2017-2018年上海市格致中学高三上开学考数学试卷及答案

2017-2018年格致中学高三开学考

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1.已知集合{}{}

11,4321≤-==x x B A ，，，，则=B A

2.若排列数34566⨯⨯⨯=m

P ，则=m

3.不等式

11

2<-x x

的解集为 4.若以圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥轴截面的面积等于 5.已知复数z 满足：5,6==+-

z z z ，则=z

6.若抛物线()022

>=p py x 上的点()3,m 到焦点的距离是5，则=2m

7.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-≤-≥-+0130101y x x y x 所表示的平面区域的面积是

8.定义在()+∞,0上的函数()x f y =的反函数为()x f y 1

-=，若()()⎩

⎨⎧>≤-=0,0

,13x x f x x g x 为奇函数，则

()21=-x f 的解为

9.从一排10盏亮着的灯中，关掉其中3盏，则关掉的3盏灯互不相邻的概率等于

10.已知数列{}n a 的通项公式为()()(

)*

+∈+=N

n n a n n 2log 1，定义使k

a

a a ....,2

1

为整数的数(

)*

∈N

k k 叫做

“数列积优数”。那么在区间()2017,0内的所有“数列积优数”的和等于

11.在平面几何中，若一个n 边形存在内切圆，将内切圆的圆心与n 边形顶点连接，可将此n 边形分割成n 个等高的三角形，n 边形的周长为l ，面积为S ，内切圆的半径为r ，那么l

S

r 2=

。类比此方法，若一多面体的体积为V ，全面积为S ，且此多面体存在内切球，则此内切球的表面积为

12.已知集合{

}B A U ,,,6754321，，，，，=都是U 的子集，且满足：∅≠=B A U B A ,，则满足条件的不同集合对()B A ,共有 对。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 13.已知+

∈R b a 、，且2=+b a ，则行列式

b

a 11的最大值为（ ）

14.在数列{}n a 中，*∈⎪⎩⎪

⎨⎧≥⎪⎭

⎫ ⎝⎛-≤=N n n n a n

n ,2019,212018,1，则n n a ∞

→lim （ ） A.等于1或2

1

- B.等于1或0

C.等于0

D.不存在

15.在平面直角坐标系xoy 中，直线)0(0>=++ab c by ax 的倾斜角大小为（ ） A.b a

arctan B.a b arctan C.a b arctan -π D.b

a arctan -π

16.设θ为两个非零向量→→b a 、的夹角，且对任意的实数k ，→

→-a k b 的最小值为常数()0>m m ，则下列判断正确的是（ ）

A.若θ确定，则→

a 确定 B.若θ确定，则→

b 确定

C.若→a 确定，则θ确定

D.若→

b 确定，则θ确定

三、解答题（本大题5题，满分76分）

17.（本题满分14分，第一小题满分8分，第二小题满分6分） 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 是棱11B A 的中点。 （1）求四棱锥ABCD A -1的体积与全面积； （2）求异面直线1EC 与C A 1所成角的大小

18.（本题满分14分，第一小题7分，第二小题7分） 已知函数()x x x x f 2cos cos sin 32+=

（1）求函数()x f 的最大值。并指出取最大值时相应有x 的值； （2）若⎪⎭⎫

⎝

⎛∈6,

0πθ，且()3

4

=θf ，求θ2cos 的值。

19.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）

对于函数()x f y =，若在其定义域内存在0x ，使得()()00x f x f -=-，则称0x 为函数()x f 的局部对称点。 （1）已知R b a ∈,，且0≠a ，证明：函数()a bx ax x f -+=2

必有局部对称点；

（2）若函数()c x g x

+=2在区间[]2,1-上有局部对称点，求实数c 的取值范围。

20.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分6分）

在平面直角坐标系中，已知双曲线Γ：15

42

2=-y x ，B A ,分别为Γ的左，右顶点。 （1）以A 为圆心的圆与Γ恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；

（2）直线l 过点A ，与Γ在第一象限有公共点P ，线段AP 的垂直平分线过点B ，求直线l 的方程； （3）Γ上是否存在异于B A 、点N M 、，使→

→

→

=+MN MB MA 2成立，若存在，求出所有N M 、的坐标，若不存在说明理由。

21.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分） 已知数列{}{}n n b a ,都是由实数组成的无穷数列。

（1）若{}{}n n b a ,都是等差数列，判断数列{}n n b a +是否是等差数列，说明理由；

（2）若()0,,2≠∈==k R k k b a n

n n n ，且{}n n b a +是等比数列，求k 的所有可能值；

（3）若{}{}n n b a ,都是等差数列，数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求证：{}n c 是等差数列的充要条件是：

{}{}n n b a ,中至少有一个是常数列。