2017-2018年上海市格致中学高三上开学考数学试卷及答案

2017-2018年格致中学高三开学考
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1.已知集合{}{}
11,4321≤-==x x B A ，，，，则=B A
2.若排列数34566⨯⨯⨯=m
P ，则=m
3.不等式
11
2<-x x
的解集为 4.若以圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥轴截面的面积等于 5.已知复数z 满足：5,6==+-
z z z ，则=z
6.若抛物线()022
>=p py x 上的点()3,m 到焦点的距离是5，则=2m
7.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≥-+0130101y x x y x 所表示的平面区域的面积是
8.定义在()+∞,0上的函数()x f y =的反函数为()x f y 1
-=，若()()⎩
⎨⎧>≤-=0,0
,13x x f x x g x 为奇函数，则
()21=-x f 的解为
9.从一排10盏亮着的灯中，关掉其中3盏，则关掉的3盏灯互不相邻的概率等于
10.已知数列{}n a 的通项公式为()()(
)*
+∈+=N
n n a n n 2log 1，定义使k
a
a a ....,2
1
为整数的数(
)*
∈N
k k 叫做
“数列积优数”。

那么在区间()2017,0内的所有“数列积优数”的和等于
11.在平面几何中，若一个n 边形存在内切圆，将内切圆的圆心与n 边形顶点连接，可将此n 边形分割成n 个等高的三角形，n 边形的周长为l ，面积为S ，内切圆的半径为r ，那么l
S
r 2=。

类比此方法，若一多面体的体积为V ，全面积为S ，且此多面体存在内切球，则此内切球的表面积为
12.已知集合{
}B A U ,,,6754321，，，，，=都是U 的子集，且满足：∅≠=B A U B A ,，则满足条件的不同集合对()B A ,共有 对。

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 13.已知+
∈R b a 、，且2=+b a ，则行列式
b
a 11的最大值为（ ）
14.在数列{}n a 中，*∈⎪⎩⎪
⎨⎧≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≤=N n n n a n
n ,2019,212018,1，则n n a ∞
→lim （ ） A.等于1或2
1
- B.等于1或0
C.等于0
D.不存在
15.在平面直角坐标系xoy 中，直线)0(0>=++ab c by ax 的倾斜角大小为（ ） A.b a
arctan B.a b arctan C.a b arctan -π D.b
a arctan -π
16.设θ为两个非零向量→→b a 、的夹角，且对任意的实数k ，→
→-a k b 的最小值为常数()0>m m ，则下列判断正确的是（ ）
A.若θ确定，则→
a 确定 B.若θ确定，则→
b 确定
C.若→a 确定，则θ确定
D.若→
b 确定，则θ确定
三、解答题（本大题5题，满分76分）
17.（本题满分14分，第一小题满分8分，第二小题满分6分） 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 是棱11B A 的中点。

（1）求四棱锥ABCD A -1的体积与全面积； （2）求异面直线1EC 与C A 1所成角的大小
18.（本题满分14分，第一小题7分，第二小题7分） 已知函数()x x x x f 2cos cos sin 32+=
（1）求函数()x f 的最大值。

并指出取最大值时相应有x 的值； （2）若⎪⎭⎫
⎝
⎛∈6,
0πθ，且()3
4
=θf ，求θ2cos 的值。

19.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）
对于函数()x f y =，若在其定义域内存在0x ，使得()()00x f x f -=-，则称0x 为函数()x f 的局部对称点。

（1）已知R b a ∈,，且0≠a ，证明：函数()a bx ax x f -+=2
必有局部对称点；
（2）若函数()c x g x
+=2在区间[]2,1-上有局部对称点，求实数c 的取值范围。

20.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分6分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线Γ：15
42
2=-y x ，B A ,分别为Γ的左，右顶点。

（1）以A 为圆心的圆与Γ恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；
（2）直线l 过点A ，与Γ在第一象限有公共点P ，线段AP 的垂直平分线过点B ，求直线l 的方程； （3）Γ上是否存在异于B A 、点N M 、，使→
→
→
=+MN MB MA 2成立，若存在，求出所有N M 、的坐标，若不存在说明理由。

21.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分） 已知数列{}{}n n b a ,都是由实数组成的无穷数列。

（1）若{}{}n n b a ,都是等差数列，判断数列{}n n b a +是否是等差数列，说明理由；
（2）若()0,,2≠∈==k R k k b a n
n n n ，且{}n n b a +是等比数列，求k 的所有可能值；
（3）若{}{}n n b a ,都是等差数列，数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求证：{}n c 是等差数列的充要条件是：
{}{}n n b a ,中至少有一个是常数列。

参考答案
一、填空题
1、{
}2,1；2、4；3、()1,1-；4、3；5、i 43±；6、24；7、2；8、98=x ；9、15
7
； 10、2026；11、2
236S V π；12、632；
二、选择题：
13、B ；14、C ；15、D ；16、B ；
三、解答题： 17、（1）3
8
=
V ，248+=S ；（2）515arccos ；
18、（1）2)(max =x f ，此时6
π
=
x ；（2）
6
2
15+； 19、（1）证：由()()a bx ax x f a bx ax x f --=-⇒-+=2
2
，代入()()0=-+x f x f ， 得：()002
≠=-a a ax ，因为0>∆，则方程()002
≠=-a a ax 必有解，
所以函数()a bx ax x f -+=2
必有局部对称点；
（2）18
17
-≤≤-
c ； 20、（1）()1622
2
=++y x ；（2）()2525+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y ； （3）设()()2211,,,y x N y x M ，因为→
→
→
=+MN MB MA 2，所以⎩⎨⎧-=-=12
1
2222y y x x ，
把()()2211,,,y x N y x M 代入双曲线方程得：
()()2154
152********
1212
1212222=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=---⇒=-x y x y x y x ，与A 点重叠，故不存在。

21、（1）证：()()2111d d b a b a n n n n +=+-+++（定值），则结论成立；
（2）()n
n n n n n n n n k
k k k k b a b a +-+=++=++++++222221111，对于*
∈N n 恒成立，则2=k ；
（3）证：
1°充分性：若C a n =，则()d C b b C c c b C c n n n n n n ⋅=-=-⇒⋅=++11（定值），结论成立； 同理C b n =，结论也成立；
2°必要性：()n n n n n n n n n n n b d b a b d a b a b a c c 11111=-+=-=-+++，要使得对于*∈N n 恒成立，则=n b 定值，则结论成立；
同理：()n n n n n n n n n n n a d b a a d b b a b a c c 22111=-+=-=-+++要使得对于*∈N n 恒成立，则=n a 定值，则结论成立；
综上：求证：{}n c 是等差数列的充要条件是：{}{}n n b a ,中至少有一个是常数列。