中考数学培优易错试卷(含解析)之圆的综合含答案解析

∴ OE = OP ， OE = t ，∴ OE= OB BC 2 5 2
5 t．
∵ OE+BE=OB=2 5， 5 t+ 5 t=2 5 ． 5
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解得：t= 5 ，∴ OP= 5 ，OE= 5 5 ，∴ PE=
3
3
3
OE2
OP2
10
=
3
，
∴ 点 E 的坐标为（ 5 ，10 ）． 33
③当∠ DBE=90°时，如图 4． 此时 PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．
∴ AP= 3 OA= 3 ，OP=2OA=2，
∴ OP=2OC，
而 S△ OPA= 1 ×1× 3 ， 2
∴ S△ AOC= 1 S△ PAO= 3 ，
2
4
∴ S△ ACP= 3 3 ， 4
∴ 四边形 ACBP 的面积=2S△ ACP= 3 3 ． 2
点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质 是解题的关键．
m=4+2 5 ，∴ x+y 的最大值为 4+2 5 ．故答案为：4+2 5 ．
∵ GF⊥OA，BD⊥OA，∴ GF∥ BD，∴ △ AFG∽ △ ADB，
∴ AF = GF = AG = 1 ，∴ AF= 1 AD=2，GF= 1 BD=2，∴ OF=4，
AD BD AB 2
2
2
∴ OG= OF 2 GF 2 = 42 22 =2 5 ．
同理可得：OB=2
5 ，AB=4
2
（3+ 5 ，1+ 5 ），代入直线 y=﹣x+m，可得 m=4+2 5 ，即可得出 x+y 的最大值为 4+2 5 ．
详解：（1）6； （2）由题可得，点 C 在以 AB 为直径的⊙D 上运动，点 C 坐标为（x，y），可构造新的函 数 x+y=m，则函数与 y 轴交点最高处即为 x+y 的最大值，此时，直线 y=﹣x+m 与⊙D 相 切，交 x 轴与 E，如图所示，连接 OD，CD．
MN=MB=MD=r．在 Rt△ BHD 中运用勾股定理可求出 r=2，从而得到点 D 与点 H 重合．易证
△ AFG∽ △ ADB，从而可求出 AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设 OR=x，利用 BR2=OB2﹣
OR2=BG2﹣RG2 可求出 x，进而可求出 BR．在 Rt△ ORB 中运用三角函数就可解决问题．
5
5
5
5
在
Rt△
ORB
中，sin∠
BOR=
BR OB
=
65 5
3
=
5
．
25
故答案为 3 ． 5
（3）①当∠ BDE=90°时，点 D 在直线 PE 上，如图 2．
此时 DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t． 则有 2t=2．
解得：t=1．则 OP=CD=DB=1．
∵ DE∥ OC，∴ △ BDE∽ △ BCO，∴ DE = BD = 1 ，∴ DE=2，∴ EP=2， OC BC 2
∵ sinA= 3 ，∴ CB 3 , 5 AB 5
∵ BC=6，∴ AB=10,
∵ BD=BC=6,
∴ AD=AB-BD=4,
∵ sinA= 3 ，∴ cosA= 4 ，
5
5
∴ OA=5，∴ OD=3，
即⊙O 的半径为：3.
（3）如图：连接 OB，交⊙O 为点 E、F，
由三角形的三边关系可知： 当 P 点与 E 点重合时，PB 取最小值. 由（2）可知：OD=3，DB=6,
MN、DG，如图 1（2）．
由（1）得：OH=2，BH=4． ∵ OC 与⊙M 相切于 N，∴ MN⊥OC． 设圆的半径为 r，则 MN=MB=MD=r． ∵ BC⊥OC，OA⊥OC，∴ BC∥ MN∥ OA．
∵ BM=DM，∴ CN=ON，∴ MN= 1 （BC+OD），∴ OD=2r﹣2， 2
（2）若 BC=6，sinA= 3 ，求⊙O 的半径； 5
（3）在（2）的条件下，P 点在⊙O 上为一动点，求 BP 的最大值与最小值.
【答案】（1）连 OD，证明略；（2）半径为 3；（3）最大值 3 5 +3 ，3 5 -3.
【解析】
分析：（1）连接 OD，OB，证明△ ODB≌ △ OCB 即可.
则有 OD=PE，EA= PE2 PA2 = 2 （6﹣t）=6 2 ﹣ 2?t，
∴ BE=BA﹣EA=4 2 ﹣（6 2 ﹣ 2 t）= 2 t﹣2 2 ．
∵ PE∥ OD，OD=PE，∠ DOP=90°，∴ 四边形 ODEP 是矩形， ∴ DE=OP=t，DE∥ OP，∴ ∠ BED=∠ BAO=45°．
∴ DH= OD OH = 2r 4 ．
在 Rt△ BHD 中，∵ ∠ BHD=90°，∴ BD2=BH2+DH2，∴ （2r）2=42+（2r﹣4）2．
解得：r=2，∴ DH=0，即点 D 与点 H 重合，∴ BD⊥0A，BD=AD．
∵ BD 是⊙M 的直径，∴ ∠ BGD=90°，即 DG⊥AB，∴ BG=AG．
点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定 义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数
学思想，有一定的综合性．
2．如图，已知 Rt△ ABC 中，C=90°，O 在 AC 上，以 OC 为半径作⊙O，切 AB 于 D 点，且 BC=BD． （1）求证：AB 为⊙O 的切线；
∵ A（6，0）、B（0，2），∴ D（3，1），∴ OD= 12 32 = 10 ，∴ CD= 10 ． 根据 CD⊥EF 可得，C、D 之间水平方向的距离为 5 ，铅垂方向的距离为 5 ，∴ C （3+ 5 ，1+ 5 ），代入直线 y=﹣x+m，可得：1+ 5 =﹣（3+ 5 ）+m，解得：
【答案】（1）6（2）4+2 5
【解析】 分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论； （2）根据以 AB 为斜边在右上方作 Rt△ ABC，可知点 C 在以 AB 为直径的⊙D 上运动，根据 点 C 坐标为（x，y），可构造新的函数 x+y=m，则函数与 y 轴交点最高处即为 x+y 的最大 值，此时，直线 y=﹣x+m 与⊙D 相切，再根据圆心点 D 的坐标，可得 C 的坐标为
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图 1，直角梯形 OABC 中，BC∥ OA，OA=6，BC=2，∠ BAO=45°．
（1）OC 的长为 ；
（2）D 是 OA 上一点，以 BD 为直径作⊙M，⊙M 交 AB 于点 Q．当⊙M 与 y 轴相切时，
sin∠ BOQ= ；
（3）如图 2，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 O 沿线段 OA 向点 A 运动；同时动
（3）由于△ BDE 的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠ BDE=90°，
②∠ BED=90°，③∠ DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立
关于 t 的方程就可解决问题．
详解：（1）过点 B 作 BH⊥OA 于 H，如图 1（1），则有∠ BHA=90°=∠ COA，∴ OC∥ BH．
∴ OB= 32 62 3 5 . ∴ PB=OB-OE= 3 5 3 .
当 P 点与 F 点重合时，PB 去最大值，
PB=OP+OB=3+ 3 5 .
点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、 全等三角形判定与性质的理解.
3．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，∠ APB=60°，连接 PO 并延长与⊙O 交于 C 点，连接 AC、BC． （Ⅰ）求∠ ACB 的大小； （Ⅱ）若⊙O 半径为 1，求四边形 ACBP 的面积．
在 Rt△ DBE 中，cos∠ BED= BE = DE
2 ，∴ DE= 2
2 BE，
∴ t= （2 2 t﹣2 2 ）=2t﹣4．
解得：t=4，∴ OP=4，PE=6﹣4=2，∴ 点 E 的坐标为（4，2）．
综上所述：当以 B、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时点 E 的坐标为（1，2）、
（ 5 ，10 ）、（4，2）． 33
∴ 点 E 的坐标为（1，2）．
②当∠ BED=90°时，如图 3．
∵ ∠ DBE=OBC，∠ DEB=∠ BCO=90°，∴ △ DBE∽ △ OBC，
∴ BE = DB ， BE = t ，∴ BE= 5 t．
BC OB 2 2 5
5
∵ PE∥ OC，∴ ∠ OEP=∠ BOC．
∵ ∠ OPE=∠ BCO=90°，∴ △ OPE∽ △ BCO，
【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ） 3 3 2
【解析】 分析：（Ⅰ）连接 AO，根据切线的性质和切线长定理，得到 OA⊥AP，OP 平分∠ APB，然 后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ ACB 的 度数； （Ⅱ）根据 30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角 形的面积即可． 详解：（Ⅰ）连接 OA，如图，
，∴
BG=
1 2
AB=2
2．
设 OR=x，则 RG=2 5 ﹣x．
∵ BR⊥OG，∴ ∠ BRO=∠ BRG=90°，∴ BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2，
∴ （2 5 ）2﹣x2=（2 2 ）2﹣（2 5 ﹣x）2．
解得：x= 8 5 ，∴ BR2=OB2﹣OR2=（2 5 ）2﹣（ 8 5 ）2= 36 ，∴ BR= 6 5 ．
点 D 以相同的速度，从点 B 沿折线 B﹣C﹣O 向点 O 运动．当点 P 到达点 A 时，两点同时
停止运动．过点 P 作直线 PE∥ OC，与折线 O﹣B﹣A 交于点 E．设点 P 运动的时间为 t
（秒）．求当以 B、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时点 E 的坐标．
【答案】（1）4；（2） 3 ；（3）点 E 的坐标为（1，2）、（ 5 ， 10 ）、（4，2）．
4．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。 （1）如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别为 A（6，0）、B（0，2）， 点 C（x，y）在线段 AB 上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量 x、 y，若最大值存在，设最大值为 m，则有函数关系式 y=-x+m，由一次函数的图像可知，当 该直线与 y 轴交点最高时，就是 m 的最大值，（x+y）的最大值为 ； （2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题： 如图 2，以（1）中的 AB 为斜边在右上方作 Rt△ ABM.设点 M 坐标为（x，y），求（x+y） 的最大值是多少？
∵ PA、PB 是⊙O 的切线， ∴ OA⊥AP，OP 平分∠ APB，
∴ ∠ APO= 1 ∠ APB=30°， 2
∴ ∠ AOP=60°， ∵ OA=OC， ∴ ∠ OAC=∠ OCA，
∴ ∠ ACO= 1 AOP=30°， 2
同理可得∠ BCP=30°， ∴ ∠ ACB=60°； （Ⅱ）在 Rt△ OPA 中，∵ ∠ APO=30°，
5
33
【解析】
分析：（1）过点 B 作 BH⊥OA 于 H，如图 1（1），易证四边形 OCBH 是矩形，从而有
OC=BH，只需在△ AHB 中运用三角函数求出 BH 即可．
（2）过点 B 作 BH⊥OA 于 H，过点 G 作 GF⊥OA 于 F，过点 B 作 BR⊥OG 于 R，连接
MN、DG，如图 1（2），则有 OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为 r，则
∵ BC∥ OA，∴ 四边形 OCBH 是矩形，∴ OC=BH，BC=OH．
∵ OA=6，BC=2，∴ AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．
∵ ∠ BHA=90°，∠ BAO=45°，
∴ tan∠ BAH= BH =1，∴ BH=HA=4，∴ OC=BH=4． HA
故答案为 4．
（2）过点 B 作 BH⊥OA 于 H，过点 G 作 GF⊥OA 于 F，过点 B 作 BR⊥OG 于 R，连接
（2）由 sinA= 3 且 BC=6 可知，AB=10 且 cosA= 4 ，然后求出 OD 的长度即可.
5
5
（3）由三角形的三边关系，可知当连接 OB 交⊙O 于点 E、F，当点 P 分别于点 E、F 重合
时，BP 分别取最小值和最大值.
详解：（1）如图：连接 OD、OB.
在△ ODB 和△ OCB 中： OD=OC,OB=OB,BC=BD; ∴ △ ODB≌ △ OCB（SSS）. ∴ ∠ ODB=∠ C=90°. ∴ AB 为⊙O 的切线. （2）如图：