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2017-2018年上海市格致中学高三上开学考数学试卷及答案

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上海市格致中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

上海市格致中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

上海市格致中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、填空题1．已知全集{}1,2,3,4,6,9U =，{}|A x x U U =∈，则A =.2．已知(),0,0,2x a x f x a x x ⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩若函数()y f x =是定义在R 上的严格增函数，则实数a 的取值范围是.3．已知关于x 的二次不等式230x ax -+≤的解集为[]1,3，则不等式230x x a -->的解集为.（用集合或区间表示）4．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()()2lg f x x a =+，则()3f =.5．已知向量()1,1a =-r ，()()1,R b x x =∈r ，若//(23)b a b -r r r ，则x =.6．已知在()5x a +的二项展开式中，各项系数和为32-，则展开式中，含3x 项的系数为. 7．已知抛物线24y x =的准线为l ，若以此抛物线上一点P 为圆心的圆既与l 相切，又与x 轴相切，则所得圆的半径为.8．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是.9．已知z 为虚数，其实部为1，且2i 2i z m z +=-（其中i 为虚数单位），则实数m 的值为. 10．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是.11．如图，已知点C 在点O 的正北方向，点A 、点B 分别在点O 的正西、正东方向，且4sin 7ACB ∠=，()2sin 7A B -=，4AB =，若ACB ∠为锐角，则OC =.12．已知数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，记m b 为{}n a 在区间)(),2N,0m m m m ⎡∈>⎣内项的个数，则使得不等式12062m m b b +->成立的m 的最小值为.二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是（ ）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势14．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π15．关于空间向量，以下说法错误的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若0a b ⋅>r r ，则a r 与b r 的夹角是锐角C ．已知向量a r 、b r 、c r 是不共面的向量，则2a r 、b r 、c a -r r 也是不共面的向量D ．若对空间中任意一点O ，有1121243OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则P ，A ，B ，C 四点共面 16．设()32213f x x ax =-+，有下列命题：①当0a >时，函数()y f x =有三个零点； ②当0a <时，0x =是函数()y f x =的极大值点；③存在实数a ，b ，使得函数()y f x =在区间[],b a 上存在最大值1；④存在实数a ，使得点()()0,0f 为曲线()y f x =的对称中心.其中是真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题17．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，6PA PB PC AC ====，点O 是AC 的中点.(1)求POB V 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积；(2)点M 在棱BC 上，且13BM BC =，求直线PC 与平面PAM 所成角的大小. 18．已知()x f x a b =⋅（,0a b b ∈>R 且），且满足()()()3156f f f +⋅=，()616f =.(1)求函数y =f x 的解析式；(2)函数()()0y g x x =>满足条件()()f g x x =，若存在实数x ，使得g x +1 、()g x λ、g x +2 成等差数列，求正实数λ的取值范围.19．某地生产队在面积相等的50000块稻田上种植一种新型水稻，从中抽取100块得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）与优质频数并部分整理成下表（最终亩产量均在900kg 到1200kg 之间）(1)这50000块稻田中，亩产量在[)1050,1100的频数约为多少？(2)估计这片稻田的平均亩产量（单位kg ）；(3)已知在100块抽取稻田中亩产量在[)1050,1100的优质稻田有25块，是否有0.95的把握认为产品是否优质与亩产量不少于1050kg 且少于1200kg 有关？（参考公式：()()()()()()22a b c d ad bc a b c d a c b d χ+++-=++++，参考数据：()2 3.8410.05P χ≥≈）20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点P ⎭在C 上，且PF x ⊥轴. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点()M 及点()0,3A 的直线与椭圆C 交于另一点B ，N 为线段FM 的中点，直线NB 与直线PF 交于点Q ，求直线AQ 的方程；(3)设过点()M 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，N 为线段FM 的中点，直线NB 与直线PF 交于点Q ，直线AQ 与椭圆交于另一点E ，求AEF △面积的最大值. 21．已知()()()1ln 1f x ax x x =-+-.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当2a =-时，求函数()y f x =的极值；(3)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.。

2019-2020学年沪教版上海市黄浦区格致中学高三第一学期(上)第一次检测数学试卷及答案

2019-2020学年沪教版上海市黄浦区格致中学高三第一学期(上)第一次检测数学试卷及答案

2019-2020学年沪教版高三（上）第一次检测数学试卷一、填空题1．集合，Q＝{x||x﹣1|≤2}，则P∪Q＝．2．已知，θ∈（0，π），则tanθ＝．3．若，且（），则实数λ的值为．4．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．5．在复平面内，抛物线C：y＝4x2的焦点所对应的复数是z，则|z|＝．6．二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W，各项系数和为P，且62W+128＝P，则n的值是．7．若，则它的反函数是f﹣1（x）＝．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．9．如图中11个点，任意三点构成三角形的概率为．10．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x ﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．11．对于数列{a n}，定义H n＝为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．12．已知a为实数，函数的最大值为g（a）＝．二、选择题13．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0 14．已知数据x1，x2，x3，…x n是上海普通职n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变15．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P16．设数列{x n}的各项都为正数且x1＝1，△ABC内的点均满足△P n AB和△P n AC 的面积比为2：1，若，则x5的值为（）A．15 B．17 C．29 D．31三、解答题17．如图，直线PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明理由．18．如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．19．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cos ωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设．（1）若，b＝1，ω＝2，求方程f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集；（2）若点A是y＝x+2上的动点，当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x2+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值．20．已知曲线Γ：F（x，y）＝0，对坐标平面上任意一点P（x，y），定义F[P]＝F（x，y）．若两点P、Q，满足F[P]•F[Q]＞0，称点P、Q在曲线Γ同侧；若F[P]•F[Q]＜0，称点P、Q在曲线Γ两侧．（1）直线l过原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A（﹣1，1）、B（2，3），求直线l的倾斜角的取值范围；（2）已知曲线，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]•F[O]＞0}的面积；（3）记到点（0，1）与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：F（x，y）＝x2+y2﹣y﹣a＝0，若曲线C上总存在两点M、N在曲线Γ两侧，求曲线C的方程与实数a的取值范围．21．已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1＝﹣1，p＝1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．参考答案一、填空题1．集合，Q＝{x||x﹣1|≤2}，则P∪Q＝R．解：，∴P∪Q＝R．故答案为：R．2．已知，θ∈（0，π），则tanθ＝．解：∵已知＝﹣cosθ，∴cosθ＝．∵θ∈（0，π），故sinθ＝＝，则tanθ＝＝，故答案为：．3．若，且（），则实数λ的值为．解：∵＝（5﹣λ，﹣7+2λ），（），∴＝﹣（5﹣λ）+2（﹣7+2λ）＝0，解得．故答案为．4．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．解：元素1的代数余子式为＝8x﹣45＞0，故，故答案为：5．在复平面内，抛物线C：y＝4x2的焦点所对应的复数是z，则|z|＝．解：抛物线C：y＝4x2的焦点：（0，），所以复数z＝（0，），所以|z|＝．故答案为：．6．二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W，各项系数和为P，且62W+128＝P，则n的值是 6 ．解：二项式（5x﹣1）n的展开式中的二项式系数和为W＝2n，各项系数和为P＝（5﹣1）n＝4n，又62W+128＝P，所以62•2n+128＝4n；设t＝2n，则方程化为t2﹣62t﹣128＝0，解得t＝64或t＝﹣2（不合题意，舍去）；所以2n＝64，解得n＝6；所以n的值是6．故答案为：6．7．若，则它的反函数是f﹣1（x）＝﹣（x＞1）．解：，反解x，得2y＝x2+2，x2＝2y﹣2，因为x＜0时，y＞1，故x＝，所以反函数为y＝﹣，x＞1，故答案为：﹣（x＞1）8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以l＝2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr＝2π，r＝1，所以圆锥的体积为：＝．故答案为：．9．如图中11个点，任意三点构成三角形的概率为；．解：因为图中，有两条线上分别有四个点，从这两条线上分别任取三个点，均不能构成三角形，共有2C43＝8种情况；中有7条线上分别有三个点，每条线上的三个点，均不能构成三角形，共有7种情况；因此从这11个点任选3个点，不能构成三角形的情况共有8+7＝15种；又从这11个点任选3个点，共有C113＝165种情况；所以，任意三点构成三角形的概率为：1﹣＝；故答案为：；10．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，因为点P到直线x﹣y+1＝0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1＝0与直线x﹣y＝0的距离，即．故答案为：．11．对于数列{a n}，定义H n＝为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n＝2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S6对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．解：由题意，H n＝＝2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n+1，n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）2n，则2n﹣1a n＝n2n+1﹣（n﹣1）2n＝（n+1）2n，则a n＝2（n+1），对a1也成立，故a n＝2（n+1），则a n﹣kn＝（2﹣k）n+2，则数列{a n﹣kn}为等差数列，故S n≤S6对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a6﹣6k≥0，a7﹣7k≤0；即解得，，故答案为：．12．已知a为实数，函数的最大值为g（a）＝．解：由题意可得函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由平方得，，由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，故t的取值范围为，又，∴，由题意，g（a）即为的最大值，为二次函数h （t）的对称轴，①当a＞0时，函数的图象是开口向上的抛物线的一段，由＜0知，此时函数y＝h（t）在上单增，故g（a）＝h（2）＝a+2；②当a＝0时，h（t）＝t，t∈，故g（a）＝h（2）＝2；③当a＜0时，函数的图象是开口向下的抛物线的一段，＞0，若，即时，则；若，即时，则；若，即时，则g（a）＝h（2）＝a+2；综上，．故答案为：．二、选择题13．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a+c）＜0 解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，可得：A．ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，正确．B．c（b﹣a）＞0，不正确．C．取b＝0时，不正确；D．∵a+c可能小于等于0，可得ac（a+c）≥0，不正确．故选：A．14．已知数据x1，x2，x3，…x n是上海普通职n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确（）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变解：根据题意，数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入；则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大；故选：B．15．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P解：设圆柱的高为H，圆锥的高为h，由题意知，Sh﹣Sh＝Sh＝S（H﹣h）⇒h＝H，∴A、B错误；∵由旋转体的性质得，将容器一条母线贴地，过高中点的平面，分几何体为体积相等的两部分，∴C正确；∵斜放几何体时，几何体的体积不对称，∴D错误．故选：C．16．设数列{x n}的各项都为正数且x1＝1，△ABC内的点均满足△P n AB和△P n AC的面积比为2：1，若，则x5的值为（）A．15 B．17 C．29 D．31解：因为，所以+（2x n+1）＝﹣：用图形表示上边的关系式：其中：＝（2x n+1），，所以，即＝，即＝，又＝＝，即2x n+1＝x n+1，即2（x n+1）＝x n+1+1，又x1＝1，即{x n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，故x n+1＝2n，x n＝2n﹣1，故x5＝31．故选：D．三、解答题17．如图，直线PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．（1）求异面直线EG与BD所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使BF⊥EQ，若存在，求出DQ的长，若不存在，请说明理由．【解答】[理]解：（1）以A为原点建立如图坐标系则E（0，0，1），G（1，2，0），B（2，0，0），D（0，2，0）因此所以．即异面直线EG与BD所成角的为（2）假设CD存在点Q，使BF⊥EQ，设DQ＝x，则Q（x，2，0），F（0，1，1）因此因为BF⊥EQ所以即，所以CD存在点Q，使BF⊥EQ．18．如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．解：（1）设BC＝xnmile，则由余弦定理可得，∴x＝30nmile；（2）由题意，AC＝60，PA＝30，∴PA+AB+BC+CP＝60+30+30（nmile）．19．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cos ωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设．（1）若，b＝1，ω＝2，求方程f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集；（2）若点A是y＝x+2上的动点，当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x2+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值．解：∵A（a，b），B（cosωx，sinωx），∴＝a cosωx+b sinωx，（1）若，b＝1，ω＝2＝cos2x+sin2x，＝2sin（2x+），由f（x）＝2sin（2x+）＝1，可得2x+＝或x＝，k∈Z，∴或x＝k，∵x∈[0，2π]，∴f（x）＝1在区间[0，2π]内的解集为{，，}，（2），由点A（a，b）是y＝x+2上的动点可得，b＝a+2，∴f（x）＝a cosωx+（a+2）sinωx，＝sin（ωx+φ），∴M＝[﹣，]，∵x2+mx＝0的解为0，﹣m，若P⊆M恒成立，则﹣m∈[﹣，]，而＝，∴即实数m的最大值．20．已知曲线Γ：F（x，y）＝0，对坐标平面上任意一点P（x，y），定义F[P]＝F（x，y）．若两点P、Q，满足F[P]•F[Q]＞0，称点P、Q在曲线Γ同侧；若F[P]•F[Q]＜0，称点P、Q在曲线Γ两侧．（1）直线l过原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A（﹣1，1）、B（2，3），求直线l的倾斜角的取值范围；（2）已知曲线，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]•F[O]＞0}的面积；（3）记到点（0，1）与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：F（x，y）＝x2+y2﹣y﹣a＝0，若曲线C上总存在两点M、N在曲线Γ两侧，求曲线C的方程与实数a 的取值范围．解：（1）显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx⇒F（x，y）＝kx﹣y＝0则……故倾斜角的范围是……（2）因为故，点集S为圆x2+y2＝4在直线3x+4y﹣5＝0下方内部．……设直线和圆的交点为A、B，则O到AB的距离为1，故故所求面积为……（3）设曲线C上的动点为（x，y），则，化简得曲线C的方程为x2＝8（3﹣y）（0≤y≤3）和x2＝12（y+2）（﹣2≤y≤0），其轨迹为两段抛物线弧……【方法一】而曲线C上的点到的距离的范围是，……故……（16分）【方法二】当0≤y≤3时，F（x，y）＝y2﹣9y+24﹣a∈[6﹣a，24﹣a]；当﹣2≤y≤0时，F（x，y）＝y2+11y+24﹣a∈[6﹣a，24﹣a]；……故若有F[M]•F[N]＜0，则（6﹣a）（24﹣a）＜0⇒6＜a＜24．……（16分）21．已知常数p＞0，数列{a n}满足a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，n∈N*．（1）若a1＝﹣1，p＝1，①求a4的值；②求数列{a n}的前n项和S n；（2）若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，求的取值范围．解：（1）①∵a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p，∴a2＝|1﹣a1|+2a1+1＝2﹣2+1＝1，a3＝|1﹣a2|+2a2+1＝0+2+1＝3，a4＝|1﹣a3|+2a3+1＝2+6+1＝9，②∵a2＝1，a n+1＝|1﹣a n|+2a n+1，∴当n≥2时，a n≥1，当n≥2时，a n+1＝﹣1+a n+2a n+1＝3a n，即从第二项起，数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴数列{a n}的前n项和S n＝a1+a2+a3+a4+…+a n＝﹣1+＝﹣，（n≥2），显然当n＝1时，上式也成立，∴S n＝﹣；（2）∵a n+1﹣a n＝|p﹣a n|+a n+p≥p﹣a n+a n+p＝2p＞0，∴a n+1＞a n，即{a n}单调递增．（i）当≥1时，有a1≥p，于是a n≥a1≥p，∴a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p＝a n﹣p+2a n+p＝3a n，∴．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s ＝a r+a t，即2×3s﹣1＝3r﹣1+3t﹣1．（*）∵s≤t﹣1，∴2×3s﹣1＝＜3t﹣1＜3r﹣1+3t﹣1．因此（*）不成立．因此此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（ii）当时，有﹣p＜a1＜p．此时a2＝|P﹣a1|+2a1+p＝p﹣a1+2a1+p＝a1+2p ＞p．于是当n≥2时，a n≥a2＞p．从而a n+1＝|p﹣a n|+2a n+p＝a n﹣p+2a n+p＝3a n．∴a n＝3n﹣2a2＝3n﹣2（a1+2p）（n≥2）．若数列{a n}中存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列，则有2a s ＝a r+a t，同（i）可知：r＝1．于是有2×3s﹣2（a1+2p）＝a1+3t﹣2（a1+2p），∵2≤S≤t﹣1，∴＝2×3s﹣2﹣3t﹣2＝﹣＜0．∵2×3s﹣2﹣3t﹣2是整数，∴≤﹣1．于是a1≤﹣a1﹣2p，即a1≤﹣p．与﹣p＜a1＜p矛盾．故此时数列{a n}中不存在三项a r，a s，a t（r，s，t∈N*，r＜s＜t）依次成等差数列．（iii）当≤﹣1时，有a1≤﹣p＜p．a1+p≤0．于是a2＝|P﹣a1|+2a1+p＝p﹣a1+2a1+p＝a1+2p．a3＝|p﹣a2|+2a2+p＝|a1+p|+2a1+5p．＝﹣a1﹣p+2a1+5p＝a1+4p．此时数列{a n}中存在三项a1，a2，a3依次成等差数列．综上可得：≤﹣1．。

高三数学数学上海市格致中学2018届高三上学期期

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上海市格致中学 2021届高三上学期期中考试数学试题〔文〕〔测试120分钟内完成，总分 150分，试后交答题卷〕友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：老实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 编辑：卢立臻 邮箱：lulizhen617@163一、填空题：〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分〕。

把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

1．假设集合xax24x1a ________。

的子集只有两个，那么实数2．假设复数z 满足：zz 4，zz5 zz___________。

，那么3．假设直线x2y 1 0的倾斜角为，那么sin2的值为______________。

2 x5 41x 的解集为____________。

4．方程232x 3y 33x y 92x 0侧 视5．不等式组 表示平面区域的面积为 ________。

主视图6．某个几何体的三视图如图〔主视图中的弧线是半圆〕 ，2根据图中标出的尺寸〔单位：cm〕，可得这个几何体的体积是____________cm3。

俯 视 第6题图2fx 3cos 2x,0的图像关于点3成中心7．函数对称，那么的最小正值为_____________。

8．将3名学生安排到A 、B 两个工厂去实习，那么恰有 2 名学生到A 工厂去实习的概率为 ________________。

9．数列an中，a17,a 27，当n2时，a n1是积ana n 1的个位数，那么a2021______。

x 、y 都有2x55 43 y 210．假设对任意实数3ya 0 2x y a 1 2x yya 22xy 2a 4 2xyy 4 a 5ya 0a 1 a 2a 3a 4a 5a 32xyy 35 _______。

，那么xn110xn,nN *OP nx n ,y nOP n1x n1,yn111．定义yn111y n为向量 到向量 的一个矩阵变换，其中O 是坐标原点。

上海市格致中学2017届高三上学期开学考

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格致中学高三开学考2016.9II.Grammar and VocabularySection ADirections: After reading the passages below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.An accident in a bicycle race in the United States eight years ago alerted James Chang to the importance of sports medicine. One of his riding companions (21) ______ (injure) severely in the accident.From then on, Chang, 45, a Chinese-American who was born in Anhui province, began to launch business relating to physical safety and medical assistance, particularly in sport. So (22)______ he took up marathon running two years ago he was shocked to see frequent injuries, many of them avoidable.―I always heard people talking about people in marathons in China dying suddenly,‖ he says, adding that one reason why many of these deaths happen is (23) ______ there is a lot of ignorance in China about what marathon running involves.Many amateur runners in China who are highly competitive get carried away and run at a pace that is far in excess of (24) ______ they can expect their body to take, and even ignore clear signals such as pain, Chang says.As Chinese have placed more emphasis on leading healthy life-styles in recent years, marathon and other long-distance running (25) ______ (become) a highly popular sport across the country quickly.More than 50 China Athletic Association-sanctioned urban marathons were held in the country last year, and 39 races（26）______ (involve) more than 750,000 runners were held the year before. However, long-distance running is a serious business that（27）______ exact a heavy physical toll on runners.―Marathon carries (28) ______(high) risks of injury than other forms of sport,‖ Hou says, adding that the key to avoiding injury is to strengthen the body through regular exercise andto be aware of one‘s own physical condition.Although some chronic injuries are hard (29)______(avoid), even for highly experienced runners, cramp, fainting and shock can easily be prevented (30)______ runners better understand the sport, he says.Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.A. travelsB. interactionC.presidentialD. disagreementsE.releasedF. patrioticG.scheduled H.humanity I. demonstrating J. encountered K. involvingWith the publication of the new memoir （a book by someone important and famous in which they write about their life and experiences），Hard Choices, former U.S. Secretary of State Hillary Rodham Clinton has kicked off a book tour that could preview a ___31___run.The tour began in the friendliest possible setting: a book-signing event at a Barnes & noble in Manhattan‘s Union Square. Around 1,000 people –some had slept on the sidewalk the night before—cheered as Clinton arrived about 20 minutes behind schedule and delivered brief remarks with a(n) ___32___ tone.The nearly 700-page book, ___33___ on June 10, was ―written for anybody who wants to think about, and learn about, what is happening in the world today—why American matters, and why the world matters to America，‖said the former first lady and New York senator. ―And we have a lot of hard choices ahead of us in our country to make it as brave and as strong as it should be. And we have a lot of hard choices to continue to lead the world and solve problems that affect us and the rest of ___34__ ‖.In the book, Clinton frames the foreign policy situations ___35__ during her tenure（the period of time when someone has an important job）as a series of hard choices, especially those ___36__the middle east, Afghanistan , Pakistan and Russia, while recounting some ___37__ within the Obama administration. She also delves into some personal aspects of her life, including her daughter Chelsea Clinton‘s wedding, and offers glimpse of personalinteractions with citizens of other countries during her ___38__as secretary.The book tour was ___39__ to take Clinton to Chicago, Philadelphia, Washington, Toronto and Austin. Her fast pace and intense media attention resembled a hybrid of celebrity book tour and campaign kickoff.During a(n) ___40__with some 1,000 students at a recent event at Arizona state university, for instance, she hinted that she was considering running for presidency in 2016 because she was ―very much concerned‖ about the direction that the U.S. was going.III. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.The famous American inventor Thomas Alva Edison once claimed that genius was one percent inspiration and ninety-nine percent perspiration(汗水). Now, it seems, there is scientific evidence to __41__ his claim. The idea that geniuses such as Shakespeare, Mozart, and Picasso possessed certain inborn talents is a false belief, according to a study by a British psychologist and his colleagues.After examining outstanding performance in the arts and sports, these researchers concluded that __42__ is determined by opportunity, encouragement, training, motivation, self-confidence, and — most important of all — __43__. Even people who were not thought to be 44__ with any special talent could, after having received training, reach levels __45__ considered attainable (可获得的) only by gifted individuals. ‗Talent is a false belief, and it is time that people got rid of it,‖ they said.This theory —a dramatic __46__ with traditional beliefs —has been __47__ by academics worldwide. In fact, studies of accomplished artists and mathematicians, and top tennis players and swimmers, have reported few early signs of _48__ in these people before any parental encouragement. No case has been found of anyone reaching the highest levels of achievement without _49__ himself or herself to thousands of hours of serious training. Even those who are believed to be exceptionally talented — whether in music, mathematics, chess, or sports — have needed lengthy periods of instruction and practice to achieve their highestlevel of success. ‗The persistent false belief that some people reach high levels of performance without spending numerous hours practising __50__ much to the fact that their practice is usually outside the casual observer‘s view,‘ stated one scientist.The importance of practice has been noticed in athletics. For instance, differences in the composition of certain muscles were once thought to be __51_ predictors of athletic performance. However, the differences in the proportion of certain muscle fibers(组织) that are __52__ for success in long-distance running are largely the result of extended practice in running.‗What makes a genius then?‘one may ask. __53__, there is no clear answer. What is known, however, is that ‗nurture‘is at least as important as ‗nature.‘__54__, a supportive environment will do far more for a child‘s prospects of success than any inborn gifts. This is a message that most of us will find _55__ — even if we haven‘t won the gene lottery, our fate is still in our own hands.41. A. make B. challenge C. support D. dismiss42. A. excellence B. harmony C. negotiation D. response43. A. education B. practice C. fortune D. character44. A. satisfied B. concerned C. decorated D. gifted45. A. preciously B. practically C. previously D. primarily46. A. break B. association C. partnership D. relief47. A. doubted B. concluded C. mentioned D. applauded48. A. accomplishment B. treasure C. diligence D. inspiration49. A. adapting B. attaching C. linking D. devoting50. A. carries B. leaves C. owes D. connects51. A. creative B. reliable C. natural D. active52. A. essential B. suitable C. possible D. feasible53. A. Unlikely B. Similarly C. Hopefully D. Unfortunately54. A. To sum up B. In other words C. For example D. In addition55. A. misleading B. puzzling C. comforting D. amusingSection BDirections:Read the following four passages.Each passage is followed by severed questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A,B and C. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)Which tablet computer should YOU be buying: They are this year's must have... and there's a style to suit everyone?Best for young childrenLeapPad Explorer 2, £68Aimed at childrenbetween three and nine(though a nine-year-oldmight find it a little simple),it comes in pink or blue and with five built-in education games (you can buy more). Besides, the LeapPad does not allow access to the internet —so it is impossible for your child to stumble across anything inappropriate.Pros: The education games are well-designed, the built-in video camera is a fun way to play at being a film director.Cons:Some of the games are shockingly expensive. And the power adaptor is not included. Best for teenagersiPad 4th generation, £399-£659The iPad is still themarket leader, and forgood reason. If theteenager in your houseenjoys playing computer games, the latest offering from Apple is the one to choose.Pros: No other tablet can compete with the near one million ‗apps‘ (the name Apple created for specially-designed downloadable programs) available for the iPad. Simple to use, even for those who usually struggle with technology.Cons: Considerably more expensive than most competitors.Best for working parents Microsoft Surface, £399-£559 Best for bookwormsAmazon Kindle Paperwhite, £109Nearly all tablets let you download books. It's a great way to take aTablets arebrilliant for leisure —but what if you want to do a bit of work? No tablet can yet compete with a full-size laptop computer, but this is the only tablet that allows you to use Microsoft Word, Excel and Powerpoint (they are all pre-installed and included in the price) and you can buy a pretty lovely mini- keyboard for typing letters and emails, which also doubles up as the cover.Pros:The Surface is good for watching movies — a bonus when stuck in the airport on a business trip —and surfing the internet.Con: The keyboard is an expensive add-on - costing up to £109. It might be cheaper to buy a laptop (though a tablet is much smaller and lighter).mountainous pile ofhardbacks on holidaywithout stuffing yoursuitcase.But most tablets have a shiny screen —which can be very distracting when you're trying to read. The Paperwhite is different: its matt screen and crisp black lettering imitate the look of words on paper brilliantly. And yet you can still read the words in the dark.Pros:Easy on the eye, excellent battery life, 180,000 free books (if you subscribe to the Amazon Prime customer loyalty service) plus hundreds of thousands more to buy.Cons: No TV, films, games, internet or camera.1. The underlined phrase ‗stumble across‘ most probably means ‗___________‘.A. meet withB. quarrel withC. compare withD. competewith2. Which of the following about Surface is NOT TRUE?A. The keyboard will add to the cost.B. The keyboard can serve as a cover.C. You have to pay extra to install Microsoft Word.D. You can watch movies or surf the Internet with it.3. If you are a game lover, which tablet is least likely to be your choice?A. LeapPad Explorer 2.B. iPad 4th generation.C. Microsoft Surface.D. Amazon Kindle Paperwhite.(B)Although websites such as Facebook and MySpace experienced increasing growth during the middle of the first decade of the 21st century, some users fail to realize the fact that the information they post online can come back to trouble them. First, employers can monitor employees who maintain a blog, photo diary, or website. Employers can look for troublesome employees‘ opinions, sensitive information disclosures, or wildly inappropriate conduct. For example, a North Carolina newspaper fired one of its features writers after she created a blog on which she anonymously wrote about the characteristics of her job and coworkers.The second unintended use of information from social networking websites is employers who check on potential employees. A New York Times article reported that many companies recruiting (招募) on college campuses use search engines and social networking websites such as MySpace, Xanga, and Facebook to conduct background checks. Although the use of MySpace or Google to investigate a student‘s background is somewhat upsetting to many undergraduates, the Times noted that the use of Facebook is especially shocking to students who believe that Facebook is limited to current students and recent alumni.| Company employers are not the only people interested in college students‘ lives. The third unintended use of social networking websites is college administrators who monitor the Internet—especially Facebook—for student misconduct. For example, a college in Boston‘s Back Bay expelled (除名) its Student Government Association President for joining a Facebook group highly critical of a campus police sergeant. In addition, fifteen students at a state university in North Carolina faced charges in court for underage drinking because of photos that appeared on Facebook.Although more users of websites such as Facebook are becoming aware of the potential pitfalls (陷阱) of online identities, many regular users still fail to take three basic security precautions. First, only make your information available to a specific list of individuals whom you approve. Second, regularly search for potentially harmful information about yourself that may have been posted by mistake or by a disgruntled (不满的) former colleague. Third, never post offensive material under your name or on your page as, despite the best precautions, thismaterial will likely make its way to the wider world. By taking these simple steps, members of the digital world can realize the many benefits of e-community without experiencing some of the damaging unintended consequences.59. The main purpose of the passage is to ________.A. explain the growth of the digital world through from the aspect of privacyB. discuss the risks of the digital world and suggest ways to protect yourselfC. propose steps Facebook, MySpace, and Google can take to protect user privacyD. illustrate potential unintended uses of private information60. The author implies that users should take all of the following actions to protect theironline privacy EXCEPT________.A. know to whom you make your online information availableB. avoid uploading information that would be damaging if it were discoveredC. carefully select and limit who can view your electronic profileD. speak with employers to inform them of any misinformation published about you61. Which of the following best describes the relationship between the last paragraph and theother paragraphs?A. It offers detailed examples to support previous points of view.B. It summarizes the points of view in the previous paragraphs.C. It provides suggestions to solve the previously mentioned problems.D. It offers evidence to make the previous points of view clearer.62. According to the passage, which of following does the writer imply?A. Information obtained unwillingly from the Internet is permissible in court.B. It is impossible to protect yourself from unintended uses of information online.C. Even if you restrict who can view your data, the government may still access it.D. Done properly, posting offensive information about oneself causes no risk.(C)Discoveries in science and technology are thought by "untaught minds" to come in blinding flashes or as the result of dramatic accidents. Sir Alexander Fleming did not, aslegend would have it, look at the mold (霉) on a piece of cheese and get the idea for penicillin there and then. He experimented with antibacterial substances for nine years before he made his discovery. Inventions and innovations almost always come out of laborious trial and error. Innovation is like soccer; even the best players miss the goal and have their shots blocked much more frequently than they score.The point is that the players who score most are the ones who take most shots at the and so it goes with innovation in any field of activity. The prime difference between innovation and others is one of approach. Everybody gets ideas, but innovators work consciously on theirs, and they follow them through until they prove practicable or otherwise. What ordinary people see as fanciful abstractions , professional innovators see as solid possibilities. "Creative thinking may mean simply the realization that there' s no particular virtue in doing things the way they have always been done, " wrote Rudolph Flexh, a language authority, this accounts for our reaction to seemingly simple innovations like plastic garbage bags and suitcases on wheels that make life more convenient : "How come nobody thought of that before?"The creative approach begins with the proposition that nothing is as it appears. Innovators will not accept that there is only one way to do anything. Faced with getting from A to B, the average person will automatically set out on the best-known and apparently simplest route. The innovator will search for alternate courses, which may prove easier in the long run and are bound to be more interesting and challenging even if they lead to dead ends. Highly creative individuals really do march to a different drummer.63.What does the author probably mean by "untaught mind" in the first paragraph?A. An individual who often comes up with new ideas by accident.B. A person who has had no education.C.A citizen of a society that retires personal creativity.D.A person ignorant of the hard work involved in experimentation.64.According to the author , what distinguishes innovators from non-innovators?A. The way they present their findings.B. The way they deal with problems.C. The intelligence they process.D. The variety of ideas they have.65. The phrase "march to a different drummer" (the last line of the passage) suggests thathighly creative individuals are__.A.unwilling to follow common ways of doing thingsB.diligent in pursuing their goalsC.concerned about the advance of societyD.devoted to the progress of science66.The most suitable title for this passage might be______.A.The Relation Between Creation and DiligenceB. To be a Creative Expert in the Study of Human CreativityC.What Are So Special about Creative IndividualsD.Discoveries and Innovation(D)Directions: Complete the following passage by using the sentences in the box. Each sentence can only be used once. Note that there are two sentences more than you need.US Signs Global Tobacco TreatyThe United States has taken the first step toward approving a global tobacco treaty that promises to help control the deadly effects of tobacco use throughout the world. Health and Human Services Secretary Tommy Thompson signed the Framework Convention on Tobacco Control (FCTC) this week at the United Nations. ____________(68)The FCTC was developed by the World Health Organization and approved by members of the World Health Assembly，including the United States，last year. _______(69) For instance, cigarettes sold in those countries would have to have health warnings on at least 30% of the front and back of every pack. __________(70) It also requires bans on tobacco advertising, though there are some exceptions for countries like the United States, where the Constitution prohibits such an outright ban.__________(71) The World Health Organization estimates that tobacco use kills nearly 5 million people worldwide every year. In the US alone, about 440,000 people die each yearfrom tobacco-related illnesses; about one-third of all cancers in the US are caused by tobacco use. If current trends continue, WHO estimates, by 2025 tobacco will kill 10 million people each year.A. Tobacco stocks also perked up as investors discounted fears of litigation（诉讼）from the US.B. So far，109 countries have signed it, and 12 have ratified it.C. The impact of the treaty could be huge.D. Countries that ratify it would be required to enact strict tobacco control policies.E. The treaty calls for higher tobacco taxes, restrictions on smoking in public places, and more promotion of tobacco prevention and cessation programs.F. The Senate must still approve the treaty before the US can implement its provisions. TranslationDirections: Translation the following sentences into English, using the words given in the brackets.72.成功带给你的不单单是喜悦，更重要的是经验。

2017届高三上学期开学数学试卷(理科) Word版含解析

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2017届高三上学期开学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或33．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣ B．C．﹣D．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1的大致图象是（）5．函数y=log2A． B．C． D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD 的长为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）二、填空题9．抛物线x 2=ay 的准线方程是y=2，则a= ．10．极坐标系中，直线ρsin （﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为 （只需写出一个即可）11．点P 是直线l ：x ﹣y+4=0上一动点，PA 与PB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 ．12．已知双曲线C 的渐进线方程为y=±x ，则双曲线C 的离心率为 ．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有 个，从中任意选出2个不同的子集A 和B ，若A ⊈B 且B ⊈A ，则不同的选法共有 种．14．已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a 1=4，则d 的取值集合为 ；（2）若a 1=2m （m ∈N *），则d 的所有可能取值的和为 ．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，]，求函数f （x ）的最值及相应x 的取值．16．已知递减等差数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 3=40．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）若递减等比数列{b n }满足：b 2=a 2，b 4=a 4，求数列{b n }的通项公式．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x 台（x ∈N *）的总收入为30x ﹣0.2x 2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P （x ）的边际利润函数MP （x ）来研究何时获得最大利润，其中MP （x ）=P （x+1）﹣P （x ）．（Ⅰ）求利润函数P （x ）及其边际利润函数MP （x ）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP （x ）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？18．已知函数f （x ）=axe x ，其中常数a ≠0，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）若直线y=e （x ﹣）是曲线y=f （x ）的切线，求实数a 的值．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），离心率e=，已知点P （0，）到椭圆C 的右焦点F 的距离是．设经过点P 且斜率存在的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于一点Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点Q 的横坐标x 0的取值范围．20．对于序列A0：a，a1，a2，…，an（n∈N*），实施变换T得序列A1：a1+a2，a2+a3，…，an﹣1+an，记作A1=T（A0）：对A1继续实施变换T得序列A2=T（A1）=T（T（A）），记作A2=T2（A）；…；An﹣1=Tn﹣1（A）．最后得到的序列An﹣1只有一个数，记作S（A）．（Ⅰ）若序列A0为1，2，3，求S（A）；（Ⅱ）若序列A0为1，2，…，n，求S（A）；（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A0是S（B）=S（A）的什么条件？请说明理由．2017届高三上学期开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，A∩B=B，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】根据A，B，以及两集合的交集为B，得到B为A的子集，确定出实数m的值即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，m}，且A∩B=B，∴B⊆A，则实数m的值为2或3，故选：D．3．如果sin（π﹣A）=，那么cos（﹣A）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可．【解答】解：sin（π﹣A）=，可得sinA=，cos（﹣A）=sinA=，故选：B．4．设x，y∈R，向量=（1，x），=（3，2﹣x），若⊥，则实数x的取值为（）A．1 B．3 C．1或﹣3 D．3或﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=3+x（2﹣x）=0，化为x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1．故选：D ．5．函数y=log 2的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：函数y=log 2的定义域为（1，+∞），故排除C ，D ；函数y=log 2为增函数，故排除B ，故选：A ．6．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=3x ﹣y 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[﹣1，6]D ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z 的几何意义可求z 的最大值与最小值，进而可求z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x ﹣y 可得y=3x ﹣z ，则﹣z 为直线y=3x ﹣z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x ﹣z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时z 最大由可得B （，3），=6由可得C（2，0），zmax∴故选A7．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD 的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．【解答】解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°，可得AC2=OA2+OC2﹣2OA•OC•cos∠AOC=4+1﹣2•2•1•cos120°=5+2=7，即AC=，cos∠ACO===，延长CO交圆于E，由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，即CD===，在△BCD中，BD2=BC2+DC2﹣2BC•DC•cos∠BCD=1+﹣2•1••=．可得BD=．故选：C．8．若函数f（x）=x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）=x﹣=，由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，故x=1时，函数取得极小值．①当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x=1在（k﹣1，k+1）内，即，即，即0＜k＜2，此时1＜k＜2，综上1≤k＜2，故选：B．二、填空题9．抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则a= ‐8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意可求得抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，而抛物线x2=ay的准线方程是y=2，从而可求a．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=﹣，又抛物线x2=ay的准线方程是y=2，∴﹣=2，∴a=﹣8．故答案为：﹣8．10．极坐标系中，直线ρsin（﹣θ）+1=0与极轴所在直线的交点的极坐标为（2，π）（只需写出一个即可）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】令θ=π，可得： +1=0，解得ρ即可得出．【解答】解：令θ=π，可得： +1=0，解得ρ=2，可得交点（2，π）．故答案为：（2，π）．11．点P是直线l：x﹣y+4=0上一动点，PA与PB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 4 ．【考点】圆的切线方程．【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得S PACB =2S ACP ．，要求四边形PACB 的最小面积，即直线上的动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形PACB 的最小面积．【解答】解：根据题意：圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4，圆心为（1，1），半径r=2，∵点P 在直线x ﹣y+4=0上，设P （t ，t+4），切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离d 2=（t ﹣1）2+（t+4﹣1）2，化简：d 2=2（t 2+2t+5）=2（t+1）2+8，∴，那么：，则|PA|min =2，三角形PAC 的最小面积为：=2， 可得：S PACB =2S ACP =4，所以：四边形PACB 的最小面积S PABC =4，故答案为：4．12．已知双曲线C 的渐进线方程为y=±x ，则双曲线C 的离心率为 或 ． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线为y=±x ，可得=或3，利用e==，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线为y=±x ，∴=或3，∴e===或．故答案为：或．13．集合U={1，2，3}的所有子集共有8 个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A⊈B且B⊈A，则不同的选法共有9 种．【考点】子集与真子集．【分析】根据含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，即可得到子集个数．从中任意选出2，A⊈B且B⊈A．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A⊈B且B⊈A，即可得到答案．【解答】解：集合U={1，2，3}含有3个元素，其子集个数为23=8个．从中任意选出2个不同的子集A和B，A⊈B且B⊈A．先去掉{1，2，3}和∅，还有6个子集，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，从这6个中任选2个都是：A⊈B且B⊈A，有①{1}，{2}、②{1}，{3}、③{1}，{2，3}、④{2}，{3}、⑤{2}，{1，3}、⑥{3}，{1，2}、⑦{1，2}，{1，3}、⑧{1，2}，{2，3}、⑨}{1，3}，{2，3}，则有9种．故答案为：8，9．14．已知数列{an }是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4} ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1﹣1 ．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】由题意可得，ap +aq=ak，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．【解答】解：由题意可得，ap +aq=ak，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为 {1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k﹣p﹣q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d 的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m ==2m+1﹣1， 故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，]，求函数f （x ）的最值及相应x 的取值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f （x ），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x 的范围，可得2x ﹣2x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=sin2x+2cos 2x+1=sin2x+cos2x+2=sin （2x+）+2，令2k π﹣≤2x+≤2k π+，k ∈Z ， 则k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z ，则有函数的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．（Ⅱ）当x ∈[0，]时，2x+∈[，]， 则有sin （2x+）∈[﹣1，1]， 则当x=时，f （x ）取得最小值，且为1，当x=时，f （x ）取得最大值，且为+2．16．已知递减等差数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 3=40．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）若递减等比数列{b n }满足：b 2=a 2，b 4=a 4，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和．【分析】（I ）格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n ； （II ）根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式．【解答】解：（I ）设{a n }的公差为d ，则a 2=2+d ，a 3=2+2d ，∴（2+d ）（2+2d ）=40，解得：d=3或d=﹣6．∵{a n }为递减数列，∴d=﹣6．∴a n =2﹣6（n ﹣1）=8﹣6n ，Sn=•n=﹣3n2+5n．（II）由（I）可知a2=﹣4，a4=﹣16．设等比数列{bn}的公比为q，则，解得或．∵{bn}为递减数列，∴．∴bn=﹣2•2n﹣1=﹣2n．17．某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）利用利润是收入与成本之差，求利润函数P（x），利用MP（x）=P（x+1）﹣P（x），求其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，x∈[1，100]，且x∈N*P（x）=R（x）﹣C（x）=30x﹣0.2x2﹣（5x+40）=﹣0.2x2+25x﹣40，MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣0.2（x+1）2+25（x+1）﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]=24.8﹣0.4x，（Ⅱ）∵MP（x）=24.8﹣0.4x是减函数，∴当x=1时，MP（x）的最大值为24.40（万元）18．已知函数f（x）=axe x，其中常数a≠0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若直线y=e（x﹣）是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；（Ⅲ）设出切点坐标为（m，ame m），求出切线斜率和方程，根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数a 的值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=a（e x+xe x）=a（1+x）e x，若a ＞0，由f′（x ）＞0得x ＞﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），由f′（x ）＜0，得x ＜﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），若a ＜0，由f′（x ）＞0得x ＜﹣1，即函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），由f′（x ）＜0，得x ＞﹣1，即函数的单调递减区间为（﹣1，+∞）；（Ⅱ）当a=1时，由（1）得函数的单调递增区间为（﹣1，+∞），函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）， 即当x=﹣1时，函数f （x ）取得极大值为f （﹣1）=﹣，无极小值；（Ⅲ）设切点为（m ，ame m ），则对应的切线斜率k=f′（m ）=a （1+m ）e m ，则切线方程为y ﹣ame m =a （1+m ）e m （x ﹣m ），即y=a （1+m ）e m （x ﹣m ）+ame m =a （1+m ）e m x ﹣ma （1+m ）e m +ame m =a （1+m ）e m x ﹣m 2ae m ，∵y=e （x ﹣）=y=ex ﹣e ，∴∴，即若直线y=e （x ﹣）是曲线y=f （x ）的切线，则实数a 的值是．19．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），离心率e=，已知点P （0，）到椭圆C 的右焦点F 的距离是．设经过点P 且斜率存在的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于一点Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求点Q 的横坐标x 0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I ）由题意可得：e==， =，又a 2+b 2=c 2．联立解出即可得出． （II ）设直线AB 的方程为：y=kx+，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点M （x 3，y 3），直线AB 的方程与题意方程联立化为：（1+4k 2）x 2+12kx ﹣7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M 的坐标，可得线段AB 的中垂线方程，令y=0，可得x 0，通过对k 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（I ）由题意可得：e==， =，又a 2+b 2=c 2．联立解得：c 2=12，a=4，b=2．∴椭圆C 的标准方程为： =1．（II ）设直线AB 的方程为：y=kx+，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点M （x 3，y 3），线段AB 的中垂线方程为：y ﹣y 3=﹣（x ﹣x 3）．联立，化为：（1+4k 2）x 2+12kx ﹣7=0，△＞0，∴x 1+x 2=﹣， ∴x 3==﹣．y 3=kx 3+=．∴线段AB 的中垂线方程为：y ﹣=﹣（x+）．令y=0，可得x 0==，k ＞0时，0＞x 0≥．k ＜0时，0＜x 0≤．k=0时，x 0=0也满足条件．综上可得：点Q 的横坐标x 0的取值范围是．20．对于序列A 0：a 0，a 1，a 2，…，a n （n ∈N *），实施变换T 得序列A 1：a 1+a 2，a 2+a 3，…，a n ﹣1+a n ，记作A 1=T （A 0）：对A 1继续实施变换T 得序列A 2=T （A 1）=T （T （A 0）），记作A 2=T 2（A 0）；…；A n ﹣1=T n ﹣1（A 0）．最后得到的序列A n ﹣1只有一个数，记作S （A 0）．（Ⅰ）若序列A 0为1，2，3，求S （A 0）；（Ⅱ）若序列A 0为1，2，…，n ，求S （A 0）；（Ⅲ）若序列A 和B 完全一样，则称序列A 与B 相等，记作A=B ，若序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，请问：B=A 0是S （B ）=S （A 0）的什么条件？请说明理由．【考点】数列与函数的综合．【分析】（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即可得出S （A 0）． （II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3；n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n+1）；利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．（III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立．例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）．即可得出．【解答】解：（I ）序列A 0为1，2，3，A 1：1+2，2+3，A 2：1+2+2+3，即8，∴S （A 0）=8． （II ）n=1时，S （A 0）=1+2=3．n=2时，S （A 0）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，n=3时，S （A 0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4， …，取n ﹣1时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+（n ﹣1）+•n，取n 时，S （A 0）=•1+•2+•3+…+•n +•（n+1），利用倒序相加可得：S （A 0）=×2n =（n+2）•2n ﹣1． 由序列A 0为1，2，…，n ，可得S （A 0）=（n+2）•2n ﹣1． （III ）序列B 为序列A 0：1，2，…，n 的一个排列，B=A 0⇒S （B ）=S （A 0）．而反之不成立． 例如取序列B 为：n ，n ﹣1，…，2，1．满足S （B ）=S （A 0）． 因此B=A 0是S （B ）=S （A 0）的充分不必要条件．。

2015-2016学年上海市格致中学高三(上)摸底数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年上海市格致中学高三(上)摸底数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年上海市格致中学高三（上）摸底数学试卷（理科）一、填空题：（本大题满分60分）本大题共有12小题，每小题5分．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）＝1+i（i是虚数单位），则z＝．2．（5分）设集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x＞a}，要使M∩N＝∅，则实数a的取值范围是．3．（5分）不等式+2x＞0的解集为．4．（5分）将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是．5．（5分）函数f（x）＝2sin2x+sin2x的最大值为．6．（5分）要从5名男生，3名女生中选出3人作为学生代表参加社区活动，且女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有种．7．（5分）A、B是半径为R的球面上的两点，A、B是球面距离是，则过A、B两点的平面到球心的距离的最大值为．8．（5分）已知点M的坐标是（1，1），F1是椭圆＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|+|PM|的取值范围是．9．（5分）若f（n）＝1+2+3+…+n（n∈N*），则＝．10．（5分）某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为．（填入a，b，c，d，e中的某个字母）11．（5分）不等式+kx+1≥0对于x∈[﹣1，1]恒成立，则实数k的取值范围是．12．（5分）数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为A n、B n，数列{c n}满足：c n＝a n B n+b n A n﹣a nb n．若A2009＝41，B2009＝49，则数列{c n}的前2009项的和C2009＝．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每小题4分．13．（4分）“实系数一元二次方程x2+x+c＝0有虚根”是“c＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件14．（4分）已知A、B是一锐角三角形两内角，直线l过P（1，0），以为其方向向量，则直线l一定不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（4分）等差数列{a n}中，前n项和为S n，|a3|＝|a9|，公差d＜0．若存自然数N，对于任意的自然数n≥N，总有S n+1≤S n成立，则N值为（）A．7和8B．6和7C．5和6D．4和516．（4分）老师给出问题：“设函数f（x）的定义域是（0，1），且满足：①对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；②对于任意的x1，x2∈（0，1），恒有≤2．请同学们对函数f（x）进行研究”．经观察，同学们提出以下几个猜想：甲同学说：f（x）在上递减，在上递增；乙同学说：f（x）在上递增，在上递减；丙同学说：f（x）的图象关于直线x＝对称；丁同学说：f（x）肯定是常函数．你认为他们的猜想中正确的猜想个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个三、解答题（本大题满分74分）17．（12分）如图：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝BC＝AC＝2，AC⊥BC．（1）求多面体ABC﹣A1C1的体积；（2）异面直线A1B与AC1所成角的大小．18．（14分）已知△ABC所对的边分别是a、b、c，设向量＝（a，b），＝（sin B，sin A），＝（b﹣2，a﹣2）．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c＝2，角C＝60°，求△ABC的面积．19．（16分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（1）当a＝﹣1时，求函数y＝f（x）的值域；（2）若函数y＝f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围．20．（16分）如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右两个焦点分别为F1、F2．过右焦点F2与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），求点M到直线BF1的距离；（3）过F1M中点的直线l1交椭圆于P、Q两点，求|PQ|长的最大值以及相应的直线方程．21．（16分）已知数列{a n}是公差d≠0的等差数列，且a5＝6．（1）求{a n}的前9项的和S9；（2）若a3＝3，问在数列{a n}中是否存在一项a m（m是正整数），使得a3，a5，a m成等比数列，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在自然数n1，n2，n3，…，n t（t是正整数），满足5＜n1＜n2＜n3＜…＜n t，使得a 3，a5，，…，成等比数列，求所有整数a3的值．2015-2016学年上海市格致中学高三（上）摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分60分）本大题共有12小题，每小题5分．1．【解答】解：由，得．则z＝﹣i．故答案为：﹣i．2．【解答】解：∵集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x＞a}，且M∩N＝∅，在数轴上作出图形如下图所示，根据上述图形，可以得到实数a的取值范围是a≥1．故答案为：a≥1．3．【解答】解：∵+2x＞0，∴x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1，∴不等式+2x＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣3或x＞1}．4．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为：＝5．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）＝2sin2x+sin2x＝1﹣cos2x+sin2x＝1+sin（2x﹣），∴当sin（2x﹣）＝1时，原式取到最大值1+，故答案为：1+．6．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数原理的应用，这3人女生人数不多于男生人数，包括2男1女和3男0女两种情况．若3人中有2男1女，则不同的选法共有C52C31＝30种，若3人中有3男0女，则不同的选法共有C53＝10种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有30+10＝40种，故答案为：40．7．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB＝．设过A、B两点的球截面为圆C，由球截面圆的性质OC为球心到过A、B两点的平面的距离．D为AB中点，则OC≤OD，当且仅当C，D重合时取等号．在边三角形AOB中，OD＝R．故答案为：R．8．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6那么|PF1|＝6﹣|PF2|，则|PF1|+|PM|＝6﹣|PF2|+|PM|＝6+（|PM|﹣|PF2|）根据三角形三边关系可知，当点P位于P1时，|PM|﹣|PF2|的差最小，此时F2与M点连线交椭圆于P1，易得﹣|MF2|＝﹣，此时，|PF1|+|PM|也得到最小值，其值为6﹣．当点P位于P2时，|PM|﹣|PF2|的差最大，此时F2与M点连线交椭圆于P2，易得|MF2|＝，此时|PF1|+|PM|也得到最大值，其值为6+．则所求范围是[6﹣，6+]．故答案为：[6﹣，6+]．9．【解答】解：由题意，f（n）＝1+2+3+…+n＝∴＝∴故答案为210．【解答】解：据S的解析式知，只有a或c的值增加，才能使S的值增加，采用特殊值检验法，∵0＜c＜d＜e＜b＜a，令a＝9，b＝7，c＝1，d＝3，e＝5，则S＝，当a增加1时，S＝，S的值增加，当c增加1时，S＝，S的值增加，∴当c增加1时，S的值增加最多；故答案为c．11．【解答】解：不等式+kx+1≥0对于x∈[﹣1，1]恒成立，等价为+1≥﹣kx对于x∈[﹣1，1]恒成立，设y＝+1（y≥1），则等价为x2+（y﹣1）2＝1对应的轨迹为以（0，1）为圆心，半径为1的上半圆，则A（1，1），B（﹣1，1），若+1≥﹣kx对于x∈[﹣1，1]恒成立，则等价为A，B在直线y＝﹣kx的上方或在直线上即可，即A（1，1），B（﹣1，1），在不等式y≥﹣kx对应的区域内，则满足，即，解得﹣1≤k≤1，故答案为：[﹣1，1]．12．【解答】解：c n＝a n B n+b n A n﹣a n b n＝（A n﹣A n﹣1）（B n﹣b n）+（B n﹣B n﹣1）A n ＝A n B n﹣A n﹣1B n﹣1．∴数列{c n}的前2009项的和C2009＝（A2009B2009﹣A2008B2008）+（A2008B2008﹣A2007B2007）+…+（A2B2﹣A1B1）+A1B1＝A2009B2009＝41×49＝2009．故答案为：2009．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每小题4分．13．【解答】解：实系数一元二次方程x2+x+c＝0有虚根，∴△＝1﹣4c＜0，解得c＞，∴“c＞”是“c＞1”的必要不充分条件，∴“实系数一元二次方程x2+x+c＝0有虚根”是“c＞1”的必要不充分条件，故选：B．14．【解答】解：∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A+B＞，A＞﹣B，B＞﹣A，∴sin A＞sin（﹣B）＝cos B，sin B＞sin（﹣A）＝cos A，∴sin B﹣cos A＞0，cos B﹣sin A＜0；又方向向量＝（1，），∴直线l的斜率k＝＜0，且过点P（1，0），则直线l不过第三象限．故选：C．15．【解答】解：等差数列中，∵|a3|＝|a9|，∴a32＝a92，即（a1+2d）2＝（a1+8d）2，∴a1＝﹣5d，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣6）d；又S n+1≤S n，∴，即，化简得，解得5≤n≤6．故选：C．16．【解答】解：令x1＝1﹣x2，则不等式≤2等价为+≤2，由①知对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；则+≥2＝2，故+＝2当且仅当＝＝1即f（x2）＝f（1﹣x2）时成立．此时函数f（x）关于x＝对称，故丙猜想正确．由丙同学可知f（x）关于x＝对称，则f（x1）＝f（1﹣x1），f（x2）＝f（1﹣x2），则不等式≤2等价+≤2，即2≤2，则≤1，∵对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0，∴f（x1）≤f（x2），则f（x1）＝f（x2）恒成立，即函数f（x）为常数函数，故丁正确，其他不一定正确，故选：B．三、解答题（本大题满分74分）17．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝BC＝AC＝2，AC⊥BC，∴CC1⊥平面ABC，BC⊥平面AA1C1，∵S△ABC＝＝，＝＝＝2，CC1＝2，BC＝2，∴多面体ABC﹣A1C1的体积：V＝＝+＝＝．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），B（0，2，0），A（2，0，0），C1（0，0，2），＝（﹣2，2，﹣2），＝（﹣2，0，2），设异面直线A1B与AC1所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝||＝0，∴异面直线A1B与AC1所成角的大小为．18．【解答】解：（1）∵向量＝（a，b），＝（sin B，sin A），且∥；∴a sin A﹣b sin B＝0，由正弦定理得，sin A•sin A﹣sin B•sin B＝0，即＝；∴cos2A＝cos2B，∴2A＝2B，即A＝B；∴△ABC为等腰三角形；（2）∵向量＝（a，b），＝（b﹣2，a﹣2），且⊥；∴a（b﹣2）+b（a﹣2）＝0，即ab＝a+b；又∵c＝2，角C＝60°，由余弦定理得22＝（a+b）2﹣2ab﹣2ab cos60°；∴4＝（ab）2﹣3ab，解得ab＝4，或ab＝﹣1（舍去）；∴△ABC的面积为S＝ab sin C＝×4×sin60°＝．19．【解答】解：（1），∵x∈（0，1]∴当且仅当，即时，，所以函数y＝f（x）的值域为；（2）因为函数y＝f（x）在定义域上是减函数，所以对x∈（0，1]恒成立，即a≤﹣2x2，x∈（0，1]，所以a≤（﹣2x2）min，所以a≤﹣2，故a的取值范围是：（﹣∞，﹣2]；20．【解答】解：（1）设右焦点F2为（c，0），令x＝c，代入椭圆可得y＝±b，由M （，1），即有c ＝，＝1，又a2﹣b2＝2，解得a＝2，b ＝，则椭圆方程为+＝1；（2）由题意可得B（0，﹣），F1（﹣，0），直线BF1的方程为x+y +＝0，则点M到直线BF1的距离为＝2+；（3）过F1M中点的直线l1的方程设为x＝m（y ﹣），代入椭圆方程，可得（2+m2）y2﹣m2y +m2﹣4＝0，由于中点（0，）在椭圆内，故直线与椭圆相交，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），即有y1+y2＝，y1y2＝，弦长|PQ|＝•|y1﹣y2|＝•＝，令t＝2+m2（t≥2），则|PQ|＝＝，当m＝0即t＝2时，取得最小值2，即有2≤|PQ|＜；第11页（共12页）当直线l1：y ＝时，代入椭圆方程，可得x ＝±，即有|PQ|＝．综上可得，|PQ|的最大值为，此时直线方程为y ＝．21．【解答】解：（1）S9＝＝9a5＝9×6＝54．（2）由a3＝3，且a5＝6．可得，解得a1＝0，d ＝，可得a n ＝．假设存在一项a m（m是正整数），使得a3，a5，a m成等比数列，则＝a3•a m，∴62＝3×，解得m＝9．∴存在一项a9，使得a3，a5，a9成等比数列．（3）由题意可得：＝a 3，n1＞5．∴62＝（6﹣2d）[6+（n1﹣5）d]，d≠0．化为：n1＝5﹣，∴d﹣3＜0，且d﹣3＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6．可得：d＝2，1，﹣3，当d＝2时，n1＝11，a3＝6﹣2d＝2．当d＝1时，n1＝8，a3＝6﹣2d＝4．当d＝﹣3时，n1＝6，a3＝6﹣2d＝12．综上可得：a3＝2，4，12．第12页（共12页）。

上海市格致中学2024届高三上学期开学考试数学试题

上海市格致中学2024届高三上学期开学考试数学试题

上海市格致中学2024届高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知直线a，若直线b同时满足下列条件：①a与b异面；②a与b成定角；③a与b距离为定值d；则这样的直线bA．唯一确定B．有两条C．有四条D．有无数条14．某校举办“学党史、育文化”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确是（）①a的值为0.005；三、解答题17．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,E F 分别为1,AD CC 的中点.(1)已知点G 满足14DD DG =uuuu r uuur ，求证,,,B E G F 四点共面；(2)求点1C 到平面BEF 的距离.18．ABC V 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，已知()cos 2cos b C a c B =-.(1)求B ；(2)若ABC V 为锐角三角形，且1c =，求ABC V 面积的取值范围.19．近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M 社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：故无论a 取何值，曲线C 都关于原点中心对称，①正确；②设曲线C 上任意一点(,)P x y ，则()221x y axy a ++=ÎR 成立.由221y x ay x ++×=，得点P 关于y x =的对称点2(,)P y x 也在曲线上.又2222()()()()1y x a y x x y axy -+-+-×-=++=，即点P 关于y x =-的对称点2(,)P y x --也在曲线上.故无论a 取何值，曲线C 关于直线y x =和y x =-对称，②正确；③当2a =时，曲线方程为2221x y xy ++=，方程可变形为(1)(1)0x y x y +++-=，即曲线表示两条直线10x y ++=，或10x y +-=；当2a =-时，曲线方程为2221x y xy +-=，方程可变形为(1)(1)0x y x y -+--=，即曲线表示两条直线10x y -+=，或10x y --=，故使得曲线C 表示两条直线的实数a 不唯一，故③不正确；④当1a =时，221x y xy ++=，设曲线上任意一点(,)R x y ，当0,0x y ³³时，则2211x y xy +=-£，【详解】由题意，作出如图所示的图形，其中//,,a b a b a b ÌÌ，且,a b 异面，则平面b 与b 平行的线都满足要求，所以这样的直线由无数条.故选D.【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，以及异面直线的定义、夹角、距离等概念是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14．B【分析】由频率分布直方图逐项判断即可.【详解】由频率直方图可知：()23365101a a a a a a +++++´=，解得：0.005a =，故①正确；成绩低于60分的频率为()23100.25a a +´=，所以成绩低于60分的有10000.25250´=人，故②错误；最高矩形底边中点值为75，故这组数据的众数估计为75，故③正确；由于()2336100.7a a a a +++´=，故第85百分位数位于[]80,90，所以设第85百分位数为x ，()0.7800.0250.85x +-´=，解得86x =，故④正确.故选：B15．A【分析】设过点(),0A a -且方向向量为()1,1n =-r 的光线，经直线y b =-的点为B ，右焦点当()(){}2,0e e 2b ¥-Î--U 时，直线即方程1e 2e 1x x b x +--=-恰有一个实数。

2017-2018学年上海市格致中学高三上学期第二次月考数学试卷

2017-2018学年上海市格致中学高三上学期第二次月考数学试卷

2016-2017学年上海市格致中学高三（上）第二次月考数学试卷一.填空题1．已知复数，则复数z的虚部为．2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于．3．已知||=1，||=，∥，则•=．4．不等式的解集为．5．函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=．6．已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集为．7．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为．8．已知动点（x，y）符合条件，则范围为．9．在的展开式中有项为有理数．10．若a，b∈{1，2，3，…，11}，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆的概率是．11．若关于x的方程，（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程的解集为．二.选择题13．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要14．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜015．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（）A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθC．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ16．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称17．对于正整数n，定义“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2；当n为奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1；则：①•=2005!；②2004!!=21002•1002!；③2004!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5；上述命题中，正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0 B．3 C．4 D．6三.解答题19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，；（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．20．函数y=2x和y=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．（1）设曲线C1，C2分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C1，C2对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；（2）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．21．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C： +y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．22．如图一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1，在边AD的中点O处有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α，探照灯照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S；（1）当时，求S关于α的函数关系式；（2）当时，求S的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且，求点G在“一个来回”中被照到的时间．23．设函数f（x）=x2﹣（3k+2k）x+3k•2k，x∈R；（1）若f（1）≤0，求实数k的取值范围；，a2k]，求a1+a2+a3+a4及数列（2）若k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1{a n}的前2n项和S2n；（3）对于（2）中的数列{a n}，设，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．2016-2017学年上海市格致中学高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知复数，则复数z的虚部为﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数===﹣1﹣2i，则复数z的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于∅．【考点】交集及其运算．【分析】化简M={y|y＞1}，N={y|0≤y≤1}，利用两个集合的交集的定义求出M ∩N．【解答】解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y=}={y|0≤y≤1}，故M∩N={y|y＞1}∩{y|0≤y≤1}=∅，故答案为：∅．3．已知||=1，||=，∥，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用向量的数量积求解即可．【解答】解：||=1，||=，∥，则•=||||cos=．故答案为：．4．不等式的解集为[2，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式，可得，即可得出结论．【解答】解：不等式，可得，∴x≥2，∴不等式的解集为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．5．函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）其对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）∵图象的一条对称轴是直线，∴φ=+kπ，即φ=kπ，（k∈Z）∵﹣π＜φ＜0，当k=﹣1时，可得φ=．故答案为：．6．已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集为．【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．【分析】由不等式可知f（x），g（x）的函数值同号，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分，最后两部分取并集．【解答】解：x∈[0，π]，由不等式，可知f（x），g（x）的函数值同号，即f（x）g（x）＞0．根据图象可知，当x＞0时，其解集为：（0，），∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，∴f（x）g（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）g（x）＜0，∴其解集为：（﹣π，﹣），综上：不等式的解集是，故答案为．7．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为16．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．【解答】解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4由俯视图，可得四棱锥的底面的长为6，代入棱锥的体积公式，我们易得V=×6×2×4=16，故答案为：16．8．已知动点（x，y）符合条件，则范围为（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：设z=，则z的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由解得A（1，1）由图象可知≥K OA=1，或．的取值范围：（﹣∞，﹣2）∪[，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．9．在的展开式中有9项为有理数．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣1）r××．【解答】解：通项公式：T r+1为有理数，则r=0，6，12，18，24，30，当与都为整数且25为整数时，T r+136，42，48．∴展开式中有9项为有理数．故答案为：9．10．若a，b∈{1，2，3，…，11}，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆的概率是．【考点】几何概型．【分析】求出满足题意的椭圆个数，即可求出概率．【解答】解：椭圆落在矩形内，满足题意必须有，a≠b，所以有两类，一类是a，b从{1，2，3，…6，7，8}任选两个不同数字，方法有A82=56一类是a从9，10，两个数字中选一个，b从{1，2，3，…6，7，8}中选一个方法是：2×8=16所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72，所以所求概率为，故答案为．11．若关于x的方程，（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是．【考点】复合函数的单调性．【分析】先换元，分类参数，结合基本不等式，即可求m的取值范围．【解答】解：设a x=t（t＞0）∵∴∵t＞0，∴t+≥2∴∴∴m的取值范围是故答案为：12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程的解集为．【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据条件确定P的轨迹，利用轨迹对应的长度关系即可得到结论．【解答】解：P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．当0＜r≤1时，f（r）=3×=，当r∈（1，]时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，由于f（1）=f（）=，∴关于r的方程的解集为，故答案为．二.选择题13．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．14．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，实数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：∵c＜b＜a且ac＜0，故c＜0，a＞0，∴ab＞ac一定成立，又∵b﹣a＜0，∴c（b﹣a）＞0一定成立，b2与a2的大小无法确定，故cb2＜ca2不一定成立，∵a﹣c＞0，∴ac（a﹣c）＜0一定成立，故选：C15．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（）A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθC．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可；【解答】解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．对A：d=，此时d不是固定值，故舍去；对B：d=，此时d不是固定值，故舍去；对C：d=1，正确；对D：d=，此时d不是固定值，故舍去；故选：C16．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴f（）=（a﹣b）=，平方得a2+2ab+b2=0，即（a+b）2=0，则a+b=0，b=﹣a，则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，且图象关于点（π，0）对称，故选：D．17．对于正整数n，定义“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2；当n为奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1；则：①•=2005!；②2004!!=21002•1002!；③2004!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5；上述命题中，正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】排列及排列数公式．【分析】利用定义“n!!”及其“n!”的定义即可得出．【解答】解：①•=2005!，正确；②2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2=21002•1002!，正确；③2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2的个位数是0，正确；④2005!!=2005×2003×…×9×7×5×3×1的个位数是5；上述命题中，正确的命题有4个．故选：D．18．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0 B．3 C．4 D．6【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB=1，B（1，0，1），C（1，1，1）．①在Rt△AA′C中，=，因此∠AA′C≠45°．同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为．故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为，不满足条件；②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则，．若满足BP与AC′所成的角为45°，则==，化为y2+4y+1=0，无正数解，舍去；同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），则，．若满足BP与AC'所成的角为45°，则==，化为y2+8y﹣2=0，∵0≤y≤1，解得，满足条件，此时点P．④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．而其它棱上没有满足条件的点P．综上可知：满足条件的点P有且只有3个．故选B．三.解答题19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，；（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出BD=1，AC=，SD=，由此能求出四棱锥S﹣ABCD的体积．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM与SB所成角．【解答】解：（1）∵四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，，∴BD=1，AC==，SD==，S菱形ABCD===，∴四棱锥S﹣ABCD的体积V===．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），S（0，0，），M（），B（，，0），=（），=（，﹣），设异面直线DM与SB所成角为θ，则cosθ===，，∴异面直线DM与SB所成角为．20．函数y=2x和y=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．（1）设曲线C1，C2分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C1，C2对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；（2）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．【考点】根据实际问题选择函数类型；函数恒成立问题．【分析】（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x ，不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k•23x＜2x，利用分离参数法，可求k的取值范围；（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，根据零点存在定理，可得两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），由此可得a，b的值．【解答】解：（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k•23x＜2x，则k＜4﹣x对任意x∈（0，1）恒成立∵，∴（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，由于φ（1）=1＞0，φ（2）=﹣4＜0，φ（9）=29﹣93＜0，φ（10）=210﹣103＞0，则方程φ（x）=f（x）﹣g（x）的两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），因此整数a=1，b=9．21．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C： +y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据，=2，可知G（，），h（，），表示出|GH|2，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H（，）|GH|2=+设M是GH的中点，则M（，），由题意可知2|MO|＜|GH|即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以（）＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）．22．如图一块长方形区域ABCD ，AD=2，AB=1，在边AD 的中点O 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF 始终为，设∠AOE=α，探照灯照射在长方形ABCD内部区域的面积为S ；（1）当时，求S 关于α的函数关系式；（2）当时，求S 的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在OA 及OC 处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G ，且，求点G 在“一个来回”中被照到的时间．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据题意过点O 作OH ⊥BC 于H ．再讨论α的范围，可得当0≤α≤时，E 在边AB 上，F 在线段BH 上，因此S=S 正方形OABH ﹣S △OAE ﹣S △OHF ；当＜α＜时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上，因此S=S △OEF ．由此即可得到当0≤α＜时S 关于α的函数表达式；（2）利用基本不等式求出S 的最大值，注意等号成立的条件；（3）求出在“一个来回”中OE 共转动的角度，并求出其中点G 被照到时共转的角度，结合题意列式即可求出“一个来回”中点G 被照到的时间． 【解答】解：（1）过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足当，E在边AB上，F在线段BH上（如图①），此时，AE=tanα，FH=tan（﹣α），∴S=S正方形OABH ﹣S△OAE﹣S△OHF；当，E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），EH=，FH=；（2）当，；即S=2﹣，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．，当tanα=﹣1时，S取得最大值为2﹣（3）在“一个来回”中，OE共转了2×=，其中点G被照到时，共转了2×=，∴在“一个来回”中，点G被照到的时间为9×=2分钟；23．设函数f（x）=x2﹣（3k+2k）x+3k•2k，x∈R；（1）若f（1）≤0，求实数k的取值范围；，a2k]，求a1+a2+a3+a4及数列（2）若k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1{a n}的前2n项和S2n；（3）对于（2）中的数列{a n}，设，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由f（1）≤0，可得1﹣（3k+2k）+3k•2k≤0，化为：（2k﹣1）（3k ﹣1）≤0，解出即可得出实数k的取值范围．（2）x2﹣（3k+2k）x+3k•2k≤0，化为（x﹣3k）（x﹣2k）≤0，由于k为正整数，，a2k]，可得：当k=1时，2≤x≤3，a1=2，a2=3．当设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1k=2时，4≤x≤6，a3=4，a4=6．当k=3时，8≤x≤9，a5=8，a6=9．当k=4时，12≤x≤16，a7=12，a8=16．当k≥5时，2k=（1+1）k＞3k．可得a2k﹣1=3k，a2k=2k．（k=4时也成立）．即可得出数列{a n}的前2n项和S2n．（3）对于（2）中的数列{a n}，=．可得：T1=，T2=，…，T2n＜T2n，而T2n≤T2，+1即可得出．【解答】解：（1）∵f（1）≤0，∴1﹣（3k+2k）+3k•2k≤0，化为：（2k﹣1）（3k﹣1）≤0，∴，或．解得k∈∅，或．∴实数k的取值范围时．（2）x2﹣（3k+2k）x+3k•2k≤0，化为（x﹣3k）（x﹣2k）≤0，，a2k]，∵k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1∴当k=1时，2≤x≤3，∴a1=2，a2=3．当k=2时，4≤x≤6，∴a3=4，a4=6．当k=3时，8≤x≤9，∴a5=8，a6=9．当k=4时，12≤x≤16，∴a7=12，a8=16．当k≥5时，2k=（1+1）k≥2（1++）=k2+k+2＞3k．=3k，a2k=2k．（k=4时也成立）．∴a2k﹣1∴a1+a2+a3+a4=2+3+4+6=15．n≥4时，数列{a n}的前2n项和S2n=a1+a2+…+a8+a9+a10+…+a2n+a2n﹣1=15+8+9+12+16+3（5+6+…+n）+（25+26+…+2n）=60+3×+=+n﹣2+2n+1．经过验证，n=1，2，3时也成立．∴S2n=+n﹣2+2n+1．（3）对于（2）中的数列{a n}，=．∴b1=﹣，b2=，b3=﹣，b4=，…，则T1=，T2=，…，T2n+1＜T2n，而T2n≤T2，∴数列{b n}的前n项和T n的最大值为．。

2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为．2．（4分）过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为．3．（4分）已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为．4．（4分）关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为．5．（4分）等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6=．6．（4分）据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB 型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为．7．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．8．（4分）某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为．9．（4分）双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长．10．（4分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=，展开式中的常数项为．（用数字作答）11．（4分）函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f （x）+f﹣1（x）的定义域为．12．（4分）已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有个．13．（4分）对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n 的最大值为．14．（4分）已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为．二、选择题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．17．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．418．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．20．（14分）已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．21．（14分）已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．22．（16分）对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．23．（18分）若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为{0，1，3} ．【解答】解：a=0，A=∅，满足题意；a≠0，A={x|ax﹣3=0，a∈Z}={}，x=1时，a=3；x=3时，a=1，故答案为：{0，1，3}．2．（4分）过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+3=0．【解答】解：∵与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，∴过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为：y﹣2=（x﹣1），整理，得x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．3．（4分）已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为{，} ．【解答】解：∵由题意可得：=π，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）=1，可解得：sin（2x+）=，∵x∈（0，π]，∴2x+∈（，]，∴2x+=或，即：x={，}．故答案为：{，}．4．（4分）关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：∵的解集为R，∴x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，∴△=4+4a＜0，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．5．（4分）等比数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，若S6=9S3，则a6=32．【解答】解：∵{a n}是首项为1的等比数列，S n为{a n}的前n项和，S6=9S3，∴=9×，解得q=2，∴a6=25=32．故答案为：32．6．（4分）据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB 型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为0.64．【解答】解：对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知得：P（A′）=0.28，P（B′）=0.29，P（C′）=0.08，P（D′）=0.35，∵B、O型血可以输给B型血的人，∴“可以输血给小明”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P（B′∪D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64，∴任找一个人，其血可以输给小明的概率为0.64．故答案为：0.64．7．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为3．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．8．（4分）某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为6．【解答】解：根据题意，得：该三棱锥的直观图如图所示，∴该三棱锥的左视图是底面边长为4，对应边上的高为3的三角形，它的面积为×4×3=6．故答案为：6．9．（4分）双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长2．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=8x，得抛物线的焦点坐标F（2，0），即双曲线的右焦点坐标为F（2，0），双曲线的渐近线方程为．不妨取y=，化为一般式：bx﹣ay=0．则，即4b2=a2+b2，又a2=4﹣b2，联立解得：a2=3，∴a=．则双曲线的实轴长为．故答案为：．10．（4分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．11．（4分）函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f （x）+f﹣1（x）的定义域为[4，5] ．【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，即f（x）∈[4，9]，由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，所以，f﹣1（x）的定义域为[4，9]，因此，函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为：[3，5]∩[4，9]，即[4，5]，故答案为：[4，5]．12．（4分）已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有5个．【解答】解：∵集合A含有2个元素，则集合B中含有5个元素，∴2不在A中，5不在B中，则A={1，5}，B={2，3，4，6，7}；A={3，5}，B={1，2，4，6，7}；A={4，5}，B={1，2，3，6，7}；A={5，6}，B={1，2，3，4，7}；A={5，7}，B={1，2，3，4，6}．∴满足条件的A有5个．故答案为：5．13．（4分）对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[t t]=n同时成立，则正整数n 的最大值为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4．故答案为：4．14．（4分）已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为钝角．【解答】解：∵△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，∴由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，∴A1，B1，C1均为锐角，∴△A1B1C1为锐角三角形，∵A1，B1，C1∈（0，），∴cosA1，cosB1，cosC1∈（0，1）∴sinA2，sinB2，sinC2∈（0，1）∴A2，B2，C2≠，∴△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，则cosA1=sinA2=cos（A2），cosB1=sinB2=cos（﹣B2），cosC1=sinC2=cos（﹣C2），∵A2，B2，C2均为锐角，∴﹣A2，﹣B2，﹣C2也为锐角，又∵A1，B1，C1均为锐角，∴A1=﹣A2，B1=﹣B2，C1=﹣C2三式相加得π=，不成立∴假设不成立，△A2B2C2不是锐角三角形综上，△A2B2C2是钝角三角形．∴两个三角形六个内角中的最大值为钝角．故答案为：钝角．二、选择题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，∴z1•z2=（a+bi）（c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i，若z1•z是实数，则ad+bc=0，若z1、z2互为共轭，则b=﹣d，由ad+bc=0推不出b=﹣d，由b=﹣d推不出ad+bc=0，故“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的既不充分也不必要条件，故选：D．16．（5分）数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．【解答】解：由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同，故选：B．17．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x﹣a（x＞0），即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，∴﹣log22+a﹣log24+a=1，解得，a=2，故选：C．18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选：D．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．【解答】解：（1）∵=AB×AA 1×AC=AA1=4，∴AA1=3．（2）∵B1A1⊥C1A1，B1A1⊥A1A，A1A∩B1A1=A1，∴B1A1⊥平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，∴B1A1⊥CA1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，设C1到平面A1B1C 的距离为h，∴A1C==，∵=，=h=×2××h，B1×C1A1×CC1=2×2×3，=×A∴×2××h=2×2×3，解得：h=．故C1到平面A1B1C的距离．20．（14分）已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．【解答】解：（1）cos2θ=cos2θ﹣sin2θ====．===3；（2）由，且．∴sinθ=，cosθ=．∴，展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，化为：cosΦ+5××sinΦ=3cosΦ，∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，∴tanΦ=1，∴Φ=．21．（14分）已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．【解答】解：（1）由题意，四边形OT1T2P是正方形，∴|OP|=2，∴点P的轨迹方程是x2+y2=4；（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，设∠T1OP=α，t=OP2，∵，∴（﹣）•（﹣）=λ，∴2cos2α﹣2OPcosα+OP2=λ，∴+t﹣6=λ，∴t2﹣（6+λ）t+8=0，∴t=（另一根舍去），∴M的面积S==．22．（16分）对于数列{a n}，若a n+2﹣a n=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{a n}叫做“弱等差数列”，已知数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{a n}是“弱等差数列”，并求出数列{a n}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{a n}是等差数列，求出a、b的值，并求出{a n}的前n项和S n；（3）若s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，求a的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足：a1=t，a2=s且a n+a n+1=an+b对于n∈N*恒成立，=an+b﹣a n，∴a n+1a n+2=a（n+1）+b﹣a n+1=（an+a+b）﹣（an+b）+a n=a+a n，﹣a n=a，∴a n+2∴数列{a n}是“弱等差数列”．∵a1=t，a2=s，a n+2﹣a n=a，∴{a n}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，∴a n=．解：（2）∵当t=1，s=3时，数列{a n}是等差数列，∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，∴，解得a=4，b=0，∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴S n=2n+=n2+n．（3）∵s＞t，且数列{a n}是单调递增数列，﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，∴a2k+1∴a＞s﹣t．∴a的取值范围是（s﹣t，+∞）．23．（18分）若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．【解答】解：（1）因为2x比1接近3，所以|2x﹣3|＜|1﹣3|，即|2x﹣3|＜2，解得＜x＜，所以，x的取值范围为：（，）；（2）分类讨论如下：①当x2﹣2x比x接近于0时，|x2﹣2x|＜|x|，解得，x∈（1，3），②当x比x2﹣2x接近于0时，|x2﹣2x|＞|x|，解得，x∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（3，+∞），所以，f（x）=，画出f（x）的图象，如右图，因为方程f（x）=a有两个实根，根据函数图象得，a∈（﹣1，0）∪（0，1）；（3）对两式，平方作差得，△=（）2﹣（）2==，因为a，b∈R，m＞0且a≠b，所以，△＞0恒成立，所以，＞||，即比接近0．。

上海市格致中学2022届高三上学期开学考试数学试卷含详解

上海市格致中学2022届高三上学期开学考试数学试卷含详解

上海市格致中学2021-2022年高三上开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{}{}3,1,0,1,2,1A B x x =--=>，则A B = __________.2.已知复数z 满足()12i 34i(i z -=+为虚数单位），则z 的模为__．3.如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q =______．4.已知函数()1(0)f x x =≥，则它的反函数1()f x -=__．5.二项式25(x +的展开式中的常数项等于___________（结果用数值表示）6.方程4sin 101cos xx=在[0,]π上的解集为__．7.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________个．8.已知双曲线2221(0)2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则a =_________．9.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a,b,c ，若△ABC 的面积为22()S a b c =--，则sin 1cos AA -=______.10.已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a1=，则14m n +的最小值为__________．11.设定义域为R 的函数()f x 、()g x 都有反函数，且函数(1)f x +和1(2)g x --图像关于直线y x =对称，若(5)2021g =，则(6)f =__12.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o ．设计师的灵感来源于曲线:||||1n n C x y +=（其中n 是一个非零实常数）．以下几个关于曲线C 的命题：①曲线C 关于原点成中心对称；②曲线C 只有两条对称轴；③当2n =-时，曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2；④当0n >时，记曲线C 所围成图形的封闭图形的面积为n S ，则4n S <；⑤当0n >时，记曲线C 所围成图形的封闭图形的面积为nS ，则nS 关于n 单调递增.其中正确的序号是__．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知实数,,αβ“+2,k k Z αβπ=∈”是“()sin +sin sin αβαβ=+”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.在ABC 中，H 为直线BC 上的任意一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+=（）A.14B.12C.1D.215.如图，已知四面体ABCD 的棱//AB 平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为（）A.1B.2C.12D.2416.已知函数()y f x =与()y g x =满足对任意1x 、2x ∈R ，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-.有以下四个命题：（1）若()y g x =有反函数，则()y f x =有反函数；（2）若()y f x =是偶函数，函数()y g x =也是偶函数；（3）若()y f x =是周期函数，函数()y g x =也是周期函数；（4）若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值.其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点M 是母线PB 的中点，已知2OA OM ==.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成角的大小18.已知0,0a ω>>，函数()sin 3f x a x x ωω=的最小正周期为π，对于任意π,()12x f x f ⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭R 恒成立.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）当[0,π]x ∈，求()y f x =的零点和单调递增区间.19.已知函数()21ax f x x b+=+的图像过点(1,2)，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()()()24xf x t x t >-+-在()0,∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点2)且焦距为4，点,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；（3）,M N 是椭圆C 上的两点，且,M N 不在坐标轴上，满足OM ∥AP ，ON ∥BP ，问MON △的面积是否是定值？如果是，请求出MON △的面积；如果不是，请你说明理由.21.若无穷数列{}n a 满足：1a 是正实数，当2n ≥时，{}1121max ,,,n n n a a a a a ---= ，则称{}n a 是“Y -数列”．（1）若{}n a 是“Y -数列”且11a =，写出4a 的所有可能值；（2）设{}n a 是“Y -数列”，证明：{}n a 是等差数列的充分必要条件是{}n a 单调递减；（3）若{}n a 是“Y -数列”且是周期数列（即存在正整数T ，使得对任意正整数n ，都有)T n n a a +=，求集合{}*1,12021,ii a a i i =≤≤∈N ∣的元素个数的所有可能取值．上海市格致中学2021-2022年高三上开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{}{}3,1,0,1,2,1A B x x =--=>，则A B = __________.【答案】{}3,2-【分析】将A 中元素逐个代入判断1x >是否成立即可得解.【详解】将A 中元素逐个代入1x >，符合的有3-、2，即{}3,2A B ⋂=-.故答案为：{}3,2-.【点睛】本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()12i 34i(i z -=+为虚数单位），则z 的模为__．【答案】【分析】根据复数的运算公式求复数z 的代数形式，再由复数的模的公式求z 的模.【详解】由(12i)34i z -=+，得34i (34i)(12i)510i 12i 12i (12i)(12i)5z +++-+====-+--+，||z ==.3.如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q =______．【答案】23-【分析】由题意可知，所有项和11a S q =-，奇数项的和121a S q =-奇，结合已知即可求解.【详解】解：由题意可知，所有项和11a S q=-，奇数项的和121a S q=-奇，112311a aq q∴=--，解可得，23q =-或1q =(舍)故答案为23-.【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．4.已知函数()1(0)f x x =≥，则它的反函数1()f x -=__．【答案】2(1)x -，(1)x ≥【分析】根据反函数的概念利用()1(0)f x x =≥，得2(1)x y =-，即可得反函数()1f x -.【详解】解：因为()1(0)y f x x ==+≥，所以1y -=，(0)x ≥，所以2(1)x y =-，所以反函数12()(1)f x x -=-，(1)x ≥.故答案为：2(1)x -，(1)x ≥.5.二项式25(x+的展开式中的常数项等于___________（结果用数值表示）【答案】5【分析】由通项()111025222155rr r rr r r T C xx C x----+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令110202r r --=,解得4r =,再代入求解即可.【详解】由题,通项()111025222155rr r rr r r T C x x C x----+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令110202r r --=,解得4r =,则常数项为455C =,故答案为:5【点睛】本题考查二项式的常数项,属于基础题.6.方程4sin 101cos x x=在[0,]π上的解集为__．【答案】5,1212ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】利用行列式定义及二倍角公式化简即可.【详解】14sin cos 1,sin 22x x x ==，因为[0,]x π∈，所以2[0,2]x π∈，所以26x π=或526x π=，所以在[0,]π上的解集为5,1212ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：5,1212ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.7.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________个．【答案】32【详解】7个点，任选3个，方法数有37C 35=种，其中有3种情况是三点共线的，故总的方法数有35332-=种.故答案为：32.8.已知双曲线2221(0)2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则a =_________．【答案】3【分析】由两条渐近线的夹角得出渐近线y x a=的倾斜角为6π或3π，再由斜率得出a 的值.【详解】因为两条渐近线的夹角为3π，所以渐近线2y xa=的倾斜角为6π或3π则23tan 63a π==或2tan 3a π==a =63a =故答案为：3或9.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a,b,c ，若△ABC 的面积为22()S a b c =--，则sin 1cos AA-=______.【答案】4【详解】试题分析：∵ABC ∆的面积S=()221bcsinA=a 2b c --，∴2222221(b )bcsinA=2bc-(b ),sinA=4-4,22c a c a bc+-+-∴sin 1A coaA -=4.考点：（1）余弦定理；（2）三角形面积公式.10.已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 1=，则14m n+的最小值为__________．【答案】116【分析】由7652a a a =+求得2q =1=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n+的最小值.【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+,可得到6662a a q a q=+,由于0n a >,所以21q q=+,解得2q =或1q =-.因为各项全为正,所以2q =.由于存在两项,m n a a 1=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n +=;当2,3m n ==时，14116m n +=；当3,2m n ==时,1473m n +=;当4,1m n ==时,14174m n +=;综上可得14m n +的最小值为116,故答案为116.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.11.设定义域为R 的函数()f x 、()g x 都有反函数，且函数(1)f x +和1(2)g x --图像关于直线y x =对称，若(5)2021g =，则(6)f =__【答案】2023【分析】根据函数(1)f x +和1(2)g x --图像关于直线y x =对称列式，求得()6f 的值.【详解】依题意，令()()651f f t =+=，由于函数(1)f x +和1(2)g x --图像关于直线y x =对称，故1(2)5g t --=，()1g x -的反函数是()g x ，而(5)2021g =，故22021t -=，解得2023t =，即()62023f =故答案为:202312.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o ．设计师的灵感来源于曲线:||||1n n C x y +=（其中n 是一个非零实常数）．以下几个关于曲线C 的命题：①曲线C 关于原点成中心对称；②曲线C 只有两条对称轴；③当2n =-时，曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2；④当0n >时，记曲线C 所围成图形的封闭图形的面积为n S ，则4n S <；⑤当0n >时，记曲线C 所围成图形的封闭图形的面积为n S ，则n S 关于n 单调递增.其中正确的序号是__．【答案】①③④⑤．【分析】以x -替换x ，以y -替换y ，方程不变判断①；举例说明曲线C 的对称轴不只两条判断②；利用基本不等式求最值判断③；求得曲线在第一象限围成图形的面积的范围，结合由对称性判断④；根据曲线中(),1,1x y ∈-，若当n 变大时，仍满足:||||1n n C x y +=，则曲线向外扩展，即可判断⑤．【详解】解：对于①，在曲线:||||1n n C x y +=中，以x -替换x ，以y -替换y ，方程不变，则曲线C 关于原点成中心对称，故①正确；对于②，当n 为偶数时，例如2n =时，曲线22:1C x y +=表示圆，圆又无数条对称轴，不只有两条对称轴，故②错误；对于③，当2n =-时，:||||1n n C x y +=化为22111x y+=，由2222222211()(224y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当44x y =2≥，即曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2，故③正确；对于④，当0n >时，若点()00,x y 在曲线上，则点()()()000000,,,,,x y x y x y ----均在曲线上，则曲线C 在四个象限围成封闭图形的面积相同，取曲线C 在第一象限的面积为1S ，则14S S =，又在第一象限的曲线为1n n x y +=，所以1111S <⨯=，则4S <，故④正确．对于⑤，易得(),1,1x y ∈-，当n 变大时，若,x y 不变，则||||1n n x y +<，所以为了保持曲线:||||1n n C x y +=，图形必定要向外拓展，曲线C 所围成图形的封闭图形的面积为n S ，则n S 关于n 单调递增，故⑤正确；故正确的序号是①③④⑤．故答案为：①③④⑤．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知实数,,αβ“+2,k k Z αβπ=∈”是“()sin +sin sin αβαβ=+”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】当+2,k k Z αβπ=∈时，()sin +0αβ=，且sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβααπαα+=+-+=-=，充分性成立；当()sin +sin sin αβαβ=+时，未必有+2,k k Z αβπ=∈，例如,0απβ==时，此时()sin +sin sin 0αβαβ=+=，但不满足+2,k k Z αβπ=∈.所以实数,,αβ“+2,k k Z αβπ=∈”是“()sin +sin sin αβαβ=+”的充分而不必要条件.故选：A.14.在ABC 中，H 为直线BC 上的任意一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+=（）A.14B.12C.1D.2【答案】A【分析】根据平面向量基本定理与共线定理即可得结论.【详解】解：因为M 为AH 的中点，且AM AB AC λμ=+，所以12AM AH AB ACλμ==+ 所以22AH AB AC λμ=+，且B ，H ，C 三点共线，所以221λμ+=，则12λμ+=．故选：A ．15.如图，已知四面体ABCD 的棱//AB 平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为（）A.1B.22C.12D.24【答案】D【分析】方法一：根据图象的旋转过程直观的看出何时最小，代入数据即可求解；方法二：根据题干中的数据和点到面的距离可得到当CD α⊥时取最小值，代入数据即可求解.【详解】方法一：记AB 的中点E ，从侧面看，图1只需考虑ECD 绕着E 点旋转时，ECD 在直线l 上的投影.图1为初始状态.①当旋转π4时，如图2，投影最短为12，min11224S==.②旋转过程中，有如下函数关系：12πcos,022412ππ,2242123ππcos(),π2242Sθθθθθθ⎧≤<⎪⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≤≤⎪⎪⎩，当ECD第一次旋转到图3位置时，ECD在直线l的投影又回到了图1，综上：min112224S==，故选：D.方法二：取AB的中点M，连结CM，DM，因为DA DB=，CA CB=，所以AB CM⊥，AB DM⊥，DM CM M⋂=，所以AB⊥平面CDM，因为CD⊂平面CDM，所以AB CD⊥．因为AB=，1AC BC CD===，所以AC BC⊥，22CM DM==，所以CM DM⊥，所以M到CD的距离为12．故当CDα⊥时，()S x取得最小值112224=．故选：D.16.已知函数()y f x=与()y g x=满足对任意1x、2x∈R，都有()()()()1212f x f xg x g x-≥-.有以下四个命题：（1）若()y g x=有反函数，则()y f x=有反函数；（2）若()y f x=是偶函数，函数()y g x=也是偶函数；（3）若()y f x =是周期函数，函数()y g x =也是周期函数；（4）若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值.其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用反函数的定义可判断（1）的正误；取1x x =，2x x =-，利用函数奇偶性的定义可判断（2）的正误；设()y f x =的周期为T ，令1x x T =+，2x x =，利用不等式的基本性质结合函数周期性的定义可判断（3）的正误；取()arctan ,110,110,1x x f x x x ≠±⎧⎪==⎨⎪-=-⎩，()1arctan 2g x x =可判断（4）的正误.即可得出合适的选项.【详解】对于（1），若()y g x =有反函数，则x 、y 一一对应，即任取1x 、2x ∈R ，有()()12g x g x ≠，从而()()()()12120f x f x g x g x -≥->，故()()12f x f x ≠，即x 、y 一一对应，故()y f x =有反函数，故（1）正确；对于（2），若()y f x =是偶函数，则()()f x f x -=，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-对任意1x 、2x ∈R 恒成立，令1x x =，2x x =-，则()()()()f x f x g x g x --≥--，因为()()f x f x -=，所以()()0g x g x --≤，所以()()g x g x =-，所以函数()y g x =也是偶函数，故（2）正确；对于（3），设()y f x =的周期为T ，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-对任意1x 、2x ∈R 恒成立，令1x x T =+，2x x =，则()()()()f x T f x g x T g x +-≥+-，因为()()f x T f x +=，所以()()0g x T g x +-≤，所以()()g x T g x +=，所以函数()y g x =也是周期函数，故（3）正确；对于（4），只能说明()y g x =有界，不能说明有最值，反例如下：()arctan ,110,110,1x x f x x x ≠±⎧⎪==⎨⎪-=-⎩，()1arctan 2g x x =，则函数()f x 的最大值为10，最小值为10-，()1ππarctan ,244g x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，对任意的1x 、2x ∈R ，()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，但函数()g x 既无最大值，也无最小值，故（4）错误；故选：C ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点M 是母线PB 的中点，已知2OA OM ==.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成角的大小【答案】（1）833（2）3arccos 4【分析】（1）由圆锥性质知4PB =，然后计算出高PO 后可得体积；（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴.建立空间直角坐标系，用空间向量法示得异面直线所成的角．【详解】（1）由题可得4,PB OP ==，故体积2112333V S h ππ=⋅⋅=⋅⨯⨯=.（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(2,0,0),M A P ，所以(OM AP ==-，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则||63cos 244||||OM AP OM AP θ⋅===⨯ ，故所成角为3arccos 4.【点睛】本题考查求圆锥的体积，考查用空间向量法求异面直线所成的角．掌握圆锥的性质是解题关键．18.已知0,0a ω>>，函数()sin f x a x x ωω=的最小正周期为π，对于任意π,()12x f x f ⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭R 恒成立.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）当[0,π]x ∈，求()y f x =的零点和单调递增区间.【答案】（1）π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）零点为π3x =和5π6x =，单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】(1)先利用辅助角公式化简，结合题意得周期以及max π()12f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可判断解析式；(2)结合三角函数性质求解零点和单调递增区间即可.【小问1详解】由题意得()sin )f x a x x x ωωωϕ=+=+，因为最小正周期为π，所以2ω=，所以()()sin222f x a x x x ϕ=+=+，因为对于任意π,()12x f x f ⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭R 恒成立，所以max π()12f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭322a =+，解得1a =，所以π()sin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭【小问2详解】令π2π,3x k k Z +=∈得ππ,26k x k Z =-∈，令πππ22π,2π+,322x k k k Z ⎡⎤+∈-∈⎢⎥⎣⎦得5πππ,π+,1212x k k k Z ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，又[0,π]x ∈，所以()y f x =的零点为π3x =和5π6x =，单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.已知函数()21ax f x x b+=+的图像过点(1,2)，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()()()24xf x t x t >-+-在()0,∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）21()x f x x+=；（2）(),4-∞.【分析】（1）根据图象关于原点对称得()f x 图象过点(1,2)和(1,2)--，再用待定系数即可求解；（2）将()()()24xf x t x t >-+-化为225(1)x x x t ++>+，再用分离参数法求解即可.【详解】（1）依题意，函数()f x 的图象过点(1,2)和(1,2)--.所以1(1)221111210(1)21a f a b a b a a b b f b +⎧==⎪⎧-==⎧⎪+⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩⎩⎪-==-⎪-+⎩，故21()x f x x +=.（2）不等式()(2)(4)xf x t x t >-+-可化为225(1)x x x t ++>+.即2251x x t x ++<+对一切的()0,x ∈+∞恒成立.因为22541411x x x x x ++=++≥++，当且仅当1x =时等号成立，所以实数t 的取值范围为(),4-∞.【点睛】本题考查待定系数法求解析式，不等式恒成立问题，是中档题.根据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值分类讨论参数的取值是否满足要求；（2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，通过函数或者不等式确定最值，由此得到参数范围.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点且焦距为4，点,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；（3）,M N 是椭圆C 上的两点，且,M N 不在坐标轴上，满足OM ∥AP ，ON ∥BP ，问MON △的面积是否是定值？如果是，请求出MON △的面积；如果不是，请你说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）12-（3）是，【分析】（1）根据题意建立方程，联立解出22,a b 即可，（2）由题意M ，N 是椭圆C 上非顶点的两点，且OM ∥AP ，ON ∥BP，设,2sin )P θθ，然后表示出直线的斜率，化简即可得.（3）利用（2）中的结论，设直线方程，联立方程组消元，写出韦达定理，找出参数变量间的关系，利用三角形面积公式表示出MON S ，化简求出面积为定值即可.【小问1详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点且焦距为4，得24c =，即2c =，①22421a b +=，②222a b c =+，③解得28a =，24b =，所以椭圆方程为22184x y +=．【小问2详解】由题意M ，N 是椭圆C 上非顶点的两点，且OM ∥AP ，ON ∥BP ，设,2sin )P θθ，则21224sin 18(cos 1)2k k θθ===--.【小问3详解】因为OM ∥AP ，ON ∥BP ，所以12OM ON k k =-，设直线MN 的方程为x my t =+，由22184x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(2)280m y mty t +++-=，④设1122(,),(,)M x y N x y ，则12222mt y y m +=-+，212282t y y m-=+，12x x =22221212228()2t m m y y mt y y t m -+++=+，所以2212221228122822OM ON t y y m k k t m x x m -+===--+，得2224t m =+，又1211||||||22MON S t y y t =-=1||2t =即MON △的面积为定值.21.若无穷数列{}n a 满足：1a 是正实数，当2n ≥时，{}1121max ,,,n n n a a a a a ---= ，则称{}n a 是“Y -数列”．（1）若{}n a 是“Y -数列”且11a =，写出4a 的所有可能值；（2）设{}n a 是“Y -数列”，证明：{}n a 是等差数列的充分必要条件是{}n a 单调递减；（3）若{}n a 是“Y -数列”且是周期数列（即存在正整数T ，使得对任意正整数n ，都有)T n n a a +=，求集合{}*1,12021,i i a a i i =≤≤∈N ∣的元素个数的所有可能取值．【答案】（1）所有可能值为2-，0，2，8（2）证明见解析（3）答案见解析【分析】（1）根据定义写出234,,a a a 即可；（2）利用已知条件，证明充分条件以及必要条件即可；（3）方法1：因为{}n a 为周期数列，推出1{}n n a a --为周期数列，根据周期性推导出结果即可；方法2：设第一次出现大于1a 的项为i a ，则{}112max ,,,i i i i a a a a a a +-== ，所以121...,Z i i i a a ka a k ++=≠∈，与{}n a 为周期数列矛盾，所以{}121max ,,,i a a a a = ，后面的分析与方法1一样.【小问1详解】所有可能的情况有：22a =，0，34a =，0，1，1-，48a =，0，2，2-，2，0，0，2-，故4a 的所有可能值为2-，0，2，8．【小问2详解】因为211||a a a -=，所以20a =或12a ．当{}n a 是等差数列时，假设212a a =，则321123a a a a =-=．此时321||a a a -=，而{}121max ,2a a a =，矛盾，所以20a =．于是公差2110d a a a =-=-<，所以{}n a 单调递减；当{}n a 单调递减时，对任意2n ≥，{}1211max ,,,n a a a a -= ，又11||n n n n a a a a ---=-，所以11n n a a a --=-，从而{}n a 是等差数列；综上，{}n a 是等差数列的充分必要条件是{}n a 单调递减；【小问3详解】方法1：因为{}n a 为周期数列，所以11i i i T i T a a a a -+-+-=-，所以1{}n n a a --为周期数列，又{}1121max ,,,n n n a a a a a ---= ，所以21321n n a a a a a a --≤-≤≤-≤ 设一个周期里：11221T T i i T T a a a a a a ----≤-≤-，因为1221T T T T a a a a ---=-，所以11221T T i i T T a a a a a a ----=-=-，所以1n n a a c --=为定值，因为211||a a a -=，所以{}11121max ,,,n n n a a a a a a ---== ，取1111,0,,0,,,a a a a ，则1i a a =有2011110112+=个，取1111111,0,,2,,10081009,1008,,0,a a a a a a a ----- ，则1i a a =有1个，取1111111,0,,2,,10071008,1007,,0,,0a a a a a a a ----- ，则1i a a =有1个，取11111111,0,,2,,10061007,1006,,0,,0,a a a a a a a a ----- ，则1i a a =有2个，依次取数得到1~1010个1i a a =，个数最多有1011个.方法2：设第一次出现大于1a 的项为i a ，则{}112max ,,,i i i i a a a a a a +-== ，所以121...,Z i i i a a ka a k ++=≠∈，与{}n a 为周期数列矛盾，所以{}121max ,,,i a a a a = ，取1111,0,,0,,,a a a a ，则1i a a =有2011110112+=个，取1111111,0,,2,,10081009,1008,,0,a a a a a a a ----- ，则1i a a =有1个，取1111111,0,,2,,10071008,1007,,0,,0a a a a a a a ----- ，则1i a a =有1个，取11111111,0,,2,,10061007,1006,,0,,0,a a a a a a a a ----- ，则1i a a =有2个，依次取数得到1~1010个1i a a =，个数最多有1011个.。

上海市格致中学高三开学考数学(2018.09)

上海市格致中学高三开学考数学(2018.09)

格致中学高三数学开学考2018.09一. 填空题 1. 2135(21)lim 2n n n n→∞+++⋅⋅⋅+-=- 2. 已知1:3250l x ay +-=，2:(31)20l a x ay ---=，并且1l ∥2l ，则实数a 的值为 3.二项式81)2x 的展开式的常数项是 4. 函数arcsin y x π=-，[1,1]x ∈-的反函数是5. 在四边形ABCD 中，(2,1)AC =u u u r ，(3,6)BD =-u u u r ，则四边形的面积为6. 实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为12i 1ix +=+，则a b += 7. 在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为8. 对于任意[3,)x ∈+∞，不等式212ax x x a +<-+恒成立，实数a 的取值范围是9. 学校从7名短跑运动员中选出4人参加运动会中的4100⨯米接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率是10. 设A 、B 、C 、D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为11. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ，若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为12. 将集合{1,2,3,,12}M =⋅⋅⋅的元素分成互不相交的三个子集，M A B C =U U ，其中1234{,,,}A a a a a =，1234{,,,}B b b b b =，1234{,,,}C c c c c =，且k k k a b c +=，1,2,3,4k =，则满足条件的集合C 有 个二. 选择题13. 若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A. 4B.5C. 6D. 714. 若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值为（ ） A. 4π B. 2π C. 34π D. π 15. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=u u u r u u u r ，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（ ）A. 1B. 34-C. 7-D. 658-三. 解答题17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ∠=︒，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60°，设1AA a =.（1）求a 的值；（2）求三棱锥11B A BC -的体积.18. 已知函数()||3f x x ax =+-（a ∈R ）.（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数()y f x =的零点的个数.19. 如图，欲在一四边形花坛ABCD 内挖一个等腰三角形的水池AQR ，且AQ AR =，已知四边形ABCD 中，△ABD 是等腰直角三角形，AB AD ==BCD 是等腰三角形，CB CD =，BCD ∠的大小为24arctan 7，要求△AQR 的三个顶点在花坛的边缘上（即在四边形ABCD 的边上），设点A 到水池底边QR 的距离为h 米，水池的面积为S 平方米.（1）求AC 的长；（2）试将S 表示成关于h 的函数，并求出S 的最大值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(2,0)、(2,0)-的距离之和等于，设点P 的轨迹为C ，斜率为k 的直线l 过点(2,0)，且与轨迹C 交于A 、B 两点.（1）写出轨迹C 的方程；（2）如果||AB =k 的值；（3）是否存在直线l ，使得在直线3x =上存在点M ，满足△ABM 为等边三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.21. 设数列{}n a 前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤（*n ∈N ），则称{}n a 是“紧密数列”. （1）若数列{}n a 是“紧密数列”，且11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”，并说明理由；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.参考答案一. 填空题 1.12 2. 0或16- 3. 7 4. 1()sin f x x -=，3[,]22x ππ∈ 5.152 6. 12- 7. 3 8. 1a <9.536 10. 11. 3 12. 3二. 选择题13. C 14. A 15. D 16. D三. 解答题17.（1）1a =；（2）16. 18.（1）当0a =时，为偶函数；当0a ≠时，为非奇非偶函数；（2）当(1,1)a ∈-时，有2个零点；当(,1][1,)a ∈-∞-+∞U 时，有1个零点.19.（1）14；（2）22max 3213147147(7)42444S h h h S =-+=--+⇒=. 20.（1）22162x y +=；（2）1k =±；（3）(2)y x =±-. 21.（1）8181328x ≤≤；（2）是；（3）1[,1]2.。

数学---上海市黄浦区格致中学2018届高三(上)10月月考试卷(解析版)

数学---上海市黄浦区格致中学2018届高三(上)10月月考试卷(解析版)

上海市黄浦区格致中学2018届高三（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）集合A={1，2，3，4，5}，B={x||x﹣3|≤1}，则A∩B=．2．（3分）直线l过点M（2，1）与直线3x+y﹣1=0垂直，则直线l的方程为．3．（3分）已知tanα=2，则=．4．（3分）等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若d＞0，且S10=0，则使得a n＜0的n 的最大值等于．5．（3分）已知实数x满足|log2x+4i|≥5（i是虚数单位），则x的取值范围是．6．（3分）设集合M={（x，y）|x﹣y+1≥0且x+y﹣2≤0且y≥0}，P∈M，A点坐标为（0，﹣1），则|AP|最大值与最小值之差等于．7．（3分）与椭圆有共同焦点，且焦点到渐近线距离等于1的双曲线方程为．8．（3分）从由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个，所取到的数大于3400的概率等于（结果用最简分数作答）9．（3分）设正整数m满足：二项式的展开式含有x的一次项．若将满足条件的正整数m由从小到大排成一个数列{a n}，则此数列的第2017项a2017=．10．（3分）定义在D上的函数f（x），若存在x0∈D，对于任意的x∈D都有f（x）≤f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的极大值点，若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间（0，π）上恰好有三个极大值点，则ω的取值范围是．11．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是正方体（包括表面）中的动点，且满足，则点P所形成的几何体的体积等于．12．（3分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[﹣1.5]=﹣2．若函数（a ＞0，a≠1），则g（x）=[f（x）﹣]+[f（﹣x）﹣]的值域为．二.选择题13．（3分）给出下列命题：（1）若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；（2）函数f（x）在区间[a，b]上存在反函数的充要条件是f（x）在区间[a，b]上是单调函数；（3）函数f（x）在定义域D上的反函数为f﹣1（x），则对于任意的x0∈D都有成立；其中正确的命题为（）A．（1）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（1）（2）（3）14．（3分）已知a1、a2、b1、b2、c1、c2都是非零实数，集合A={x|a1x2+b1x+c1=0，x∈R}，B={x|a2x2+b2x+c2=0，x∈R}，则“A=B”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）在空间坐标系中，高为1，底面边长也为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1与z轴平行，设此三棱柱的左视图的面积为S，则S的最大值与最小值之差为（）A．B．C．D．16．（3分）已知，B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，则A∩B所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．三.解答题17．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=λAA1，M、N分别是A1B与B1C1的中点；（1）求证：MN∥平面ACC1A1；（2）是否存在λ的值，使得MN与AC所成角为？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．18．已知向量，，设函数的图象关于直线x=π对称，其中ω、λ为常数，且；（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点，求函数f（x）在区间上的取值范围．19．函数y=f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使得f（x0）=x0成立，则称x0为函数y= f（x）的“不动点”．（1）若f（x）=ax2+bx+c（a≠0）有两个不动点﹣1、3，求bc的最小值；（2）若a＞0，且f（x）=ax2+bx+c有两个不动点m、n满足：，求证：当x∈（0，m）时，f（x）＜m．20．已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B两点；（1）若Q（1，0），求直线QA、QB的方程；（2）设|MQ|=t，用t表示∠AQB的余弦值，并求的最小值；（3）若，试求直线MQ的方程．21．已知点P1（a1，b1）、P2（a2，b2）、…、P n（a n，b n）（n∈N*），都在函数f（x）=p x（p ＞0，p≠1）的图象上；（1）若数列{a n}是等差数列，求证：数列{b n}是等比数列；（2）设p＞1，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）与函数f﹣1（x）的图象有公共点M，求证：M在直线y=x上；（3）设，a n=n（n∈N*），过点P n、P n+1的直线l n与两坐标轴围成的三角形面积为c n，问：数列{c n}是否存在最大项？若存在，求出最大项的值，若不存在，请说明理由．【参考答案】一.填空题1．{2，3，4}【解析】∵集合A={1，2，3，4，5}，B={x||x﹣3|≤1}={x|2≤x≤4}，∴A∩B={2，3，4}．故答案为：{2，3，4}．2．x﹣3y+1=0【解析】∵直线3x+y﹣1=0的斜率为﹣3，直线l与直线3x+y﹣1=0垂直，∴直线l的斜率为，又直线l过点M（2，1），∴直线l的方程为：y﹣1=（x﹣2），即x﹣3y+1=0．故答案为：x﹣3y+1=0．3．1【解析】tanα=2，则===1．故答案为：1．4．5【解析】等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若d＞0，且S10=0，可得10a1+45d=0，即a1=﹣d，则a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣）d，d＞0，a n＜0，可得n＜，则n的最大值为5．故答案为：5．5．【解析】由|log2x+4i|≥5，得，即，∴log2x≤﹣3①或log2x≥3②，解①得：0，解②得x≥8．∴x的取值范围是：．故答案为：．6．【解析】∵集合M={（x，y）|x﹣y+1≥0且x+y﹣2≤0且y≥0}，∴集合M表示的平面区域是如图所示的△BDC，∵A点坐标为（0，﹣1），P∈M，|AP|min=PO=1，联立，得C（），|AP|max=|AC|=，∴|AP|最大值与最小值之差为：．故答案为：．7．【解析】根据题意，椭圆的焦点为（±2，0），则要求双曲线的焦点在x轴上，且c=2，设要求双曲线的方程为：﹣=1，则有a2+b2=c2=4，其渐近线方程为：y=±x，即ay±bx=0，又由焦点到渐近线距离等于1，则有=1，即b=1；则a2=c2﹣b2=3；则双曲线的标准方程为：；故答案为：．8．【解析】由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的没有重复数字的四位数，能组成：=300个，其中大于3400的有：+=144，从由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个，基本事件总数n=300，所取到的数大于3400包含的基本事件个数m=144，∴所取到的数大于3400的概率p==．故答案为：．9．6050【解析】二项式的展开式的通项公式公式为C m r x2m﹣3r，令2m﹣3r=1，则r=，则当m=2时，r=1满足，当m=5，则r=3，当m=8，则r=5，故满足条件的正整数m由从小到大排成一个数列{a n}为2，5，8，11，…，故其通项公式为a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1，则a2017=3×2017﹣1=6050，故答案为：605010．【解析】由题意，恰好有三个极大值点，可得，且，解得：，∵T=，∴＜ω，故答案为：．11．【解析】如图所示，B（0，0，0），A（0，1，0），A1（0，1，1）．设P（x，y，z），（x，y，z∈[0，1]）．则•=1﹣y．∵，∴，解得，x，z∈[0，1]．∴点P所形成的几何体的体积=V正方体=．故答案为：．12．{0，﹣1}【解析】=∈（0，1）∴f（x）﹣∈（﹣，）[f（x）﹣]=0 或﹣1∵f（﹣x）=∈（0，1）∴f（﹣x）﹣∈（，）则[f（﹣x）﹣]=﹣1或0∴g（x）=[f（x）﹣]+[f（﹣x）﹣]的值域为{0，﹣1}故答案为：{0，﹣1}二.选择题13．A【解析】（1）设奇函数f（x）的反函数为f﹣1（x），∵f（x）是奇函数，∴f（x）的值域关于原点对称，即f﹣1（x）的定义域关于原点对称．假设f（x）=y，则f（﹣x）=﹣y．∴f﹣1（y）=x，f﹣1（﹣y）=﹣x．∴f﹣1（﹣y）=﹣f﹣1（y），即f﹣1（﹣x）=﹣f﹣1（x）∴f﹣1（x）是奇函数故（1）正确；（2）函数f（x）在区间[a，b]上存在反函数不一定f（x）在区间[a，b]上是单调函数，比如f（x）=存在反函数，但f（x）在R上不单调，故（2）不正确；（3）函数f（x）在定义域D上的反函数为f﹣1（x），则对于任意的x0∈D都有不一定成立，其中x0不一定属于f（x）的值域，即f﹣1（x0）不一定存在，故（3）不正确．故选A．14．B【解析】A=B=∅时，“”不一定成立，不是充分条件，“”时，A=B，是必要条件，故选：B．15．C【解析】空间坐标系中，高为1，底面边长也为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1与z 轴平行，设此三棱柱的左视图的面积为S，当AB与x轴平行时，此时左视图的面积最大，最大为1×1=1，当底面三角形的高与x轴成45°时，此时左视图的面积最小，最大为××1=．故S的最大值与最小值之差为，故选：C16．B【解析】由B={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，可知集合B表示的图形是以（1，1）为圆心，1为半径的圆面．由（y﹣x）（y﹣）≥0，得，或．∴集合A∩B所表示的平面图形如图所示的阴影部分：由于圆和函数y=的对称性可知：圆面的阴影部分的面积和剩下的部分面积相等，故S阴影=π．故选：B三.解答题17．证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=λAA1，M、N分别是A1B 与B1C1的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=AC=λAA1=λ，则M（，0，），N（，，1），=（0，，），平面ACC1A1的法向量=（1，0，0），∵•=0，MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1．（2）假设存在λ的值，使得MN与AC所成角为．A（0，0，0），C（0，λ，0），=（0，λ，0），∵MN与AC所成角为，∴cos==，由λ＞0，解得λ=1．∴存在λ=1，使得MN与AC所成角为．18．解：（1）由函数，可得：f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωx cosωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx）+λ．图象关于直线x=π对称，即x=π时，f（x）取得最值，∴2πω=，k∈Z．∵；∴当k=0，可得ω=，∴f（x）=2sin（x）+λ．那么：周期T==3π．（2）由（1）可知f（x）=2sin（x）+λ．图象经过点，∴2sin（×）+λ=0可得λ=0∵x∈上，∴（x）∈[，]，∴≤sin（x）≤1故得函数f（x）在区间上的取值范围是[﹣1，2]．19．解：（1）∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）有两个不动点﹣1、3，∴，消去a可得：3b﹣2c=3，即c=，∴bc==（b﹣）2﹣，∴当b=时，bc取得最小值﹣．（2）∵f（x）=x有两个解m，n，ax2+（b﹣1）x+c=0的两解为m，n，∴m+n==﹣，∵0＜m，∴m+n＜m+，即﹣＜m+，∴﹣＜，又a＞0，即f（x）的图象开口向上，∴当x∈（0，m）时，f（x）＜f（m）=m．20．解：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，∴=1，∴|2m+1|=，平方得4m2+4m+1=1+m2，即3m2+4m=0，得m=﹣或0，∴QA，QB的方程分别为x=1，；即3x+4y﹣3=0和x=1．（2）设∠AQB=2θ，则|QA|=|QB|==，sinθ==，则=||||cosθ=•（1﹣2sin2θ）=（t2﹣1）（1﹣）=t2+﹣3≥2﹣3=2﹣3，当且仅当t2=，即t2=时取等号，即的最小值是2﹣3；（3）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|====．在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，即1=|MQ|，∴|MQ|=3，∴x2+（y﹣2）2=9．设Q（x，0），则x2+22=9，则x2=5，∴x=±，∴Q（±，0），∴MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．21．（1）证明：由题意可得：b n=＞0，a n+1﹣a n=d常数．∴===p d＞0，∴数列{b n}是等比数列，首项为，公比为p d．（2）证明：f（x）=p x（p＞1），函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=log p x，设函数y=f（x）与函数f﹣1（x）的图象有公共点M（a，b），则b=p a，b=log p a即a=p b．∴=p a﹣b，a＜b或a＞b时都不成立，∴必有a=b．因此M在直线y=x上．（3），a n=n（n∈N*），b n=．===﹣．直线l n：y﹣=（x﹣n），与坐标轴的交点A（，0），B（0，n+1）．c n=×（n+1）=．c n+1﹣c n=（2﹣n2）．∴c1＜c2＞c3＞c4＞…．∴（c n）max=c2=．。

上海市黄浦区格致中学2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

上海市黄浦区格致中学2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．不等式≤0的解集是．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A B（横线上填入⊆，⊇或=）9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=．10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为．11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，∴a+b+c=1+2+3=6．故答案为：6．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是真命题．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题故答案为：真命题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=•=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．4．不等式≤0的解集是{x|x≤或x＞4} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≤0等价于，解得x≤或x＞4，∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}故答案为：{x|x≤或x＞4}．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．【解答】解：∵a2≤1，∴﹣1≤a≤1，∴1≤a+2≤3，∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣，∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣}．故答案为{x|x＞﹣}．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=2x2+3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+1．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A⊆B（横线上填入⊆，⊇或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故A⊆B；故答案为：⊆．9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，=ab≥4，故S△故答案为：4．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，故选项A、D不正确；∵∅是不含任何元素的∴选项C不正确∵∅是任何集合的子集故选：B．14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个【考点】子集与真子集．【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个故选：D．15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B．16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④【考点】集合中元素个数的最值．【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．故选B．三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，∴∁R A={x|x＜4或x＞9}，集合（∁R A）∩B={x|2≤x＜4}；（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，解得a＜1或a＞1，所以实数a的取值范围是a≠1．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a 的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，∴f（1）=a+2﹣2a＜0，解得a＞2，∴a的取值范围是a＞2；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，∴﹣2﹣（）+1＞0，解得0＜a＜2；又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，解得a∈R；综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y==+，因为y=+≥2=10，当且仅当，即v=80时取“=”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，（3）x3﹣ax=x3++﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最小值﹣2016年12月29日。

上海市格致中学高三数学9月开学考试(含解析)

上海市格致中学高三数学9月开学考试(含解析)
甲乙出现的结果共有10×10＝100，
∴他们”心有灵犀”的概率为P ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题．
的不等式 在 时恒成立，则实数 的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得 的取值范围。
10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为 ，且 ，若 ，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________
【答案】
【解析】
【分析】
试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个数由分步计数原理知共有10×10种不同的结果，而满足条件的|a﹣b|≤2的情况通过列举得到共28种情况，代入公式得到结果．
直线OM的方程为y x，即y x，
直线ON的方程为y x，即y x，
可得A（﹣ ，1），B（﹣ ，1），
可得AB的中点的横坐标为﹣2（ ）＝﹣2• ﹣2k，
即有AB为直径的圆心为（﹣2k，1），
半径为 | |＝2• 2 ，
可得圆的方程为（x+2k）2+（y﹣1）2＝4（1+k2），
化为x2+4kx+（y﹣1）2＝4，
【详解】由 得 ，两边同除以 ，得到， ，
，设 ， ，由函数 在 上递减，
所以 ，故实数 的取值范围是 。
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。
是 满足下列性质 的一个排列（ ， ），性质 ：排列 有且只有一个 （ ），则满足性质 的所有数列的2）证明见解析

上海市黄浦区格致中学2023届高三下学期开学考试数学试题

上海市黄浦区格致中学2023届高三下学期开学考试数学试题

上海市黄浦区格致中学2023届高三下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题二、单选题A ．123θθθ==C ．132θθθ=>三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为(1)求A ；(2)若ABC 的面积为22，求2a 18．如图，四边形ABCD 是一个半圆柱的轴截面，EF AD ∥，点H 为线段AD 的中点，且一动点．(1)试确定点G 的位置，使(2)求二面角C HF --19．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的数据，统计结果如下表所示．组别[30,40][40,50]频数25150(1)已知此次问卷调查的得分中的数据用该组区间的中点值为代表）（附：若(2~,X N μσ()30.9973P X μσ-≤≈(2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠②每次赠送的机制为：赠送现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为布及期望．20．如图，椭圆1Γ、双曲线2A ，1Γ的焦点为1F ，的六等分点，我们把Γ(1)求曲线Γ的方程；(2)若M 为Γ上一动点，(0,4)T 为定点，求(3)若直线l 过点O ，与1Γ交于1P ，2P 两点，与象限，且直线1111PF Q E //，求直线l 的方程21．已知函数()y f x =在区间[)1,+∞上有定义，实数区间(],a b 上不存在最小值，则称函数y (1)若函数y x m =-在区间(]1,2上具有性质(2)已知函数()y f x =满足()(1f x f x +=判断函数()y f x =在区间(]1,4上是否具有性质(3)已知对满足1a b ≤<的任意实数a 、b ，函数且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时，均有()()()()()1f n f x f x f n f n -+-+=-。

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2017-2018年格致中学高三开学考
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1.已知集合{}{}
11,4321≤-==x x B A ，，，，则=B A
2.若排列数34566⨯⨯⨯=m
P ，则=m
3.不等式
11
2<-x x
的解集为 4.若以圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥轴截面的面积等于 5.已知复数z 满足：5,6==+-
z z z ，则=z
6.若抛物线()022
>=p py x 上的点()3,m 到焦点的距离是5，则=2m
7.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≥-+0130101y x x y x 所表示的平面区域的面积是
8.定义在()+∞,0上的函数()x f y =的反函数为()x f y 1
-=，若()()⎩
⎨⎧>≤-=0,0
,13x x f x x g x 为奇函数，则
()21=-x f 的解为
9.从一排10盏亮着的灯中，关掉其中3盏，则关掉的3盏灯互不相邻的概率等于
10.已知数列{}n a 的通项公式为()()(
)*
+∈+=N
n n a n n 2log 1，定义使k
a
a a ....,2
1
为整数的数(
)*
∈N
k k 叫做
“数列积优数”。

那么在区间()2017,0内的所有“数列积优数”的和等于
11.在平面几何中，若一个n 边形存在内切圆，将内切圆的圆心与n 边形顶点连接，可将此n 边形分割成n 个等高的三角形，n 边形的周长为l ，面积为S ，内切圆的半径为r ，那么l
S
r 2=。

类比此方法，若一多面体的体积为V ，全面积为S ，且此多面体存在内切球，则此内切球的表面积为
12.已知集合{
}B A U ,,,6754321，，，，，=都是U 的子集，且满足：∅≠=B A U B A ,，则满足条件的不同集合对()B A ,共有 对。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 13.已知+
∈R b a 、，且2=+b a ，则行列式
b
a 11的最大值为（ ）
14.在数列{}n a 中，*∈⎪⎩⎪
⎨⎧≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≤=N n n n a n
n ,2019,212018,1，则n n a ∞
→lim （ ） A.等于1或2
1
- B.等于1或0
C.等于0
D.不存在
15.在平面直角坐标系xoy 中，直线)0(0>=++ab c by ax 的倾斜角大小为（ ） A.b a
arctan B.a b arctan C.a b arctan -π D.b
a arctan -π
16.设θ为两个非零向量→→b a 、的夹角，且对任意的实数k ，→
→-a k b 的最小值为常数()0>m m ，则下列判断正确的是（ ）
A.若θ确定，则→
a 确定 B.若θ确定，则→
b 确定
C.若→a 确定，则θ确定
D.若→
b 确定，则θ确定
三、解答题（本大题5题，满分76分）
17.（本题满分14分，第一小题满分8分，第二小题满分6分） 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 是棱11B A 的中点。

（1）求四棱锥ABCD A -1的体积与全面积； （2）求异面直线1EC 与C A 1所成角的大小
18.（本题满分14分，第一小题7分，第二小题7分） 已知函数()x x x x f 2cos cos sin 32+=
（1）求函数()x f 的最大值。

并指出取最大值时相应有x 的值； （2）若⎪⎭⎫
⎝
⎛∈6,
0πθ，且()3
4
=θf ，求θ2cos 的值。

19.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
对于函数()x f y =，若在其定义域内存在0x ，使得()()00x f x f -=-，则称0x 为函数()x f 的局部对称点。

（1）已知R b a ∈,，且0≠a ，证明：函数()a bx ax x f -+=2
必有局部对称点；
（2）若函数()c x g x
+=2在区间[]2,1-上有局部对称点，求实数c 的取值范围。

20.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分6分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线Γ：15
42
2=-y x ，B A ,分别为Γ的左，右顶点。

（1）以A 为圆心的圆与Γ恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；
（2）直线l 过点A ，与Γ在第一象限有公共点P ，线段AP 的垂直平分线过点B ，求直线l 的方程； （3）Γ上是否存在异于B A 、点N M 、，使→
→
→
=+MN MB MA 2成立，若存在，求出所有N M 、的坐标，若不存在说明理由。

21.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分） 已知数列{}{}n n b a ,都是由实数组成的无穷数列。

（1）若{}{}n n b a ,都是等差数列，判断数列{}n n b a +是否是等差数列，说明理由；
（2）若()0,,2≠∈==k R k k b a n
n n n ，且{}n n b a +是等比数列，求k 的所有可能值；
（3）若{}{}n n b a ,都是等差数列，数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求证：{}n c 是等差数列的充要条件是：
{}{}n n b a ,中至少有一个是常数列。

参考答案
一、填空题
1、{
}2,1；2、4；3、()1,1-；4、3；5、i 43±；6、24；7、2；8、98=x ；9、15
7
； 10、2026；11、2
236S V π；12、632；
二、选择题：
13、B ；14、C ；15、D ；16、B ；
三、解答题： 17、（1）3
8
=
V ，248+=S ；（2）515arccos ；
18、（1）2)(max =x f ，此时6
π
=
x ；（2）
6
2
15+； 19、（1）证：由()()a bx ax x f a bx ax x f --=-⇒-+=2
2
，代入()()0=-+x f x f ， 得：()002
≠=-a a ax ，因为0>∆，则方程()002
≠=-a a ax 必有解，
所以函数()a bx ax x f -+=2
必有局部对称点；
（2）18
17
-≤≤-
c ； 20、（1）()1622
2
=++y x ；（2）()2525+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y ； （3）设()()2211,,,y x N y x M ，因为→
→
→
=+MN MB MA 2，所以⎩⎨⎧-=-=12
1
2222y y x x ，
把()()2211,,,y x N y x M 代入双曲线方程得：
()()2154
152********
1212
1212222=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=---⇒=-x y x y x y x ，与A 点重叠，故不存在。

21、（1）证：()()2111d d b a b a n n n n +=+-+++（定值），则结论成立；
（2）()n
n n n n n n n n k
k k k k b a b a +-+=++=++++++222221111，对于*
∈N n 恒成立，则2=k ；
（3）证：
1°充分性：若C a n =，则()d C b b C c c b C c n n n n n n ⋅=-=-⇒⋅=++11（定值），结论成立； 同理C b n =，结论也成立；
2°必要性：()n n n n n n n n n n n b d b a b d a b a b a c c 11111=-+=-=-+++，要使得对于*∈N n 恒成立，则=n b 定值，则结论成立；
同理：()n n n n n n n n n n n a d b a a d b b a b a c c 22111=-+=-=-+++要使得对于*∈N n 恒成立，则=n a 定值，则结论成立；
综上：求证：{}n c 是等差数列的充要条件是：{}{}n n b a ,中至少有一个是常数列。

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