电路分析基础第10章 含有耦合电感的电路
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电路分析基础第五版第10章
二、互感消去法(等效去耦法)
消去互感，变为无互感的电路计算，从而简化 电路的计算。
1、受控源替代去耦法
jM
I1
I2
+ +
U1
jL1
jL2
U2
I1
+
jL1
U1
jM I 2
I2
+
jL2
U
2
jM I 1
U1 jL1 I1 jMI2
U2 jL2 I2 jMI1
d2i dt
i 2 u 2
2
相量形式：
1
i1
U1 jL1 I1 jMI2
u1
U2 jL2 I2 jMI1
注意：
i 2 u 2
2
•互感元件的自感恒为正；
•互感元件的互感有正有负，与线圈的具体绕法及 两线圈的相互位置有关。
当每个电感元件中的自感磁链与互感磁链是互相 加强时(自感磁链与互感磁链同向)，互感为正； 反之为负。（说法不同，正确理解）
+
U
L反L1L22M
等效电感不能为负值，
因此：L反0, M12(L1L2)
3、并联耦合电感的去耦等效
(1)同侧并联：同名端分别相联。
I
+
jM
U
jL1
jL2
I +
U
j L同
L同
L1L2 M2 L1 L2 2M
因为 L同 0 所以 L1L2M20
电路第十章含有耦合电感的电路
则，自感磁通和互感磁通方感向磁通方向相反，故1，3端
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
《电路理论教学课件》第10章 含有耦合电感的电路
L2
2M
) di dt
Ri
L di dt
R R1 R2
L L1 L2 2M
L L1 L2 2M 0
M
1 2
( L1
L2
)
互感不大于两个自感的算术平均值。
在正弦激励下：反串
•
- jM I
•
j M
I R1 • j L1 R2
+
•
U1
+
消互感
–+ •
U
j L2 •
•
U2
–
–
•
U
•
•
Lc = －M La =L1 ＋ M Lb = L2 ＋ M
j La
•
U
R1
–
I2
j Lb R2
三、一般分析法(采用支路法、回路法直接列方程) 支路法、回路法：因为互感电压可以直接计入KVL方程中。
含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。 关键：正确考虑互感电压作用（要注意正负号，不要漏项。）
例 10-3. I1
4
* 全耦合 M L1L2
L L1 L2 2M L1 L2 2 L1 L2 ( L1 L2 )2
当 L1=L2 时 , M=L
4M L=
0
顺接 反接
二、互感线圈的并联
a. 同侧并联
•
•
•
U （R1 jL1）I 1 jM I 2
•
•
•
U （R2 jL2）I 2 jM I 1
已知：R1=3， R2=5
L1 7.5, L2 12.5, M 6
R1
求K闭合后各支路电流
U 500
jM
I2
第10章含有耦合电感的电路
2019年6月23日星期日
1
2
结
i1
L1 L2
i2
1'
2'
1 、2 是同名端
1'、2' 也是同名端
1 i1
i2 2
+ M+
u1
-
L1
1'
L2
u2
-
2'
14
两个线圈分别施加电流 i1、i2 (均>0)， 1 i1
若产生的磁通方向相 同，则i1、i2的
流入端为同名端。
1'
结
L1
当有两个以上的电感彼此耦合时，同 2 i2
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起
增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相
反，互感起削弱作用。
2019年6月23日星期日
11
3. 同名端的概念及其判断方法！
通过线圈的绕向、 位置和施感电流的
F12
参考方向，用右手
螺旋法则，就可以 F11 判定互感是“增助”
还是“削弱” 。
但实际的互感线圈 往往是封闭的，看 不出绕向；
则
u11 =
dY11
dt
=
L1
di1 dt
以上是熟悉的情况。
2019年6月23日星期日
8
两个线圈的情况 若L1邻近有一线圈L2，则F11的
一部分会穿过L2。
F21称为互感磁通。
F12
L1
N1
磁通链为Y21。
结
L2 N2 F21
同理：
F11
i2通过L2时也产生
磁通F22 ，F22的一
部分F12也穿过L2。
F11 =F21+F1s
1
2
结
i1
L1 L2
i2
1'
2'
1 、2 是同名端
1'、2' 也是同名端
1 i1
i2 2
+ M+
u1
-
L1
1'
L2
u2
-
2'
14
两个线圈分别施加电流 i1、i2 (均>0)， 1 i1
若产生的磁通方向相 同，则i1、i2的
流入端为同名端。
1'
结
L1
当有两个以上的电感彼此耦合时，同 2 i2
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起
增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相
反，互感起削弱作用。
2019年6月23日星期日
11
3. 同名端的概念及其判断方法！
通过线圈的绕向、 位置和施感电流的
F12
参考方向，用右手
螺旋法则，就可以 F11 判定互感是“增助”
还是“削弱” 。
但实际的互感线圈 往往是封闭的，看 不出绕向；
则
u11 =
dY11
dt
=
L1
di1 dt
以上是熟悉的情况。
2019年6月23日星期日
8
两个线圈的情况 若L1邻近有一线圈L2，则F11的
一部分会穿过L2。
F21称为互感磁通。
F12
L1
N1
磁通链为Y21。
结
L2 N2 F21
同理：
F11
i2通过L2时也产生
磁通F22 ，F22的一
部分F12也穿过L2。
F11 =F21+F1s
10第十章 含有耦合电感的电路PPT课件
1212111222LM 1i121i1M 1L2i22i2
图10－1(b)
对于图10－l(b)所示的情况有：
11112L1i1M12i2 22122M21i1L2i2
式中11、22表示电流在本身线圈形成的磁链，称为 自感磁链。12、21表示另一个线圈中电流产生的磁场在
本线圈中形成的磁链，称为互感磁链。也就是说每个线圈
根据以上叙述，定义一种称为耦合电感的双口电路元 件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d
i2
d t
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
中的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。
当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随 时间变化，将在线圈中产生感应电动势。
图(a)
对于图(a)的情况，根据电磁感应定律可以得到：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
L1
di1 dt
Mdi2 dt
u2
d2
dt
d21
dt
d22
dt
Mdi1 dt
L2
最后得到图(a)单口网络的等效电路为5电阻与10H电
感的串联。
§ 10.3 耦合电感的功率
当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的 磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过 变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从 耦合电感一边传输到另一边。
图10－1(b)
对于图10－l(b)所示的情况有：
11112L1i1M12i2 22122M21i1L2i2
式中11、22表示电流在本身线圈形成的磁链，称为 自感磁链。12、21表示另一个线圈中电流产生的磁场在
本线圈中形成的磁链，称为互感磁链。也就是说每个线圈
根据以上叙述，定义一种称为耦合电感的双口电路元 件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d
i2
d t
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
中的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。
当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随 时间变化，将在线圈中产生感应电动势。
图(a)
对于图(a)的情况，根据电磁感应定律可以得到：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
L1
di1 dt
Mdi2 dt
u2
d2
dt
d21
dt
d22
dt
Mdi1 dt
L2
最后得到图(a)单口网络的等效电路为5电阻与10H电
感的串联。
§ 10.3 耦合电感的功率
当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的 磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过 变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从 耦合电感一边传输到另一边。
第10章 含有耦合电感的电路 66页 2.1M PPT版
dΨ11 dΦ11 di1 u11 N1 L1 dt dt dt
i1
u11
上式 说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈 上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写 出，可不用考虑线圈绕向。 对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上， 因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在 电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的 概念。
注意：线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法： (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两 个电流产生的磁场相互增强。
例
i
1* 1'
*
2
2'
1 *
1'
2
3 3'
2'*
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将 会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
同名端的实验测定：
当 k=1 称全耦合: 漏磁 s1 =s2=0 即 11= 21 ，22 =12 一般有：
k
M L1 L2
M2 ( Mi 1 )( Mi 2 ) 12 21 1 L1 L2 L1i1 L2 i2 11 22
耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关 利用——变压器：信号、功率传递 互感现象 避免——干扰 克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
R R1 R2
L L1 L2 2 M
M 1 ( L1 L2 ) 2
L L1 L2 2 M 0
互感不大于两个自感的算术平均值。
互感的测量方法：
L顺 L反 顺接一次，反接一次，就可以测出互感： M 4
第十章 含有耦合电感电路
§10.3
二、分析方法
1、方程法分析
空心变压器
在正弦稳态情况下，空心变压器电路的回路方程为：
令
Z11 R1 jL1
Z 22 R2 jL2 Z
称为原边回路阻抗
称为副边回路阻抗
§10.3
则上述方程简写为：
空心变压器
从上列方程可求得原边和副边电流：
§10.3
2、等效电路法分析
，求：原、副边电流 I 1
I2
§10.3
空心变压器
例10-9 全耦合互感电路如图（a）所示，求电路初级端 ab 间的等效阻抗。
例 10 — 9 图 （ a ）
例 10 — 9 图（ b ）
§10.3
空心变压器
例10-10、已知L1=L2=0.1mH , M =0.02mH , R1=10Ω , C1=C2=0.01μF , ω=106rad/s, U s 10 0 V 问：R2=？时能吸收最大功率,并求最大功率。
例 10-3 图（a）
例 10-3 图（b）
§10.2
例10-4
含有耦合电感电路的计算
图（a）为有耦合电感的电路，试列写电路的回路电流方程。
电路的开路电压。
§10.2
含有耦合电感电路的计算
例10-6 图（a）为有互感的电路，若要使负载阻抗 Z 中的电 流 i =0 ，问电源的角频率为多少？
第十章 含有耦合电感电路
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 互感 含有耦合电感电路的计算 空心变压器 理想变压器
§10.1
一、互感
互感
两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图所示，当 线圈1中通电流i1时，不仅在线圈1中产生磁通φ11，同时，有 部分磁通φ21穿过临近的线圈2；同理，若在线圈2中通电流i2 时，不仅在线圈2中产生磁通φ22，同时，有部分磁通φ12穿 过线圈1，φ12和φ21称为互感磁通。
电路第10章---含有耦合电感的电路讲解
§10.1 互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
1. 互感两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22，同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。
定义互磁链：图 10.1ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链：互感磁通链：上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：需要指出的是：１）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。
2. 耦合因数工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义一般有：当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。
耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。
3. 耦合电感上的电压、电流关系当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。
根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。
含有耦合电感的电路计算
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就
不需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考
方向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
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例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
jM
I2
jω(L1
M ) I1
jM
I
U
23
jL2
I2
jM
I1
jω(L2
M
)I2
jM
I
I I1 I2
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②异名端为共端的T型去耦等效
I1 j M
1
jL*1
*
I2
2
jL2
3 I
1 I1
j(L1+M)
I
I2 2 j(L2+M)
U jM I1 (R2 jL2) I 2
–R1R2I I1 I2
U
( R1
jL1 ) I 1
jM
I2
(R1
jL1 )I1
jM (I
I1 )
jMI (R1 j(L1 M ))I1
电路分析基础第10章 含有耦合电感的电路
+
2
线圈彼此耦合的情况:
线圈1中的电流i1产生自感磁通链ψ11和互感 磁通链ψ21, 同样线圈2中的电流i2也产生自感磁通 链ψ22和互感磁通链ψ12 （图中未标出）.
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
+
2
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
22 L2i2
12 M12i2 21 M 21i1 互感磁通链 上式中M12和M21称为互感系数，简称互感。
互感用符号M表示，单位为:亨利H。 由于互感具有互易性质，即M12= M21 ， 当只有两个线圈耦合时，可略去下标，统一使用M。
两个耦合线圈的磁通链可表示为：
1 11 12
d 1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di1 di2 u2 M L2 dt dt dt
令自感电压 互感电压
di1 u11 L1 dt di2 u12 M dt
u 22
di2 L2 dt
di1 u 21 M dt
di2 u 22 L2 自感电压 dt di1 u 21 M 互感电压 dt 说明 u12是变动电流i2在L1中产生的互感电压，
Z1 R1 j ( L1 M )
u
R1 u1
L1
M
R2
u2
L2
Z 2 R2 j ( L2 M )
而
Z Z1 Z 2 R1 R2 j ( L1 L2 2M )
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2 +
耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁
通链两部分的代数和，
如线圈1 和2 中的磁通链分别为1和 2 则有 1 11 12
2 21 22
二、互感系数
当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种
磁通链都与产生它的施感电流成正比，
即有自感磁通链： 11 L1i1 22 L2i2
反之取 “-”号。
L1
M
i1
L2 u21
u21
M
di1 dt
M
u12
i2
u12
M
di2 dt
五、互感电压的等效受控源表示法
当施感电流为同频正弦量时，在正弦稳态情况下，
电压、电流方程可用相量形式表示:
U1 jL1 I1 jM I2
U2 jM I1 jL2 I2
2、异侧并联
I3
1 jM
I1
I2
jL1 jL2
U
R1
R2
1
I3 -jωM
I1
jω(L1+M) U
R1
I2
jω(L2+M)
R2
0
0
去耦等效电路(无互感的等效电路)
同(异)名端为共端的T型去耦等效
i1
M
i2
+
**
+
u
L1
L2 u
–
–
I1
j(L1－M)
I2
j(L2－M) jM
2 21 22
= ± M i1 +L2i2
上式表明，耦合线圈中的磁通链与施感电流 成线性关系，是各施感电流独立产生的磁通链叠加 的结果。
三、同名端
1、同名端的引入
ψ1 = L1i1± M i2
ψ2 = ± M i1 +L2i2 M前的符号是说明磁耦合中，互感作用的两种可能性。 “+”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，称为互 感的“增助”作用； “-”号则相反，表示互感的“削弱”作用。 为了便于反映“增助”或“削弱”作用和简化图形表示， 采用同名端标记方法。
u1
d1
dt
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
d 2
dt
M
di1 dt
L2
di2 dt
令自感电压
u11
L1
di1 dt
u22
L2
di2 dt
互感电压
u12
M
di2 dt
u21
M
di1 dt
自感电压
u11
L1
di1 dt
u22
L2
di2 dt
互感电压
u12
M
di2 dt
jL1
jM I2
jL2
jM I1
I1
U1
I2
U2
六、耦合系数
工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合 紧疏程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的 比值的几何平均值定义为耦合因数，记为k
def
k
|12 | | 21 |
11 22
def M
k
1
L1L2
k的大小与两个线圈的结构、相互位置以及周 围磁介质有关。改变或调整它们的相互位置有可能 改变耦合因数的大小。
每一条耦合电感支路的阻抗分别为：
Z1 R1 j(L1 M )
Z2 R2 j(L2 M )
电路的输入阻抗:
Z Z1 Z2 R1 R2 j(L1 L2 2M )
R1 L1-M
u1
u
R2 L2-M u2
Z Z1 Z2 R1 R2 j(L1 L2 2M )
ZM Z 22
I1
I1
Z11
U1
Z
2 M
Y22
Z11
U1
(M )2Y22
I2
Z M Y11 U1
Z 22
Z
2 M
Y11
I1
U1
Z11
Z
2 M
Y22
U1
Z11 (M )2Y22
I2
Z M Y11 U1
Z 22
Z
2 M
Y11
第一个式子中的分母 Z11 (M )2Y22 是原边的输入阻抗
变压器应用举例
发电厂 1.05万伏
升压
输电线 22万伏
降压
变电站 1万伏
降压
…
实验室
仪器
380 / 220伏
36伏
降压
降压
二、理想变压器的功率
将理想变压器的两个方程相乘
u1 u2 N1 N2
i1
i2
n:1
u1
N1
N2
u2
2、原、副边电压和电流的关系
i1
i2
n:1
u1
N1
N2
u2
u1 u2 N1 N2
N1 i1 + N2 i2 = 0
或 u1
N1 N2
u2
nu2
或
i1
N2 N1
i2
1 n
i2
上式是根据图中所示参考方向和同名端列出的。
n = N1 / N2，称为理想变压器的变比。
反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入 阻抗都比无互感时的阻抗小（电抗变小），这是由于 互感的削弱作用，它类似于串联电容的作用，常称为 互感的“容性”效应。
2、顺向串联
每一耦合电感支路的阻抗为：
u
Z1 R1 j(L1 M ) Z2 R2 j(L2 M )
而
Z Z1 Z2
Z M Y11 U1
Z 22
Z
2 M
Y11
I2
0得到此含源一端口在端子2-2‘的开路电压
jMY11 U1
戴维宁等效阻抗 Zeq=R2 + jωL2 + (ωM)2Y11
(ωM)2Y11 I2 2
+
RL
jMY11 U1
-
2‘
jXL
§10.4 理想变压器
一、理想变压器的电路模型
1、电路模型
§10.2 含有耦合电感电路的计算
一、两个互感线圈的串联
1、反向串联 R1 L1
u1
R1i
(L1
di dt
M
di ) dt
u
u1 M R2
u2
R1i
( L1
M
)
di dt
u2
R2i (L2
di dL2
R2i
( L2
M
)
di dt
无互感等效电路
R1
L1
互感磁通链
12 M12i2 21 M 21i1
上式中M12和M21称为互感系数，简称互感。
互感用符号M表示，单位为:亨利H。
由于互感具有互易性质，即M12= M21 ，
当只有两个线圈耦合时，可略去下标，统一使用M。
两个耦合线圈的磁通链可表示为：
1 11 12
= L1i1± M i2
二、空心变压器的电路模型
1、电路模型
负载设为电阻和电感串联。
I1 1
2 I2
R1
R2
+ RL
U1
U2
jL1
jL2
_ jXL
1‘ jM
2`
2、电路方程
U1 + (R1 jL1) I1 + jM I2
jM I1 (R2 jL2 RL jX L ) I2 0
关键:找3条支路的节点
例：电压U=50V，求当开关K打开和闭合时的电流。
K j7.5Ω 3Ω
I
+
j6Ω
j12.5Ω 5Ω
U
-
解：当开关打开时
两个耦合电感是顺向串联
I
U
=1.52 / -75.96°A
R1 R2 j (L1 L2 2M )
K
A j7.5Ω 3Ω B
I
+
U [R1 R2 j(L1 L2 2M )]I
R1 L1-M
u1
u
R2 L2-M u2
U [R1 R2 j(L1 L2 2M )]I
电流 I 为
I
U
R1 R2 j (L1 L2 2M )
R1 L1-M
u
u1 R2 L2-M u2
同名端示意图：
1
2
1
1’
1
2’
2
1’ 1
2
2’ 2
1’
2’
1’
2’
电流从同名端流进（或流出）各自的线圈时，
互感起增助作用。
2、同名端