归纳法证明(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1n 2)＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)＝k ＋12k，那么当n ＝k ＋1时，(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)[1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k [1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．12．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2(n －1)(n ＋1)4. 证明 ①当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0， 所以等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2(k －1)(k ＋1)4. 那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k ·[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k )＝k 2(k －1)(k ＋1)4＋(2k ＋1)k (k ＋1)2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)] ＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4. 所以当n ＝k ＋1时等式成立．由①②知，对任意n ∈N *等式成立．三、探究与拓展13．证明1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N *)，假设当n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数为________．答案 2k解析 当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1， 所以增加的项数为2k ＋1－1－(2k －1)＝2k .14．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．(1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a n >0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1， 将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a n >0)．同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．。
苏教版数学高二- 选修2-2学案 2.3数学归纳法
2.3数学归纳法【回归教材】1．设1111()()(1)()1232f n n N f n f n n n n n*=++++∈+-=+++有_____________ 2．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是____________________3．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅-”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是__________________4．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得当n=________时该命题不成立【知识回顾】1.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n=k(k ∈N *，且k≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效.【经典例题】例1 已知*N n ∈,证明: (1) n n 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-n n n 212111+⋅⋅⋅++++=. (2) n n n +≤++++≤+21213121121例2 已知*N n ∈,证明：)(53*∈+N n n n 能被6 整除例3 已知*N n ∈，试比较n 2与2n 的大小例4 是否存在常数使 a 、b 、c ，等式： c bn an n n n n n ++=-⋅+⋯+-⋅+-⋅24222222)()2(2)1(1对一切正整数n 成立？证明你的结论【巩固练习】1．若f （n ）=1+1213121++⋅⋅⋅++n （n ∈N*），则当n=1时，f （n ）=______ 2．用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112（a≠1，n ∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是____________3.),,3,2,1(21312111 =+++++++=k kk k k S k 则S k+1 = S k + ____________ (A) S k +)1(21+k (B) S k + 11221+-+k k (C) S k + 221121+-+k k (D) S k + 221121+++k k 4．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ⨯1⨯2⨯3⨯…(2n─1)(n ∈N),从“k 到k+1”左端应增乘的代数式为 .5. 求证：212131211n n >-++++（*∈N n ）。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法》
数学归纳法〔1〕苏州市第三中学夏正华教学目标：1理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．2通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．活动一：情境引入,给出定义和操作步骤一、情景引入：老师：前面我们用归纳法得到许多结论，如等差数列{}的通项公式；自然数平方和公式这些命题都与自然数有关，自然数有无限个，我们无法对所有的自然数逐一验证，那么问题：能否依据归纳法的特征来证明这些与自然数有关的命题呢？我们今天一起来研究这个内容老师：大家用归纳法来求一个数列的通项公式问题：数列{}，＝1，且〔n＝1，2，3…〕，计算，,，猜测学生：，，，老师：我们用3次计算猜出了通项公式，后面的没有验证怎么能够保证通项公式一定正确呢？这里用了不完全归纳，由有限项归纳出无限项，这未必可靠，如何解决这个问题呢？我们不能用前面学习过的完全归纳法来解决，我们生命是有限的。
问题：能否寻找到一种方法，通过有限步骤的推理，替代无限的逐个验证呢？老师：我们一起来回忆找到通项公式的过程…观察推理结构特征，能否得出一般的推理形式呢？学生：假设能由推出即可老师：这样就解决了无穷的问题老师：大家说对吗？很多学生有疑惑，没关系。
刚刚从数的角度理解有困难，找形来帮助把。
游戏：播放多米诺骨牌视频播放视频：多米诺骨牌〔正常〕问题：同学们眼神都很惊诧，你在惊诧什么呢？学生：第一块骨牌倒下后，其它的都倒下了。
老师：要使得骨牌全部倒下去需要具备哪些条件呢？大家可以讨论一下播放视频：多米诺骨牌〔第一块没倒〕播放视频：多米诺骨牌〔中间断开〕学生：首先第一块骨牌倒下，然后每一块骨牌倒下去之后带动下一块骨牌也倒下去。
老师：非常透彻老师：总结一下分2步完成。
第一步，第一块骨牌倒下；第二步，保证某一块骨牌倒下后一定能击倒下一块骨牌。
苏教版数学高二-备课参考数学苏教版选修2-2教案 2.3 数学归纳法(2)
数学归纳法(2)一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程： 【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。
（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。
【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-能被9整除。
法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。
例2：数列{a n }中，1n n a a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++= （1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +, (1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式； （2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。
苏教版高二数学选修2-2 2.3 数学归纳法 第2课时 课件(28张)
第2章 推理与证明
x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2k＋1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x2－y2)y2k－1， 由归纳假设知x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，而x2－y2也能被x ＋y整除，所以x2k＋1＋y2k＋1能被x＋y整除，即当n＝k＋1时 命题也成立． 由(1)和(2)知，命题对任意n∈N*都成立．
2.用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2(n∈N*)能被13整除． 证明：(1)当n＝1时，42＋1＋31＋2＝64＋27＝91＝13×7能被 13整除，∴命题成立． (2)假设当n＝k时，命题成立，即42k＋1＋3k＋2能被13整除， 则当n＝k＋1时，
栏目 导引
第2章 推理与证明
42(k＋1)＋1＋3k＋1＋2＝16·42k＋1＋3·3k＋2 ＝16·42k＋1＋16·3k＋2－13·3k＋2 ＝16(42k＋1＋3k＋2)－13·3k＋2. ∵42k＋1＋3k＋2和－13都能被13整除， ∴当n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可以断定，对于任意的n∈N*，42n＋1＋3n＋2都能 被13整除．
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第2章 推理与证明
[解] (1)由已知得 f(n)＝22nn－ ＋31f(n－1)(n≥2，n∈N*)． 当 n＝2 时，f(2)＝44－ ＋31×f(1)＝15×13＝115， 同理可得 f(3)＝315，f(4)＝613. (2)猜想 f(n)＝（2n－1）1（2n＋1）. 下面用数学归纳法证明 f(n)＝（2n－1）1（2n＋1）成立． ①当 n＝1 时，由13＝（2×1－1）1（2×1＋1）可知 f(n)＝ （2n－1）1（2n＋1）成立．
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第2章 推理与证明
高中数学新苏教版精品教案《2.3 数学归纳法》
数学归纳法〔第一课时〕教学设计1 上课背景探究教学是指通过设置问题情境，由教师启发引导，促使学生积极主动参与到发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、形成方法、应用方法的过程中，以培养学生探究兴趣和解决问题能力的一种教学活动。
笔者有幸执教了一节以“启发提问，探究教学，教学生学会思考〞为主题的公开课，课题是?数学归纳法?第一课时，所用教材是普通高中课程标准实验教科书〔苏教版〕?数学选修2-2?，现将教学过程简录及每一个环节的教学设计意图分享给大家，如有不当之处，敬请指正！2教学目标〔1〕知识与技能目标：学生能理解数学归纳法的原理；能掌握用数学归纳法证明问题的两步骤一总结环节；能用数学归纳法证明一些简单的数学问题。
〔2〕过程与方法目标：在教学过程中通过设置问题情境，注重培养学生探究解决问题的能力以及提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养；让学生能领悟数学思想方法、感受数学研究的一般方法。
〔3〕情感、态度与价值观：通过多米诺骨牌游戏，让学生亲身感受数学好玩；课堂上共同探究问题，感受数学归纳法的实质——一种以数学归纳原理〔即自然数归纳公理〕为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，提升学生学习数学兴趣，到达好玩数学的目的，最后应用数学归纳法，用学生间的问难和质疑，实现知识内化吸收，到达玩好数学。
3 教学重点难点：能理解数学归纳法根本思想和实质，能用数学归纳法解决相关问题。
4教学过程简录4．1 创设情境，引入新课情境一：从前有个财主,请来一位先生教儿子识字。
先生写一横，告诉他的儿子是“一〞字；写两横,告诉是个“二〞字；写三横，告诉是个“三〞字。
学到这里，儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。
〞财主很快乐，就把先生给辞退了。
有一天，这位财主准备请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖……情境二：12－1＋11=11，2 2－2＋11=13，3 2－3＋11=17，4 2－4＋11=23，5 2－5＋11=31，都是质数，于是有人用归纳推理提出猜测：任何形如n2－n＋11n∈N*的数都是质数。
2.3数学归纳法(苏教版选修2-2)
•【证明】 ①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立． •②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立， •即(3k＋1)· 7k－1能被9整除， •当n＝k＋1时，[(3k＋3)＋1]· 7k＋1－1＝(3k＋1＋3)· 7· 7k－1 •＝7· (3k＋1)· 7k－1＋21· 7k •＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k •＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋27· 7k.
课堂互动讲练
考点突破
证明与自然数n有关的等式
等式是我们用数学归纳法证明的常见题型，用数学 归纳法证明时，关键是第二步n＝k＋1时提取公因式、 分解因式等技巧的合理使用．
•
•【思路点拨】 严格按照数学归纳法的步骤求解． •②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， •即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k· 1· 3· …· (2k－1)；
•2.3 数学归纳法
学习目标
1. 理解数学归纳法的证题原理，会用数学归纳法证
明与正整数n有关的等式及研究数列问题．
2．掌握数学归纳法在证明与正整数 n有关的不等式、 整除问题、几何问题中的应用，会解决相关问推理 与 1．合情推理可分为____________ 类比推理． ______________
方法感悟
•1．理解归纳—猜想—数学归纳法证明的思想方法，其基本思路是：在探讨某些问题时，可以先
从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行探索，提出猜想； 最后用数学归纳法给出证明． •2．运用数学归纳法时易犯的错误如下：
•(1)没有验证第一步；
•(2)第一步验证多了，不但验证n＝1，又验证了n＝2,3等，其实这是多余的，追其原因还是对第 一步、第二步不理解； •(3)没有写出第二步中的归纳假设； •(4)虽写出了第二步中的归纳假设，但在证明中没有用上； •(5)证明中虽用了归纳假设，但没有进行实质的恒等变形，只是形式地写出结果； •(6)虽有中间变形，但中间变形有错，或中间变形变不到应有的结果，或只是形式地写上结果．
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备2.3数学归纳法
2.3 数学归纳法知识梳理一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法证明分两步：(1)_______________________________________；(2)_______________________________________.知识导学与自然数n 有关的命题，我们无法对所有的自然数逐一验证，可用数学归纳法证明，对于数学归纳法要求的两步缺一不可，第一步是基础，第二步是循环递增，直至无穷，学习时要正确理解，特别是在前步的基础上，下一步如何成立，是不是证明了这两步就对所有的自然数都成立？结合例子来理解.疑难突破为什么证明(1)(2)两步就能说明对于所有的n≥n 0都成立呢？剖析：这是因为第一步首先验证了n 取第一个值n 0，这样假设就有了存在的基础，至少k=n 0成立，根据假设和合情推理，证明n=k+1时也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n 0=1成立，又证明了n=k+1成立，这就一定有n=2时成立，n=2成立,则n=3成立,n=3成立,则n=4也成立，如此反复，以至无穷，对所有n≥n 0的整数就都成立了.数学归纳法用两步就可以巧妙地解决了无限问题，这就是数学方法的神奇.数学归纳法这两步缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.用数学归纳法证明有关问题的关键，在于第二步，即n=k+1时成立是利用假设n=k 时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论，推证出n=k+1时成立，而不是直接代入，否则n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明.典题精讲【例1】 证明12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n 怎样变化，即由n=k 到n=k+1时，左右两边各增添哪些项.证明：(1)当n=1时，左边=12-22=-3右边=-1×(2×1+1)=-3，∴左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k 时等式成立，即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.则当n=k+1时，左边=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+［2(k+1)-1］2+［2(k+1)］2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2=(k+1)［2k+1-4(k+1)］=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)［2(k+1)+1］=右边,∴当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)可知对于任意正整数n ，等式都成立.绿色通道：可用数学归纳法来证明关于自然数n 的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n=k+1时，必须用假设n=k 成立的结论证明.变式训练:用数学归纳法证明)1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯n n n n . 证明：(1)当n=1时，左边=81421=⨯,右边=81)11(41=+⨯,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k 时，等式成立,即)22(21861641421+++⨯+⨯+⨯k k =)1(4+k k 成立. 则当n=k+1时，左边=]2)1(2)[1(21)22(21861641421+++++++⨯+⨯+⨯k k k k =)2)(1(4)1()2)(1(41)2(]2)1(2)[1(21)1(42+++=++++=+++++k k k k k k k k k k k =)2(41++k k =右边. ∴当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知等式恒成立.【例2】数列{a n }满足a 1=61,前n 项和S n =2)1(+⨯n n a n . (1)写出a 2、a 3、a 4;(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明.思路分析：研究数列问题，可先由前n 项归纳猜想，再证明.解：(1)令n=2,∵a 1=61,∴S 2=2)12(2+⨯a 2, 即a 1+a 2=3a 2.∴a 2=121. 令n=3,得S 3=2)13(3+⨯a 3,即a 1+a 2+a 3=6a 3,∴a 3=201. 令n=4,得S 4=2)14(4+⨯a 4，即a 1+a 2+a 3+a 4=10a 4,∴a 4=301. (2)猜想a n =)2)(1(1++n n ,下面用数学归纳法给出证明. ①当n=1时,a 1=)21)(11(161++=结论成立. ②假设当n=k 时,结论成立，即a k =)2)(1(1++k k , 则当n=k+1时,S k =2)1(+k k a k =)2(2)2)(1(12)1(+=++•+k k k k k k , S k+1=12)2)(1(+++k a k k , 即S k +a k+1=12)2)(1(+++k a k k .∴112)2)(1()2(2++++=++k k a k k a k k . ∴a k+1=)3)(2(1)2)(3(12)2)(1()2(2++=++=-+++k k k k k k k k k k. ∴当n=k+1时结论成立.由①②可知，对一切n ∈N *都有a n =)2)(1(1++n n 成立. 绿色通道：由递推关系或前n 项和公式求通项可求出前n 项，再归纳猜想，用数学归纳法证明数列的通项公式.变式训练:对于数列{a n },若a n+1=a n 2-na n +1,n ∈N *,当a 1=2时,求a 2、a 3、a 4并猜想a n 的一个通项公式.解：a 2=a 12-1×a 1+1=22-1×2+1=3,a 3=a 22-2×a 2+1=32-2×3+1=4,a 4=a 32-2a 3+1=42-3×4+1=5,猜想a n =n+1(n ∈N *).证明：(1)当n=1时，a 1=1+1=2成立.(2)假设当n=k 时，a k =k+1成立,则当n=k+1时,a k +1=a k 2-ka k +1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2.∴当n=k+1时结论成立.由(1)(2)可知，a n =n+1(n ∈N *)成立.【例3】 试用数学归纳法证明n 3-3n 2+8n-6能被6整除.思路分析：与自然数n 有关的命题都可以用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时，13-3×12+8×1-6=0能被6整除.(2)假设当n=k 时结论正确，即k 3-3k 2+8k-6能被6整除，则当n=k+1时,(k+1)3-3(k+1)2+8(k+1)-6=(k 3-3k 2+8k-6)+3k(k+1)+6.∵3k(k+1)和6都能被6整除,∴当n=k+1时结论正确.由(1)(2)可知命题成立.绿色通道：用数学归纳法证明整除性问题时，注意构造出归纳假设来，用上假设证明出. 变式训练:求证：n 3+(n+1)3+(n+2)3(n ∈N *)能被9整除.证明：(1)当n=1时，13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除.(2)假设当n=k 时命题成立,即k 3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,则当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =k 3+(k+1)3+(k+2)3+9k 2+27k+27=［k 3+(k+1)3+(k+2)3］+9［k 2+3k+3］能被9整除.由(1)(2)可知命题成立.问题探究问题：是否存在常数a 、b ，使等式2)12)(12(5323112222++=+-+⨯+⨯bn n an n n n 对于一切n ∈N *都成立.导思：存在性问题先假设存在，然后求出符合条件的量.本题求a 、b 两个量只需两个等式即可，而已知条件是对于一切n ∈N *都成立，即有无数个等式,只需取两特定n 值即可求出.求出得到的a 、b 对于一切n ∈N *是否成立，需用数学归纳法证明.像这种存在性问题可由特殊求出a 、b ，即不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法加以证明对所有的n ∈N *都成立.探究：假设存在a 、b 使得等式对一切n ∈N *都成立,则当n=1,n=2时成立,即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=,4,12224154312131b a b a b a 即有24)12)(12(5323112222++=+-+⨯+⨯n n n n n n . 对n ∈N *是否成立,下面用数学归纳法给出证明:(1)当n=1时，左边=313112=⨯,右边=3121411=+⨯+,等式成立. (2)假设当n=k 时等式成立，即24)12)(12(5323112222++=+-+⨯+⨯k k k k k k ,则当n=k+1时, .2)1(4)1()1(64)2)(1()32(2)2)(12(121)32(2252121)3212(121)32)(12()1(24)32)(12()1()12)(12(53231122222222右边=+++++=+++=+++•++=+++•++=+++•++=++++++=+++++-+⨯+⨯k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k∴当n=k+1时等式成立.根据(1)(2)可知等式对任何n ∈N *都成立.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 2.3.2 数学归纳法(2)
第9课时数学归纳法(2)教学过程一、问题情境数学归纳法是直接证明的一种重要方法,应用十分广泛,主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题,以及探求数列的通项及前n项和等问题.二、数学运用【例1】设n∈N*,f(n)=5n+2×3n-1+1.(1)当n=1,2,3,4时,计算f(n)的值;(2)你对f(n)的值有何感想?用数学归纳法证明你的猜想.[1](见学生用书P49)[处理建议]提出问题,学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止一个),让学生证明.通过(1)的结果,运用归纳推理,猜想f(n)的规律:8,32,144,680都是偶数,都是4的倍数,都是8的倍数等等,这些结论都是合情的猜想,要学会从中找一个最为适当的猜想.[规范板书]解(1)当n=1时,f(1)=51+2×31-1+1=8=8×1;当n=2时,f(2)=52+2×32-1+1=32=8×4;当n=3时,f(3)=53+2×33-1+1=144=8×18;当n=4时,f(4)=54+2×34-1+1=680=8×85.(2)猜想:当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除.①当n=1时,有f(1)=51+2×31-1+1=8能被8整除,命题成立.②假设当n=k时,命题成立,即f(k)能被8整除,那么当n=k+1时,有f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+6×3k-1+1=(5k+2×3k-1+1)+4(5k+3k-1)=f(k)+4(5k+3k-1).这里,5k和3k-1均为奇数,它们的和(5k+3k-1)必为偶数,从而4(5k+3k-1)能被8整除.又由归纳假设,f(k)能被8整除,所以f(k+1)能被8整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.根据(1)和(2)可知,命题对任何n∈N*都成立.[解题反思](1)数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件,否则就可能出现错误;(2)对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值算出几个特殊值,通过观察找出规律,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立,这就是“归纳——猜想——证明”的方法,这是我们认识事物、研究事物的一种方法,它既是一种创造性的思维,又是一种严密的逻辑推理.变式n3+5n(n∈N*)能被哪些自然数整除?[规范板书]n3+5n(n∈N*)最大能被6整除.①当n=1时,n3+5n=6,显然成立.②当n=k时,假设n3+5n能被6整除,则n=k+1时,n3+5n=(k+1)3+5(k+1)=n3+3n2+8n+6=n3+5n+3n(n+1)+6,显然也能被6整除.故n3+5n能被1,2,3,6整除.【例2】在平面上画n条直线,且任何2条直线都相交,其中任何3条直线不共点.问:这n条直线将平面分成多少个部分?[2](见学生用书P50)[处理建议]提出问题,学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止1个),让学生证明.[规范板书]解记n条直线把平面分成r n个部分,我们通过n=1,2,3,4,5,画出图形观察r n的情况:(例2)从图中可以看出,r1=2=1+1,r2=4=r1+2=1+1+2,r3=7=r2+3=1+1+2+3,r4=11=r3+4=1+1+2+3+4,r5=16=r4+5=1+1+2+3+4+5.由此猜想r n=1+1+2+3+4+…+n.接下来用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1,2时,结论均成立;(2)假设当n=k时结论成立,即r k=1+1+2+3+4+…+k,当n=k+1时第k+1条直线与前面的k条直线都相交,有k个交点,这k个交点将这条直线分成k+1段,且每一段将原有的平面部分分成两个部分,所以r k+1=r k+(k+1)=1+1+2+3+4+…+k+(k+1),结论也成立.根据(1)和(2),可知对n∈N*,均有r n=1+1+2+3+4+…+n,即r n=1+.[题后反思]一些几何问题规律的发现,需要我们从简到繁,一个一个地画出图形,尝试探索,从而发现规律,证明结论.【例3】已知S n=1+++…+,求证:>1+(n≥2,n∈N*).[3](见学生用书P50)[处理建议]应用数学归纳法证明不等式与证明等式的步骤相同,关键是“递推步”的不等式的变形,先让学生证明练习,发现问题,再讨论解决、提炼方法.[规范板书]证明(1)当n=2时,=1+++=>1+,即n=2时命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即=1+++…+>1+,当n=k+1时,=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n∈N*,n≥2,>1+都成立.[题后反思]不等式证明中,“递推步”的证明在应用“归纳假设”后,如果一时寻找不到解题思路,可以应用“分析法”的思路倒推分析,再应用综合法进行证明.三、课堂练习1.求证:当n取正奇数时,x n+y n能被x+y整除.证明(1)n=1时,x1+y1=x+y,能被x+y整除,命题成立.(2)假设n=k(k为正奇数)时,有x k+y k能被x+y整除,当n=k+2时,x k+2+y k+2=x k·x2+y k·y2=x k·x2+y k·x2-y k·x2+y k·y2=(x k+y k)x2-y k(x2-y2)=(x k+y k)x2-y k(x+y)(x-y) ,因为以上两项均能被x+y整除,所以x k+2+y k+2能被x+y整除,即当n=k+2时命题仍成立.由(1)和(2)可知,对一切正奇数n,都有x n+y n能被x+y整除.2.已知数列,,,…,,…,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想S n的表达式,并用数学归纳法证明.解S1==,S2=S1+=,S3=S2+=,S4=S3+=.猜想S n=,证明:①当n=1时,结论显然成立.②假设当n=k(k≥1)时结论成立,即S k=,则当n=k+1时,S k+1=S k+=+====,故当n=k+1时结论也成立.由①②可知,对于任意的n∈N*,S n=.四、课堂小结归纳是从由特殊到一般的思维,是数学发现的重要方法,有完全归纳法和不完全归纳法之分;数学归纳法既克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学方法;数学归纳法的核心是在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了从有限到无限的飞跃,使我们认识事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷.。
2019-2020学年高中数学 2.3数学归纳法学案 苏教版选修2-2.doc
2019-2020学年高中数学 2.3数学归纳法学案 苏教版选修2-2二、预习指导 1．预习目标了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．预习提纲(1)回顾已学知识，体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法．(2)数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据，你能说出它的两个步骤吗?(3)结合课本第86－87页的例1－例3，体会用数学归纳法证明命题的2个步骤，解题时缺一不可；结合课本第88－90页的例4和例5，体会用“归纳－猜想－证明”的方法处理问题．(4)阅读课本第85页至第90页内容，并完成课后练习． 3．典型例题(1) 数学归纳法是以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳(完全归纳)的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程(递推关系)．数学归纳法证明命题的步骤是： ① 递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；② 递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；(归纳假设)证明当n =k ＋1时结论也正确．(归纳证明)由①，②可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确． 例1 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++过程中， ① 当n=1时，左边有_____项，右边有_____项； ② 当n=k 时，左边有_____项，右边有_____项； ③ 当n=k ＋1时，左边有_____项，右边有_____项； ④ 等式的左右两边，由n=k 到n=k ＋1时有什么不同?分析：证明时注意：n 取第一个值n 0是什么；从n=k 到n=k ＋1时关注项的变化． 解：①当n=1时，左边有2_项，右边有__1__项；②当n=k 时，左边有_2k_项，右边有__k_项；③当n=k ＋1时，左边有_2(k ＋1)_项，右边有_k ＋1_项；④等式的左边，由n=k 到n=k ＋1时多了两项：112(1)12(1)k k -+-+；等式的右边，由n=k 到n=k ＋1时多了两项：121k ++12(1)k +，少了一项：11k +．(2)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题． 例2 用数学归纳法证明21111222n ++⋅⋅⋅+< (n∈N *) 分析：用数学归纳法证明问题时，①注意从“n=k 到n=k ＋1”时项的变化；②配凑递推假设；③检验是否用了归纳假设． 证明：① 当n=1时，112<，结论成立； ② 假设当n=k 时结论成立，即21111222k ++⋅⋅⋅+<则当n=k ＋1时，21211111111111()1122222222222k k k +++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+<+⨯= ∴当n =k ＋1时结论成立由①，②可知，不等式对于从1开始的所有正整数n 都成立．例3 已知f (n )=(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N 都能使m 整除f (n )，求m 的最大值．分析：归纳证明时，利用归纳假设创设递推条件，寻求f(k ＋1)与f(k)的递推关系，是解题的关键．解：∵f (1)=36，f (2)=108=3×36，f (3)=360=10×36∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除． 证明 ① n =1，2时，由上得证；② 假设n =k (k ≥2)时，f (k )=(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n =k ＋1时，f (k ＋1)=(2k ＋9)·3k ＋1＋9=(6k ＋27)·3k ＋9=(2k ＋7)·3k＋9＋(4k ＋20)·3k= f (k )＋36(k ＋5)·3k －2k ≥2) ∴f (k ＋1)能被36整除； 由①、②知f (n )能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求m 的最大值等于36． 例4 平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分． 分析：注意从n=k 到n=k ＋1时的变化．解：① 当n=1时，平面内1个圆把平面分成2部分，此时n 2－n ＋2=2，结论成立；② 假设当n=k 时结论成立，即平面内k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，则当n=k ＋1时，第k ＋1个圆与前面k 个圆都相交，第k ＋1个圆被前面k 个圆分成2k 段弧，每段弧都把原来的平面部分一分为二，因此多了2k 个部分，所以平面内k＋1个圆把平面分成(k 2－k ＋2)＋2k= k 2＋k ＋2=(k ＋1)2－(k ＋1)＋2个部分，即当n=k ＋1时结论成立；由①、②可知，平面内n 个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分．(3)解题时我们常常会遇到一类先猜后证的问题，这种问题的解题流程为：归纳→猜想→证明，而证明往往会用数学归纳法．猜归法是发现与论证的完美结合． 例5 ① 是否存在常数,,a b c ，使得2223212n an bn cn +++=++对一切正整数n 都成立?并证明你的结论；② 是否存在a ，b ，c 使得等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=12)1(+n n (an 2＋bn ＋c ) 对于一切正整数n 都成立?证明你的结论；③ 已知*1111,23n a n N n=++++∈，是否存在关于n 的整式()g n ，使得等式121()(1)n n a a a g n a -+++=-对于大于1的一切正整数n 都成立?证明你的结论．分析：根据已知条件“对一切正整数n 都成立”，我们可以先通过前几个数，如n =1，2，3的情形，进行归纳猜想，然后用数学归纳法证明结论．解：① 假设存在常数,,a b c 使等式成立，令1,2,3n =得：2221128421232793a b c a b c a b c =++⎧⎪+=++⎨⎪++=++⎩解之得131216a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；下面用数学归纳法证明：222(1)(21)126n n n n +++++=对一切正整数n 都成立．证明：01 当1n =时，左边1=，右边(11)(21)16++==，即原式成立； 02 假设当n k =时，原式成立，即2222(1)(21)1236k k k k ++++++=则当1n k =+时，222222(1)(21)123(1)(1)6k k k k k k ++++++++=++ 22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)(2)(23)6k k k k k k k k k k +++++++==+++=即当1n k =+时原式成立，由01、02知222(1)(21)126n n n n +++++=对一切正整数n 都成立．综上所述，当131216a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，题设对一切自然数n 均成立；② 假设存在a ，b ，c 使题设的等式成立，令n =1，2，3，则有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=101133970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a 于是，对n =1，2，3下面等式成立 1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)201 n=1时，等式已证，成立；02 假设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2＋11k ＋10) 则：S k ＋1=S k ＋(k ＋1)(k ＋2)2=12)1(+k k (3k 2＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)2=(1)12k k +(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2=12)2)(1(++k k (3k 2＋5k ＋12k ＋24)=12)2)(1(++k k (3k 2＋17＋24)= 12)2)(1(++k k ［3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10］即对n =k ＋1等式也成立．由01、02知，1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 对一切正整数n都成立．综上所述，当a =3，b =11，c =10时，题设对一切自然数n 均成立；③ 假设()g n 存在，令2n =，求得(2)2g =，令3n =，求得(3)3g =，令4n =，求得(4)4g =， 由此猜想：()g n n =，下面用数学归纳法证明：121(1)n n a a a n a -+++=-对一切大于1的正整数n 都成立．(略)例6 （Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<. 求()f x 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.解：（Ⅰ）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-，令()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)内是减函数； 当 1x > 时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+- ①若1a ，2a 中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤+成立； 若1a ，2a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是 在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122()(1)b a a b b a a ≤⋅+-， 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上，对120,0a a ≥≥，1b ，2b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b ≤+. ②（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数.若121n b b b +++=，则12121122nb b b n n n a a a a b a b a b ≤+++. ③用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立. （2）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++=，则12121122kb b b k k k a a a a b a b a b ≤+++.当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a +为非负实数，121,,,,k k b b b b +为正有理数，且1211k k b b b b +++++=，此时101k b +<<，即110k b +->，于是111212121121()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++==12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aaaa +++++----+.因121111111kk k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---≤1212111111kk k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅---112211k k k a b a b a b b ++++=-，从而112121k k b b b b k k a a a a ++≤1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭.又因11(1)1k k b b ++-+=，由②得1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭11221111(1)1k kk k k k a b a b a b b a b b +++++++≤⋅-+-112211k k k k a b a b a b a b ++=++++，从而112121k k b b b b k k a a a a ++112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++.故当1n k =+时，③成立.由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.4．自我检测(1)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3，n ∈N )第一步应验证______． (2)用数学归纳法证明()111112312nn n N n ++++<∈>-且时，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是_____ ．(3)设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥ 成立时，总可推出 (1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是_____ ．①若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；②若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立；③若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立； ④若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． (4)观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<…，则可归纳出____．三、课后巩固练习A 组1．用数学归纳法证明：2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n ．2．用数学归纳法证明：()()()()()1221321,n n n n n n n N *+++=⋅⋅⋅⋅-∈．3．设f (n )=1＋11123n++⋅⋅⋅+， 求证：n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)=nf (n ) (n ∈N，n ≥2) ．B 组 4．若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n ． 5．用数学归纳法证明2*2(4,)nn n n N ≥≥∈．6．用数学归纳法证明*221(,3)n n n N n >+∈≥． 7．用数学归纳法证明11111231n n n ++⋅⋅⋅+≥+++(n ∈N，n ≥2)． 8．用数学归纳法证明：*(31)71()n n n N +-∈能被9整除． 9．求证：121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除(n ∈N *)．10．是否存在常数c b a ,,使等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+-+⋅⋅⋅+-=++ 对一切正整数n 都成立?证明你的结论．11． 是否存在常数a ，b ，c ，使等式23333123()()()()n an bn c n n n n n++++++=…对一切n N *∈都成立?并证明你的结论． 12．已知数列1111......1447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+，，，，，，计算1234S S S S ，，，，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明．13．已知数列{}n a 满足条件,,6),1)(1()1(21n a b a a n a n n n n n +==-+=-+令试猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明．14． 数列{a n }中，1n n a a +>，a 1=1，且211()2()10n n n n a a a a ++--++= (1)求234,,a a a 的值；(2)猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想．C 组15 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145， (1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n ＋1的大小，并证明你的结论． 16． 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．(Ⅰ)求x n ＋1与x n 的关系式；(Ⅱ)猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)17．一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得113a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数．试问： (1)从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数?(2)从A 口输入100时，从B 口得到什么数?并说明理由．18．某国采用养老储备金制度：公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，，以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．(Ⅰ)写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；(Ⅱ)求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．注意数学归纳法的两个步骤缺一不可．实际问题五、拓展视野已知函数()sin f x x x =-，数列{n a }满足：1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==证明：(Ⅰ)101n n a a +<<<；(Ⅱ)3116n n a a +<． 分析: 可以考虑用数学归纳法证明(I)．解: (I)先用数学归纳法证明 ,3,2,1,10=<<n a n(i)当n=1时，由已知条件知结论成立；(ii)假设当n=k 时结论成立，即10<<k a ， ∵10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ∴)(x f 在(0，1)上是增函数，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a ， ∴当n=k ＋1时，结论成立．由(i)、(ii)可知，10<<n a 对一切正整数都成立．又∵10<<n a 时，0sin sin 1<-=--=-+n n n n n n a a a a a a ， ∴n n a a <+1，综上所述，101<<<+n n a a ；(II)设函数10,61sin )(3<<+-=x x x x x g ， 由(I)可知，当10<<x 时，x x <sin ，∴02)2(222sin 221cos )(22222=+->+-=+-='x x x x x x x g ， ∴)(x g 在(0，1)上是增函数． 又0)0(=g ，∴当10<<x 时，)(x g >0成立，∴0)(>n a g ，即061sin 3>+-n n n a a a ，∴3161n n a a <+．2.3 数学归纳法1．n =3 2．12k +3．④ 提示：当(4)25f ≥时，(4)f 2≥4，从而(5)f 2≥5，，2()f k k ≥（4k ≥）成立 4．112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *)1-3 略4. 证明 (1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时不等式成立，即2413212111>+++++k k k 111111,23221221111111123221221131111311242122124212213113242(21)(1)24n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++=++++++-++++++>++-=+-+++++=+>++则当时即n =k+1时不等式成立， 故不等式2413212111>+++++n n n 对于大于1的自然数n 都成立。
2019-2020年苏教版高中数学(选修2-2)2.3《数学归纳法》word教案5篇
2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.3《数学归纳法》word教案5篇一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。
（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。
过程与方法：（1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。
情感态度与价值观：正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。
三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。
四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。
五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？____________________________________________问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗____________________________________________问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？1742年，歌德巴赫在教学中发现：4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。
于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。
欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
2019-2020学年苏教版选修2-2 2.3 数学归纳法 教案
第2课时 用数学归纳法证明不等式 学习目标 1.学会用数学归纳法证明不等式的过程.2.体会变形和放缩法在证明过程中的应用．一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n 取第一个值n 0时结论正确；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时成立，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．类型一 利用数学归纳法证明不等式例1 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760， 故左边>右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1) ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)．(*) 方法一 (分析法)下面证(*)式>56， 即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>0，只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)>0，只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)>0，只需证9k ＋5>0，显然成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．方法二 (放缩法)(*)式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝56， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键点(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练1 在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即a k >2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)>0， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2.类型二 猜想并证明不等式例2 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解 取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624， 令2624>a 24⇒a <26，且a ∈N *， 所以取a ＝25.下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证结论正确．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1)＋(13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1)>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]． 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝6(k ＋1)9(k ＋1)2＝23(k ＋1)， 所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0， 所以1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，对一切n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. 故a 的最大值为25.反思与感悟 (1)通过观察，判断，猜想出结论，这是探索的关键．(2)在用数学归纳法证明命题时，注意验证起始值．跟踪训练2 设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式．(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，n ∈N *，有a n ≥n ＋2.(1)解 由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式为a n ＝n ＋1(n ≥1，n ∈N *)．(2)证明 ①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，n ∈N *)时，不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3.即当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2.由①②可知，对任意的n ≥1，n ∈N *，都有a n ≥n ＋2.1．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2<2－12n －1(n ≥2，n ∈N *)的第一步需证明的不等式为____________________________．答案 1＋122＋132<2－122－12．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，那么，下列命题成立的是________．(填序号)①若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立；②若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立；③若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立；④若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立．答案 ④解析 若f (4)＝25，则f (4)≥42，由条件可知，当k ≥4时，f (k )≥k 2，故④正确．3．以下是用数学归纳法证明有“n ∈N *时，2n >n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21>12，不等式显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k >k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任意n ∈N *不等式都成立．其中错误的步骤为________．(填序号) 答案 (2)解析 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论．如k ＝2时，k 2<2k ＋1.4．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1时，假设n ＝k 时，命题成立，那么当n ＝k ＋1时，只需证明________________________________即可．答案 3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3k ＋32k ＋3解析 由假设知：1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1， 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2， ∴只需证明3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1＝3k ＋32k ＋3.1．n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错．因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．2．“假设n ＝k (k ≥1)时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设．3．由于是不等式的证明，所以在转化过程可能用到基本不等式及分析法、综合法、放缩法等．课时作业一、填空题1．已知a i >0(i ＝1,2，…，n )，考查①a 1·1a 1≥1； ②(a 1＋a 2)(1a 1＋1a 2)≥4； ③(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥9. 归纳得对a 1，a 2…a n 成立的类似不等式为________________________．答案 (a 1＋a 2＋…a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n)≥n 2 2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证的不等式为______________．答案 1＋12＋13<2 解析 ∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证1＋12＋13<2. 3．仔细观察下列不等式：(1＋11)>3， (1＋11)(1＋13)>5， (1＋11)(1＋13)(1＋15)>7， (1＋11)(1＋13)(1＋15)(1＋17)>9， 则第n 个不等式为________________________________．答案 (1＋11)(1＋13)(1＋15)…(1＋12n －1)>2n ＋1(n ∈N *) 4．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．5．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某学生证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1(k ∈N *)，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．上述证法的错误在于________________．答案 没有用归纳假设6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取_____． 答案 8解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 7．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．答案 5解析 当n 取1、2、3、4时2n ＞n 2＋1不成立，当n ＝5时25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5.8．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________________．答案 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋39．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________________． 答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2解析 3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2. 二、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)并用数学归纳法证明你的结论．解 当n ＝1时，21＋2＝4>12，当n ＝2时，22＋2＝6>22，当n ＝3时，23＋2＝10>32，当n ＝4时，24＋2＝18>42，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n ＝k (k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2.要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0，即证(k ＋1)(k －3)≥0.又因为k ＋1>0，k －3≥0，所以(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，2n ＋2>n 2.11．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝1＋122＝54， 右边＝2－12＝32，左边<右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k， 那么当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2，又由于[2－1k ＋1(k ＋1)2]－(2－1k ＋1) ＝1k ＋1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)－(k ＋1)2＋k k (k ＋1)2 ＝－1k (k ＋1)2<0， 所以2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1， 所以1＋122＋132＋…＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①，②知，对于大于等于2的正整数n ，不等式成立．12．用数学归纳法证明12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，其中n ≥2，n ∈N *. 证明 ①当n ＝2时，左边＝12，右边＝0，结论成立； ②设n ＝k 时，结论成立，即12＋13＋14＋…＋12k －1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋2k －12k >k －12， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，n ≥2，n ∈N *. 三、探究与拓展13．求证：1＋12＋13＋ (1)<2n (n ≥1，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立．即1＋12＋13＋ (1)<2k . 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 <2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．14．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32； 当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．证明：①当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． ②假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。
2019-2020学年苏教版选修2-2 2.3 数学归纳法 教案
第3课时用数学归纳法证明整除问题、几何问题学习目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明整除问题、几何问题等数学命题的方法.2.掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．知识点一归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．知识点二数学归纳法1．应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题．2．基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可．3．注意点：在第二步归纳递推时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．类型一整除问题例1求证：当n∈N*时，a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．证明①当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时，命题成立．由①②知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成当n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练1用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．证明①当n＝1时，4×7－1＝27，能被9整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除，则当n ＝k ＋1时，(3k ＋4)·7k ＋1－1＝7·(3k ＋1)·7k ＋21·7k －1＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋6·7k ＋21·7k＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋27·7k ，由假设知，(3k ＋1)·7k －1能被9整除，又因为18k ·7k ＋27·7k 能被9整除，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，对一切n ∈N *，(3n ＋1)·7n －1都能被9整除．类型二 几何问题例2 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数为f (n )＝n (n －1)2. 证明 ①当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．②假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2) ＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②可知，对任意n ∈N *，n ≥2，命题都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练2 平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．证明 ①当n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分，那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域．所以f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知命题成立．类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13. (1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．解 (1)a 2＝S 22(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13， 则a 2＝115，同理求得a 3＝135. (2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…， 猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，a 1＝13，等式成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)， 那么当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S n n (2n －1)， 得a k ＝S k k (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)， 所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1. S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1， 因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k 2k ＋1， 所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1]. 所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②可知，命题对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)“归纳—猜想—证明”的解题步骤(2)归纳法的作用归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径．跟踪训练3 设a >0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝aa ＋1， a 3＝f (a 2)＝f (a a ＋1)＝a ·a a ＋1a ＋a a ＋1＝a a ＋2， a 4＝f (a 3)＝f (a a ＋2)＝a ·a a ＋2a ＋a a ＋2＝a a ＋3， 猜想a n ＝a a ＋(n －1)(n ∈N *)． (2)①易知当n ＝1时，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝a a ＋(k －1). 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a ×a a ＋(k －1)a ＋a a ＋(k －1)＝a a ＋(k －1)＋1＝a a ＋k＝a a ＋[(k ＋1)－1]， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a a ＋(n －1).1．用数学归纳法证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，其初始值n 0为________． 答案 32．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为________．答案 12，14，14解析 令n 等于1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c ，解得a ＝12，b ＝c ＝14. 3．用数学归纳法证明“凸n (n ≥3，n ∈N *)边形的内角和公式”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的是________．答案 180°解析 凸n 边形内角和为180°×(n －2)，则180°×(k ＋1－2)－180°×(k －2)＝180°.4．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________________________．答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 采取配凑法，凑出归纳假设k 3＋5k 来，(k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明：当n 是非负整数时，34n ＋2＋52n ＋1能被14整除．证明 ①当n ＝0时，34n ＋2＋52n ＋1＝14，能被14整除．②假设当n ＝k (k ≥0，k ∈N )时，34k ＋2＋52k ＋1能被14整除，则当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋6＋52k ＋3＝81×34k ＋2＋25×52k ＋1＝25×(34k ＋2＋52k ＋1)＋56×34k ＋2.显然25×(34k ＋2＋52k ＋1)是14的倍数，56×34k ＋2也是14的倍数，故34k ＋6＋52k ＋3是14的倍数，即当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1能被14整除．综合①②知，当n 是非负整数时，34n ＋2＋52n ＋1能被14整除．1．在证明整除问题时，有些命题可能仅当n 是偶数(或奇数)时成立，证明时可适当地转化k ，使k 成为全体自然数的形式．如：证明x n ＋y n 能被x ＋y 整除，n 为正奇数，证明时需将问题转化为证明x 2k －1＋y 2k －1能被x ＋y 整除，k ∈N *.2．几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜想出一般结论．3．利用“归纳——猜想——证明”来研究探究性问题，一般从最特殊的情况入手，通过分析、归纳、猜想，从而达到探索一般规律的目的．课时作业一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝1且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________________，猜想S n ＝________.答案 32，74，158 2n －12n －1 解析 S 1＝1,2S n ＋1＝S n ＋2S 1，当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2＝3，S 2＝32. 当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2，S 3＝74. 当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2，S 4＝158. 猜想S n ＝2n －12n －1. 2．设n ∈N *，f (n )＝5n ＋2·3n －1＋1，通过计算n ＝1,2,3,4时f (n )的值，可以猜想f (n )能被数值________整除．答案 83．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n ＝________.答案 3解析 凸n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验n ＝3.4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________________________________．答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)25．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72.观察上述结果，可得出的一般结论为________．答案 f (2n )≥n ＋22解析 由f (2)＝32，f (22)＝42，f (23)＝52， f (24)＝62，f (25)＝72， 可推测出f (2n)≥n ＋22. 6．用数学归纳法证明33n ＋2－8n －9是64的倍数(n ∈N *)时，归纳假设可以用等式表示为________．答案 假设n ＝k 时，命题成立，即33k ＋2－8k －9＝64M (M ∈N *，k ∈N *) 7．平面内原有k 条直线，它们的交点个数为f (k )，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为________．答案 f (k )＋k解析 设增加的直线为l k ＋1，它最多与前k 条直线有k 个交点．8．在应用数学归纳法证明正n 棱柱的顶点个数f (n )＝2n 时，第一步验证n ＝________. 答案 39．用数学归纳法证明x n －y n 能被x ＋y 整除(n 为正奇数)时，假设n ＝k (k 为正奇数)时，命题成立，再证n ＝______时，命题也成立．答案 k ＋210．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝______________. 答案 13n ＋13n ＋1＋13n ＋2二、解答题11．已知f (n )＝(2n ＋7)×3n ＋9(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (n )能被36整除．证明 ①当n ＝1时，f (1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝(2k ＋7)×3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ＋1＋2×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ×3＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k ＋9]－27＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k ＋9]＋18(3k －1－1)．由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除，即当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除． 根据①和②，可知对一切正整数n ，都有f (n )＝(2n ＋7)×3n ＋9能被36整除．12．设a n ＝1＋12＋13＋ (1)(n ∈N *)，是否存在关于n 的整式q (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q (n )·(a n －1)对于大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论．解 假设q (n )存在，探索q (n )．当n ＝2时，由a 1＝q (2)(a 2－1)，即1＝q (2)(1＋12－1)，得q (2)＝2. 当n ＝3时，由a 1＋a 2＝q (3)(a 3－1)，即1＋(1＋12)＝q (3)(1＋12＋13－1)，得q (3)＝3. 当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝q (4)(a 4－1)，即1＋(1＋12)＋(1＋12＋13)＝q (4)(1＋12＋13＋14－1)，得q (4)＝4. 由此猜想q (n )＝n (n ≥2，n ∈N *)．下面用数学归纳法证明当n ≥2且n ∈N *时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立．①当n ＝2时，左边＝a 1＝1，右边＝2(a 2－1)＝2×12＝1，结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时结论成立，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k ·(a k －1)，则当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＋a k＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k＝(k＋1)a k－(k＋1)＋1＝(k＋1)(a k＋1k＋1－1)＝(k＋1)(a k＋1－1)，所以当n＝k＋1时结论也成立．由①②可知，对于大于1的一切正整数n，都存在q(n)＝n使得等式a1＋a2＋a3＋…＋a n－1＝q(n)(a n－1)成立．13．用数学归纳法证明f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1对任意正整数n，都能被17整除．证明①当n＝1时，f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1)＝17×3×52k＋1＋8×f(k)．由归纳假设，f(k)能被17整数，17×3×52k＋1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除．由①和②可知，对任意n∈N*，f(n)都能被17整除．三、探究与拓展14．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证明当n＝k＋1时的情况，只需展开________．答案(k＋3)3解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k 3即可．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式；(2)证明你的猜想，并求出a n 的表达式．(1)解 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，∴S n ＝n 2(S n －S n －1)．∴S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2)， ∵a 1＝1，∴S 1＝a 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85， 猜想S n ＝2n n ＋1. (2)证明 ①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， ∴a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)， ∴S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1， ∴n ＝k ＋1时等式也成立．∴根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又∵a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，∴a n ＝2n (n ＋1).。
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2.3《数学归纳法》导学案（2）
学习目标
1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力；
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；
3．抽象思维和概括能力进一步得到提高。
学习重点、难点
重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。
难点：
1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；
2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
学习过程
一、复习回顾
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;
（2） （归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时
命题也成立 。
--------------数学归纳法
二、例题剖析：
例题1、用数学归纳法证明：3n 5()n n N ++∈能被6整除
证明：
特别提示：数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一
定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件。
例2 已知数列 1111,,,,,1×44×77×10(3n -2)(3n +1)
计算1234S ,S ,S ,S ，根据计算的结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明。
解：
例3、是否存在常数a b 、，使得等式22
2212n 1335
(2n-1)(21)2
an n n bn ++++=⋅⋅⋅++对一切正整数n 都成立，并证明你的结论。
点拨：对这种类型的题目,一般先利用n 的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n 都成立。
解：
例4 比较2n与n2 (n∈N*)的大小
三、课堂练习：
练习1、用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N*)
练习2．下面是某同学用数学归纳法证明命题
111
1223(1)1
n
n n n
+++=
•••++
的过程。
你认为他的证法正确吗?为什么?
四、课堂小结：
①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；
②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；
③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；
④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。
1、数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题
2、数学归纳法的核心：在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。
3、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确首取值n0并验证真假。
（必不可少）
②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。
③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。
弄清左端应增加的项。
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，用上假设。