电路分析基础第10章 含有耦合电感的电路

1
M2
2
i1
i2
L1
L2
增强型
L1
L2 削弱型
1’ 1
i1
L1
2’
M3 2 i2
1’ 1
i1
L2
增强型
L1
2’
M4
2
i2
L2 削弱型
1’
2’
1’
2’
四、互感电压
如果两个耦合的电感L1和L2中有变动的电流， 各电感中的磁通链将随电流变动而变动。设L1和 L2的电压和电流分别为u1、i1和u2、i2，且都取关 联参考方向，则有：
u
u1 M R2 u2
L2
R1 L1-M
u1
R2
u
L2-M
u2
u

u1

u2

(R1

R2 )i

(L1

L2

2M
)
di dt
R1 L1-M
u1
u
R2 L2-M u2
u

u1

u2

(R1

R2 )i

(L1

L2

2M
)
di dt
对正弦稳态电路，可采用相量形式表示为




U 1 [R1 j(L1 M )]I U 2 [R2 j(L2 M )]I
反之取 “-”号。
L1
M
i1
L2 u21
u21

M
di1 dt
M
u12
i2
u12

M
di2 dt
五、互感电压的等效受控源表示法
当施感电流为同频正弦量时，在正弦稳态情况下，
电压、电流方程可用相量形式表示:



U1 jL1 I1 jM I2



U2 jM I1 jL2 I2
反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入 阻抗都比无互感时的阻抗小（电抗变小），这是由于 互感的削弱作用，它类似于串联电容的作用，常称为 互感的“容性”效应。
2、顺向串联
每一耦合电感支路的阻抗为：
u
Z1 R1 j(L1 M ) Z2 R2 j(L2 M )
而
Z Z1 Z2

Z M Y11 U1
Z 22

Z
2 M
Y11

I2

0得到此含源一端口在端子2-2‘的开路电压

jMY11 U1
戴维宁等效阻抗 Zeq=R2 + jωL2 + (ωM)2Y11

(ωM)2Y11 I2 2
+

RL
jMY11 U1
-
2‘
jXL
§10.4 理想变压器
一、理想变压器的电路模型
1、电路模型
同名端示意图：
1
2
1
1’
1
2’
2
1’ 1
2
2’ 2
1’
2’
1’
2’
电流从同名端流进（或流出）各自的线圈时，
互感起增助作用。
2、同名端
对两个有耦合的线圈各取一个端子，并用相同 的符号标记，这一对端子称为“同名端”。 条件:当一对施感电流从同名端流进（或流出）各自的 线圈时，互感起增助作用。
L1
N1
2 +
耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁
通链两部分的代数和，
如线圈1 和2 中的磁通链分别为1和 2 则有 1 11 12
2 21 22
二、互感系数
当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种
磁通链都与产生它的施感电流成正比，
即有自感磁通链： 11 L1i1 22 L2i2
i1
i2
n:1
u1
N1
N2
u2
2、原、副边电压和电流的关系
i1
i2
n:1
u1
N1
N2
u2
u1 u2 N1 N2
N1 i1 + N2 i2 = 0
或 u1

N1 N2
u2

nu2
或
i1


N2 N1
i2


1 n
i2
上式是根据图中所示参考方向和同名端列出的。
n = N1 / N2，称为理想变压器的变比。


ZM Z 22

I1



I1

Z11
U1

Z
2 M
Y22

Z11
U1
(M )2Y22


I2

Z M Y11 U1
Z 22

Z
2 M
Y11



I1
U1
Z11

Z
2 M
Y22

U1
Z11 (M )2Y22


I2

Z M Y11 U1
Z 22

Z
2 M
Y11
第一个式子中的分母 Z11 (M )2Y22 是原边的输入阻抗
其中 (M )2Y22 称为引入阻抗，
它是副边的回路阻抗通过互感反映到原边的等效阻抗。
引入阻抗的性质与Z22相反，即感性（容性）变为容性 （感性）。
原边等效电路
百度文库

I1

Z11

U1
(M
) 2 Y22

I1
Z11
+

- U1
(M )2Y22
4、从副边看进去的含源一端口的一种等效电路


I2
L2 N2
11
21
i1
1‘
*
i1
1
2‘ _
* i2
u21
2 +
L1
N1
L2 N2
11
21
i1
1’
*
i1
1
2’ _
* i2
u21
2 +
1
i1 M
i2 2
u1
L1
L2 u2
ψ1= L1 i1 + M i2 ψ2= M i1 + L2 i2
1’
2’
同名端的增加和削弱型的判断:
1 i1
M1
2
i2
2、异侧并联

I3
1 jM


I1
I2

jL1 jL2
U
R1
R2
1

I3 -jωM

I1
jω(L1+M) U
R1

I2
jω(L2+M)
R2
0
0
去耦等效电路(无互感的等效电路)
同(异)名端为共端的T型去耦等效
i1
M
i2
+
**
+
u
L1
L2 u
–
–

I1
j(L1－M)

I2
j(L2－M) jM
j6Ω
j12.5Ω 5Ω

U
-
当开关闭合时,如何处理?
计算AB两点间的电压
- j6Ω
A
3Ω B
B

I
j13.5Ω
+
j18.5Ω

U
5Ω -
K j7.5Ω 3Ω

I
+
j12.5Ω j6Ω

U
两个耦合电感相当于异侧并联
利用去耦法，原电路等效为
5Ω -
- j6Ω 3Ω
j13.5Ω
I
+
j18.5Ω

U
每一条耦合电感支路的阻抗分别为：
Z1 R1 j(L1 M )
Z2 R2 j(L2 M )
电路的输入阻抗:
Z Z1 Z2 R1 R2 j(L1 L2 2M )
R1 L1-M
u1
u
R2 L2-M u2
Z Z1 Z2 R1 R2 j(L1 L2 2M )
2 21 22
= ± M i1 +L2i2
上式表明，耦合线圈中的磁通链与施感电流 成线性关系，是各施感电流独立产生的磁通链叠加 的结果。
三、同名端
1、同名端的引入
ψ1 = L1i1± M i2
ψ2 = ± M i1 +L2i2 M前的符号是说明磁耦合中，互感作用的两种可能性。 “+”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，称为互 感的“增助”作用； “-”号则相反，表示互感的“削弱”作用。 为了便于反映“增助”或“削弱”作用和简化图形表示， 采用同名端标记方法。


U [R1 R2 j(L1 L2 2M )]I
R1 L1-M
u1
u
R2 L2-M u2


U [R1 R2 j(L1 L2 2M )]I

电流 I 为


I
U
R1 R2 j (L1 L2 2M )
R1 L1-M
u
u1 R2 L2-M u2
3、原边等效电路


I1 1
2 I2
R1
R2
+ RL


U1
U2
jL1
jL2
_ jXL
1‘ jM
2`
令Z11 = R1+jωL1，称为原边回路阻抗
Z22 = R2+jωL2+RL+jωXL，称为副边回路阻抗
ZM = jωM
Y11= 1/Z11
Y22= 1/Z22
Z11 = R1+jωL1
Z22 = R2+jωL2+RL+jωXL

I 7.79 / -51.50°A
5Ω -
§10.3 空心变压器(不讲)
一、变压器的结构
变压器是电工、电子技术中常用的电气设备，它 是由两个耦合线圈绕在一个共同的心子上制成。 1、原边回路（或初级回路） 一个线圈作为输入，接入电源后形成的一个回路。 2、副边回路（或次级回路） 另一线圈作为输出，接入负载后形成另一个回路。 3、心子 空心变压器的心子是非铁磁材料制成的。
R1 R2 j(L1 L2 2M )
R1
L1
u1 M R2 u2
L2
二、并联
关键:找3条支路的节点
1、同侧并联

I3
1 jM


I1
I2

jL1 jL2
U
R1
R2
1

× I3 jωM 1

I1
jω(L1-M)
U
R1

I2
jω(L2-M)
R2
0
0
去耦等效电路(无互感的等效电路)
互感磁通链
12 M12i2 21 M 21i1
上式中M12和M21称为互感系数，简称互感。
互感用符号M表示，单位为:亨利H。
由于互感具有互易性质，即M12= M21 ，
当只有两个线圈耦合时，可略去下标，统一使用M。
两个耦合线圈的磁通链可表示为：
1 11 12
= L1i1± M i2
线圈彼此耦合的情况:
线圈1中的电流i1产生自感磁通链ψ11和互感 磁通链ψ21, 同样线圈2中的电流i2也产生自感磁通 链ψ22和互感磁通链ψ12 （图中未标出）.
L1
N1
L2 N2
11
21
i1
i1
i2
1‘
1 2‘ _
u21
2 +
L1
N1
L2 N2
11
21
i1
i1
i2
1‘
1 2‘ _
u21
u21

M
di1 dt
说明 u12是变动电流i2在L1中产生的互感电压，
u21是变动电流i1在L2中产生的互感电压。
所以耦合电感的电压是自感电压和互感电压叠
加的结果。
互感电压前的“+”或“-”号的正确选取是写出
耦合电感端电压的关键.
选取原则可简明地表述如下：
如果互感电压 “+”极性端子与产生它的电流 流进的端子为一对同名端，互感电压前应取 “+ ”号，
二、空心变压器的电路模型
1、电路模型
负载设为电阻和电感串联。

I1 1

2 I2
R1
R2
+ RL


U1
U2
jL1
jL2
_ jXL
1‘ jM
2`
2、电路方程



U1 + (R1 jL1) I1 + jM I2


jM I1 (R2 jL2 RL jX L ) I2 0
jL1

jM I2
jL2

jM I1


I1
U1


I2
U2
六、耦合系数
工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合 紧疏程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的 比值的几何平均值定义为耦合因数，记为k
def
k
|12 | | 21 |
11 22
def M
k
1
L1L2
k的大小与两个线圈的结构、相互位置以及周 围磁介质有关。改变或调整它们的相互位置有可能 改变耦合因数的大小。
关键:找3条支路的节点
例：电压U=50V，求当开关K打开和闭合时的电流。
K j7.5Ω 3Ω

I
+
j6Ω
j12.5Ω 5Ω

U
-
解：当开关打开时
两个耦合电感是顺向串联


I
U
=1.52 / -75.96°A
R1 R2 j (L1 L2 2M )
K
A j7.5Ω 3Ω B

I
+
L2 N2
11
21
i1
1’
L1为载流线圈
i1
1 2’ _
u21
2 +
i1为施感电流
L1
N1
L2 N2
11
21
i1
1‘
1、自感磁通链
i1
1 2‘ _
i2
u21
2 +
线圈1中的电流产生的磁通在穿越自身的线圈时，
所产生的磁通链。
设为11
2、互感磁通链 设为 21 11 中的一部分或全部交链线圈2时产生的磁通链。
变压器应用举例
发电厂 1.05万伏
升压
输电线 22万伏
降压
变电站 1万伏
降压
…
实验室
仪器
380 / 220伏
36伏
降压
降压
二、理想变压器的功率
将理想变压器的两个方程相乘
u1 u2 N1 N2
u1

d1
dt

L1
di1 dt
M
di2 dt
u2

d 2
dt
M
di1 dt
L2
di2 dt
令自感电压
u11

L1
di1 dt
u22

L2
di2 dt
互感电压
u12

M
di2 dt
u21

M
di1 dt
自感电压
u11

L1
di1 dt
u22

L2
di2 dt
互感电压
u12

M
di2 dt
第十章 含有耦合电感的电路
§10.1 互感 §10.2 含有耦合电感电路的计算** §10.3 空心变压器 §10.4 理想变压器
电感元件的电压和电流关系
L
N

i1
i1
-e +
-u+
e N d dt
u = -e N d L di
dt
dt
§10.1 互感
一、互感(互感系数)
L1
N1
ZM = jωMY11= 1/Z11 Y22= 1/Z22





U1 + (R1 jL1) I1 + jM I2 Z11 I1 ZM I2


jM I1 (R2 jL2 RL jX L ) I2 0

jM

I2 R2 jL2 RL jX L I1
§10.2 含有耦合电感电路的计算
一、两个互感线圈的串联
1、反向串联 R1 L1
u1

R1i
(L1
di dt

M
di ) dt
u
u1 M R2
u2

R1i

( L1

M
)
di dt
u2

R2i (L2
di dt

M
di ) dt
L2

R2i

( L2

M
)
di dt
无互感等效电路
R1
L1